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7.1.2　全概率公式
学习任务 1．了解利用概率的加法公式和乘法公式推导全概率公式．(数学抽象) 2．理解全概率公式，会用全概率公式计算概率．(数学运算) 3．了解贝叶斯公式，并会简单应用．(数学抽象、数学运算)
学校的“我为祖国献计献策”演讲比赛共有20名同学参加，学校决定让参赛选手通过抽签决定出场顺序．不过，张明对抽签的公平性提出了质疑，他的理由是，如果第一个人抽的出场顺序是1号，那么其他人就抽不到1号了，所以每个人抽到1号的概率不一样．张明的想法正确吗？特别地，第一个抽签的人抽到1号的概率与第二个抽签的人抽到1号的概率是否相等？为什么？
知识点1　全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组________的事件＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，3，…，n，则对任意的事件B Ω，有P(B)＝________．
(1)全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即采用化整为零的方式，把各块的概率分别求出，再相加求和．
(2)全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式：P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋…＋P(AnB)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋…＋P(An)P(B|An)．
*知识点2　贝叶斯公式
设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝＝________，i＝1，2，…，n．
1．已知P(BA)＝0.4，P(B)＝0.2，则P(B)的值为________．
2．已知P(B1)＝0.4，P(B2)＝0.4，P(B3)＝0.2，且B1，B2，B3互斥，P(A|B1)＝0.9，P(A|B2)＝0.8，P(A|B3)＝0.7，则P(A)＝________．
3．设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为________．
类型1　两个事件的全概率问题
【例1】　(源自人教B版教材)某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占．求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　两个事件的全概率问题求解策略
(1)拆分：将样本空间拆分成对立的两部分如A1，A2(或A与)；
(2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率；
(3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)．
[跟进训练]
1．(源自北师大版教材)采购员要购买某种电器元件一包(10个)．他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如这3个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有4个次品的包数占30%，而其余包中各含1个次品，求采购员随机挑选一包拒绝购买的概率．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　多个事件的全概率问题
【例2】　甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7．飞机被一人击中且击落的概率为0.2，被两人击中且击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　“化整为零”求多事件的全概率问题
(2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1，2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和．
[跟进训练]
2．如图所示，有三个箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同．某人先从三箱中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率以及该球取自几号箱的可能性最大．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　全概率公式与贝叶斯公式的综合应用
【例3】　某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的．根据以往的记录有以下的数据：
元件制造厂 次品率 提供元件的份额
Ⅰ 0.02 0.15
Ⅱ 0.01 0.80
Ⅲ 0.03 0.05
设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志．
(1)在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；
(2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，求此次品由三家工厂生产的概率分别是多少．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验具体结果未知，那么：(1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式．
(2)如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率．熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效．
[跟进训练]
3．同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95，0.90，0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，现有三家的产品混合在一起．
(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；
(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性最大？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3，0.1，0．则他迟到的概率为(　　)
A．0.65　　B．0.075　　C．0.145　　D．0
2．两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为(　　)
A．0.21 B．0.06
C．0.94 D．0.95
3．(多选)若0A．P(A|B)＝
B．P(AB)＝P(A)P(B|A)
C．P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)
D．P(A|B)＝
4．甲袋中有3个白球和2个黑球，乙袋中有4个白球和4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．你能写出全概率公式吗？
2．什么情况下使用全概率公式？
3．你能写出贝叶斯公式吗？
7.1.2　全概率公式
[必备知识·情境导学探新知]
知识点1　两两互斥　
知识点2　
课前自主体验
1．0.6　[由P(BA)＝P(A)P(B|A)，P(B)＝P()·P(B|)，
得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝P(BA)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6．]
2．0.82　[P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)·P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝0.4×0.9＋0.4×0.8＋0.2×0.7＝0.82．]
