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5.3.1　函数的单调性（同步检测）
一、选择题
1.定义域为R的函数f(x)的导函数为f′(x)且＞0对任意x≠2恒成立，则(　　)
A.f(x)在(－∞，2)上单调递减 B.f(x)在(2，＋∞)上单调递减
C.f(x)在R上单调递减 D.f(x)在R上单调递增
2.已知函数f(x)＝a ln x－x2＋6x在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A.[－9，＋∞)　　 B.(－9，＋∞)
C.(－∞，－9)　 D.(－∞，－9]
3.f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是(　　)
4.设函数f(x)＝，则函数f(x)的单调递增区间是(　　)
A.(－∞，0)　　 B.(0，1)
C.(1，＋∞)　 D.(e，＋∞)
5.已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是函数f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是 (　　)
A．2f′(2)＜f(4)－f(2)＜2f′(4) B．2f′(4)＜2f′(2)＜f(4)－f(2)
C．2f′(2)＜2f′(4)＜f(4)－f(2) D．f(4)－f(2)＜2f′(4)＜2f′(2)
6.若函数y＝a(x3－x)的单调递减区间为，则a的取值范围是(　　)
A.a＞0 B.－1＜a＜0
C.a＞1 D.0＜a＜1
7.(多选)函数y＝f(x)的图象如图所示，则导数y＝f ′(x)的图象不可能是(　　)
A　　　　　 B　　　　 C　　　　　 D
8.(多选)下列选项中，在(－∞，＋∞)上单调递增的函数有(　　)
A.f(x)＝x4 B.f(x)＝x－sin x
C.f(x)＝xex D.f(x)＝ex－e－x－2x
二、填空题
9.函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调递减区间是________
10.若函数f(x)＝x＋a ln x在区间(0，＋∞)上不是单调函数，则实数a的取值范围是________
11.若函数f(x)＝x3－ax－1在(－1，1)上单调递减，则a的取值范围是________
12.若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是__________
三、解答题
13.已知函数f(x)＝(x－2)ex－x2＋x，求f(x)的单调区间．
14.求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x3－2x2＋x；(2)f(x)＝x＋sin x，x∈(0，π)．
15.已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax＋1(a∈R)，求函数f(x)的单调区间．
参考答案及解析：
一、选择题
1.B 解析：＞0对任意x≠2恒成立，所以当x＜2时，f′(x)＞0；当x＞2时，f′(x)＜0．所以函数f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减．
2.D 解析：由已知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－x＋6．因为f(x)＝a ln x－x2＋6x在定义域内单调递减，所以f′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，即－x＋6≤0，可转化为a≤x2－6x在(0，＋∞)上恒成立，所以a≤(x2－6x)min．因为y＝x2－6x＝(x－3)2－9，所以(x2－6x)min＝－9，所以a≤－9．因此实数a的取值范围是(－∞，－9]．故选D．
3.A 解析：由f′(x)图象可知f′(0)＝0，f′(2)＝0，f(x)在区间[0，2]上的增长速度先快后慢，A选项符合．故选A．
4.C 解析：定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f(x)＝，所以f′(x)＝，令f′(x)＞0，则x＞1，所以f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)．
5.A 解析：由函数f(x)的图象知，当x＞0时，f(x)单调递增，∴f′(2)＞0，f′(4)＞0，f(4)－f(2)＞0．∵直线的斜率逐渐增大，∴f′(x)单调递增，∴f′(2)＜f′(4)，∴2f′(2)＜2f′(4)．∵f′(2)＜＜f′(4)，∴2f′(2)＜f(4)－f(2)＜2f′(4)．
6.A 解析：因为y′＝3a＝3a，当－＜x＜时，＜0，所以函数y＝a(x3－x)在上单调递减，所以y′≤0，即a≥0，经检验a＝0不合题意，所以a＞0．故选A．
7.ABC　解析：∵函数f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上都单调递减，∴当x<0时，f ′(x)≤0，当x>0时，f ′(x)≤0．又由图象知f ′(x)≠0，故A，B，C均不符合．
8.BD 解析：根据题意，依次分析选项，对于A，f(x)＝x4，其导数f′(x)＝4x3，在区间(－∞，0)上有f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，不符合题意；对于B，f(x)＝x－sin x，其导数f′(x)＝1－cos x，在(－∞，＋∞)上有f′(x)≥0，则f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，符合题意；对于C，f(x)＝xex，其导数f′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex，在区间(－∞，－1)上，有f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，不符合题意；对于D，f(x)＝ex－e－x－2x，其导数f′(x)＝ex＋e－x－2，因为f′(x)＝ex＋e－x－2≥2－2＝2－2＝0，有f′(x)≥0，则f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，符合题意．
二、填空题
9.答案：(1,2)　
解析：f ′(x)＝6x2－18x＋12，令f ′(x)＜0，即6x2－18x＋12＜0，解得1＜x＜2．
10.答案：(－∞，0)
解析：函数f(x)＝x＋a ln x的定义域为{x|x＞0}．f′(x)＝1＋，当a≥0时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当a＜0时，函数f(x)不是单调函数．故实数a的取值范围是(－∞，0)．
11.答案：[3，＋∞)
解析：由题意可知f′(x)＝3x2－a≤0在(－1，1)上恒成立，∴即
∴a≥3，即a的取值范围是[3，＋∞)．
12.答案：(0，＋∞)　
解析：若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b>0．
三、解答题
13.解：f(x)＝(x－2)ex－x2＋x，x∈R，
∴f ′(x)＝ex＋(x－2)ex－x＋1＝(x－1)(ex－1)．
令f ′(x)＞0，解得x＞1或x＜0．令f ′(x)＜0，解得0＜x＜1．
∴函数f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(1，＋∞)，单调递减区间是(0,1)．
14.解：(1)因为f(x)＝x3－2x2＋x，所以f′(x)＝3x2－4x＋1，x∈R．
因为当x＜或x＞1时，3x2－4x＋1＞0，
当＜x＜1时，3x2－4x＋1＜0，
所以函数f(x)＝x3－2x2＋x的单调递增区间为和(1，＋∞)，单调递减区间为．
(2)因为f(x)＝x＋sin x，所以f′(x)＝＋cos x．
①令f′(x)＞0，得cos x＞－，
又因为x∈(0，π)，所以0＜x＜．
②令f′(x)＜0，得cos x＜－，
又因为x∈(0，π)，所以＜x＜π．
所以函数f(x)＝x＋sin x，x∈(0，π)的单调递增区间为，单调递减区间为．
15.解：f′(x)＝x2＋2x＋a，方程x2＋2x＋a＝0的根的判别式Δ＝4－4a＝4(1－a)，
若a≥1，则Δ≤0，f′(x)＝x2＋2x＋a≥0，所以f(x)在R上单调递增；
若a＜1，则Δ＞0，方程x2＋2x＋a＝0有两个不同的实数根x1＝－1－，x2＝－1＋．
当x＜x1或x＞x2时，f′(x)＞0；
当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0．
综上可知，当a≥1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；
当a＜1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－1－)和(－1＋，＋∞)，单调递减区间为(－1－，－1＋)．

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