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5.2.2　导数的四则运算法则（同步检测）
一、选择题
1.已知f(x)＝3ax3＋2ax2＋2，若f′(－1)＝5，则a的值是(　　)
A.1　　 B.－1　　
C.2　　 D.－2
2.已知f(x)＝cos x＋2x，则f′(x)＝(　　)
A.－sin x＋x·2x－1 B.sin x＋x·2x－1
C.－sin x＋2x ln 2 D.sin x＋2x ln 2
3.曲线y＝xex在x＝1处切线的斜率等于(　　)
A.2e B.e
C.2 D.1
4.曲线y＝x3－2x＋3在点处的切线的倾斜角为(　　)
A.　　 B.　
C.π　 D.π
5.已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为(　　)
A.3　　 B.2　　
C.1　　 D.
6.已知f(x)＝x2＋sin，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的大致图象是(　　)
7.曲线f(x)＝x＋x3在点处的切线和坐标轴围成的三角形的面积为(　　)
A.3 B.2
C. D.
8.(多选)下列运算中正确的是(　　)
A.(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′ B.(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2′(x2)′
C.＝ D.(cos x·sin x)′＝(sin x)′cos x＋(cos x)′·sin x
9.(多选)已知函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0．若g(x)＝xf(x)，则下列各式成立的有(　　)
A.f(1)＝1 B.f′(1)＝1
C.f(x)＝x2＋ D.g′(1)＝
二、填空题
10.已知函数f(x)＝x(x－a)(x－b)的导函数为f′(x)且 f′(0)＝4，则a2＋2b2的最小值为________
11.已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)的图象与直线x－y＋1＝0相切，则实数a的值为________
12.过点(0，－1)作曲线f()＝ln x(x＞0)的切线，则切点坐标为________
13.直线l经过点，且与曲线y＝x2(x＋1)相切，写出l的一个方程_______________
三、解答题
14.已知函数f(x)＝＋2xf′(1)，试比较f(e)与f(1)的大小关系．
15.求下列函数的导数：
(1)y＝x； (2)y＝xnex； (3)y＝sin4＋cos4； (4)y＝．
参考答案及解析：
一、选择题
1.A 解析：因为f(x)＝3ax3＋2ax2＋2，所以f′(x)＝9ax2＋4ax，则f′(－1)＝9a－4a＝5，解得a＝1．
2.C 解析：由f(x)＝cos x＋2x，得f′(x)＝－sin x＋2xln 2．故选C．
3.A 解析：y′＝ex＋xex，y′|x＝1＝e＋e＝2e．
4.D 解析：根据题意，设曲线y＝x3－2x＋3在该点处切线的倾斜角为θ，因为曲线方程为y＝x3－2x＋3，所以其导数y′＝x2－2，则有y′|x＝1＝1－2＝－1，则切线的斜率k＝－1，则有tan θ＝－1，故θ＝．故选D．
5.A 解析：设该切点的坐标为(x0，y0)(x0＞0)，∵曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，∴y′＝－＝，解得x0＝3或x0＝－2(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3．
6.A 解析：∵f(x)＝x2＋sin＝x2＋cos x，
∴f′(x)＝x－sin x．易知f′(x)＝x－sin x是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B、D.由f′＝－<0，排除C，故选A.
7.D 解析：由题意知，f′(x)＝1＋x2，故切线的斜率k＝f′(1)＝2.又切线过点，∴切线方程为y－＝2(x－1)，即y＝2x－，切线和x轴、y轴交点为，.故所求三角形的面积为××＝.
8.AD　解析：A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，正确；B项中，(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′，错误；C项中，＝，错误；D项中，(cos x·sin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x(sin x)′，正确．故选AD．
9.AD 解析：由题意知，点(1，f(1))在x－2y＋1＝0上，所以f(1)＝1，故A正确；函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，所以f′(1)＝，故B错误；f(x)＝x2＋，虽然满足f(1)＝1，f′(1)＝，但该函数只是一种特殊情况，该函数还可以为f(x)＝，也满足f(1)＝1，f′(1)＝，故C错误；由题意得g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，所以g′(1)＝f(1)＋f′(1)＝1＋＝，故D正确．故选AD．
二、填空题
10.答案：8
解析：∵f(x)＝(x2－ax)(x－b)，∴ f′(x)＝(2x－a)(x－b)＋x2－ax＝3x2－2(a＋b)x＋ab，则f′(0)＝ab＝4．又∵a2＋2b2≥2＝2ab＝8，当且仅当a2＝2b2，即a＝b时取等号．
11.答案：－1
解析：设直线x－y＋1＝0与函数f(x)＝ln x－ax的图象的切点为P(x0，y0)，因为f′(x)＝－a，所以由题意，得解得a＝－1．
12.答案：(，1)
解析：∵f()＝ln x(x＞0)，∴f(x)＝ln x2＝2ln x，设切点为(x0，y0)，∴f′(x)＝，根据题意可得＝，∴y0＝1，x0＝，即切点坐标为(，1)．
13.答案：y＝0(答案不唯一)
解析：因为y＝f(x)＝x2(x＋1)＝x3＋x2，所以f′(x)＝3x2＋2x，不妨设直线l与f(x)的切点为(x0，y0)，斜率为k，则解得或或
当x0＝0，y0＝0，k＝0时，直线l为y＝0；
当x0＝1，y0＝2，k＝5时，直线l为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0；当x0＝－，y0＝，k＝－时，直线l为y－＝－，即15x＋125y－9＝0．综上，直线的方程为y＝0或5x－y－3＝0或15x＋125y－9＝0．故答案为y＝0(答案不唯一)．
三、解答题
14.解：由题意得f′(x)＝＋2f′(1)，
令x＝1，得f′(1)＝＋2f′(1)，即f′(1)＝－1，
∴f(x)＝－2x，∴f(e)＝－2e＝－2e，f(1)＝－2．
由f(e)－f(1)＝－2e＋2＜0，得f(e)＜f(1)．
15.解：(1)∵y＝x＝x3＋1＋x－2，∴y′＝3x2－．
(2)y′＝nxn－1ex＋xnex＝xn－1ex(n＋x)．
(3)∵y＝－2sin2cos2＝1－sin2＝1－·＝＋cos x，
∴y′＝－sin x．
(4)y′＝＝－．

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