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专题16
运动类问题
专题16运动类问题
【学习要点】
点动刚问题是图形中存在一个
在点前运动过程巾，观祭其在几利形、
或多个动点在H线或呱线上运
数图倒像等不可位置的变化情沉，探究图性
动的一类开攻性题H.题型繁
质及沙化.作解决过保中渗透空问欢念和扯
多，题意创新、考查半生分析
点的运动
埋能力、运算能力.保决的关趔是“动巾求
可题、解决问题的能力。
静”，在变化巾找到不变的木质.
线动型问题是以没的移动：或旋转
来揭小图形的性质或空化规律，
线段的运动可以引起一个形的
解決线动型问题的一般力法，一是逃芥恰当
大小的变化.问贮常以求长度或
线的运动
的求图形积的法；二是根据线段的运动
面积的最位，或探究运动过程巾
少化过程，探究其他图形的妙化思律。
是否行在某一特珠位置的形式
出现.
解决形动型问题，·足抓住几何形在达动
形动型问题卞云包含图形的
过程形状和人小深持不变；二是运用特殊
平移、旋转与折叠等儿大类
形的运动
与·般的大系，探究形运动变化过径小的
不同阶段；三是达用类比转化的方法，探究
州同达动状态下的同性质
【学习领航】
例1如图1，△ABC中，∠C=90°，AC=15,BC=20.点D从点A出发沿折线A一C一B运
动到点B停止，过点D作DE⊥AB,垂足为E.设点D运动的路径长为x,△BDE的面积为
y,若y与x的对应关系如图2所示，则a一b的值为
()
10
2535x
图1
图2
A.54
B.52
C.50
D.48
考点追踪：本题考查直角三角形、三角形相似、平面直角坐标系中函数表示面积的综合问题.
试题精析：根据勾股定理求出AB=25,再分别求出0≤x≤15和15长，再用三角形的面积公式写出y与x的函数解析式即可.
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专题16
运动类问题
解题逻辑：
∠C=90,1C=15.BC=20AB25
一当点D在边上
此I时AD=10
△CAB△ED
分类讨论
DE-8.BE=19
-a-76
求-h
当D在BC边上
BE-8,DE=6
b-24
此时BD=10
△LDBE△ABC
例2如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,AB=4,
D
BC=4√3，垂直于BC的直线MN从AB出发，沿BC方向以每秒√3
个单位长度的速度平移，当直线MN与CD重合时停止运动，运动过
程中MN分别交矩形的对角线AC,BD于点E,F,以EF为边在MN
左侧作正方形EFGH.设正方形EFGH与△AOB重叠部分的面积为
S,直线MN的运动时间为ts,则下列图像能大致反映S与t之间函数关系的是
S
A
41
考点追踪：本题是动点运动的函数图像问题，需得出重叠部分的面积和直线MN运动时间t
的关系式，
试题精析：抓住运动过程中的关键时刻，在O点左侧，正方形由部分到全部在△OAB内以及
运动到直线MN经过点O,即可解决问题.
解题逻辑：
-K-3t
止方形有部分在矩形内
S=-25+451
1k=hh=4-2t
止方形企部在地形内·
S=(4-21)3
例3如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠DAB=30°，∠ADC=60°，BC=CD=2.若线段
MN在边AD上运动，且MN=1,则BM+2BN2的最小值是
()
3
A.2
B.
29
39
C.4
D.10
110.'GM=MF
∴.BE=8,DE=6.
∴.∠FGB=∠GFM=15°，
∠FMB=30.
∴S=2DE·BE=2×8X6=24
在R△FNM中，设FN=k,
即b=24.
..GM=MF=2k,
.a4-b=76-24=52.
由勾股定理得MN=√MF2一NF2=√k,
故选B.
例2解：在运动的第一阶段，如图.
∴.GN=GM+MN=(2+√3)k.
在Rt△FNG中，
mRaN=m15器28
=2-5
综上所述，tan∠FHN=2+3或tan∠FGN=2-√3.
故答案为：2十√3或2一√3.
专题16运动类问题
令HE和FG与AB的交点分别为I和K.
[学习领航]
因为直线MN沿BC方向以每秒3个单位长度的速
例1解：∠C=90°，AC=15,BC=20,
度平移，
∴.AB=√AC+BC=√153+20=25.
则IE=FK=√3t
①当0≤x≤15时，即点D在AC边上，如图1.
