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【50道综合题专练】浙教版数学八年级下册第1章 二次根式
1．已知 和 ，求下列各式的值：
（1）x2﹣y2
（2）x2+2xy+y2．
2．山西剪纸是一门古老的传统民间艺术，具有明显的地域特色和极高的艺术价值．为传承这一艺术，我市某中学举办剪纸艺术大赛，要求参赛作品的面积在以上．如图，这是小悦同学的参赛作品（单位：）．
（1）通过计算，判断小悦的作品是否符合参赛标准．
（2）小涵给小悦提出建议：在参赛作品周围贴上金色彩条，这样参赛作品更漂亮，则需要彩条的长度约为多少？（彩条的宽度忽略不计，结果保留一位小数，参考数据：）
3．已知，求下列式子的值：
（1）；
（2）
4．计算：
（1） -（ ）2；
（2）
（3） ；
（4）已知m＝ +2，n＝ -2，求m2-mn+n2的值.
5．
（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程．
①的解法是错误的；
②仿照上面正确的解法先化简，再求值：，其中．
6．已知二次根式，
（1）如果该二次根式=5，求a的值；
（2）已知为最简二次根式，且与能够合并．
①求a的值；
②求·．
7．如图的的方格中，每个小正方形的边长都为1．请画一个，使它的顶点都在格点（小正方形的顶点）上，且，，．
（1）在的方格内画出．
（2）说明所画三角形各边的长度符合要求．
8．计算：
（1）；
（2）．
9．解答下列各题：
（1）计算： .
（2）设实数 的整数部分为a，小数部分为b，求 的值.
10．在进行二次根式的化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还需要将其进一步化简：。以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
也可以用如下方法化简：
（1）请用两种不同的方法化简；
（2）化简：．
11．
（1）已知，，求代数式的值.
（2）已知，求的值.
12．同学们学过数轴知道数轴上点与实数一一对应，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中，，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是P.
（1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算P的值；
（2）若原点为O且，求P的值.
13．已知，求下列代数式的值：
（1）
（2）
14．已知直角三角形的两直角边长分别为（2＋）和（﹣2）．
（1）求这个直角三角形的面积．
（2）求这个直角三角形的斜边长．
15．已知在△ABC中，AB=1，BC= ，CA=
（1）化简 和 ；
（2）在4×4的方格纸上画出△ABC，使它的顶点都在方格的顶点上(每个小方格的边长均为1)；
（3）求△ABC最长边上的高的长．
16．计算：
（1） ；
（2）直角三角形 中， 是斜边 的中，两直角边 ， ，求 的长．
17．
（1）计算：
（2）已知 ， ，求代数式 值．
18．一个矩形的长a= ，宽b=
（1）该矩形的面积=　 　，周长=　 　；
（2）求a2-b2+ab的值。
19．计算：
（1）；
（2）．
20．观察、发现： = = = = ﹣1
（1）试化简： ；
（2）直接写出： =　 　；
（3）求值： + + +…+ ．
21．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
22．在化简 时，为了使式子的分母中不含根号，需要对原式进行恒等变形，这种变形我们称为分母有理化.甲、乙两位同学的做法如下：
甲：
乙：
（1）你认为甲乙两人的做法（　　）
A．甲乙两人都对 B．甲错乙对
C．甲对乙错 D．甲乙两人都错
（2）根据你对甲、乙同学解题方法的理解，请你使用一种方法对下面式子进行分母有理化.
化简：
23．若要化简 我们可以如下做：
∵
∴
仿照上例化简下列各式：
（1） ＝　 　，
（2） ＝　 　
（3） =　 　
24．
（1）计算填空； =　 　， =　 　， =　 　， =　 　。
（2）根据计算结果，回答： 一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？并请你把得到的规律描述出来.
（3）利用你总结的规律，计算：
25．如图所示，从一个大矩形中挖去面积为 和 的两个小正方形.
（1）求大矩形的周长；
（2）若余下部分（阴影部分）的面积与一个边长为 的正方形的面积相等，求 的值.
26．设 ， ，
（1）当 有意义时，求 的取值范围；
（2）若 为 的三边长，求 的值.