3．0.8　[设公路上经过的车为货车是事件A，经过的车是客车为事件B，车需要修理为事件C，且P(A)＝，P(B)＝，P(C|A)＝0.02，P(C|B)＝0.01，
所以P(A|C)＝＝＝0.8．]
[关键能力·合作探究释疑难]
例1　解：如果用A与分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的，B表示是女生．则根据已知，有P(A)＝，P()＝，
而且P(B|A)＝，P(B|)＝．
题目所要求的是P(B)．
由全概率公式可知P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝××．
跟进训练
1．解：设事件B1表示“取到的是含有4个次品的包”，事件B2表示“取到的是含有1个次品的包”，事件A表示“采购员拒绝购买”，则P(B1)＝，P(B2)＝．又由古典概型计算概率的公式，可知P(A|B1)＝1－，
P(A|B2)＝1－．
从而由全概率公式，可知
P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝××＝．
因此，采购员随机挑选一包拒绝购买的概率为．
例2　解：设事件A表示“飞机被击落”，事件Bi表示“飞机被i人击中”(i＝0，1，2，3)，依题意，P(A|B0)＝0，P(A|B1)＝0.2，P(A|B2)＝0.6，P(A|B3)＝1．再设事件Hi表示“飞机被第i人击中”(i＝1，2，3)．
则P(B1)＝P(H1∪H2∪H3)
＝0.4×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.7＝0.36．
同理P(B2)＝P(H1H2∪H1H3∪H2H3)＝0.41，
P(B3)＝P(H1H2H3)＝0.14，
P(B0)＝P()＝0.09．
由全概率公式，可知
P(A)＝P(B0)P(A|B0)＋P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)
＝0.09×0＋0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1
＝0.458．
因此，飞机被击落的概率为0.458．
跟进训练
2．解：设事件Bi表示“球取自i号箱”(i＝1，2，3)，事件A表示“取得红球”．
由全概率公式，可得
P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝×××．
再由条件概率知，
P(B1|A)＝，
P(B2|A)＝，
P(B3|A)＝．
因此，该球是取自1号箱的概率为，该球取自3号箱的可能性最大．
例3　解：设A表示取到的是一只次品，Bi(i＝1，2，3)表示所取到的产品是由第i家工厂提供的．
本题的概率树形图如下：
易知P(B1)＝0.15，P(B2)＝0.80，P(B3)＝0.05，
P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.03．
(1)由全概率公式得P(A)＝P(A|B1)·P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝0.0125．
(2)由贝叶斯公式得P(B1|A)＝＝0.24．
同理可得P(B2|A)＝0.64，P(B3|A)＝0.12．
跟进训练
3．解：设事件A表示取到的产品为正品，B1，B2，B3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产．则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥，
由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5，
P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8．
＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86．
(2)由贝叶斯公式得
P(B1|A)＝，
P(B2|A)＝，
P(B3|A)＝．
由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大．
[学习效果·课堂评估夯基础]
1．C　[设A1＝他乘火车来，A2＝他乘船来，A3＝他乘汽车来，A4＝他乘飞机来，B＝他迟到．易知A1，A2，A3，A4两两互斥，由全概率公式得P(B)＝
2．D　[令B＝取到的零件为合格品，Ai＝零件为第i台机床的产品，i＝1，2．由全概率公式得：P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×0.96＋×0.93＝0.95．故选D．]
3．BCD　[由条件概率的计算公式知A错误；由乘法公式知B正确；由全概率公式知C正确；P(B)P(A|B)＝P(AB)，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)，故D正确．故选BCD．]
4．　[设A＝“从乙袋中取出的是白球”，Bi＝“从甲袋中取出的2球恰有i个白球”，i＝0，1，2．由全概率公式P(A)＝P(B0)P(A|B0)＋P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝···．]
课堂小结
1．提示：全概率公式
P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋…＋P(Bn)P(A|Bn)．
2．提示：若某一事件的发生可能是由多种情况(原因)引起，那么求此事件的概率，用全概率公式．
3．提示：贝叶斯公式7.2　离散型随机变量及其分布列
学习任务 1．借助教材实例，了解离散型随机变量及其分布列．(数学抽象) 2．了解离散型随机变量的性质、两点分布的概念．(数学抽象) 3．会求简单的离散型随机变量的分布列．(数学建模、数据分析)
在抛掷一枚骰子的试验中，正面向上的点数可以为“1，2，3，4，5，6”六种情况，每种情况的概率均为．为了用数学语言来清晰描述每个随机现象的规律，我们可以用“1”表示掷出1点，用“2”表示掷出2点……以此类推．那么所有随机现象的结果都可以用数字表示吗？这些数字又能否用一个变量来表示呢？
知识点1　随机变量
(1)随机变量的概念
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有________的实数________与之对应，我们称X为随机变量．
(2)随机变量的特点
①取值依赖于样本点．
②所有可能取值是明确的．
(3)随机变量的表示
通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z．
(4)离散型随机变量
可能取值为________或可以________的随机变量，称为离散型随机变量．
(5)离散型随机变量的特征
①可用数值表示；
②试验之前可以判断其出现的所有值；
③在试验之前不能确定取何值；
④试验结果能一一列出．
(1)所谓随机变量，就是随机试验的试验结果与实数之间的一种对应关系，这种对应关系是人为建立起来，但又是客观存在的．
(2)随机试验的结果可用数量来表示，有些随机试验的结果虽然不是数量，但可以将它数量化，如抛一枚硬币，所有可能的结果是“正面向上”“反面向上”，在数学中可以用“1”代表正面向上，用“0”代表反面向上．
1．随机变量与函数有类似的地方吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点2　概率分布列
(1)概念
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
(2)表示
离散型随机变量的分布列可以用________或图形表示．
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
(3)性质
①pi________0，i＝1，2，…，n．
②p1＋p2＋…＋pn＝________．
对分布列的理解应注意的问题
