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专题13
几何最值问题
专题13几何最值问题
【学习要点】
动点运动轨迹为直线
利州“形线短最短”
定点定长
中动点型
动.点运动轨迹为圆或圆弧
利用三点线
定弦定师
一条发段最伯
动点运动轨迹为出他出线
构造三角形
双动点型
利州条件我出关系进行转化
两定·动一利州轴对称变换
两定两动
利州平移变换
PAPB型
定两动
利州“两点之问线段最短”一“亚线段最短”
两条线段最值
动点
P1-·PB型
二条线段最位如“费马点”祺刚}
利州旋转60变换成折线+“两点之间线段最短”
【净习领航】
例1如图，在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A(8,8),点C在边AB上，
且S名点D为0B的中点，点P为边QA上的动点，当点P在OA
上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为
(
A.(2,2)》
B(》
c()
D.(
1616
33
考点追踪：本题考查了最短路线问题以及坐标与图形性质、待定系数法求一次函数解析式，利
用轴对称进行线段的转化是本题解题的关键.
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专题13
几何最值问题
试题精析：根据已知条件得到AB=OB=8,∠AOB=45°，求得BC=6,OD=BD=4,得到
D(4,0),C(8,6).作，点D关于直线OA的对称点E,连接EC交OA于，点P,则此时，四边形
PDBC周长最小，E(0,4),求得直线EC的解析式为y=4x十4，解方程组即可得到结论.
解题逻辑：
寸3=(3=8
1(8,8)
∠A()B-45
D〔4,0)
E(0.4)
C〔8,6)
誓-}，点D为0B
的巾点
D关丁出线(A
白线卫的解析
的对称点E
式为y-年4
v=x
交R为P9.总】
例2如图，矩形ABCD中，AB=√3，BC=1,动点E,F分别从点A,C同
时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB,CD向终点B,D运动，过点
E,F作直线l,过点A作直线l的垂线，垂足为G,则AG的最大值为
(
A.√3
C.2
D.1
考点追踪：本题考查了矩形的性质、圆的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，找到点
G的运动轨迹是本道题目解题的关键.
试题精析：连接AC,交EF于，点O,由勾股定理可求AC的长，由“AAS”可证△COF≌
△AOE,可得AO=CO=1.由AG⊥EF,可得，点G在以AO为直径的圆上运动，则AG为直径
时，AG有最大值为1，即可求解.
解题逻辑：
AB-百
CF-AE
1=2
B.-1
10-C0-1
1BCD∠ACD-LCAB
△COF2△OE(AAS
1G⊥EF
∠COF-∠A(OE
点G在以4(0为直径的圆上运动
A最人值为1
871-6
其对称轴为m=2
,且63
2≥2
①当<1片≤3时，即-5<-2
由图2可知，
D
当a-与时取得最大值，
设直线EC的解析式为y=kx十b,
解得b=-3或6=5（舍去）.
6=4,
(8服+b=6,
1
k4
解得
b=4.
1
小直线BC的解析式为y=4x十4，
:直线OA的解析式为y=x,
图2
y=x,
②当22>3时.得6<-5
联立
解得
4x+4,
16
y=3
由图3可知，
当m=3时，t取得最大值4，
P(传)
解得6=9（舍去。
故选D.
例2解：如图，连接AC,交EF于点O.
D、
13
y
,四边形ABCD是矩形，
.ABCD,∠B=90.
图3
.AB=√3，BC=1,
综上所述，6的值为-3.
∴.AC=2.
[学习实践]
动点E,F分别从点A,C同时出发，以每秒1个单
1.D2.B
位长度的速度沿AB,CD向终点B,D运动，
f-x十70(22≤x30)
∴.CF=AE
3.(1)y
(2)当销售价格为35
-2x+100(30.AB//CD.
元/kg时，利润最大为450元.
∴.∠ACD=∠CAB.
专题13几何最值问题
又，∠COF=∠AOE,
[学习领航]
∴.△COF≌△AOE(AAS),
例1解：：在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A(8,8),
.A0=C0=1.
∴.AB=OB=8,∠AOB=45.
AG⊥EF,
..AC1
∴.点G在以AO为直径的圆上运动，
CB=3,点D为OB的中点，
∴.AG为直径时，AG有最大值为1.
..BC=6.OD=BD=4,
故选D.
.D(4,0),C(8,6).
例3解：如图，过点C作CK⊥1于点K,过点A作AH⊥
如图，作点D关于直线OA的对称点E,连接EC
BC于点H.
交OA于点P,则此时，四边形PDBC周长最小，
在Rt△AHB中，
E(0,4).
:∠ABC=60°，AB=2,
24
.BH=1,AH=5
Di
,∴.△ABP≌△AHE,
.∠BAP=∠HAE,AP=AE,AB=AH=4,
在Rt△AHC中，∠ACB=45,
∠BAH=60°，
∴AC=√AH+C=vW3)2+(W3)2=√6.
∠HAB=∠EAP=60°，
:点D为BC中点，
∴△AEP是等边三角形，
..BD=CD,
∴.AE=AP=EP,
在△BFD与△CKD中，
..AP+BP+PC=PC+EP+EH,
「∠BFD=∠CKD
当点H,E,P,C共线时，PA十PB十PC有最小
∠BDF=∠CDK,
值HC.
BD=CD.
:∠CAN=180°-∠BAH-∠BAC=60°，
.△BFD≌△CKD(AAS).
CN⊥AN,
..BF=CK.
.∠ACN=30,
延长AE,过点C作CN⊥AE于点N,
AN-AC-3.CN -AN -33.HN-
可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN.
AH+AN=7.
在Rt△ACN中，AN∴.CH=√IN2+CNz=√/49+27=2W/19.
当直线1⊥AC时，AV有最大值为√6，
[学习实践
综上所述，AE十BF的最大值为W6,
1.2w/13
故选A.
2.(1)证明：如图1中，作FM⊥AC,垂足为M.
例4解：如图，过点P作PE⊥AD,交AD的延长线于
点E
图1
,四边形ABCD是矩形，
.AB//CD.
∴.∠B=90
∴∠EDP=∠DAB=60,
,FM⊥AC
∴.sin∠EDP=
P√3
DP 2'
∴∠B=∠AMF=90°
p-9n.
:∠BAC=∠EAF,
∴∠BAE=∠MAF.
在△ABE和△AMF中，
PB+PD=PB+PE
∠B=∠AMF,
∴当点B,P,E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有
∠BAE=∠MAF
最小值，即最小值为BE,
AE-AF,
A-脂-9E=3w.
∴.△ABE≌△AMF(AAS),
..AB=AM.
故答案为：33.
(2)解：当点E在BC上，在Rt△ABE中，AB=4,AE=
例5解：如图，将△ABP绕着点A顺时针旋转60°，得到
3√2，
△AEH,连接EP,CH,过点C作CN⊥AH,交HA
∴BE=√AE-AB2=√(32)2-4=√2.
的延长线于点N.
△ABE≌△AMF,
25

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