27．求值：
（1）已知a＝3+2 ，b＝3﹣2 ，求a2+ab+b2的值；
（2）已知：y＞ + +2，求 +5﹣3x的值．
28．已知a≥0时， ＝a．请你根据这个结论直接填空：
（1） ＝　 　；
（2）若x+1＝20182+20192，则 ＝　 　．
29．计算：
（1） =　 　，
（2）（ ）2=　 　，
（3） ﹣9 =　 　，
（4） （2 ﹣ ）=　 　．
30．化简：
（1） + +
（2） ﹣（ ）2．
31．根据题意解答
（1）计算： （结果保留根号）；
（2）当 时，求代数式x2﹣4x+2的值．
32．我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如：a2±2ab+b2=（a±b）2，那么 =|a±b|，那么如何将双重二次根式 （a＞0，b＞0，a±2 ＞0）化简呢？如能找到两个数m，n（m＞0，n＞0），使得（ ）2+（ ）2=a即m+n=a，且使 = 即m n=b，那么a±2 =（ ）2+（ ）2±2 =（ ± ）2∴ =| ± ，双重二次根式得以化简；
例如化简： ；∵3=1+2 且2=1×2，∴3+2 =（ ）2+（ ）2+2 × ∴ =1+
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成 的形式，且能找到m，n（m＞0，n＞0）使得m+n=a，且m n=b，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）填空： =　 　； =　 　；
（2）化简：①②
（3）计算： + ．
33．我们可以计算出
=2； = ； =3
而且还可以计算 =2 = =3
（1）根据计算的结果，可以得到：①当a＞0时 =　 　；②当a＜0时 =　 　．
（2）应用所得的结论解决：如图，已知a，b在数轴上的位置，化简 ﹣ ﹣ ．
34．实数a、b在数轴上的位置如图所示．
（1）化简： =　 　； =　 　．
（2）化简： ﹣ + ．
35．实践与探索
（1）填空： =　 　； =　 　；
（2）观察第（1）的结果填空：当a≥0时 =　 　；当a＜0时， =　 　；
（3）利用你总结的规律计算： + ，其中2＜x＜3．
36．根据问题进行计算：
（1）计算： ÷ ﹣ × ÷
（2）若a=1+ ，b=1﹣ ，求 的值．
37．已知a、b为有理数，m、n分别表示5﹣ 的整数部分的小数部分，且amn+bn2=1，求：
（1）m，n的值；
（2）a：b的值；
（3）2a+b的值．
38．如图，已知OA1=A1A2=A2A3=A3A4=…=AnAn+1=1，∠OA1A2=∠OA2A3=…=
∠OAnAn+1=90°，各三角形的面积分别为S1，S2，S3，…，Sn，分析下列各式，然后回答问题：
（ ）2+1=2，S1= ；（ ）2+1=3，S2= ；（ ）2+1=4，S3= ；…
（1）试用含n的等式（n为正整数）表示上述变化规律；
（2）推测OA10的值；
（3）求S12+S22+S32+…+S102的值．
39．已知：x= ，y= ．求值：
（1）x2y+xy2；
（2）x2﹣3xy+y2．
40．计算：
（1）；
（2）．
41．化简下列各式：
（1） ÷
（2）
（3） ；
（4） ．
42．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，请在所给网格中按下列要求画出图形．
（1）（i）已知点A在格点（即小正方形的顶点）上，画一条线段AB，长度为 ，且点B在格点上．
（ii）以上题所画的线段AB为一边，另外两条边长分别为 ， ．画一个△ABC，使点C在格点上（只需画出符合条件的一个三角形）．
（2）所画出的△ABC的边AB上的高线长为　 　．（直接写出答案）
43．如图，爷爷家家有一块长方形空地，空地的长为，宽为，爷爷准备在空地中划出一块长，宽的小长方形地种植香菜（即圈中阴影部分），其余部分种植青菜．
（1）求出长方形的周长；（结果化为最简二次根式）
（2）求种植青菜部分的面积．
44．在进行二次根式的化简时，我们有时会遇到形如的式子，对于这类式子我们可以进一步将其化简，使其分母转化为有理数，这一过程叫做分母有理化．
例如：
（1）用上述方法化简；
（2）计算：．
45．小明在学习了“二次根式”后，发现一些含根号的代数式可以写成另一个根号的代数式的平方，如 .善于思考的小明进行了以下探索：
设 （其中a、b、m、n均为整数），则有 . ， .这样小明就找到了一种把类似 的代数式化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为整数时，若 ，用含m、n的代数式分别表示a、b，则： 　 　， 　 　；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： .
（3）若 ，且a、m、n均为正整数，求a的值.
46．观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
…
（1）含n（n为正整数的关系式表示上述各式子的变形规律.并验证你的结论.
（2）利用上面的结论，求下列式子的值：
47．观察下列各式及其验算过程：
=2 ，验证： = = =2 ；
=3 ，验证： = = =3
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．
48．若一个含根号的式子可以写成的平方其中，，，都是整数，为正整数，即，则称为完美根式．是的完美平方根例如：因为，所以是的完美平方根．
（1）已知是的完美平方根，求的值；
（2）若是的完美平方根，用含，的式子表示，．
（3）已知为完美根式，直接写出它的一个完美平方根．
49．高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常来不及避让，据研究，高空抛物下落的时间t（秒和高度h（米近似满足公式（其中米秒．
（1）当米时，求下落的时间；（结果保留根号）
（2）伤害无防护人体只需要65焦的动能，高空抛物动能（焦物体质量（千克）高度（米，某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后经过4秒后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．
50．一个三角形的三边长分别为5 ， ， ．
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给出一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
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【50道综合题专练】浙教版数学八年级下册第1章 二次根式
1．已知 和 ，求下列各式的值：
（1）x2﹣y2
（2）x2+2xy+y2．
【答案】（1）解：∵ 和 ，
∴x+y=2 ，x﹣y=2 ，
∴x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=2 ×2 =4
（2）解：x2+2xy+y2=（x+y）2=（2 ）2=12
【解析】【分析】先计算出x+y和x﹣y，再利用乘法公式得到x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），x2+2xy+y2=（x+y）2，然后利用整体代入的方法计算．
2．山西剪纸是一门古老的传统民间艺术，具有明显的地域特色和极高的艺术价值．为传承这一艺术，我市某中学举办剪纸艺术大赛，要求参赛作品的面积在以上．如图，这是小悦同学的参赛作品（单位：）．
（1）通过计算，判断小悦的作品是否符合参赛标准．
（2）小涵给小悦提出建议：在参赛作品周围贴上金色彩条，这样参赛作品更漂亮，则需要彩条的长度约为多少？（彩条的宽度忽略不计，结果保留一位小数，参考数据：）
【答案】（1）解：由题意可知，∵，
∴小悦的作品符合参赛标准．
（2）解：由题意可得，
∴需要彩条的长度约为
【解析】【分析】（1）根据长方形的面积公式列式计算，比较即可；
（2）根据长方形的周长公式，列式计算即可．
3．已知，求下列式子的值：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：∵，
∴，，
∴
（2）解：∵，
∴
【解析】【分析】（1）根据二次根式的加法法则可得a+b，由平方差公式可得ab，然后根据a2+b2=(a+b)2-2ab进行计算；
（2）直接代入进行计算即可.