(1)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象，与函数的表示法一样，离散型随机变量的分布列也可以用表格、等式P(X＝xi)＝pi和图象表示．
(2)离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且也能清楚地看到取每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布状况，是进一步研究随机变量数字特征的基础．
2．求离散型随机变量的分布列的步骤是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点3　两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝
如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如表所示．
X 0 1
P 1－p p
我们称X服从________或0—1分布．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个． (　　)
(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．
(　　)
(3)试验之前可以判断离散型随机变量的所有值． (　　)
(4)两点分布中只有两个结果，且两个结果是对立的． (　　)
2．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用X表示甲的得分，则{X＝3}表示(　　)
A．甲赢三局
B．甲赢一局
C．甲、乙平局三次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
3．下列四个选项：
①某机场候机室中一天的旅客数量X；
②连续投掷一枚均匀硬币4次，正面向上的次数X；
③某篮球下降过程中离地面的距离X；
④某道路斑马线一天经过的人数X．
其中不是离散型随机变量的是(　　)
A．①中的X B．②中的X
C．③中的X D．④中的X
4．若P(X>0)＝0.3，则P(X≤0)＝________．
类型1　随机变量的概念
【例1】　(1)10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是(　　)
A．取到产品的件数　　 B．取到正品的概率
C．取到次品的件数 D．取到次品的概率
(2)下列随机变量中不是离散型随机变量的是________．(填序号)
①某宾馆每天入住的旅客的数量X；
②某水文站观测到一天中珠江的水位X；
③深圳欢乐谷一天接待游客的数量X；
④虎门大桥一天经过的车辆数量X．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的具体方法
(1)明确随机试验的所有可能结果．
(2)将随机试验的试验结果数量化．
(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．
[跟进训练]
1．指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由．
(1)某座大桥一天经过的车辆数X；
(2)某超市5月份每天的销售额；
(3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；
(4)某水位监测站所测水位在(0，29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　随机变量的可能取值及试验结果
【例2】　写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X．
(2)一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
1．(变条件、变设问)在本例(1)条件下，规定每取出一个红球赢2元，而每取出一个白球输1元，以ξ表示赢得的钱数，结果如何？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．(变设问)本例(2)中，“最大”改为“最小”，其他条件不变，应如何解答？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　用随机变量表示随机试验的结果的关键点和注意点
(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果．
(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．
[跟进训练]
2．写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)在2023年北京大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；
(2)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用ξ表示．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　分布列及其性质的应用
【例3】　(源自湘教版教材)设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，4，其中c为常数，求P的值．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　离散型随机变量分布列的性质的应用
(1)利用离散型随机变量的分布列的性质可以求与概率有关的参数的取值或范围，还可以检验所求分布列是否正确．
(2)由于离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的，所以离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
[跟进训练]
3．若离散型随机变量X的分布列为
X 0 1
P 9c2－c 3－8c
试求出离散型随机变量X的分布列．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型4　离散型随机变量的分布列
　离散型随机变量的分布列
【例4】　同时掷两枚质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数，求两枚骰子中出现的最大点数X的分布列．
[思路导引]　→
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　两点分布的分布列
【例5】　袋内有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记X＝求X的分布列．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求离散型随机变量分布列时应注意的问题
(1)确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率．
(2)在求离散型随机变量ξ的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可以验证分布列是否正确．
[跟进训练]
4．(源自北师大版教材)一袋中装有6个完全相同的黑球，编号分别为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，用X表示取出球的最大编号，求X的分布列．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(多选)下列随机变量是离散型随机变量的是(　　)
A．连续不断地射击，首次击中目标所需要的射击次数X
B．南京长江大桥一天经过的车辆数X
C．某型号彩电的寿命X
D．连续抛掷两个质地均匀的骰子，所得点数之和X
2．已知离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P m
则m的值为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
3．抛掷两颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)等于(　　)
