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专题4
方程（组）
专题4方程（组）
【学习要点】
一次方程（组）、一元二次方程和分式方程，强调分式方程的检验；通过具体问题中的数量
关系，利用方程思想解决问题.
【学习领航】
例1我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳
长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来
量，井外余绳一尺.绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为
()
A3-4=-1
c-4=+1
D3r+4=x+1
考点追踪：本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方
程是解题的关键.
试题精析：设绳长是x尺，根据把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺列
方程即可.
例2我国古代夏禹时期的“洛书”（图1），就是一个三阶“幻方”（图2）.观察图1、图2，我们可
以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系.在显示部分数据的新“幻方”（图3）中，根据找出的关
系，可推算出yx的值为
00K0H0
4
9
4
816
图1
图2
图3
考点追踪：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解
题的关键.
试题精析：由图2中的数据，可得出“幻方”中各行、各列以及各对角线上三个数字之和相等，结
合图3中的数据，可列出关于x,y的二元一次方程组，解之可得出x,y的值，再将其代入y
中，即可求出结论，
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专题4
方程（组）
例3若一次函数y=k.x十b(k≠0)的图像经过第一、二、四象限，求方程bx2一2x十k=0有几
个根.
考点追踪：本题考查了一次函数性质、根的判别式，根据当△>0时方程有两个不相等的实数
根来解答。
试题精析：根据一次函数图像经过的象限可得出k<0,b0,利用根的判别式即可解答，
解题逻辑：
次函数=和的降像经过
c0,h0
-hk(0
第·、二、四象限
4=(-2)2-4bk=4-4k
方程有两个不州等的实数根△0
例4为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A,B两种机器，A型机器比B型机器每天
多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数
相等.B型机器每天处理多少吨垃圾？
考点追踪：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键
试题精析：设B型机器每天处理x吨垃圾，则A型机器每天处理(x十40)吨垃圾，利用工作时
间=工作总量÷工作效率，结合A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃
圾所用天数相等，可列出关于x的分式方程，解之，经检验后，即可得出结论，2
m2一p2=2..③的结论正确.
a+1
当a=一2时，
1+1-1=0,.1=-1="2:p=1,
m p n np
原式=
-2+1=2,
1
1
加=1一力.：m一n十p=0心m=1一p心m
=m,
24B7
例4解：(1)A=x-1
m2=1,m=士1.∴.④的结论不正确.
x-4
,∴正确的结论为①②③.故选C.
A+B+-2
x一4
=2
3.解：a2-b2=4ab,
∴A与B互为“和整分式”，“和整值”k=2.
∴.a2-4ab=b2,
(2)①：C=4x-4
.(a-2b)2=562,
-2D
G
x2-4
.a=(2士5)6.
C+D=4x-4
G(4x-4)(x十2)
.a>0,b>0,
x-2
x2-4(x十2)(x-2)
,.a=(2十√5)b
G
4x2+4x-8+G
(x+2)(x-2)(x+2)(x-2)
:a+26_-2+5)6+2645+5
,C与D互为“和整分式”，且“和整值"”=4，
a-2b(2+5)b-26
5
9
4
放答案为1
4.x2+4.x-8+G=4(x2一4).
4解：原式=-1-8.-(x-1D
得G=一4x-8.
x一1
(x-3)2
G
-4(x十2)
(x+3)(x-3)-(x-1)
②，D=
(x+2)(x-2)
x-1
(x-3)
4
=
x+3
x-21
x-3
若x为正整数，分式D的值也为正整数，
当x取1,3时，原式无意义
x-2=-1或x-2=-2或x-2=-4.
把x=2代入得：
x=1(x=0,x=-2舍去).
[学习实践]
原式
1.解：原式--m+m-1+m.
a(b+3)b(a+1)
1-m
5解：(1)M-N=g-at=
bb+3一b(b+3)b(b+3)
当m=0时，原式=1：
ab+3a-ab-8 3a-b
b(b+3)
b(b+3)
当m=一1时，原式=0.
:3a>b>0,
.*1-m≠0，
,∴.3a-b>0,b(b+3)>0
m≠1，原式≠2.
,3a-b
.不可能为2.
6b+3)>0.M>N
故选D.
2.解：m-n十p=0,n-p=.:m>0,n-p>0,
(2器-号23X6522x68
68×65
68X65<0,
>p.①的结论正确.
.m-n十p=0,p=1,.m一n=一1，.n=m十1.
瓷器
:1+11
1
故答案为：<
=0,p=1,∴
+1=1m=1.
专题4方程（组）
∴.m十n=mn,.∴.m十m十1=m(m十1)，∴.m2一m=1.
[学习领航]
②的结论正确.
例1解：设绳长是x尺.
:1+11
=0,.m十p=,
1
1
m n p
m p
依题查得了。一4仁
4x-1.
,1=m卫.m一n十p=0,n=
故选A.
mp
mp
例2解：：4+9+2=3+5+7=8+1+6=4+3+8=9+5
m十p,主。=mb,mp=(m十p)(m-p)=
+1=2+7+6=4+5+6=2+5+8=15,

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