4．计算：
（1） -（ ）2；
（2）
（3） ；
（4）已知m＝ +2，n＝ -2，求m2-mn+n2的值.
【答案】（1）解：原式＝|-4|-5
＝4-5
＝-1
（2）解：原式＝ × - ×
＝ -
＝6 -6
（3）解：原式＝
＝
＝
＝
（4）解：∵m＝ +2，n＝ -2，
∴m+n＝ +2+ -2＝2 ，mn＝（ +2）（ -2）＝5-4＝1，
则原式＝（m+n）2-3mn＝（2 ）2-3×1＝20-3＝17.
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质以及乘方的意义可得原式=4-5，然后根据有理数的减法法则进行计算；
（2）根据二次根式的混合运算法则可得原式=×-×，然后根据二次根式的乘法法则进行计算；
（3）分母有理化可得原式=，然后根据二次根式的加法法则进行计算；
（4）根据二次根式的加法法则可得m+n的值，由平方差公式可得mn的值，将待求式变形为(m+n)2-3mn，据此进行计算.
5．
（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程．
①的解法是错误的；
②仿照上面正确的解法先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）解：
（2）解：①小亮；②∵ ， ，
∴ ，
，
，
，
当 时，原式
【解析】【解答】解：（2）小亮的解法是错误的，，
故答案为：小亮
【分析】（1）根据平方根、0指数幂、二次根式的混合运算、绝对值进行运算即可求解；
（2）①根据二次公式的性质结合题意即可判断；
②根据二次根式的性质将原式化简，再代入求值即可求解。
6．已知二次根式，
（1）如果该二次根式=5，求a的值；
（2）已知为最简二次根式，且与能够合并．
①求a的值；
②求·．
【答案】（1）解：∵=5，∴a+6=25，∴a= 19
（2）解：①∵
又∵为最简二次根式，且与能够合并，a+6=10，∴a=4
②==
【解析】【分析】（1）利用 =5 ，两边平方，可求出a的值.
（2）①将化简，再利用为最简二次根式，且与能够合并，可得到关于a的方程，解方程求出a的值；②然后将a代入求出·的值.
7．如图的的方格中，每个小正方形的边长都为1．请画一个，使它的顶点都在格点（小正方形的顶点）上，且，，．
（1）在的方格内画出．
（2）说明所画三角形各边的长度符合要求．
【答案】（1）解：画图结果不唯一，如：
（2）解：由图可知：．
在中，
．
∵，
∴符合要求．
在中，
．
∵，
∴符合要求．
【解析】【分析】（1）先化简得AC=2，BC=2，再画图即可；
（2）根据勾股定理分别求出AB、AC、BC的长，再判断即可.
8．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
=6；
（2）解：原式
【解析】【分析】（1）根据实数的运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的运算法则计算即可。
9．解答下列各题：
（1）计算： .
（2）设实数 的整数部分为a，小数部分为b，求 的值.
【答案】（1）解：
= ；
（2）解：∵ ，
∴ 的整数部分为a=2，小数部分为 ，
∴ .
【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘除法法则及二次根式的性质先分别化简，然后合并同类二次根式即可；
（2）根据估算无理数大小的方法可得2<<3，则a=2，b=-2，然后将待求式子利用平方差公式化简后将a、b的值代入进行计算即可.
10．在进行二次根式的化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还需要将其进一步化简：。以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
也可以用如下方法化简：
（1）请用两种不同的方法化简；
（2）化简：．
【答案】（1）解：法一：
法二：
（2）解：原式=
【解析】【分析】（1）利用分母有理化的计算方法求解即可；
（2）先利用分母有理化化简，再计算即可。
11．
（1）已知，，求代数式的值.
（2）已知，求的值.
【答案】（1）解：原式，
又，
，
原式；
（2）解：由，
则，
可得.
【解析】【分析】（1）对待求式变形可得，根据二次根式的加法法则可得m+n，根据平方差公式可得mn，然后代入计算即可；
（2）对已知条件两边平方可得x2+-2=4，则x2+=6，两边平方可得x4+=34，然后代入计算即可.
12．同学们学过数轴知道数轴上点与实数一一对应，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中，，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是P.