A． B．
C． D．
4．在考试中，需回答三个问题，考试规定：每题回答正确得10分，回答不正确得－10分，则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是 ________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．随机变量与函数有什么异同？
2．离散型随机变量有哪些特征？
7.2　离散型随机变量及其分布列
[必备知识·情境导学探新知]
知识点1　(1)唯一　X(ω)　(4)有限个　一一列举
思考1　提示：随机变量和函数都是一种对应关系，随机变量把样本点与实数对应，函数把实数与实数对应，由随机变量的定义知，样本点ω相当于函数定义中的自变量，样本空间Ω相当于函数的定义域．
知识点2　(2)表格　(3)≥　1
思考2　提示：求离散型随机变量的分布列的步骤：
(1)找出随机变量X所有可能的取值xi(i＝1，2，3，…，n)；
(2)求出相应的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，3，…，n)；
(3)列成表格形式．
知识点3　两点分布
课前自主体验
1．(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
2．D　[由题意得{X＝3}有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．]
3．C　[①、②、④中的随机变量X可能取的值，我们都可以按一定次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；③中的X可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故③中的X不是离散型随机变量．]
4．0.7　[P(X≤0)＝1－P(X>0)＝1－0.3＝0.7．]
[关键能力·合作探究释疑难]
例1　(1)C　(2)②　[(1)①对于A中取到产品的件数，是一个常量不是变量，B，D也是一个常量，而C中取到次品的件数可能是0，1，2，是随机变量．
(2)①③④中的随机变量X的可能取值都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中的随机变量X可以取某一区间内的一切值，但无法按照一定的次序一一列出，故不是离散型随机变量．]
跟进训练
1．解：(1)车辆数X的取值可以一一列出，故X为离散型随机变量．
(2)某超市5月份每天销售额可以一一列出，故为离散型随机变量．
(3)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．
(4)不是离散型随机变量，水位在(0，29]这一范围内变化，不能按次序一一列举．
例2　解：(1)X可取0，1，2，3．X＝0表示取5个球全是红球；
X＝1表示取1个白球，4个红球；
X＝2表示取2个白球，3个红球；
X＝3表示取3个白球，2个红球．
(2)X可取3，4，5．X＝3表示取出的球编号为1，2，3；
X＝4表示取出的球编号为1，2，4；1，3，4或2，3，4．
X＝5表示取出的球编号为1，2，5；1，3，5；1，4，5；2，3，5；2，4，5或3，4，5．
母题探究
1．解：ξ可取1，4，7，10．
ξ＝10表示取5个球全是红球；
ξ＝7表示取1个白球，4个红球；
ξ＝4表示取2个白球，3个红球；
ξ＝1表示取3个白球，2个红球．
2．解：X可取1，2，3．
X＝3表示取出的3个球的编号为3，4，5；
X＝2表示取出的3个球的编号为2，3，4或2，3，5或2，4，5；
X＝1表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或1，2，4或1，3，4或1，2，3．
跟进训练
2．解：(1)X可能取值0，1，2，3，4，5，
X＝i表示面试通过的有i人，其中i＝0，1，2，3，4，5．
(2)ξ可能取值为0，1，
当ξ＝0时，表明该射手在本次射击中没有击中目标；
当ξ＝1时，表明该射手在本次射击中击中目标．
例3　解：由离散型随机变量分布列的性质可知
＝1，
所以c＝1
解得c＝．
因此P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＝．
跟进训练
3．解：由已知可得9c2－c＋3－8c＝1，
∴9c2－9c＋2＝0，∴c＝或．
检验：当c＝时，9c2－c＝9×－＝>0，
3－8c＝3－＝>0；
当c＝时，9c2－c＝9×－＝>1，
3－8c＝3－＝－<0，不适合，舍去．故c＝．
故所求分布列为
X 0 1
P
例4　解：同时掷两枚质地均匀的骰子，朝上一面出现的点数有36种等可能的情况，X的可能取值为1，2，3，4，5，6，记(a，b)为两枚骰子朝上一面出现的点数，其中a为第一枚骰子掷出的点数，b为第二枚骰子掷出的点数，则可得出下表．
X 出现的点数 情况数
1 (1，1) 1
2 (2，2)，(2，1)，(1，2) 3
3 (3，3)，(3，2)，(3，1)，(2，3)，(1，3) 5
4 (4，4)，(4，3)，(4，2)，(4，1)，(3，4)，(2，4)，(1，4) 7
5 (5，5)，(5，4)，(5，3)，(5，2)，(5，1)，(4，5)，(3，5)，(2，5)，(1，5) 9
6 (6，6)，(6，5)，(6，4)，(6，3)，(6，2)，(6，1)，(5，6)，(4，6)，(3，6)，(2，6)，(1，6) 11
由古典概型可知X的分布列为
X 1 2 3 4 5 6
P
例5　解：显然X服从两点分布，P(X＝0)＝，
所以P(X＝1)＝1－，
所以X的分布列是
X 0 1
P
跟进训练
4．解：依题意知随机变量X的取值为3，4，5，6．
又易知从6个球中取出3个球，共有种取法，且每一种取法都是等可能的．
当X＝3时，取出球的最大编号为3，另两个球从1，2号球中取得，共有种取法，由古典概型计算概率的公式得
P(X＝3)＝；
当X＝4时，取出球的最大编号为4，另两个球从1，2，3号球中取得，因此
P(X＝4)＝；
当X＝5时，取出球的最大编号为5，另两个球从1，2，3，4号球中取得，因此
P(X＝5)＝；
当X＝6时，取出球的最大编号为6，另两个球从1，2，3，4，5号球中取得，因此
P(X＝6)＝．
综上，可得X的分布列为
X 3 4 5 6
P
[学习效果·课堂评估夯基础]
1．ABD　[∵B，D中X的取值有限，且可以一一列举出来，故B，D中的X均为离散型随机变量．
∵A中X的取值依次为1，2，3，…，虽然无限，但可一一列举出来，故为离散型随机变量．
而C中X的取值不能一一列举出来，
∴C中的X不是离散型随机变量．]
2．C　[由离散型随机变量的分布列的性质知，＋m＋＝1，解得m＝．]
3．A　[根据题意，有P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)．抛掷两颗骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X＝2对应(1，1)，X＝3对应(1，2)，(2，1)，X＝4对应(1，3)，(3，1)，(2，2)，
故P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，
P(X＝4)＝，所以P(X≤4)＝．]
4．－30，－10，10，30　[若答对0个问题得－30分；若答对1个问题得－10分；若答对2个问题得10分；若问题全答对得30分．]
课堂小结
1．提示：
相同点 随机变量和函数都是一种映射
区别 随机变量是随机试验的结果到实数的映射，函数是实数到实数的映射
联系 随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域
2．提示：(1)可用数值表示．
(2)试验之前可以判断其出现的所有值．
(3)在试验之前不能确定取何值．
(4)试验结果能一一列出．7.3　离散型随机变量的数字特征
7.3.1　离散型随机变量的均值
学习任务 1．理解离散型随机变量的均值的意义与性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．(数学抽象、数学运算) 2．掌握两点分布的均值．(数学运算) 3．会用离散型随机变量的均值解决一些实际问题．(数学建模、数据分析)
