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2 直角三角形
第2课时 直角三角形全等的判定
直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.简述为“斜边、直角边”或“HL”.
自测 在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AC=A′C′，若要用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，需要补充的一个条件是AB=A ′B ′.
知识点1 用“HL”判定直角三角形全等
1.如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要用“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加的一个条件是
(D)
A.AE=DF B.∠A=∠D
C.∠B=∠C D.AB=DC
第1题图 第2题图
2.如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，若∠1=40°，则∠2的度数是 (B)
A.40° B.50° C.60° D.75°
3.如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且BF=AC，FD=CD．求证：Rt△BFD≌Rt△ACD．
证明：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90 °．
在Rt△BFD和Rt△ACD中，
BF=AC,
FD=CD,
∴Rt△BFD≌Rt△ACD(HL)．
知识点2 直角三角形全等的综合判定
4.使两个直角三角形全等的条件可以是 (D)
A.一个锐角对应相等
B.两个锐角对应相等
C.一条边对应相等
D.任意两边对应相等
5.如图，AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF相交于点D，则下列结论中不正确的是(D)
A.△ABE≌△ACF
B.点D在∠BAC的平分线上
C.△BDF≌△CDE
D.点D是BE的中点
［易错提醒：对动点问题注意要考虑多种情况］
6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP=5或10时，△ABC和△PQA全等．
A基础过关
7.如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离相等，则判定△AEO≌△AFO的依据是 (A)
A.HL B.AAS C.SSS D.ASA
第7题图 第8题图
8.如图，在△ABC中，∠C=90°,AD=AC, DE⊥AB交BC于点E.若∠B=28°,则∠AEC的度数是 (B)
A.28° B.59° C.60° D.62°
9.如图，AD⊥BE于点C，且AB=DE，AC=DC，则BC与CE的关系是BC=CE.
第9题图 第10题图
10.如图，AC⊥BC，AD⊥BD，要使△ABC≌△BAD，还需添加的条件：BC=AD(答案不唯一).
（任填一种）
11.如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AD=BE，∠1=∠2.求证：Rt△ADE≌Rt△BEC．
证明：∵∠1=∠2，
∴DE=CE．
∵∠A=∠B=90 °，
∴△ADE和△BEC是直角三角形.
又∵AD=BE,
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL).
B能力提升
12.如图，BE,CF为△ABC的高，且BE=CF，BE，CF相交于点H，若BC=10，FC=8，则AE的长度为(B)
A.6 B. C.8 D.
第12题图 第13题图
13.如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过点A,C作l的垂线，垂足分别为E,F.若AE=1，CF=3，则AB的长为.
14.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DF⊥AB,DE⊥AC，垂足分别为F，E，AF=AE.
求证：AB=AC.
证明：如图，连接AD.
∵DF⊥AB，DE⊥AC,
∴∠DFA=∠DEA=90 °.
在Rt△ADF和Rt△ADE中，
AF=AE,
AD=AD,
∴Rt△ADF≌Rt△ADE(HL).
∴DF=DE.
∵D是BC的中点，∴BD=CD.
在Rt△DBF和Rt△DCE中，
BD=CD,
DF=DE, 答图
∴Rt△DBF≌Rt△DCE(HL).
∴∠B=∠C.
∴AB=AC.
C素养升华
15.如图1，E，F分别为线段BC上两个动点，AB=DC，AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，AE=DF，AD交EF于点O．
（1）求证：BF=CE,OA=OD；
（2）当E,F两点移动至图2所示的位置时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由.
图1 图2
(1)证明：∵AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，
∴∠AEB=90 °，∠DFC=90 °.
在Rt△ABE和Rt△DCF中,
AB=DC,
AE=DF,
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL).
∴BE=CF.
∴BE-EF=CF-EF.
∴BF=CE.
在△AEO和△DFO中，
∠AOE=∠DOF,
∠AEO=∠DFO,
AE=DF,
∴△AEO≌△DFO(AAS).
∴OA=OD；
(2)解：成立，理由如下：
在Rt△ABE和Rt△DCF中,
AB=DC,
AE=DF,
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL).
∴BE=CF.∴BE+EF=CF+EF.∴BF=CE.
在△AEO和△DFO中，
∠AOE=∠DOF，
∠AEO=∠DFO，
AE=DF，
∴△AEO≌△DFO(AAS).
∴OA=OD.2 直角三角形
第2课时 直角三角形全等的判定
直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形 .简述为“斜边、直角边”或“ ”.
自测 在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AC=A′C′，若要用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，需要补充的一个条件是 .