（1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算P的值；
（2）若原点为O且，求P的值.
【答案】（1）解：以B为原点，，，
∴点A表示0-=-，点C表示：，
∴P表示的数为；
∴点P的值为
（2）解：分两种情况，
当点O在点C的左侧时，
∵，
∴点C表示，
∵，
∴点B表示：，
∵，
∴点A表示： ，
点P表示：，
当点O在点C的右侧时，
∵，
∴点C表示，
∵，
∴点B表示：，
∵，
∴点A表示： ，
点P表示：，
∴点P的值为或.
【解析】【分析】（1）以B为原点，由，，根据数轴上两点间的距离，可求出点A表示-，点C表示，从而求出P值；
（2）分两种情况，当点O在点C的左侧时或当点O在点C的右侧时， 根据两点间的距离分别求出A、B、C表示的数，再计算P值即可.
13．已知，求下列代数式的值：
（1）
（2）
【答案】（1）解：∵a=+2，b= 2，
∴a+b=2，a-b=4，ab=7-4=3，
∴原式=ab（a+b）=3×2=6；
（2）解：原式=（a+b）（a-b）=2×4=8.
【解析】【分析】（1）根据二次根式的加减法法则可得a+b、a-b，根据平方差公式可得ab，待求式可变形为ab(a+b)，然后代入计算即可；
（2）利用平方差公式可得a2-b2=(a+b)(a-b)，然后代入进行计算.
14．已知直角三角形的两直角边长分别为（2＋）和（﹣2）．
（1）求这个直角三角形的面积．
（2）求这个直角三角形的斜边长．
【答案】（1）解：这个直角三角形的面积＝；
（2）解：由勾股定理得：这个直角三角形的斜边长＝．
【解析】【分析】（1）利用直角三角形的面积公式计算求解即可；
（2）利用勾股定理计算求解即可。
15．已知在△ABC中，AB=1，BC= ，CA=
（1）化简 和 ；
（2）在4×4的方格纸上画出△ABC，使它的顶点都在方格的顶点上(每个小方格的边长均为1)；
（3）求△ABC最长边上的高的长．
【答案】（1）解：BC= ，CA=
（2）解：画图如下(△ABC的位置不唯一)．
（3）解：如图，作高AD，S△ABC= ×1×2= BC·AD，
则2=2 AD，∴AD=
【解析】【分析】(1)根据二次根式的性质分别将BC和AC化成最简二次根式即可；
(2)先作出AB，再根据勾股定理分别作出AC=和BC=2即可；
(3)根据等积法列式，再代值计算，即可解答.
16．计算：
（1） ；
（2）直角三角形 中， 是斜边 的中，两直角边 ， ，求 的长．
【答案】（1）解：原式
（2）解：∵ ， ，∠ACB=90°，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴
【解析】【分析】（1）先利用二次根式和立方根的性质化简，再计算即可；
（2）先利用勾股定理求出AB的长，再利用直角三角形斜边上的中线的性质求解即可。
17．
（1）计算：
（2）已知 ， ，求代数式 值．
【答案】（1）解：
=
=
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴
=
=
=
＝
【解析】【分析】（1）先去括号，再利用二次根式的加减计算即可；
（2）先利用二次根式的加减化简，再将 ， 整体代入计算即可。
18．一个矩形的长a= ，宽b=
（1）该矩形的面积=　 　，周长=　 　；
（2）求a2-b2+ab的值。
【答案】（1）1；4
（2）解：∵a= ，b= ，
∴a+b=2 ，ab=1．
∴原式=(a+b)2-ab=(2 )2-1=23
【解析】【解答】解：（1）矩形的面积=，
矩形的周长=2（a+b）=，
故答案为：1；4；
【分析】（1）根据矩形的面积公式和周长公式列出算式，进行计算即可；
（2）先求出a+b和ab的值，再利用完全平方公式得出a2-b2+ab=(a+b)2-ab，整体代入进行计算即可.
19．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
＝
＝
＝4+ ；
（2）解：
＝
＝ ．
【解析】【分析】（1）利用二次根式的性质化简，再计算即可；
（2）利用二次根式混合运算求解即可。
20．观察、发现： = = = = ﹣1
（1）试化简： ；
（2）直接写出： =　 　；
（3）求值： + + +…+ ．
【答案】（1）解：原式= = =
（2）
（3）解：由（2）可知：
原式= ﹣1+ + ﹣ +…+ ﹣
=﹣1+
=9.
【解析】【解答】（2）原式= = ；
故答案为
【分析】（1）仔细阅读，发现规律：分母有理化，然后仿照规律计算即可求解；（2）根据规律直接写出结果；（3）根据规律写出结果，找出部分互为相反数的特点，然后计算即可.
21．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：（1）原式=
= ；
（2）原式=
=
= ；
（3）原式=
=
=
= ；
（4）原式=
= ．
【解析】【分析】（1）先利用0指数幂、二次根式的性质化简，再计算即可；
（2）利用平方差公式展开，再利用二次根式的加减计算即可；
（3）先利用分母有理化化简，再利用二次根式的加减计算即可；
（4）先利用二次根式的性质化简，再计算即可。
22．在化简 时，为了使式子的分母中不含根号，需要对原式进行恒等变形，这种变形我们称为分母有理化.甲、乙两位同学的做法如下：
甲：
乙：
（1）你认为甲乙两人的做法（　　）
A．甲乙两人都对 B．甲错乙对
C．甲对乙错 D．甲乙两人都错
（2）根据你对甲、乙同学解题方法的理解，请你使用一种方法对下面式子进行分母有理化.