已知在10件产品中有2件不合格品，从这10件产品中任取3件，用X表示取得产品中的不合格品的件数．我们可求得X的分布列如下表：
X 0 1 2
P
现在我们关心的是，取3件该产品时，平均会取到几件不合格品？那么，怎样的一个数能够“代表”这个随机变量取值的平均水平呢？
知识点1　离散型随机变量的均值
(1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示，
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
则称E(X)＝__________＝
(2)意义：它反映了离散型随机变量取值的________．
(3)性质：如果X和Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则E(Y)＝E(aX＋b)＝________．
均值是随机变量的一个重要特征数，反映或刻画的是随机变量取值的平均水平，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的平均数．
(1)离散型随机变量的均值与分布列有什么区别？
(2)随机变量的均值与样本平均值有什么关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点2　两点分布的均值
若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化． (　　)
(2)随机变量的均值反映样本的平均水平． (　　)
(3)若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则E(2X)＝4． (　　)
(4)随机变量X的均值E(X)＝． (　　)
2．已知X的分布列为
X －1 0 1 2
P
则X的均值为________．
3．设X的分布列为
X 1 2 3 4
P
Y＝2X＋5，则E(Y)＝________．
类型1　求离散型随机变量的均值
【例1】　(源自北师大版教材)一个袋子里装有除颜色外完全相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则取出的红球个数的均值是多少？
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求离散型随机变量X的均值的步骤
(1)理解X的实际意义，并写出X的全部取值．
(2)求出X取每个值的概率．
(3)写出X的分布列(有时也可省略)．
(4)利用定义公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求出均值．
其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中要注重运用概率的相关知识．
[跟进训练]
1．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到豆沙粽的个数，求X的分布列与均值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　离散型随机变量均值的性质
【例2】　已知随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2
P m
若Y＝－2X，则E(Y)＝________．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
1．本例条件不变，若Y＝2X－3，则E(Y)＝________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．本例条件不变，若ξ＝aX＋3，且E(ξ)＝－，则a的值为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　关于离散型随机变量均值性质的应用
若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为实数，要求E(ξ)，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(ξ)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b求出E(ξ)．
[跟进训练]
2．已知随机变量X的分布列是
X 1 2 3
P a
则E(2X＋a)＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　离散型随机变量均值的实际应用
【例3】　随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X．
(1)求X的分布列；
(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；
(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　解答应用类问题时，首先把问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应概率．
[跟进训练]
3．(2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．随机变量X的均值就是数学期望，简称期望
B．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数
C．均值综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平
D．随机变量的均值就是样本的均值
2．若随机变量X的分布列为
X 1 4 6
P 0.55 0.3 0.15
则其数学期望E(X)等于(　　)
A．1　　B．　　C．4.5　　D．2.65
3．已知随机变量X的分布列为
X －1 0 1
P m
若η＝aX＋3，E(η)＝，则a＝(　　)
A．3　　　B．2　　　C．1　　　D．－2
4．已知小伟投篮命中率p＝0.6，则小伟投篮一次命中次数X的均值为________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．你能写出离散型随机变量的均值公式吗？
2．两点分布的均值是什么？
3．离散型随机变量的均值有哪些性质？
7.3.1　离散型随机变量的均值
[必备知识·情境导学探新知]
知识点1　(1)x1p1＋x2p2＋…＋xnpn
(2)平均水平　(3)aE(X)＋b
思考　提示：(1)离散型随机变量的分布列和均值虽然都是从整体和全局上刻画随机变量的，但二者有所不同．分布列只给了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量取值的平均水平．
(2)随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值．
课前自主体验
1．(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．　[E(X)＝－1×＋0×＋1×＋2×．]
3．　[E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×．
所以E(Y)＝E(2X＋5)＝2E(X)＋5＝2×＋5＝．]
[关键能力·合作探究释疑难]
例1　解：设X表示取出红球的个数，则X的取值为0，1，2．
P(X＝0)＝；
P(X＝1)＝；
P(X＝2)＝．
故X的分布列为
X 0 1 2
P
根据均值的定义，可知
E(X)＝0×＋1×＋2×．
跟进训练
1．解：(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝．
(2)X的所有可能取值为0，1，2，
且P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×．
例2　　[由随机变量分布列的性质，得＋m＋＝1，解得m＝，
故E(X)＝－2×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－．
由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)＝－2×＝．]
母题探究
1．－　[由本例知E(X)＝－，