知识点1 用“HL”判定直角三角形全等
1.如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要用“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加的一个条件是
( )
A.AE=DF B.∠A=∠D
C.∠B=∠C D.AB=DC
第1题图 第2题图
2.如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，若∠1=40°，则∠2的度数是 ( )
A.40° B.50° C.60° D.75°
3.如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且BF=AC，FD=CD．求证：Rt△BFD≌Rt△ACD．
知识点2 直角三角形全等的综合判定
4.使两个直角三角形全等的条件可以是 ( )
A.一个锐角对应相等
B.两个锐角对应相等
C.一条边对应相等
D.任意两边对应相等
5.如图，AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF相交于点D，则下列结论中不正确的是( )
A.△ABE≌△ACF
B.点D在∠BAC的平分线上
C.△BDF≌△CDE
D.点D是BE的中点
［易错提醒：对动点问题注意要考虑多种情况］
6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP= 时，△ABC和△PQA全等．
A基础过关
7.如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离相等，则判定△AEO≌△AFO的依据是 ( )
A.HL B.AAS C.SSS D.ASA
第7题图 第8题图
8.如图，在△ABC中，∠C=90°,AD=AC, DE⊥AB交BC于点E.若∠B=28°,则∠AEC的度数是 ( )
A.28° B.59° C.60° D.62°
9.如图，AD⊥BE于点C，且AB=DE，AC=DC，则BC与CE的关系是 .
第9题图 第10题图
10.如图，AC⊥BC，AD⊥BD，要使△ABC≌△BAD，还需添加的条件： .
（任填一种）
11.如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AD=BE，∠1=∠2.求证：Rt△ADE≌Rt△BEC．
B能力提升
12.如图，BE,CF为△ABC的高，且BE=CF，BE，CF相交于点H，若BC=10，FC=8，则AE的长度为( )
A.6 B. C.8 D.
第12题图 第13题图
13.如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过点A,C作l的垂线，垂足分别为E,F.若AE=1，CF=3，则AB的长为 .
14.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DF⊥AB,DE⊥AC，垂足分别为F，E，AF=AE.
求证：AB=AC.
C素养升华
15.如图1，E，F分别为线段BC上两个动点，AB=DC，AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，AE=DF，AD交EF于点O．
（1）求证：BF=CE,OA=OD；
（2）当E,F两点移动至图2所示的位置时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由.
图1 图22 直角三角形
第1课时 勾股定理及其逆定理
1.直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形.
自测1 Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=54°，则∠A=36 °.
2.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
自测2 已知△ABC的三边长a,b,c分别为6,8,10，则△ABC是(填“是”或“不是”)直角三角形.
3.(1)如果两个命题的题设和结论刚好相反，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.(2)一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
自测3 “两直线平行，内错角相等”的逆定理是内错角相等，两直线平行.
知识点1 直角三角形的性质与判定
1.在△ABC中，若∠B=70°，∠C=20°，则△ABC是 (B)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，若∠A=55°，则∠DCB的度数为 (A)
A.55°
B.45°
C.35°
D.25°
知识点2 勾股定理及其逆定理
3.下列长度的各组线段中，能够组成直角三角形的一组是 (D)
A.1，2，3 B.2，3，4
C.4，5，6 D.1，，
4.如图，一棵树在离地面4.5 m处断裂，树的顶部落在离底部6 m处，则这棵树折断之前的高度是(C)
A.10.5 m
B.7.5 m
C.12 m
D.8 m
知识点3 互逆命题和互逆定理
5.下列命题的逆命题属于真命题的是 (D)
A.若a=b，则|a|=|b|
B.同旁内角互补
C.如果两个实数相等，那么它们的平方也相等
D.等腰三角形有两边相等
［易错提醒：未对斜边长分类讨论而致错］
6.在Rt△ABC中，AB=6,BC=8,则△ABC的面积为6或24.
A基础过关
7.如图，把一块三角尺ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C=30°，AC∥EF，则∠1的度数是 (C)
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
8.命题“等边三角形的三个角都相等”的逆命题是三个角都相等的三角形是等边三角形．这个逆命题是真（填“真”或“假”）命题．
9.如果三角形的三边长a,b,c满足(a-5)2++|c-13|=0，那么这个三角形是直角三角形.
10.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以AB，BC，AC为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S2=4，S3=6，则S1=2.
第10题图 第11题图
11.某开发区有一块四边形的空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，如图，已知AB=13 m，BC=9 m，CD=15 m，DA=5 m且DB⊥BC，若每平方米草皮需要200元，则需要投入16 800元.
B能力提升
12.对于下列四个条件：①∠A+∠B=∠C；②∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5；③∠A=90°-∠B；④∠A=∠B=∠C，其中能确定△ABC是直角三角形的条件有 (C)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13.如图，李叔叔欲划船渡河，由于水流的影响，实际靠岸地点C偏离欲到达的点B 200 m，若他在水中实际行驶了520 m，则该河流的宽度为480m.