化简：
【答案】（1）A
（2）解： ；
或 .
【解析】【解答】解：（1）甲同学利用了分母有理化进行化简，正确；
乙同学利用了平方差公式进行因式分解，然后再约分，化简正确；
故答案为： ；
【分析】（1）两人分别利用分母有理化和因式分解进行计算，由此可对两人的解答过程作出判断.
（2）利用分母有理化进行计算；或将分子1写成3-2，再分解因式，然后约分可求出结果.
23．若要化简 我们可以如下做：
∵
∴
仿照上例化简下列各式：
（1） ＝　 　，
（2） ＝　 　
（3） =　 　
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】【解答】（1）∵4+2 =3+1+2 =（ ）2+2× ×1+12=（ +1）2，
∴ = = +1；
故答案为： +1；
（ 2 ）∵13-2 =7+6-2 =（ ）2-2× × +（ ）2=（ - ）2，
∴ = = .
故答案为： ；
（ 3 ）∵ =9+5+ =32+2× × +（ ）2=（ + ）2，
=9+5- =32-2× × +（ ）2=（ - ）2，
∴ = + -（ - ）=2 ，
故答案为：2 .
【分析】利用任何一个非负数都可以写成这个数的算术平方根的平方的形式，将各个被开方数利用拆项的方法，拆成一个完全平方式，然后利用完全平方公式分解因式，根据一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值即可将各个式子进行化简得出结果。
24．
（1）计算填空； =　 　， =　 　， =　 　， =　 　。
（2）根据计算结果，回答： 一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？并请你把得到的规律描述出来.
（3）利用你总结的规律，计算：
【答案】（1）4；0.8；3；
（2） 不一定等于a， 规律： ＝|a|
（3） ＝|π﹣3.15|＝3.15﹣π
【解析】【解答】解：（1） ＝4， ＝0.8， ＝3， ＝ ；故答案为：4，0.8，3，
【分析】（1）根据题意，结合被开方数计算得到答案即可；
（2）根据题意可知，由a的值的正负不确定，所以结果不相同；
（3）首先计算π-3.15的数值，再进行开平方即可。
25．如图所示，从一个大矩形中挖去面积为 和 的两个小正方形.
（1）求大矩形的周长；
（2）若余下部分（阴影部分）的面积与一个边长为 的正方形的面积相等，求 的值.
【答案】（1）解：∵两个小正方形面积为50cm2和32cm2，
∴大矩形的长为： cm，大矩形的宽为： cm，
∴大矩形的周长为2× +2× =28 cm，
（2）解：余下的阴影部分面积为： × -50-32=8（cm2），
∴a2=8，
∴a=2 ，
即 的值2 .
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大矩形的长和宽，即可得出答案；
（2）求阴影部分面积的算术平方根即可.
26．设 ， ，
（1）当 有意义时，求 的取值范围；
（2）若 为 的三边长，求 的值.
【答案】（1）解： 有意义，∴ 8-x≥0，解得x≤8；
（2）解：∵b＜c，b不为斜边；
①当a为斜边时， ，8-x=4+6，解得x=-2；
②当c为斜边时， ，8-x=6-4，解得x=6；
∴x的值为-2或6.
【解析】【分析】（1）根据二次根式的被开方数为非负数，直接求解；（2）根据a、c分别作直角三角形的斜边，由勾股定理分别求解.