又AB=4,BC=43,则∠BAO=60°
所以AI=BK=t,则IK=4-2t,即EF=4-2t.
故S=3t·(4-2t)=-23t2+43t.
再继续向右运动时，正方形全部在△AOB内，
图1
此时S=(4一2t)2
此时AD=x=10.
故选B.
,ED⊥AB,
例3解：如图，过点B作BF⊥AD于点F,过点C作CE⊥
∴∠DEA=90=∠C
AD于点E.
,∠CAB=∠EAD
:∠D=60°，CD=2:
∴.△CAB∽△EAD
.CE-3
CD=3.
:AD∥BC,
,.AE=6,DE=8,
.BF=CE=√3
∴.BE=25-6=19.
要使BM+2BN2的值最小，则BM和BN越小
∴S-2E·DE-号×19X8=76,
越好，
∴.V显然在点B的上方（中间位置时）
即a=76.
设MF=x,则FN=1-x.
②当15.'.BM2 +2BN2 BF2+FM2+2(BF2 +FN2)=
x2+3+2[(1-x)2+3]=3x2-4x+11=
3()+罗
图2
当x=号时，BF+2BN的最小值是号
此时x=25,BD=10.
故选B.
DE⊥AB,
∠DEB=90°=∠C.
:∠DBE=∠ABC,
,∴.△DBE∽△ABC
腮器腮
例4解：(1)d=l1一12，
当滑块在A点时，l1=0,d=-l2<0:
当滑块在B点时，l2=0,d=l1>0.
(2)当0d的值由负到正，
(2)设轨道AB的长为，当滑块从左向右滑动时
11+l2+1=
∴l2=n-l1-1,
∴d=l1-l2=1-(n-11-1)=2l1-n+1=
2×9t-n+1=18t-n+1,
,.d是t的一次函数.
图1
:当(=4.5s和5.5s时，与之对应的d的两个值互
,四边形ABCD是正方形，
为相反数，
AD∥BC,
当t=5时，d=0,
.∠QCO=∠NAO,∠CQO=∠ANO.
即18×5一n+1=0,
·点O是对角线AC的中点，
.n=91.
..CO=AO.
,滑块从点A到点B所用的时间为(91一1)÷9=
在△QCO和△NAO中，
10(s).
∠QCO=∠NAO
,整个过程总用时27s(含停顿时间)，当滑块右端到
∠CQO=∠ANO,
达点B时，滑块停顿2s,
CO-AO
∴滑块从点B返回到点A所用的时间为27一10
∴.△QO≌△NAO(AAS),
2=15s.
,∴.CQ=AN.
..滑块返回的速度为：(91一1)÷15=6(ms.
,四边形ABCD是正方形，
∴.当12≤t≤27时，l2=6(t-12),
..BC=AB=CD=AD=4 cm.
..11=91-1-12=90-6(t-12)=162-6t,
又BQ=2.xcm,
∴.l1-12=162-61-6(t-12)=-121+234,
.'.CQ=BC-BQ=(4-2x)cm,
d与t的函数表达式为：d=一12t+234.
.AN=(4-2.x)cm,
(3)当d=18时，有两种情况
.'.DM=CD-CM=(4-x)cm,DN=AD-AN=
由(2)可得，
2x cm,
①当0t10时，18t一90=18，
∴Sw=号ApAN=号4-2x)=2x-
..t=6:
②当12≤127时，一121+234=18，
1
SAC=2CM.CQ=2(4-2x)=2x-
t=18.
1
综上所述，当t=6或18时，d=18.
S△n=2BP.BQ=2(4-x)·2x=4x-x,
例5解：(1)由题意得，AP=xcm,BQ=2xcm
.AB=4 cm,
SAm=2DM·DN=24-x)·2x=4x-x2
..BP=AB-AP=(4-x)cm.
y=SE方形AD-S△APN-S△CQ-S△BQ-S△N
,四边形ABCD是正方形，
=42-2(2x-x2)-2(4.x-x2)
..AB//CD,
=16-4x+2x2-8.x+2.x2
∠MCO=∠PAO,∠CMO=∠APO.
=4x2-12x+16.
点O是对角线AC的中点，
当2.C0=A0.
在△MCO和△PAO中，
I∠MCO-∠PAO
∠CMO=∠APO,
CO-AO
∴△MCO≌△PAO(AAS),
.∴.CM=AP=xcm
图2
故答案为：(4一x),x.
同上△MCO≌△PAO,△QCO≌△NAO,
35

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