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专题3分式运算与变形求值
专题3分式运算与变形求值
【学习要点】
知识点
名师点睛
若B≠0，则
有意义；若B=0,则
无意义；
分式的概念
整式A除以整式B,可以表示成会的形式。
A
如果除式B中含有字母，那么称B为分式，
若A=0且B≠0则哈
=0.
AA·C
C≠0)
AA÷C
分式的基本性质
BB·C
BB÷C
(C≠0).
要熟练掌握，特别是乘或除以的数不能为0.
分式的基
分式的分子、分母与分式本身的符号，改变
本性质及
分式的变号法则
其中任何两个，分式的值不变
应用
分式的约分、通分
通分与约分的依据都是分式的基本性质.
最简分式
分子与分母公因式只有1.
分式的加减法
异分母的分式相加减，要先通分，然后再加减.
分式的乘除法、乘方
熟练应用法则进行计算.
分式的运算
应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分
化简，最后进行加减运算.若有括号，先算括
分式的混合运算
号里面的.灵活运用运算律，运算结果必须
是最简分式或整式.
【学习领航】
1十a11十a2
例1已知一列均不为1的数a1,a2a3,a,满足如下关系：a:=-a
,a3=1-a2
1+a
1-a
1十a,若a1=2,则a2m的值是
,…,am+1=1一am
()
1
A.一2
C.-3
D.2
考点追踪：此题考查了分式计算规律性问题的解决能力，关键是能通过计算结果发现α，的
规律，
试题精析：通过分别计算a1,a2,a3,a4,a5的值，归纳出am的值出现规律进行求解.
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专题3分式运算与变形求值
解题逻辑：
w,-2
4的位按2.3，
.…4次
1-3,=1+2
.1-,1-2
=-3
个不州期的规非出现
1+2
11(-3)
、1-还2
1--3)
-2
2023÷4=505…3
a41一：
内
1)
a2e的值是-之
1-3
a,1-u
1
例2
若a+日5，则a2+。
考点追踪：本题考查了分式的混合运算，掌握完全平方公式是解题的关键，
试题精析：利用完全平方公式将a2+是变形为(a十)°
2,再将a十】=5代入计算即可.
a
a
解题逻辑：
ctg-(uta)2
+-(5-2-3
例3
化简并求值：(。二）÷2
,其中a=-2.
考点追踪：本题考查了分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键，
试题精析：先根据分式的运算法则进行化简，再代入求值，
解题逻辑：
a-2
部2
原式：g11）-(-3),1-
、2
〔a11)〔a-1)2
-+
0=-2
原式=-
2+125+1=-.
解决问题
由上得：2(n-1)dk-2(k-1)dm=2ndk-2dk-2ndk+
解得一子4-2以含去
2dn=2d(n-k)>0
.方案1的路径总长大于方案2的路径总长；
∴No-8)
2k-10d-号×(2k-1Ddh-[2-2)k-2+
综上N(0.15-5①)或N(0.15+5④)或
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6
]
N0,-5或N0,5)减N(0,8)或No,-)
.'n>k≥3，
[学习实践]
当k=3时，(2-2)X3-2+=4-5y>0,此时
1.A2.A3.10004.-25.6xy+18y
2
2
6.(1)(2×5+1)2=(6×10+1)2-(6×10)2:
2-1Ddn-
(2)第n个等式：(21+1)2=[(n+1)×2n+1]2-[(n十
2
X(2k-1)dn>0,
1)×2m]2.
方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是选择
最短的路径，减少对波萝的损耗.
证明：左边=(2n十1)2=4n2十4n十1，
右边=[(n+1)×2m+1]2-[(n+1)×2m]
专题3分式运算与变形求值
=[(n+1)×2n]+2×(n+1)×2m+12
[学习领航]
[(n+1)×2]2
例1解：由题意得
=4n2十4n十1，
a1=2,
∴.左边=右边，即原等式(2m十1)2=[(n十1)×2n十
_1+a1_1+2
-3,
1]2-[(n+1)×2n]2成立.
ag=1-a11-2
7.(1)由题图可知：S1=(a十2)(a十1)=a2+3a十2，
_1a2=1+(-3=-1
ag=1-a1-(-3)
2
S2=(5a+1)×1=5a+1,
当a=2时，S1十S2=4+6+2+10+1=23.
1十a8
1+(2)
1
(2)S1>S2,理由如下：
3
,S1-S2=a2+3a+2-(5a+1)=a2-2a+1=(a
1)2,
1十a4
1+
3
=2,
又a>1,∴.(a-1)2>0,∴.S1-52>0,即S1>S2.
a5=1一a41一3
1
8.分析问题
方案1：根据题意，每行有个籽，行上相邻两籽的间距为
d,每行铲的路径长为(n一1)d.
二a。的值按2，一3，二号，3，…4次一个循环周期
:每列有k个籽，呈交错规律排列，∴相当于有2行，
的规律出现
.铲除全部籽的路径总长为2(n一1)d
2023÷4=505…3,
故答案为：(n-1)d;2;2(n-1)dk.
1
方案2：根据题意，每列有k个籽，列上相邻两籽的间距为
∴a202的值是一2
d,.每列铲的路径长为（一1）d.
故选A
,每行有n个籽，呈交错规律排列，∴相当于有2！列，
例2解：a十上=5，
∴.铲除全部籽的路径总长为2(k一1)dn
a
故答案为：2(k-1)dm.
+e+-2=5-2=8
方案3：由题图得，斜着铲每两个点之间的距离为
故答案为3.
+d_2d
例3解：a=一2，
2
2
∴a一1=-30，
根据题意，得一共有2n列，2k行，斜着铲相当于有n条线
段长，同时有(2k一1)个，
原式=a+1)a-3).1-4
(a+1)(a-1)
2
之全部仔的路径总长为：号×(2-1d.
a+a-D号
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