则E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－3＝－．]
2．15　[E(ξ)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝－，
解得a＝15．]
跟进训练
2．C　[因为＋a＝1，所以a＝，
所以E(X)＝，
所以E(2X＋a)＝2E(X)＋．]
例3　解：(1)X的所有可能取值有6，2，1，－2．
P(X＝6)＝＝0.63，P(X＝2)＝＝0.25，P(X＝1)＝＝0.1，P(X＝－2)＝＝0.02．
故X的分布列为
X 6 2 1 －2
P 0.63 0.25 0.1 0.02
(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34．
(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为
E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01
＝4.76－x(0≤x≤0.29)．
依题意，E(X)≥4.73，
即4.76－x≥4.73，
解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%．
跟进训练
3．解：(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C，所以甲学校获得冠军的概率为
P＝P(ABC)＋P(BC)＋P(AC)＋P(AB)
＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2
＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04＝0.6．
(2)依题意知，X的可能取值为0，10，20，30，所以，P(X＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16，
P(X＝10)＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.44，
P(X＝20)＝0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.2＝0.34，
P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06．
即X的分布列为
X 0 10 20 30
P 0.16 0.44 0.34 0.06
期望E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13．
[学习效果·课堂评估夯基础]
均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平，故A、B、C正确．随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动，随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小．因此常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值，故D错误．]
2．D　[E(X)＝1×0.55＋4×0.3＋6×0.15＝2.65．]
3．B　[由分布列的性质，得＋m＝1，解得m＝，所以E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，则E(η)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝，即－a＋3＝，得a＝2．]
4．0.6　[法一：由投篮命中率p＝0.6，可得投篮一次，命中次数X的分布列为
X 0 1
P 0.4 0.6
所以E(X)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6．
法二：由题意，命中次数X服从两点分布，
所以E(X)＝p＝0.6．]
课堂小结
1．提示：E(X)＝x1p1＋x2p2＋x3p3＋…＋xnpn．
2．提示：E(X)＝p．
3．提示：E(aX＋b)＝aE(X)＋b．7.3.2　离散型随机变量的方差
学习任务 1．理解离散型随机变量的方差及标准差的概念．(数学抽象) 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．(数学运算、数据分析) 3．掌握方差的性质以及两点分布方差的求法，会利用公式求它们的方差．(数学运算)
甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的次品数分别用X1，X2表示，X1，X2的分布列如下：
次品数X1 0 1 2 3
P 0.7 0.2 0.06 0.04
次品数X2 0 1 2 3
P 0.8 0.06 0.04 0.10
(1)由E(X1)和E(X2)的值能比较两名工人生产的产品质量吗？
(2)试想利用什么指标可以比较加工质量？
知识点1　离散型随机变量的方差
(1)离散型随机变量的方差、标准差
设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2．因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度，我们称D(X)＝________________________________＝
为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的________，记为σ(X)．
(2)离散型随机变量方差和标准差的意义
随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越________；方差或标准差越大，随机变量的取值越________．
(1)方差也可以用公式D(X)＝
(2)随机变量的方差是非负常数．
随机变量的方差与样本方差有什么关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点2　离散型随机变量方差的线性运算性质
设a，b为常数，则D(aX＋b)＝________．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平． (　　)
(2)离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平． (　　)
(3)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定． (　　)
2．已知随机变量ξ，D(ξ)＝，则D(2ξ＋1)＝________．
3．已知随机变量X，D(X)＝，则X的标准差σ(X)＝________．
类型1　求离散型随机变量的方差
【例1】　(源自北师大版教材)随机抛掷一枚均匀的骰子，求掷出的点数X的方差和标准差(结果精确到0.01)．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求离散型随机变量X的方差的步骤
(1)理解X的意义，写出X的所有可能的取值．
(2)求X取每一个值的概率．
(3)写出随机变量X的分布列．
(4)由均值、方差公式求E(X)，D(X)．
[跟进训练]
1．有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求D(ξ)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　方差的性质及其应用
【例2】　已知η的分布列为
η 0 10 20 50 60
P
(1)求η的方差及标准差；
(2)设Y＝2η－E(η)，求D(Y)．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
(变条件)将本例的分布列改为
X 1 2 3 4 5
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
其他不变，如何求解？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　与离散型随机变量方差性质有关问题的解题思路
