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2024-2025学年广东省韶关市仁化县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）若m是方程x2﹣x+1＝0的一个根，则m2﹣m﹣2024的值为（　　）
A．﹣2025 B．2024 C．2023 D．2022
3．（3分）在单词“APPLE”中随机选择一个字母，选择到的字母是“P”的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）下列关于二次函数y＝（x﹣2）2﹣3的说法正确的是（　　）
A．图象是一条开口向下的抛物线
B．图象与x轴没有交点
C．当x＜2时，y随x增大而增大
D．图象的顶点坐标是（2，﹣3）
5．（3分）如图，⊙O内接四边形ABCD中，∠BOD＝110°，则∠BCD的度数是（　　）
A．110° B．115° C．120° D．125°
6．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
7．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜﹣2 B．k＞﹣2 C．k＜﹣1 D．k＞﹣1
8．（3分）如图，在一块长28m、宽10m的矩形草坪中修建小路，已知剩余草地的面积是243m2．设小路的宽度为x m，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A．28×10﹣28x﹣10x＝243
B．2（28﹣x+10﹣x）＝243
C．（28﹣x）（10﹣x）+x2＝243
D．（28﹣x）（10﹣x）＝243
9．（3分）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为（　　）
A．65° B．130° C．50° D．100°
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝8cm，把△ABC以点B为中心，逆时针旋转使点C旋转到AB边的延长线上点C'处，则AC边扫过的图形（图中阴影部分）的面积为（　　）
A．16π B．12π C．8π D．4π
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）一元二次方程（4x+8）（x﹣3）＝0的解是　 　．
12．（3分）袋里有红、绿、黄三种颜色的球共20个，任意摸出一个球，摸到一个绿球的概率是0.4，则袋子里绿球有 　 　个．
13．（3分）点M（4，﹣3）与N（a，b）关于原点对称，则N的坐标是 　 　．
14．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针方向旋转到△ADE的位置，点B落在AC边上的点D处，若AB＝4，AE＝6，则CD＝　 　．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，P是△ABC内部的一个动点，且AP⊥BP，连接CP，则线段CP长的最小值为　 　．
三、解答题（每小题7分，共21分）
16．（7分）解一元二次方程：2（2x﹣1）﹣x（1﹣2x）＝0．
17．（7分）我国芯片有了很大突破，实现我国自产，芯片价格大幅下降，由原来的每片芯片的单价200元，经过两次降价后每片芯片的单价为128元，若每次降价率相同，求降价的百分率是多少？
18．（7分）如图为边长为1个单位的正方形格子，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A1B1C1；
（2）求出（1）中点C旋转到点C1所经过的路径长（结果保留根号和π）．
四、解答题（每小题9分，共27分）
19．（9分）某小学学生较多，为了便于学生尽快就餐，师生约定：早餐一人一份，一份两样，一样一个，食堂师傅在窗口随机发放（发放的食品价格一样），食堂在某天早餐提供了猪肉包、面包、鸡蛋、油饼四样食品．
（1）按约定，“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是　 　事件；（可能，必然，不可能）
（2）请用列表或树状图的方法，求出小张同学该天早餐刚好得到猪肉包和油饼的概率．
20．（9分）如图，在⊙O中，E是的中点，OE交AC于点D，连接AO并延长，交⊙O于点B，连接BE．
（1）若∠B＝27°，求∠A的度数；
（2）若AC＝8，DE＝2，求⊙O的半径长．
21．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在BA上，连接AF．
（1）若∠BAC＝40°，求∠BAF的度数；
（2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长．
五、解答题(第22小题13分，第23小题14分，共27分)
22．（13分）如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，CE⊥AB，∠ACD＝∠ACE．
（1）求证：DC为⊙O的切线；
（2）若DA＝4，DC＝5，求⊙O的半径．
23．（14分）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线上的一点，使得S△MBC＝S△OBC，请求出点M的坐标；
（3）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BD．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
2024-2025学年广东省韶关市仁化县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C D D A C D C A
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．【解答】解：选项A、C、D的图形都不能找到某一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：B．
2．【解答】解：∵m是方程x2﹣x+1＝0的一个根，
∴m2﹣m+1＝0，
∴m2﹣m＝﹣1，
∴m2﹣m﹣2024＝﹣1﹣2024＝﹣2025．
故选：A．
3．【解答】解：∵单词“APPLE”中有2个p，
∴从单词“APPLE”中随机抽取一个字母为p的概率为：．
故选：C．
4．【解答】解：A、∵a＝1＞0，图象的开口向上，故此选项不符合题意；
B、∵y＝（x﹣2）2﹣3＝x2﹣4x+1，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×1＝12＞0，
即图象与x轴有两个交点，
故此选项不符合题意；
C、∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，
∴当x＜2时，y随x增大而减小，
故此选项不符合题意；
D、∵y＝（x﹣2）2﹣3，
∴图象的顶点坐标是（2，﹣3），
故此选项符合题意；
故选：D．
5．【解答】解：∵∠BOD＝110°，