第13题图 第14题图
14.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形.如图，在“垂美”四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．若AD=3，BC=5，则AB2+CD2=34．
15.如图，在△ACB中，∠ACB＝90°,CD⊥AB于点D.
（1）求证：∠ACD＝∠B；
（2）若AF平分∠CAB分别交CD，BC于点E，F，求证：∠CEF＝∠CFE.
证明：(1)∵∠ACB=90 °，CD⊥AB于点D，
∴∠ACD+∠BCD=90 °，∠B+∠BCD=90 °.
∴∠ACD=∠B；
(2)在Rt△AFC中，∠CFA=90 °-∠CAF，
在Rt△AED中，∠AED=90 °-∠DAE.
又∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠DAE.
∴∠AED=∠CFE.
∵∠CEF=∠AED，
∴∠CEF=∠CFE.
C素养升华
16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5 cm，AC=3 cm，动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度运动，设运动的时间为t s．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值．
解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理,得BC===4(cm)；
(2)由题意，得BP=t cm，分两种情况：
①当∠APB=90 °时，点P与点C重合，如图1所示.
∴BP=BC=4 cm.
∴t=4；
图1 图2
②当∠BAP=90 °时，如图2所示.
则CP=(t-4)cm，∠ACP=90 °，
在Rt△ACP中，由勾股定理，得AP2=AC2+CP2，
在Rt△ABP中，由勾股定理，得AP2=BP2-AB2，
∴AC2+CP2=BP2-AB2，即322+(t-4)2=t2-52，
解得t=.
综上所述，当△ABP为直角三角形时，t的值为4或．2 直角三角形
第1课时 勾股定理及其逆定理
1.直角三角形的两个锐角 ；有两个角互余的三角形是 .
自测1 Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=54°，则∠A= .
2.直角三角形两条直角边的平方和等于 ；如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是 .
自测2 已知△ABC的三边长a,b,c分别为6,8,10，则△ABC (填“是”或“不是”)直角三角形.
3.(1)如果两个命题的题设和结论刚好相反，那么这两个命题称为 ，其中一个命题称为另一个命题的 .(2)一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理,其中一个定理称为另一个定理的 .
自测3 “两直线平行，内错角相等”的逆定理是 .
知识点1 直角三角形的性质与判定
1.在△ABC中，若∠B=70°，∠C=20°，则△ABC是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，若∠A=55°，则∠DCB的度数为 ( )
A.55°
B.45°
C.35°
D.25°
知识点2 勾股定理及其逆定理
3.下列长度的各组线段中，能够组成直角三角形的一组是 ( )
A.1，2，3 B.2，3，4
C.4，5，6 D.1，，
4.如图，一棵树在离地面4.5 m处断裂，树的顶部落在离底部6 m处，则这棵树折断之前的高度是( )
A.10.5 m
B.7.5 m
C.12 m
D.8 m
知识点3 互逆命题和互逆定理
5.下列命题的逆命题属于真命题的是 ( )
A.若a=b，则|a|=|b|
B.同旁内角互补
C.如果两个实数相等，那么它们的平方也相等
D.等腰三角形有两边相等
［易错提醒：未对斜边长分类讨论而致错］
6.在Rt△ABC中，AB=6,BC=8,则△ABC的面积为 .
A基础过关
7.如图，把一块三角尺ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C=30°，AC∥EF，则∠1的度数是 ( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
8.命题“等边三角形的三个角都相等”的逆命题是 ．这个逆命题是 （填“真”或“假”）命题．
9.如果三角形的三边长a,b,c满足(a-5)2++|c-13|=0，那么这个三角形是 .
10.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以AB，BC，AC为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S2=4，S3=6，则S1= .
第10题图 第11题图
11.某开发区有一块四边形的空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，如图，已知AB=13 m，BC=9 m，CD=15 m，DA=5 m且DB⊥BC，若每平方米草皮需要200元，则需要投入 元.
B能力提升
12.对于下列四个条件：①∠A+∠B=∠C；②∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5；③∠A=90°-∠B；④∠A=∠B=∠C，其中能确定△ABC是直角三角形的条件有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13.如图，李叔叔欲划船渡河，由于水流的影响，实际靠岸地点C偏离欲到达的点B 200 m，若他在水中实际行驶了520 m，则该河流的宽度为 m.
第13题图 第14题图
14.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形.如图，在“垂美”四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．若AD=3，BC=5，则AB2+CD2= ．
15.如图，在△ACB中，∠ACB＝90°,CD⊥AB于点D.
（1）求证：∠ACD＝∠B；
（2）若AF平分∠CAB分别交CD，BC于点E，F，求证：∠CEF＝∠CFE.
C素养升华
16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5 cm，AC=3 cm，动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度运动，设运动的时间为t s．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值．

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