对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D(aX＋b)＝a2D(X)，这样处理既避免了求随机变量η＝aX＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程．
[跟进训练]
2．已知X的分布列为
X －1 0 1
P a
(1)计算X的方差；
(2)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　方差的简单应用
【例3】　甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为
ξ 1 2 3
P a 0.1 0.6
η 1 2 3
P 0.3 b 0.3
(1)求a，b的值；
(2)计算ξ，η的期望与方差，并以此分析甲、乙技术状况．
[思路导引]　—
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)解题时可采用比较分析法，通过比较两个随机变量的均值和方差得出结论．
(2)均值体现了随机变量取值的平均水平，有时只比较均值往往是不恰当的，还需比较方差，才能准确地得出更适合的结论．
[跟进训练]
3．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发生违反保护条例的事件次数的分布列分别为
X1 0 1 2 3
P 0.3 0.3 0.2 0.2
X2 0 1 2
P 0.1 0.5 0.4
试评定两个保护区的管理水平．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”
B．随机变量的均值反映波动幅度的大小
C．随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度
D．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散
2．已知随机变量X的分布列如下表，则X的标准差为(　　)
X 1 3 5
P 0.4 0.1 x
A．3.56 B．
C．3.2 D．
3．随机变量X的分布列如下：
X 0 1
P 0.2 m
已知随机变量Y＝aX＋b(a，b>0)，且E(Y)＝10，D(Y)＝4，则a与b的值为(　　)
A．a＝10，b＝3 B．a＝3，b＝10
C．a＝5，b＝6 D．a＝6，b＝5
4．已知随机变量X的分布列为
X 0 1 x
P p
若E(X)＝，则D(X)＝________；若Y＝4X－3，则D(Y)＝________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．随机变量X的方差和标准差反映了随机变量X的哪些特征？
2．D(X)越小，随机变量X的取值怎样？
7.3.2　离散型随机变量的方差
[必备知识·情境导学探新知]
知识点1　(1)(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn　标准差　(2)集中　分散
思考　提示：随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．
知识点2　a2D(X)
课前自主体验
1．(1)×　(2)√　(3)×
2．1　[D(2ξ＋1)＝4D(ξ)＝4×＝1．]
3．　[σ(X)＝．]
[关键能力·合作探究释疑难]
例1　解：掷出点数X的分布列如下表：
X 1 2 3 4 5 6
P
E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝3.5；
D(X)＝(1－3.5)2×＋(2－3.5)2×＋(3－3.5)2×＋(4－3.5)2×＋(5－3.5)2×＋(6－3.5)2×≈2.92；
σ(X)＝≈1.71．
跟进训练
1．解：由题意知ξ的可能取值为6，9，12．
ξ＝6表示取出的3张卡片上均标有2，
则P(ξ＝6)＝；
ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，
则P(ξ＝9)＝；
ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5，
则P(ξ＝12)＝．
∴ξ的分布列为
ξ 6 9 12
P
∴E(ξ)＝6×＋9×＋12×＝7.8，
∴D(ξ)＝(6－7.8)2×＋(9－7.8)2×＋(12－7.8)2×＝3.36．
例2　解：(1)∵E(η)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16，
∴D(η)＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384，
∴σ(η)＝＝8．
(2)∵Y＝2η－E(η)，
∴D(Y)＝D(2η－16)＝22D(η)＝4×384＝1536．
母题探究
解：(1)∵E(X)＝1×0.1＋2×0.2＋3×0.4＋4×0.2＋5×0.1＝3，
∴D(X)＝(1－3)2×0.1＋(2－3)2×0.2＋(3－3)2×0.4＋(4－3)2×0.2＋(5－3)2×0.1＝1.2，
∴σ(X)＝．
(2)∵Y＝2X－E(X)，
∴D(Y)＝D(2X－E(X))＝22D(X)＝4×1.2＝4.8．
跟进训练
2．解：(1)法一：由＋a＝1知a＝，所以X的均值E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－．故X的方差D(X)＝＝．
法二：由＋a＝1知a＝，所以X的均值E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，X2的均值E(X 2)＝0×＋1×＝，所以X的方差D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝．
(2)因为Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11．
例3　解：(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a＋0.1＋0.6＝1，
∴a＝0.3．
同理0.3＋b＋0.3＝1，解得b＝0.4．
(2)易得E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，
则D(ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，
D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6．
由于E(ξ)>E(η)，所以在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D(ξ)>D(η)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．
跟进训练
3．解：甲保护区的违规次数X1的均值和方差分别为
E(X1)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；
D(X1)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21．
乙保护区的违规次数X2的均值和方差分别为
E(X2)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；
D(X2)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41．
因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，
所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定．
[学习效果·课堂评估夯基础]
1．ACD　[随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”．随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小，所以A正确，B错误．随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量的取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散，所以C、D正确．]