27．求值：
（1）已知a＝3+2 ，b＝3﹣2 ，求a2+ab+b2的值；
（2）已知：y＞ + +2，求 +5﹣3x的值．
【答案】（1）解：∵a＝3+2 ，b＝3﹣2 ，
∴a2+ab+b2＝a2+2ab+b2﹣ab
＝（a+b）2﹣ab
＝36﹣1
＝35
（2）解：∵ ，∴，∴x＝ ，∴y＞2，∴ +5﹣3x＝ +5﹣3x＝ +5﹣3x＝﹣1+5﹣3x＝4﹣3x＝4﹣3×
＝2
【解析】【分析】（1）将a2+ab+b2结合完全平方公式进行化简，将a和b的数值代入，即可求出代数式的值；
（2）根据被开方数大于等于0即可求得x的值以及y的范围，即可将代数式利用完全平方公式进行化简求值。
28．已知a≥0时， ＝a．请你根据这个结论直接填空：
（1） ＝　 　；
（2）若x+1＝20182+20192，则 ＝　 　．
【答案】（1）3
（2）4037
【解析】【解答】解：⑴ ＝ ＝3，
故答案为：3；
⑵∵x+1＝20182+20192
＝20182+（2018+1）2
＝20182+20182+2×2018+1
＝2×20182+2×2018+1，
∴x＝2×20182+2×2018，
则 ＝ ＝ ＝2×2018+1＝4037，
故答案为：4037．
【分析】（1）根据题目中的结论，9＞0，即可求得的数值。
（2）根据x+1的值，通过完全平方公式化简求出x的值，代入二次根式中求值即可。
29．计算：
（1） =　 　，
（2）（ ）2=　 　，
（3） ﹣9 =　 　，
（4） （2 ﹣ ）=　 　．
【答案】（1）3
（2）6
（3）
（4）4﹣
【解析】【解答】解：（1） =3；（2）（ ）2=6；（3） ﹣9 =4 ﹣3 = ；（4） （2 ﹣ ）=4﹣ ．
故答案为3，6， ，4﹣ ．
【分析】（1）利用二次根式的性质化简；（2）利用二次根式的性质化简；（3）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；（4）根据二次根式的乘法法则运算．
30．化简：
（1） + +
（2） ﹣（ ）2．
【答案】（1）解：原式=2 +3 +2
=5 +2
（2）解：∵2﹣x≥0，
∴x≤2，
∴原式=|x﹣3|﹣（2﹣x）
=﹣x+3﹣2+x
=1
【解析】【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用二次根式有意义的条件得到x≤2，然后根据二次根式的性质得到原式=|x﹣3|﹣（2﹣x），再去绝对值合并即可．
31．根据题意解答
（1）计算： （结果保留根号）；
（2）当 时，求代数式x2﹣4x+2的值．
【答案】（1）解：原式=2 ﹣ ﹣2
= ﹣2
（2）解：原式=（x﹣2）2﹣2
当x=2+ 时，原式=（ ）2﹣2=3﹣2=1
【解析】【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可；（2）先把所求代数式化为（x﹣2）2﹣2的形式，再把x=2+ 代入进行计算即可．
32．我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如：a2±2ab+b2=（a±b）2，那么 =|a±b|，那么如何将双重二次根式 （a＞0，b＞0，a±2 ＞0）化简呢？如能找到两个数m，n（m＞0，n＞0），使得（ ）2+（ ）2=a即m+n=a，且使 = 即m n=b，那么a±2 =（ ）2+（ ）2±2 =（ ± ）2∴ =| ± ，双重二次根式得以化简；
例如化简： ；∵3=1+2 且2=1×2，∴3+2 =（ ）2+（ ）2+2 × ∴ =1+
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成 的形式，且能找到m，n（m＞0，n＞0）使得m+n=a，且m n=b，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）填空： =　 　； =　 　；
（2）化简：①②
（3）计算： + ．
【答案】（1）； +
（2）解：① = = = = + ；
② = = = ﹣
（3）解： = + =
【解析】【解答】解：（1） = = = ；
= = + ；
故答案为： ； + ；
【分析】（1）根据二次根式的性质化简即可；（2）先把原式化为完全平方的形式，根据二次根式的性质化简；（3）把原式化为完全平方的形式，根据二次根式的性质化简．
33．我们可以计算出
=2； = ； =3
而且还可以计算 =2 = =3
（1）根据计算的结果，可以得到：①当a＞0时 =　 　；②当a＜0时 =　 　．
（2）应用所得的结论解决：如图，已知a，b在数轴上的位置，化简 ﹣ ﹣ ．
【答案】（1）a；﹣a
（2）解：如图所示：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，
则 ﹣ ﹣ =﹣a﹣b+（a+b）=0
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：①当a＞0时 =a；②当a＜0时 =﹣a；
故答案为：a，﹣a；
【分析】（1）直接利用a的取值范围化简求出答案；（2）利用a，b的取值范围，进而化简二次根式即可．
34．实数a、b在数轴上的位置如图所示．
（1）化简： =　 　； =　 　．
（2）化简： ﹣ + ．
【答案】（1）﹣a；1﹣b
（2）解原式=|a+2|+|b﹣1|+|a﹣b|
=a+1﹣（b﹣1）﹣（a﹣b）
=a+1﹣b+1﹣a+b
=2
【解析】【解答】解：（1）由数轴可知：﹣2＜a＜﹣1＜0＜b＜1，
∴a＜0，b﹣1＜0，a+2＞0，a﹣b＜0，
=|a|=﹣a， =|b﹣1|=1﹣b
【分析】根据数轴判断a、b﹣1、a+2、b﹣1，a﹣b与0的大小关系，然后根据绝对值的性质进行化简．
35．实践与探索
（1）填空： =　 　； =　 　；
