资源简介

第17章　函数及其图象
17.5　实践与探索
第3课时　建立函数模型解决实际问题
建立函数模型解决实际问题
步　　骤：(1)通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值；
(2)建立合适的平面直角坐标系，在坐标系中，以各对应值为坐标描点，并用描点法画出函数的图象；
(3)观察图象特征，判定函数的类型.
类型之一　建立函数模型解决实际问题
　[2023·上虞区模拟]水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，小敏进行了以下实验研究：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每5min记录一次容器中的水量，下表是小敏30min内收集到的一组数据.
时间x(min) 0 5 10 15 20 25 30
水量y(mL) 0 4 8 12 16 20 24
　　为了描述漏水量与漏水时间的关系，现有以下两种函数模型可供选择：y＝kx＋b(k≠0)，y＝(k≠0).
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，画出这个函数的图象，选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式；
(2)当容器内水量显示的读数为160mL时，求漏水时间；
(3)在这种漏水状态下，请你估算一天的漏水量.
类型之二　利用一次函数进行方案设计
　“绿水青山就是金山银山”.为了保护环境和提高果树产量，某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向A、B两个果园运送有机化肥.甲、乙两个仓库分别可运出80 t和100 t有机化肥；A、B两个果园分别需用110 t和70 t有机化肥.两个仓库到A、B两个果园的路程如下表所示：
果园 路程(km)
甲仓库 乙仓库
A果园 15 25
B果园 20 20
　　设甲仓库运往A果园x t有机化肥，汽车每吨每千米的运费为2元.
(1)根据题意，填写下表：
果园 运量(t) 运费(元)
甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库
A果园 x 　　　　　　　 　　　　　 　　　　　 　　　　　　　
B果园 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　 　　　　　　 　　　　　 　　　　　　
(2)设总运费为y元，求y关于x的函数表达式，当甲仓库运往A果园多少吨有机化肥时，总运费最省？最省的总运费是多少元？
【点悟】 在生产生活中，经常会涉及求最大利润、最省费用等问题，这类问题经常利用函数来解答，其步骤一般是先求出函数的表达式，再求出自变量的取值范围，最后根据函数的性质求出最大值或最小值.
[2023·陕西四模]某施工队承接了一项修路任务，每天下班前登记施工进度，下表记录了开工5天以来的修路情况，其中x表示开工的天数，y表示剩余未修道路的长度.
x(天) 1 2 3 4 5
y(km) 2.1 1.8 1.5 1.2 0.9
为描述剩余未修道路长度与开工天数的关系，现有以下两种函数关系式可供选择：y＝kx＋b(k≠0)，y＝(k≠0).
(1)请在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并判断其他点是否在所求函数图象上；
(2)若想要比原计划提前一天完成施工任务，求之后几天平均每天比原计划多修的长度.
1.[2024·达州]为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A、B两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售.已知每件A品种柑橘礼盒比B品种柑橘礼盒的售价少20元，且出售25件A品种柑橘礼盒和15件B品种柑橘礼盒的总价共3500元.
(1)求A、B两种柑橘礼盒的单价.
(2)已知加工A、B两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出A、B两种柑橘礼盒共1000盒，且A品种柑橘礼盒售出的数量不超过B品种柑橘礼盒售出数量的1.5倍，总成本不超过54050元.若要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A、B两种柑橘礼盒的销售方案？农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？
2.某市A、B两个蔬菜基地得知C、D两个灾民安置点分别急需蔬菜240t和260t的消息后，决定调运蔬菜支援灾区.已知A蔬菜基地有蔬菜200t，B蔬菜基地有蔬菜300t，现将这些蔬菜全部调往C、D两个灾区安置点，从A地运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C、D两处的费用分别为每吨15元和18元.设从B地运往C处的蔬菜为xt.
(1)请填写下表，用含x的代数式填空，结果要化简；
C D 总计(t)
A 　　　　　　　 　　　　　　 200
B x 　　　　　　　 300
总计(t) 240 260 500
(2)设A、B两个蔬菜基地的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求出总运费最小的调运方案；
(3)经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元(m＞0)，其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调运方案.
3.(模型观念、应用意识)《九章算术》中记载，浮箭漏(示意图如图1)出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间.某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：
图1
【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到下表：
供水时间 x(h) 0 2 4 6 8
箭尺读数 y(cm) 6 18 30 42 54
【探索发现】(1)建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示供水时间x，纵轴表示箭尺读数y.
①描出以表格中数据为坐标的各点.
②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式；如果不在同一条直线上，请说明理由.
图2
【结论应用】(2)应用上述发现的规律估算：
①供水时间达到12h时，箭尺的读数为多少厘米？
②如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那当箭尺读数为90cm时是几点钟？(箭尺最大读数为100cm)
参考答案
【归类探究】
【例1】 (1)y＝x，作图略.
(2)当容器内水量显示的读数为160mL时，漏水时间为200min.
(3)在这种漏水状态下，可估算一天的漏水量为1152mL.
