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4 角平分线
第2课时 三角形三个内角的平分线
三角形的三条角平分线总相交于一点，且这一点到三条边的距离相等；到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点.
自测 如图，P为△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD=PE=PF.(填“>”“<”或“=”)
知识点1 三角形角平分线的性质及应用
1.如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点O，下列结论中正确的是 (B)
A.∠1＞∠2 B.∠1=∠2
C.∠1＜∠2 D.以上都有可能
第1题图 第2题图
2.如图，△ABC的三边AB，BC，AC的长分别为20，30，40，三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△OAB∶S△OBC∶S△OAC为 (C)
A.1∶1∶1 B.6∶4∶3
C.2∶3∶4 D.4∶3∶2
3.如图是用尺规作∠AOB的平分线的示意图，根据作图痕迹判断，能说明射线OC是∠AOB的平分线的依据是 (B)
A.SAS B.SSS C.ASA D.AAS
第3题图 第4题图
4.如图，在△ABC中，∠B=90°，点O到AB，BC，AC三边的距离相等，则∠AOC的度数为135 °.
5.如图，在△ABC中，∠CAB=60°，∠CAB的平分线AP与∠CBA的平分线BP相交于点P，连接CP．若AP=4，△ABC的周长为20，求△ABC的面积．
解：如图，作PD⊥AB于点D.
∵∠CAB=60 °，
∴∠PAB=30 °，
在Rt△PAD中，PA=4，
∴PD=2.
∴S△ABC=S△APB+S△BPC+S△CPA
=AB·PD+BC·PD+CA·PD 答图
=(AB+BC+CA)·PD
=×20×2
=20．
［易错提醒：混淆三角形内角平分线交点与三边垂直平分线交点的性质而致错］
6.在锐角三角形ABC中，点M到三边的距离都相等，点N到三个顶点的距离都相等，若∠A=80°，则∠BMC=130 °,∠BNC=160 °.
A基础过关
7.某地为促进旅游业发展，要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示，若要使度假村到三条公路的距离相等，则这个度假村应修建在 (B)
A.△ABC三条高线的交点处
B.△ABC三条角平分线的交点处
C.△ABC三条中线的交点处
D.△ABC三边垂直平分线的交点处
8.如图，根据尺规作图的痕迹，下列说法不正确的是 (D)
A.AE,BF是△ABC的内角平分线
B.CG是△ABC的一条内角平分线
C.点O到△ABC三边的距离相等
D.AO=BO=CO
9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，AB=10 cm，求△DEB的周长.
解：∵∠C=90 °，DE⊥AB，AD平分∠BAC，
∴CD=DE.
在Rt△ACD和Rt△AED中，
AD=AD，
CD=DE，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL).
∴AC=AE.
∴AE=AC=CB=CD+DB=DE+DB.
∴△DEB的周长为DE+EB+DB=AE+EB=AB=10 cm.
B能力提升
10.如图，在△ABC中，∠C=90°，O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为D,E,F.若AB=20,BC=16,则点O到AB,AC,BC的距离为 (C)
A.2,2,2 B.3,3,3 C.4,4,4 D.2,3,5
第10题图 第11题图
11.如图，P是∠BAC平分线上一点，∠MPA=15°，PM∥AC，PD⊥AC于点D，若PM=8 cm，则PD的长为4cm.
12.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：BE=CF；
（2）若AB=5，AC=3，求AE，BE的长．
(1)证明：如图，连接DB，DC，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴DB=DC．
∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠DFC=90 °.
在Rt△DBE和Rt△DCF中，
DB=DC，
DE=DF，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL).
∴BE=CF;
(2)解：在Rt△ADE和Rt△ADF中，
AD=AD，
DE=DF， 答图
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL).
∴AE=AF．
∵AC+CF=AF，∴AE=AC+CF．
∵AE=AB-BE，∴AC+CF=AB-BE.
∵AB=5，AC=3，∴3+BE=5-BE.
∴BE=1.∴AE=AB-BE=4．
C素养升华
13.如图，有三条铁路a，b，c相互交叉，现在建一个货物中转站，要求到三条铁路的距离相等，可供选择的地址共有 4 处，请画出来（无需写作法，保留作图痕迹）.
答图
解：如图所示，点A，B，C，D即为所求.4 角平分线
第1课时 角平分线
1.定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
自测1 如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，且PC=3，点P到OA的距离为3.