（2）观察第（1）的结果填空：当a≥0时 =　 　；当a＜0时， =　 　；
（3）利用你总结的规律计算： + ，其中2＜x＜3．
【答案】（1）3；5
（2）a；﹣a
（3）解：∵2＜x＜3，
∴x﹣2＞0、x﹣3＜0，
原式=（x﹣2 ）﹣（x﹣3）
=1
【解析】【解答】解：（1） =3； =5；
故答案为：3，5；
⑵当a≥0时 =a；当a＜0时， =﹣a；
故答案为：a，﹣a；
【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简求出答案；（2）直接利用二次根式的性质化简求出答案；（3）直接利用二次根式的性质化简求出答案．
36．根据问题进行计算：
（1）计算： ÷ ﹣ × ÷
（2）若a=1+ ，b=1﹣ ，求 的值．
【答案】（1）解：原式= ﹣
=4﹣
=
（2）解：∵a=1+ ，b=1﹣ ，
∴a+b=2，ab=﹣1，
∴原式=
=
=
=3
【解析】【分析】（1）先化简二次根式，再计算即可；（2）先计算a+b，再计算ab即可．
37．已知a、b为有理数，m、n分别表示5﹣ 的整数部分的小数部分，且amn+bn2=1，求：
（1）m，n的值；
（2）a：b的值；
（3）2a+b的值．
【答案】（1）解：因为2＜ ＜3，所以2＜5﹣ ＜3，
故m=2，n=5﹣ ﹣2=3﹣
（2）解：把m=2，n=3﹣代入amn+bn2=1得，2（3﹣ ）a+（3﹣ ）2b=1
化简得（6a+16b）﹣（2a+6b） =1，
等式两边相对照，因为结果不含 ，
所以6a+16b=1，且2a+6b=0，
由2a+6b=0则a：b=﹣3：1
（3）解：由（2）可知6a+16b=1，且2a+6b=0，
解得a=1.5，b=﹣0.5．
所以2a+b=3﹣0.5=2.5
【解析】【分析】（1）首先对5﹣ 估算出大小，从而求出其整数部分m，其小数部分用n=5﹣ ﹣m表示；（2）再分别代入amn+bn2=1进行计算，求得a：b的值；（3）利用（2）求得2a+b的值．
38．如图，已知OA1=A1A2=A2A3=A3A4=…=AnAn+1=1，∠OA1A2=∠OA2A3=…=
∠OAnAn+1=90°，各三角形的面积分别为S1，S2，S3，…，Sn，分析下列各式，然后回答问题：
（ ）2+1=2，S1= ；（ ）2+1=3，S2= ；（ ）2+1=4，S3= ；…
（1）试用含n的等式（n为正整数）表示上述变化规律；
（2）推测OA10的值；
（3）求S12+S22+S32+…+S102的值．
【答案】（1）解：（ ）2+1=n+1，Sn=
（2）解：OA10=
（3）解：S12+S22+S32+…+S102=（ ）2+（ ）2+（ ）2+…+（ ）2= （1+2+3+…+10）= ．
【解析】【分析】（1）观察各等式和勾股定理、三角形面积公式易得（ ）2+1=n+1，Sn= ；（2）利用勾股定理可得到OA10= ；（3）利用二次根式的性质进行计算．
39．已知：x= ，y= ．求值：
（1）x2y+xy2；
（2）x2﹣3xy+y2．
【答案】（1）解：x= = = ﹣3，
y= = = +3，
x2y+xy2
=xy（x+y）
=（ ﹣3）（ +3）（ ﹣3+ +3）
=2
（2）解：x2﹣3xy+y2
=（x﹣y）2﹣xy
=（ ﹣3﹣ ﹣3）2﹣（ ﹣3）（ +3）
=36﹣1
=35．
【解析】【分析】（1）首先化简x，y的值，进而将原式提取公因式xy，分解因式，再将x，y的值代入求出答案；（2）首先化简x，y的值，进而将原式变形，再将x，y的值代入求出答案．
40．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
=﹣
=﹣4
（2）解：
= × × ×
=
【解析】【分析】（1）直接利用二次根式的乘法运算法则求出即可；（2）首先除法化成乘法，进而利用二次根式乘法运算法则求出即可．
41．化简下列各式：
（1） ÷
（2）
（3） ；
（4） ．
【答案】（1）解：原式= = =2；
（2）解：原式= =9x ；
（3）解：原式= =3 ；
（4）解：原式= = =
【解析】【分析】（1）直接利用二次根式的除法运算法则化简求出答案；（2）直接利用二次根式的乘法运算法则化简求出答案；（3）直接利用二次根式的除法运算法则化简求出答案；（4）直接利用二次根式的除法运算法则化简求出答案．
42．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，请在所给网格中按下列要求画出图形．
（1）（i）已知点A在格点（即小正方形的顶点）上，画一条线段AB，长度为 ，且点B在格点上．
（ii）以上题所画的线段AB为一边，另外两条边长分别为 ， ．画一个△ABC，使点C在格点上（只需画出符合条件的一个三角形）．
（2）所画出的△ABC的边AB上的高线长为　 　．（直接写出答案）
【答案】（1）解：（i）如图所示：B点即为所求
（ii）如图所示：△ABC，即为所求
（2）
【解析】【解答】解：（2）设AB上的高线长为x，根据题意可得：
x AB=9﹣ ×3×2﹣ ×1×2﹣ ×1×3=3.5，
故 x=7，
解得：x= ．
故答案为： ．
【分析】（1）（i）直接利用勾股定理得出符合题意的答案；（ii）直接利用勾股定理得出符合题意的三角形；（2）利用三角形面积求法得出△ABC的边AB上的高线长．
43．如图，爷爷家家有一块长方形空地，空地的长为，宽为，爷爷准备在空地中划出一块长，宽的小长方形地种植香菜（即圈中阴影部分），其余部分种植青菜．
（1）求出长方形的周长；（结果化为最简二次根式）
（2）求种植青菜部分的面积．
【答案】（1）解：长方形ABCD的周长为：；
（2）解：种植青菜部分的面积为：
．
答：种植青菜部分的面积是．
【解析】【分析】（1）利用长方形的周长公式表示出ABCD周长，最后根据二次根式混合运算计算即可；
（2）用长方形ABCD的面积减去阴影部分面积表示种植青菜部分的面积，最后根据二次根式混合运算计算即可.
