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第19章　矩形、菱形与正方形
19.1　矩形
2.矩形的判定　第2课时　矩形的判定的运用
矩形的判定方法
定　　义：有一个角是　　　　的平行四边形是矩形.
定理1：有三个角是　　　　的四边形是矩形.
定理2：对角线　　　　的平行四边形是矩形.
类型　矩形判定的运用
　 如图，在 ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连结AF、CE.
(1)求证：△BEC≌△DFA；
(2)连结AC，当AC＝BC时，判断四边形AECF是什么特殊四边形，并证明你的结论.
　如图，已知 ABCD，延长AB到点E，使BE＝AB，连结BD、ED、EC，ED＝AD.求证：
(1)BE＝CD；
(2)四边形BECD是矩形.
1.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD.从中选出3个，则不能使四边形ABCD成为矩形的一组是 (　　)
A.①②③ B.②③④
C.②⑤⑥ D.④⑤⑥
第1题图
2.如图，AB∥CD，PM、PN、QM、QN分别为∠APQ、∠BPQ、∠CQP、∠DQP的平分线，则四边形PMQN是　　　　.
第2题图
1.如图，将 ABCD的边AB延长至点E，使BE＝AB，连结DE、EC、BD，DE交BC于点O.
(1)求证：BD＝EC；
(2)若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形.
2.如图，在△ABC中，AC＝9，AB＝12，BC＝15，P为边BC上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H，连结GH.
(1)求证：四边形AGPH是矩形.
(2)在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.
3.(推理能力)[2024春·宜宾期末]如图，ON为∠AOB中的一条射线，点P在边OA上，PH⊥OB于点H，交ON于点Q，PM∥OB交ON于点M，MD⊥OB于点D，QR∥OB交MD于点R，连结PR交QM于点S.
(1)求证：四边形PQRM为矩形；
(2)若OP＝PR，试探究∠AOB与∠BON的数量关系，并说明理由.
参考答案
【预习导航】
直角　直角　相等
【归类探究】
【例1】(1)略　(2)四边形AECF是矩形.证明略.
【例2】略
【当堂测评】
1.C　2.矩形
【分层训练】
1.略
2.(1)略　(2)GH的最小长度为.
3.(1)略　(2)∠AOB＝3∠BON.理由略.
。第19章　矩形、菱形与正方形
19.1　矩形
2.矩形的判定　第1课时　矩形的判定
矩形的判定方法
定　　义：　　　　　　　　　的平行四边形是矩形.
判定定理1：有三个角是直角的　　　　　是矩形.
判定定理2：对角线相等的　　　　　　　是矩形.
类型之一　有三个角是直角的四边形是矩形
　如图，在 ABCD中，AF、BH、CH、DF分别是∠BAD、∠ABC、∠BCD、∠ADC的平分线.求证：四边形EFGH为矩形.
类型之二　对角线相等的平行四边形是矩形
　求证：对角线相等的平行四边形是矩形.(请写出已知、求证并完成证明)
　如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F在BD上，AE∥CF，连结AF、CE.
(1)求证：四边形AECF为平行四边形；
(2)若∠EAO＋∠CFD＝180°，求证：四边形AECF是矩形.
1.下列说法中，能判定四边形是矩形的是 (　　)
A.有两个角为直角的四边形
B.对角线互相平分的四边形
C.对角线相等的四边形
D.四个角都相等的四边形
2.[2024·泸州]已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定 ABCD为矩形的是 (　　)
A.∠A＝90° B.∠B＝∠C
C.AC＝BD D.AC⊥BD
3.[2022·甘肃]如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是　　　　　　　　　　　　　　　.
1.[2024春·绵阳期末]如图，在 ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，BE＝DF，AC＝EF.求证：四边形AECF是矩形.
2.[2024春·响水县期末]如图，在 ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，且BE＝DF，连结AE、CF，分别过点E、F作EH⊥CF于点H，FG⊥AE于点G.求证：四边形EGFH是矩形.
3.[2024·贵州]如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，∠ABC＝90°，有下列条件：
①AB∥CD，②AD＝BC.
(1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是矩形；
(2)在(1)的条件下，若AB＝3，AC＝5，求四边形ABCD的面积.
4.(推理能力)如图，在等边三角形ABC中，D是边BC的中点，以AD为边作等边三角形ADE.
(1)∠CAE的度数为　　　　　；
(2)取边AB的中点F，连结CF、CE，求证：四边形AFCE是矩形.
参考答案
【预习导航】
有一个角是直角　四边形　平行四边形
【归类探究】
【例1】略
【例2】略
【例3】略
【当堂测评】
1.D　2.D　3.∠A＝90°(答案不唯一)
【分层训练】
1.略　2.略
3.(1)略　(2)12
4.(1)30°　(2)略
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