【例2】(1)(110－x)　2×15x　2×25×(110－x)　(80－x)　(x－10)　2×20×(80－x)　2×20×(x－10)
(2)y＝－20x＋8300，当甲仓库运往A果园80 t有机化肥时，总运费最省，最省的总运费是6700元.
【当堂测评】
(1)y＝－0.3x＋2.4，其他点都在所求函数图象上，作图略.
(2)之后2天平均每天比原计划多修0.15km.
【分层训练】
1.(1)A种柑橘礼盒每件的售价为80元/件，B种柑橘礼盒每件的售价为100元/件.
(2)应该安排销售A种柑橘礼盒595盒，B种柑橘礼盒405盒，农户在这次农产品展销活动中的最大收益为34050元.
2.(1)(240－x)　(x－40)　(300－x)　(300－x)
(2)w＝2x＋9200，调运方案：A地调往C处200t，调往D处0t，B地调往C处40t，调往D处260t.
(3)0＜m＜2，(2)中调运方案总费用最小；当m＝2时，在40≤x≤240的前提下调运方案的总费用不变；当2＜m＜15时，x＝240总费用最小，其调运方案如下：A地调往C处0t，调往D处200t，B地调往C处240t，调往D处60t.
3.(1)①略　②y＝6x＋6
(2)①供水时间达到12h时，箭尺的读数为78cm.　②当箭尺读数为90cm时是22：00.
。第17章　函数及其图象
17.5　实践与探索
第2课时　一元一次不等式(组)与一次函数的关系
一次函数y＝kx＋b(k≠0)与一元一次方程、一元一次不等式的关系
规　　律：函数y＝kx＋b(k≠0)中，当函数值等于0时，自变量x的值就是方程kx＋b＝0(k≠0)的解；当函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是一元一次不等式kx＋b＞0的解集；当函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是一元一次不等式kx＋b＜0的解集.
应　　用：利用函数y＝kx＋b(k≠0)的图象可求方程kx＋b＝0(k≠0)的解及kx＋b＞0或kx＋b＜0的解集.
类型之一　一次函数与方程(不等式)的关系
　作出一次函数y＝2x－5的图象，观察图象，回答下列问题：
(1)当x取何值时，2x－5＝0？
(2)当x取何值时，2x－5＞0？
(3)当x取何值时，2x－5＜0？
类型之二　一次函数与方程(不等式)的关系的应用
　如图，直线y＝kx＋b经过点A(5，0)、B(1，4).
(1)求直线AB的函数表达式；
(2)若直线y＝2x－4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；
(3)根据图象，写出关于x的不等式2x－4＜kx＋b的解集.
1.如图，直线y＝kx＋b交坐标轴于A(－2，0)、B(0，3)两点，则不等式kx＋b＞0的解集是 (　　)
A.x＞3 B.－2＜x＜3
C.x＜－2 D.x＞－2
第1题图
2.函数y＝kx＋b和函数y＝ax＋m的图象如图所示，求下列不等式(组)的解集.
第2题图
(1)kx＋b＜ax＋m的解集是__________；
(2)的解集是____________；
(3)的解集是__________；
(4)的解集是_______________.
1.已知甲、乙两弹簧的长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数表达式分别是y1＝k1x＋b1，y2＝k2x＋b2，图象如图所示.当所挂物体质量均为2 kg时，甲、乙两弹簧的长度y1与y2的大小关系为(　　)
A.y1＞y2
B.y1＝y2
C.y1＜y2
D.不能确定
2.如图，直线y＝－x＋m与y＝nx＋4n(n≠0)的交点的横坐标为－2，则关于x的不等式－x＋m＞nx＋4n＞0的整数解为 (　　)
第2题图
A.x＝－1 B.x＝－5
C.x＝－4 D.x＝－3
3.如图，直线y1＝kx＋b过点A(0，2)，且与直线y2＝mx交于点B(1，m)，则关于x的不等式组的解集为_____________.
第3题图
4.[2024春·龙泉驿区期中]某大型电影院提供会员卡购票服务和单次购票服务.会员卡购票服务需要支付会员费60元，之后每次购票可以享受会员价40元/张；而单次购票服务则按原价50元/张购买.会员卡购票观影总费用为y1(元)，单次购票观影总费用为y2(元).
(1)分别写出y1，y2与观影次数x(次)之间的关系式；
(2)在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象；
(3)根据观影次数，你认为选用哪种服务更合算？
5.(模型观念)[2022春·东坡区期中]如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(－2，6)，且与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1.
(1)k＝_________，b＝_______；
(2)直接写出方程组的解是　；
(3)直接写出不等式组的解集是_____________；
(4)在y轴找一点P，使得△PBC周长最小，则点P的坐标为　　.
参考答案
【归类探究】
【例1】(1)x＝　(2)x＞　(3)x＜
【例2】(1)y＝－x＋5　(2)点C的坐标为(3，2).
(3)x＜3
【当堂测评】
1.D
2.(1)x＜1　(2)x＜－2　(3)x＞3　(4)－2＜x＜3
【分层训练】
1.A　2.D　3.1＜x≤2
4.(1)y1＝60＋40x，y2＝50x.