44．在进行二次根式的化简时，我们有时会遇到形如的式子，对于这类式子我们可以进一步将其化简，使其分母转化为有理数，这一过程叫做分母有理化．
例如：
（1）用上述方法化简；
（2）计算：．
【答案】（1）解：
（2）解：
．
【解析】【分析】（1）利用平方差公式计算求解即可；
（2）利用平方差公式分母有理化计算求解即可。
45．小明在学习了“二次根式”后，发现一些含根号的代数式可以写成另一个根号的代数式的平方，如 .善于思考的小明进行了以下探索：
设 （其中a、b、m、n均为整数），则有 . ， .这样小明就找到了一种把类似 的代数式化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为整数时，若 ，用含m、n的代数式分别表示a、b，则： 　 　， 　 　；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： .
（3）若 ，且a、m、n均为正整数，求a的值.
【答案】（1）m2＋3n2；2mn
（2）13；4；1；2
（3）解：由（1）可知：a＝m2＋3n2，4＝2mn，
∴a＝m2＋3n2，mn=2，
∵a、m、n均为正整数，
∴m=1，n=2或m=2，n=1，
∴a＝12＋3×22=13或a＝22＋3×12=7，即a=13或7.
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
又∵ ，
∴a＝m2＋3n2，b＝2mn；
故答案为：m2＋3n2，2mn；
（2）令m＝1，n＝2，则a＝m2＋3n2＝1＋3×4＝13，b＝2mn＝4，
∴13＋4 ＝（1＋2 ）2；
故答案为：13，4，1，2；
【分析】（1）将等式右边利用完全平方公式展开，根据题意表示出a与b即可；
（2） 开放性的命题，此题应该从等式的右边入手，令m=1，n=2填入，再将右边展开合并即可求出，根据题干的方法分别确定出a与b的值即可；
（3）利用（1）的结论，结合a、m、m均为正整数，求解即可.
46．观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
…
（1）含n（n为正整数的关系式表示上述各式子的变形规律.并验证你的结论.
（2）利用上面的结论，求下列式子的值：
【答案】（1）解：根据题意得： ，
验证：左边＝ ＝ ＝ ＝右边；
（2）解：原式＝ ﹣1+ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）（ +1）
＝（ ﹣1）（ +1）
＝2008﹣1
＝2007.
【解析】【分析】（1）被开方数是两个相邻的数，即 ，它的有理化因式为 ；（2）由（1）得，原式＝（ ﹣1）（ +1），再根据平方差公式可得结果.
47．观察下列各式及其验算过程：
=2 ，验证： = = =2 ；
=3 ，验证： = = =3
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．
【答案】（1）解：∵ =2 ， =3 ，
∴ =4 =4 = ，
验证： = = ，正确
（2）解：由（1）中的规律可知3=22﹣1，8=32﹣1，15=42﹣1，
∴ = ，
验证： = = ；正确
【解析】【分析】（1）观察所给的几个式子的特点可得出结论，再利用二次根式的性质化简来验证；
（2）由（1）可得规律；再利用分式的加减运算和二次根式的性质化简可验证.
48．若一个含根号的式子可以写成的平方其中，，，都是整数，为正整数，即，则称为完美根式．是的完美平方根例如：因为，所以是的完美平方根．
（1）已知是的完美平方根，求的值；
（2）若是的完美平方根，用含，的式子表示，．
（3）已知为完美根式，直接写出它的一个完美平方根．
【答案】（1）解：是的完美平方根，
，
，
.
（2）解：是的完美平方根，
，
，
，.
（3）解：是完美根式，
，
，
，，
，或，，
，都是整数，
，，
的完美平方根是或．
【解析】【分析】(1)由完美平方根的定义可得，利用完全平方公式进行化简后，可得.
(2)由完美平方根的定义可得，利用完全平方公式进行展开，可得，.
(3)由完美平方根的定义可得，利用完全平方公式进行展开，进而可得，，故，或，，解得，，即可求得的完美平方根是或．
49．高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常来不及避让，据研究，高空抛物下落的时间t（秒和高度h（米近似满足公式（其中米秒．
（1）当米时，求下落的时间；（结果保留根号）
（2）伤害无防护人体只需要65焦的动能，高空抛物动能（焦物体质量（千克）高度（米，某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后经过4秒后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．
【答案】（1）当米时：
；
（2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，
理由：当秒时，，
解得：米，
，
所以这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．
【解析】【分析】（1）把h的值代入计算求解；
（2）先求出h的值，再计算判断.
50．一个三角形的三边长分别为5 ， ， ．
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给出一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
【答案】（1）解：∵个三角形的三边长分别为5 ， ， ，
∴这个三角形的周长是：
5 + +
＝
＝
（2）解：当x＝20时，这个三角形的周长是：
【解析】【分析】（1）根据三角形的周长公式，将三边的长相加求和，根据二次根式相加减的性质进行计算。
（2）根据题意可知，二次根式进行求值后，为整数，根据题意选择合适的x的值，求三角形的周长即可。
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