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专题9
圆
专题9
圆
【学习要点】
乖径定理：乖有十垓的
点与圆：不在同条直线上的三个点确定·个圆-
直径平分城，并且平分换
7
所对的两条弧，
划线判定：经过半径的外洲币
轴对称
且垂古于这条半径的古线
淮论：业分弦（不是古径）
古线与侧
的百径乖直于骇.并且平
切线性质：的划线乖古十过
分弦所对的两条弧，
切点的半径
圆心角定理：在问圆或等
角形的外心
圆巾，相等前圆心角所对
角形与圆
切线长定理
的弧相等，所对的弦也相
布形的内心
等
圆侧周价定理：
条弧所对
四边形与岗：内接四边形对布三补
的圆周角等丁亡所对前圆
「心对称
心角的一水
止多边形与周
论：心同弧或等弧所对
的圆调布和等：②半圆
〔且径)所对的网周角是
州形·锥
土角、90°的网周角所对
的弦是直径.
【学习领航】
例1如图，AB是圆的直径，∠1，∠2，∠3，∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1，∠4的一
边分别经过点A,B,则∠1十∠2十∠3十∠4=
考点追踪：圆周角定理，半圆的度数为180°，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，
试题精析：根据半圆的度数为180°，同孤所对的圆周角是圆心角的一半，即可得出结果.
解题逻辑：
同弧所对的角是厨心角的·
∠1+∠2+∠3+∠4=90
半网的度数为180
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专题9
圆
例2在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心O到直线1的距离为3，点P为圆上的一个动
点，则点P到直线（的最大距离是
()
A.2
B.5
C.6
D.8
考点追踪：本题考查直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置与圆心到直线的距离之间的关
系是解决问题的关键，
试题精析：根据圆心到直线（的距离为3，而圆的半径为2，此时直线与圆相离，当点P在⊙O
上运动时，当点P在BO的延长线与⊙O的交点时，点P到直线1的距离最大，根据题意画出
图形进行解答即可
解题逻辑：
判断.点P到白线的距离最大
白线j园的位置关系
刑P的位置
而出节解得距离
例3铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗
示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为
点O,AB所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心.若AB=2√3，则花窗的周
长（图中实线部分的长度）=
(结果保留π)
考点追踪：本题考查正多边形和圆、弧长的计算，掌握正六边形的性质、三角
形的内心的性质以及直角三角形的边角关系、孤长的计算方法，是正确解答的关键
试题精析：根据正六边形的性质、三角形内心的性质以及直角三角形的边角关系求出AB所对
应的圆心角的度数及半径，由孤长公式求出孤AB的长，再计算AB长的6倍即可.
解题逻辑：
根止入边形的性质
保得B所对应的圆角的度数发平径
解得：
根郴：三布形内心的性质以艾古布三价形的边价关系
根据炫长公式一
【根化窗的周长与的关系求料卜[解得4B}
例4如图，已知两条平行线l1,l2,点A是11上的定点，AB⊥l2于点
B,点C,D分别是l1,l2上的动点，且满足AC=BD,连接CD交线段
AB于点E,BH⊥CD于点H.则当∠BAH最大时，sin∠BAH的值为∴S=20E·HN-号X4xX4(4-x)=-8(x
,.∠1=30
专题9圆
2)2+32.
-8<0
[学习领航]
例1：AB是圆的直径，
∴x=2时，△OEH的面积最大，
∴AB所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为180°，
.0E=4x=8=7EG=0G.0F=5x=10
:∠1，∠2，∠3，∠4所对的弧的和为半圆.
2 HF=OH
六∠1+∠2+∠3+∠4=2×180°=90，
.四边形EFGH是平行四边形.
故答案为90.
[学习实践」
例2解：如图，由题意得，OA=2,OB=3.
1.证明：(1)：点O为对角线BD的中点，
当点P在B)的延长线与⊙O的交点时，点P到直线
∴OD=OB.
!的距离最大
:四边形ABCD是平行四边形，
此时，点P到直线1的最大距离是3+2=5.
∴.DF∥EB,
故选B.