(2)略
(3)当x＝6时，两种服务所需费用一样；当x＜6时，选择单次购票服务；当x＞6时，选择会员卡服务.
5.(1)－1　4　(2)　(3)0＜x＜4　(4)
。第17章　函数及其图象
17.5　实践与探索
第1课时　二元一次方程组与一次函数的关系
用图象法解二元一次方程组
交点坐标：二元一次方程组的一组解是对应的两个一次函数的图象交点的坐标，从而可画出对应的两个函数的图象(两条直线)，找出它们的交点的坐标，即为方程组的解.
步　　骤：(1)先把方程组中的两个二元一次方程化为一次函数的形式：y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2；
(2)建立平面直角坐标系，画出这两个函数的图象；
(3)写出这两条直线的交点坐标，这两个数值就是二元一次方程组的解，其中横坐标为x，纵坐标为y.
类型之一　用图象法解方程组
　用图象法解方程组：
【点悟】 当两函数图象无交点时，意味着相应的方程组无解；当两函数图象重合时，意味着相应的方程组有无数组解.
类型之二　图象法在实际问题中的应用
　某健身房暑假期间推出健身优惠月活动，活动方案如下：
方案一：不购买会员卡健身，每次收费10元；
方案二：购买会员卡健身，需交会员费120元，每次另收费4元.
设健身次数为x(次)，按照方案一所需费用为y1(元)，且y1＝k1x(k1≠0)；按照方案二所需费用为y2(元)，且y2＝k2x＋b(k2≠0)，其函数图象如图所示.
(1)填空：k1＝________，k2＝_______，b＝_________.
(2)两种方案的函数图象交于点A，请解释点A的实际意义.
(3)若某同学暑假期间准备健身30次，选择哪种方案所需费用较少？请说明理由.
1.若方程组没有解，则一次函数y＝2－x与y＝－x的图象必定(　　)
A.重合 B.平行
C.相交 D.无法确定
2.如图，一次函数y＝k1x＋b1的图象l1与y＝k2x＋b2的图象l2相交于点P，则方程组 的解是 (　　)
A. B.
C. D.
3.直线y＝ax＋b(a≠0)过点A(0，1)、B(2，0)，则关于x的方程ax＋b＝0的解为 (　　)
A.x＝0 B.x＝1
C.x＝2 D.x＝3
1.如图，直线y＝x＋5和直线y＝ax＋b相交于点P，根据图象可知，方程x＋5＝ax＋b的解是 (　　)
第1题图
A.x＝20 B.x＝5
C.x＝25 D.x＝15
2.用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象如图所示，则所解的二元一次方程组是 (　　)
第2题图
A. B.
C. D.
3.[2024·扬州]如图，已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点.若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx＋b＝0的解为____________.
4.已知一次函数y＝3x与y＝－2x＋b的交点为，a，则方程组的解为 .
5.[2023春·恩阳区期中]如图，直线l1：y＝x＋5交y轴、x轴于A、B两点，直线l2：y＝－x－1交y轴、x轴于C、D两点，直线l1、l2相交于点P.
(1)方程组的解是　；
(2)求直线l1、l2与x轴围成的三角形的面积；
(3)过点P的直线把△PAC的面积二等分，直接写出这条直线的函数表达式.
6.[2022·丘北县一模]某通信公司推出了两种上网的收费方式供用户选择：
方案一：套餐费＋流量费；
方案二：仅收流量费，无套餐费.
如图，射线l1、射线l2分别表示通信公司每月按方案一、方案二收费y1(元)和y2(元)与当月用户使用流量x(G)的函数关系.
(1)分别求出y1、y2与x的函数表达式；
(2)若某用户今年2月份已使用流量少于10G，但其2月份的上网费超过40元，那么该用户采用了哪种收费方式上网？
7.(应用意识)[2024春·巴中期末]2024年清明节，某校七年级师生乘大客车去通江王坪川陕革命根据地红军烈士陵园研学.该年级师生8：00从学校出发，13：00到达目的地，可是小明同学在学校因其他事情耽误，错过了出发时间，于是小明爸爸开私家车沿同一路线送他去目的地，他们9：00出发.甲车代表大客车，乙车代表私家车，汽车离学校的距离y(km)与时间t(h)的关系如图所示.
(1)学校距离目的地_________km.
(2)乙车出发多少小时后追上甲车？
(3)在什么时刻，两车相距40千米？
参考答案
【归类探究】
【例1】
【例2】(1)10　4　120
(2)点A的实际意义为：当健身20次时，两种方案所需费用相同，均为200元.
(3)若健身30次，方案一所需费用为300元；方案二所需费用为30×4＋120＝240(元).∵300＞240，∴选择方案二所需费用较少.
【当堂测评】
1.B　2.A　3.C
【分层训练】
1.A　2.A　3.x＝－2
4.
5.(1)　(2)　(3)y＝x＋2
6.(1)y1＝3x＋10，y2＝6x.
(2)该用户采用了方案二上网.
7.(1)300
(2)乙车出发1.5小时后追上甲车.
(3)在8：40，9：30，11：30，12：20时，两车相距40km.
。

展开更多......

收起↑