2.定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
自测2 如图，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC=PD，若∠COD=80°，则∠CPO=50 °.
知识点1 角平分线的性质
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若CD=2，则点D到AB的距离是 (A)
A.2
B.3
C.4
D.1
2.在△ABC中，AD为角平分线，若AB∶AC=1∶2，则S△ABD∶S△ACD为 (B)
A.2∶3
B.1∶2
C.1∶4
D.无法确定
第2题图 第3题图
3.如图，∠C=90°，∠1=∠2，若BC=10，BD=6，则点D到AB的距离为4.
知识点2 角平分线的判定
4.在△ABC内有一点P，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，量得PE=PF=2 cm，则点P一定在 (D)
A.∠A的平分线上 B.边AB的中线上
C.边AB的高上 D.∠C的平分线上
5.如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等，则∠BPC=90 °.
第5题图 第6题图
［易错提醒：将任意长度当“距离”而致错］
6.如图，点P在∠AOB的平分线上，过点P的直线与OA，OB分别相交于D,E两点,则 (D)
A.DP=PE B.DP＞PE
C.DP＜PE D.以上都有可能
A基础过关
7.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若AD=3，BC=10，则△BDC的面积是 (B)
A.10 B.15 C.20 D.30
第7题图 第8题图
8.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为 (C)
A. B.2 C.3 D.2
9.如图，CD⊥AB，BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE,CD相交于点O，且OB=OC.求证：点O在∠BAC的平分线上.
证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC,
∴∠ODB=∠OEC=90 °.
在△DOB和△EOC中，
∠ODB=∠OEC，
∠DOB=∠EOC，
OB=OC，
∴△DOB≌△EOC(AAS).
∴OD=OE.
∴点O在∠BAC的平分线上.
B能力提升
10.如图，已知AB∥CD，OA，OC分别平分∠BAC和∠ACD，OM⊥AC于点M，且OM=3，则AB,CD之间的距离为 (C)
A.2
B.4
C.6
D.8
11.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F,DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为20和8，则△EDF的面积为 (B)
A.4 B.6 C.8 D.12
第11题图 第12题图
12.如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是3.
13.如图，已知锐角三角形ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC.
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由.
(1)证明：∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB.
又∵BD，CE是△ABC的两条高，
∴∠CDB=∠BEC=90 °.
∴∠DCB=∠EBC.
∴△ABC是等腰三角形；
(2)解：点O在∠BAC的平分线上.理由如下：
∵S△ABC=AB·EC=AC·BD，AB=AC，∴EC=BD.
又∵OB=OC，∴OD=OE.
又∵OD⊥AC，OE⊥AB，
∴点O在∠BAC的平分线上.
C素养升华
14.如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为E，D，CF=CB．
（1）求证：BE=FD；
（2）若AC=10，AD=8，求四边形ABCF的面积．
(1)证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，
∴CD=CE.
在Rt△CBE和Rt△CFD中，
CB=CF，
CE=CD，
∴Rt△CBE≌Rt△CFD(HL).
∴BE=FD；
(2)解：在Rt△ACD中，
∵AC=10，AD=8，
∴CD==6.
∵AC=AC，CD=CE，
∴Rt△ACD≌Rt△ACE(HL).
∴S△ACD=S△ACE.
∵Rt△CBE≌Rt△CFD，
∴S△CBE=S△CFD.
∴S四边形ABCF=S四边形AECD=2S△ACD=2××6×8=48．4 角平分线
第1课时 角平分线
1.定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离 .
自测1 如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，且PC=3，点P到OA的距离为 .
2.定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的 上.
自测2 如图，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC=PD，若∠COD=80°，则∠CPO= .
知识点1 角平分线的性质
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若CD=2，则点D到AB的距离是 ( )
A.2
B.3
C.4
D.1
2.在△ABC中，AD为角平分线，若AB∶AC=1∶2，则S△ABD∶S△ACD为 ( )
A.2∶3
B.1∶2
C.1∶4
D.无法确定
第2题图 第3题图
3.如图，∠C=90°，∠1=∠2，若BC=10，BD=6，则点D到AB的距离为 .
