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第17章　函数及其图象
17.4　反比例函数
2.反比例函数的图象和性质
1.反比例函数图象的画法
步　　骤：__________、__________、__________.
注　　意：(1)列表时，自变量的值应对称地选取绝对值相等而符号相反的数值，这样既便于计算，又易于描点.列表时尽可能多取一些数值，描的点越多，连线就越方便.
(2)连线时，必须用光滑的曲线顺次连结各点.
(3)反比例函数图象由断开的两支曲线组成，与x轴、y轴没有交点.
2.反比例函数y＝(k≠0)的图象和性质
图　　象：双曲线，且关于原点成中心对称.
性　　质：(1)当k＞0时，函数的图象在第____________象限，在每个象限内，曲线从左向右__________，也就是在每个象限内，y随x的增大而__________；
(2)当k＜0时，函数的图象在第____________象限，在每个象限内，曲线从左向右__________，也就是在每个象限内，y随x的增大而__________.
注　　意：反比例函数的增减性是指在同一象限内的增减性.
类型之一　画反比例函数的图象
　画函数y＝－(x＜0)的图象.
(1)补全过程.
①列表：
x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 …
y … 　 　 　 　 …
②描点并连线.
(2)从图象可以看出，曲线从左向右__________，当x由小变大时，y随之__________.
类型之二　反比例函数的性质
　已知点(－2，a)、(2，b)、(3，c)在函数y＝(k＞0)的图象上，则下列判断正确的是(　　)
A.a＜b＜c B.b＜a＜c
C.a＜c＜b D.c＜b＜a
类型之三　反比例函数的应用
　教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10 ℃，加热到100 ℃停止加热，水温开始下降，此时水温y(℃)与开机后用时x(min)成反比例关系，直至水温降到30 ℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序.若在水温为30 ℃时接通电源，水温y(℃)与时间x(min)的关系如图所示.
(1)分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；
(2)怡萱同学想喝高于50 ℃的水，她最多需要等待多长时间？
1.[2024·重庆A卷]已知点(－3，2)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，则k的值为 (　　)
A.－3 B.3 C.－6 D.6
2.[2024·广西]已知点M(x1，y1)、N(x2，y2)在反比例函数y＝的图象上，若x1＜0＜x2，则有 (　　)
A.y1＜0＜y2 B.y2＜0＜y1
C.y1＜y2＜0 D.0＜y1＜y2
3.(1)函数y＝的图象在第____________象限，在每一象限内，y随x的增大而__________；
(2)函数y＝－的图象在第____________象限，在每一象限内，y随x的增大而__________；
(3)函数y＝，当x＞0时，图象在第________象限，y随x的增大而__________.
1.已知反比例函数y＝，则下列描述不正确的是 (　　)
A.图象位于第一、三象限
B.图象必经过点4，
C.图象不可能与坐标轴相交
D.y随x的增大而减小
2.[2024·天津]若点A(x1，－1)、B(x2，1)、C(x3，5)都在反比例函数y＝的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是 (　　)
A.x1＜x2＜x3 B.x1＜x3＜x2
C.x3＜x2＜x1 D.x2＜x1＜x3
3.[2024·安徽]已知反比例函数y＝(k≠0)与一次函数y＝2－x的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为 (　　)
A.－3 B.－1 C.1 D.3
4.已知反比例函数y＝.
(1)若函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是__________；
(2)若在每个象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是__________.
5.[2024·威海]如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝ax＋b(a≠0)与双曲线y2＝(k≠0)交于点A(－1，m)、B(2，－1)，则满足y1≤y2的x的取值范围是_____________________.
6.[2024·内江]如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为(－2，3)，点B的坐标为(3，n).
(1)求这两个函数的表达式；
(2)根据图象，直接写出关于x的不等式ax＋b＜的解集.
7.[2022·德阳]一次函数y＝ax＋1与反比例函数y＝－在同一坐标系中的大致图象是 (　　)
8.如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P(2a，a)是反比例函数y＝的图象与正方形的一个交点，则图中阴影部分的面积是_______.
9.[2022·常州]如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x＋b的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点C，连结OC.已知点B(0，4)，△BOC的面积是2.
(1)求b、k的值；
(2)求△AOC的面积.
10.(模型观念)通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散.学生注意力指标y随时间x(min)变化的函数图象如图所示，当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段；当20≤x≤45时，图象是反比例函数图象的一部分.
(1)求点A对应的指标值.
(2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17min，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由.
参考答案
【预习导航】
1.列表　描点　连线
2.(1)一、三　下降　减小　(2)二、四　上升
增大
【归类探究】
【例1】(1)①1　　　2　3　6　②作图略
(2)上升　变大
【例2】C
【例3】(1)y＝y与x的函数关系式每min重复出现一次.
(2)她最多需要等待 min.
【当堂测评】
1.C　2.A
3.(1)一、三　减小　(2)二、四　增大　(3)一　减小
【分层训练】
1.D　2.B　3.A　4.(1)k＜4　(2)k＞4
5.－1≤x＜0或x≥2
6.(1)反比例函数的表达式为y＝－，一次函数的表达式为y＝－x＋1.
(2)－2＜x＜0或x＞3
7.B　8.4
9.(1)b＝4，k＝6　(2)6
10.(1)点A对应的指标值为20.
(2)张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36.理由略.
。

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