∴∠A＝∠BOD＝55°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∴∠BCD ＝125°．
故选：D．
6．【解答】解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
7．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4 （﹣k）＜0，
解得：k＜﹣1，
故选：C．
8．【解答】解：在一块长28m、宽10m的矩形草坪中修建小路，已知剩余草地的面积是243m2．
设道路的宽x m，由题意可得：
（28﹣x）（10﹣x）＝243．
故选：D．
9．【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
又∵∠AOB＝2∠C＝130°，
则∠P＝360°﹣（90°+90°+130°）＝50°．
故选：C．
10．【解答】解：根据旋转变换的性质，△ABC≌△A′BC′，
∵∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝8cm，
∴BC＝AB＝4cm，
∴阴影面积＝﹣＝16π（cm2）．
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．【解答】解：由题知，
（4x+8）（x﹣3）＝0，
则4x+8＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝﹣2，x2＝3．
故答案为：x1＝﹣2，x2＝3．
12．【解答】解：∵任意摸出一个球，摸到一个绿球的概率是0.4，
∴袋子里绿球有20×0.4＝8（个）．
故答案为：8．
13．【解答】解：∵点M（4，﹣3）与N（a，b）关于原点对称，
∴a＝﹣4，b＝3，
∴N的坐标是（﹣4，3）．
故答案为：（﹣4，3）．
14．【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
∴AE＝AC＝6，AD＝AB＝4，
∵点B落在AC边上的点D处，
∴CD＝AC﹣AD＝6﹣4＝2，
故答案为：2．
15．【解答】解：如图，
∵∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
在Rt△BCO中，∠OBC＝90°，BC＝3，OB＝AB＝2，
∴OC＝＝，
∴PC＝OC﹣OP＝﹣2，
∴线段CP长的最小值为﹣2．
故答案为：﹣2．
三、解答题（每小题7分，共21分）
16．【解答】解：2（2x﹣1）﹣x（1﹣2x）＝0，
2（2x﹣1）+x（2x﹣1）＝0，
（2x﹣1）（2+x）＝0，
则2x﹣1＝0或2+x＝0，
所以．
17．【解答】解：设芯片降价的百分率是x，
由题意得：200（1﹣x）2＝128，
整理得：25x2﹣50x+9＝0，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合题意，舍去），
答：降价的百分率是20%．
18．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）由勾股定理得，BC＝＝，
∴点C旋转到点C1所经过的路径长为＝．
四、解答题（每小题9分，共27分）
19．【解答】解：（1）小李同学在该天早餐得到两个油饼”是不可能事件；
（2）树状图法
即小张同学得到猪肉包和油饼的概率为＝．
20．【解答】解：（1）∵E是的中点，OE交AC于点D，
∴OE⊥AC，
∴∠ADO＝90°，
∵∠B＝27°，
∴∠AOD＝2∠B＝54°，
∴∠A＝90°﹣∠AOD＝90°﹣54°＝36°；
（2）设⊙O的半径为r，
∵DE＝2，
∴OD＝OE﹣DE＝r﹣2，
由（1）知OE⊥AC，
∴AD＝，
在Rt△AOD中，由勾股定理得，
OA2＝AD2+OD2，
即r2＝42+（r﹣2）2，
解得r＝5，
所以⊙O的半径长为5．
21．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝50°，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴∠EBF＝∠ABC＝50°，AB＝BF，
∴∠BAF＝∠BFA＝（180°﹣50°）＝65°；
（2）∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴BE＝BC＝6，EF＝AC＝8，
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4，
∴AF＝＝＝4．
五、解答题(第22小题13分，第23小题14分，共27分)
22．【解答】（1）证明：连接OC，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAO+∠ACE＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠ACD＝∠ACE，
∴∠OCA+∠ACD＝90°，
即∠OCD＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴DC为⊙O的切线；
（2）解：连接CB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAO+∠B＝90°，
∵∠CAO+∠ACE＝90°，
∴∠B＝∠ACE，
∵∠ACD＝∠ACE，
∴∠B＝∠ACD，
∵∠D＝∠D，
∴△DAC∽△DCB，
∴＝，
∴＝，
解得：AB＝，
∴⊙O的半径为．
23．【解答】解：（1）直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为：（3，0）、（0，3），
由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵S△MBC＝S△OBC，
∴过点O作直线m∥BC交抛物线于点M，则点M为所求点，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
则直线m的表达式为：y＝﹣x，
联立上式和抛物线的表达式得：﹣x＝﹣x2+2x+3，则x＝，
即点M（，﹣）或（，﹣），
当M在BC上方时，
同理可得直线m的表达式为：y＝﹣x+6，
联立上式和抛物线的表达式得：6﹣x＝﹣x2+2x+3，此方程无解；
故点M（，﹣）或（，﹣）；
（3）点D在抛物线上，则点D（2，3），连接CD，
过点D作DT⊥CB于点TA，交PB于点H，
∵∠PBC＝∠DBC，
则点T是DH的中点，
由（1）知，BC的表达式为：y＝﹣x+3，
则直线DT的表达式为：y＝（x﹣2）+3＝x+1，
联立上式和BC得表达式得：x+1＝﹣x+3，则x＝1，
即点T（1，2），
由中点坐标公式得，点H（0，1），
由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y＝x+1，
联立上式和抛物线的表达式得：﹣x2+2x+3＝x+1，则x＝3（舍去）或﹣，
则点P（﹣，）．

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