知识点2 角平分线的判定
4.在△ABC内有一点P，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，量得PE=PF=2 cm，则点P一定在 ( )
A.∠A的平分线上 B.边AB的中线上
C.边AB的高上 D.∠C的平分线上
5.如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等，则∠BPC= .
第5题图 第6题图
［易错提醒：将任意长度当“距离”而致错］
6.如图，点P在∠AOB的平分线上，过点P的直线与OA，OB分别相交于D,E两点,则 ( )
A.DP=PE B.DP＞PE
C.DP＜PE D.以上都有可能
A基础过关
7.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若AD=3，BC=10，则△BDC的面积是 ( )
A.10 B.15 C.20 D.30
第7题图 第8题图
8.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为 ( )
A. B.2 C.3 D.2
9.如图，CD⊥AB，BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE,CD相交于点O，且OB=OC.求证：点O在∠BAC的平分线上.
B能力提升
10.如图，已知AB∥CD，OA，OC分别平分∠BAC和∠ACD，OM⊥AC于点M，且OM=3，则AB,CD之间的距离为 ( )
A.2
B.4
C.6
D.8
11.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F,DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为20和8，则△EDF的面积为 ( )
A.4 B.6 C.8 D.12
第11题图 第12题图
12.如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是 .
13.如图，已知锐角三角形ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC.
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由.
C素养升华
14.如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为E，D，CF=CB．
（1）求证：BE=FD；
（2）若AC=10，AD=8，求四边形ABCF的面积．4 角平分线
第2课时 三角形三个内角的平分线
三角形的三条角平分线总相交于一点，且这一点到三条边的距离 ；到三角形三边距离相等的点是三角形三条 的交点.
自测 如图，P为△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD PE PF.(填“>”“<”或“=”)
知识点1 三角形角平分线的性质及应用
1.如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点O，下列结论中正确的是 ( )
A.∠1＞∠2 B.∠1=∠2
C.∠1＜∠2 D.以上都有可能
第1题图 第2题图
2.如图，△ABC的三边AB，BC，AC的长分别为20，30，40，三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△OAB∶S△OBC∶S△OAC为 ( )
A.1∶1∶1 B.6∶4∶3
C.2∶3∶4 D.4∶3∶2
3.如图是用尺规作∠AOB的平分线的示意图，根据作图痕迹判断，能说明射线OC是∠AOB的平分线的依据是 ( )
A.SAS B.SSS C.ASA D.AAS
第3题图 第4题图
4.如图，在△ABC中，∠B=90°，点O到AB，BC，AC三边的距离相等，则∠AOC的度数为 .
5.如图，在△ABC中，∠CAB=60°，∠CAB的平分线AP与∠CBA的平分线BP相交于点P，连接CP．若AP=4，△ABC的周长为20，求△ABC的面积．
［易错提醒：混淆三角形内角平分线交点与三边垂直平分线交点的性质而致错］
6.在锐角三角形ABC中，点M到三边的距离都相等，点N到三个顶点的距离都相等，若∠A=80°，则∠BMC= ,∠BNC= .
A基础过关
7.某地为促进旅游业发展，要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示，若要使度假村到三条公路的距离相等，则这个度假村应修建在 ( )
A.△ABC三条高线的交点处
B.△ABC三条角平分线的交点处
C.△ABC三条中线的交点处
D.△ABC三边垂直平分线的交点处
8.如图，根据尺规作图的痕迹，下列说法不正确的是 ( )
A.AE,BF是△ABC的内角平分线
B.CG是△ABC的一条内角平分线
C.点O到△ABC三边的距离相等
D.AO=BO=CO
9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，AB=10 cm，求△DEB的周长.
B能力提升
10.如图，在△ABC中，∠C=90°，O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为D,E,F.若AB=20,BC=16,则点O到AB,AC,BC的距离为 ( )
A.2,2,2 B.3,3,3 C.4,4,4 D.2,3,5
第10题图 第11题图
11.如图，P是∠BAC平分线上一点，∠MPA=15°，PM∥AC，PD⊥AC于点D，若PM=8 cm，则PD的长为 cm.
12.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：BE=CF；
（2）若AB=5，AC=3，求AE，BE的长．
C素养升华
13.如图，有三条铁路a，b，c相互交叉，现在建一个货物中转站，要求到三条铁路的距离相等，可供选择的地址共有 4 处，请画出来（无需写作法，保留作图痕迹）.

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