∠DFE=∠BEF.
在△DOF和△BOE中，
I∠DFO=∠BEO,
∠DOF=∠BOE,
DO-BO,
,.△DOF≌△BOE(AAS).
(2),△DOF≌△BOE,
例3解：如图，过点C作CM⊥AB于点M,则AM=BM=
∴.DF=EB
2AB=5.
.DF//EB.
.四边形DFBE是平行四边形，
.'.DE=BF.
2.解：(1)四边形ABCD是菱形.理由如下：
如图1，作CH⊥AB,垂足为点H,CG⊥AD,垂足为点G.
·两个纸条为矩形，
..AB//CD.AD//BC.
六条等弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为
,四边形ABCD是平行四边形
点O,
SaAD=AB·CH=AD·CG,且CH=CG,
.∠AOB
360=60.
6
..AB=AD,
.OA=OB.
,四边形ABCD是菱形
.△AOB是正三角形
:点C是△AOB的内心，
÷∠CaB=∠CBA=号X60=30,∠ACB
2∠AOB=120
在Rt△ACM中，AM=√3，∠CAM=30°，
图1
图2
AC=-
AM
830=2,
(2)如图2，作AM⊥CD,垂足为点M
:S菱形Acw=CD·AM=8cm2,且AM=2cm,
∴AB的长为120X2-4
180
.'.CD=4 cm.
4
∴花窗的周长为3元×6=8元
∴.AD=CD=4cm
AM 1
故答案为8π
在R△ADM中，sin∠1=AD2·
例4解：AC∥BD,且AC=BD
15
,.四边形ACBD是平行四边形，
∴.OC⊥AB.
ME=BE=号AB
OA=OB,∠AOB=120,
,A为定点，且AB⊥12，
∴∠A0C=∠B0C=2∠A0B=60
AE为定值.
.OD=OC.OC=OE.
:BH⊥CD,
∴·△ODC和△OCE都是等边三角形，
∠BHE=90°，
..OD=OC=DC.OC=OE=CE
点H在以BE为直径的圆上运动（如图，O为
∴.OD=CD=CE=OE,
圆心)，
.四边形ODCE是菱形
(2)解：如图2，连接DE交OC于点F.
D
此时0E=号BE-号aA。
图2
四边形ODCE是菱形，
:当AH与⊙O相切时∠BAH最大，
mBAH-8识-号
2OC=1,DE=2DF,∠OFD=90°.
3
在Rt△ODF中，OD=2,
故答案为行
.DF=√OD2-OF=√22-1平=√5，
例5(1)证明：如图，连接OE.
∴.DE=2DF=23
.OA=OE
,∴，图中阴影部分的面积=扇形ODE的面积一菱形
∴.∠OAE=∠OEA.
ODCE的面积
,∠EAB=∠EAD,
=120m×221
360
OC·DE
.∠EAD=∠OEA,
∴.OEAF.
=41
32X2X23
,EF⊥AD,
.EF⊥OE.
=-25.
:OE是⊙0的半径，
∴EF是⊙O的切线.
即图中阴影部分的面积为-23。
(2)解：如图，连接OD
例7解：(1)CA=CB,∠ACB=60°，
.AB//DC.
.△ABC为等边三角形，
.∠BAE=∠DEA.
,.∠BAC=60°
:∠EAB=∠EAD,
,AD为⊙O的直径，
∴.∠EOB=∠EOD,
.∠ABD=∠ACD=90°，∠BAD=∠CAD=
∴∠EOB=∠EOD=∠DOA=60°.
.OE∥AF,ABDC
号∠BAc-30,
,.∠C=609
:.CD-BD-ZAD.
例6(1)证明：如图1，连接O
.'.AD-BD=CD.
故答案为AD一BD=CD
(2)若∠ACB=60°，点C,D在AB同侧，AD-BD与
CD的数量关系为AD-BD=CD.理由：
延长BD至点E使DE=CD,连接CE,如图1.
图1
.CA=CB,∠ACB=60°，
:⊙O和底边AB相切于点C,
.△ABC为等边三角形，

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