2．D　[易知0.4＋0.1＋x＝1，解得x＝0.5，
所以E(X)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，
所以D(X)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56，所以X的标准差为．故选D．]
3．C　[因为0.2＋m＝1，所以m＝0.8．
所以E(X)＝0×0.2＋1×0.8＝0.8，D(X)＝(0－0.8)2×0.2＋(1－0.8)2×0.8＝0.16．
因为E(Y)＝10，D(Y)＝4，
所以aE(X)＋b＝0.8a＋b＝10，a2D(X)＝0.16a2＝4，
解得a＝5，b＝6，故选C．]
4．　　[由＋p＝1，得p＝，
又E(X)＝0×＋1×x＝，
所以x＝2．
D(X)＝＝．
因为Y＝4X－3，所以D(Y)＝D(4X－3)＝16D(X)＝16×＝．]
课堂小结
1．提示：反映了X取值的稳定性和波动，集中与离散程度．
2．提示：越稳定，波动越小．7.4　二项分布与超几何分布
7.4.1　二项分布
学习 任务 1．理解n重伯努利试验的概念．(数学抽象) 2．掌握二项分布的概率表达式．(数学抽象) 3．能利用伯努利试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．(数学运算、数据分析)
为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用冗余设备”(即正在使用的设备出故障时才启动的设备)．已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”(即一台正常设备，两台备用设备)的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.9，它们之间相互不影响，那么这个计算机网络不会断掉的概率是多少呢？
知识点1　n重伯努利试验
(1)概念：我们把只包含________可能结果的试验叫做伯努利试验．
(2)我们将一个伯努利试验________所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
(3)n重伯努利试验的共同特征
①同一个伯努利试验重复做________次；
②各次试验的结果相互________．
(1)每次试验结果只有两种，即事件要么发生，要么不发生．
(2)每次试验在相同的条件下进行且各次试验中的事件互不影响．
1．“试验的结果相互独立”的含义是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点2　二项分布
(1)二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．
(2)二项分布的均值与方差
若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝________，D(X)＝________．
2．二项分布与两点分布有什么关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)n重伯努利试验每次试验之间是相互独立的． (　　)
(2)n重伯努利试验只有发生与不发生两种结果． (　　)
(3)n重伯努利试验中每次试验中发生的机会是均等的． (　　)
(4)n重伯努利试验中每次试验发生的事件是互斥的． (　　)
(5)两点分布属于二项分布． (　　)
2．某射手射击1次，击中目标的概率为0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第三次击中目标的概率为0.9；②他恰好击中目标3次的概率为0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率为1－0.14．
其中正确结论的序号为__________．
3．某班有的学生数学成绩优秀，如果从该班中随机抽出5名同学，设其中数学成绩优秀的学生数为X，那么E(2X＋1)等于__________．
类型1　n重伯努利试验
　n重伯努利试验的判断
【例1】　判断下列试验是不是n重伯努利试验．
(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；
(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中；
(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　n重伯努利试验的概率
【例2】　甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击是否击中目标相互之间没有影响．
(1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
1．(变设问)本例条件不变，求甲、乙各射击2次均击中目标1次的概率．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．(变设问)本例条件不变，求甲、乙各射击2次，甲未击中、乙击中2次的概率．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　n重伯努利试验概率求法的三个步骤
(1)判断：依据n重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为n重伯努利试验．
(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆．
(3)计算：就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解，最后利用乘法或加法公式计算．
[跟进训练]
1．(多选)下列事件不是n重伯努利试验的是(　　)
A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”
B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”
C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”
D．在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标
2．小明同学喜欢篮球，假设他每一次投篮投中的概率为，则小明连续投篮四次，恰好两次投中的概率是 (　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
类型2　求服从二项分布的随机变量的分布列
【例3】　(源自湘教版教材)抛掷两枚骰子，取其中一枚的点数为点P的横坐标，另一枚的点数为点P的纵坐标，连续抛掷这两枚骰子三次，求点P在圆x2＋y2＝16内的次数X的分布列．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　二项分布问题的两个关注点
(1)判断：关键有两点，一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．
(2)参数意义：X～B(n，p)中n为试验次数，p为成功概率．
(3)公式用途：公式P(X＝k)＝pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)是求n重伯努利试验发生k次的概率．
[跟进训练]
3．在某公司的一次招聘中，应聘者都要经过A，B，C三个独立项目的测试，通过其中的两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过A，B，C每个项目测试的概率都是．
(1)求甲恰好通过两个项目测试的概率；
(2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X，求X的分布列．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　二项分布的均值、方差及实际应用
【例4】　某商场为刺激消费，拟按以下的方案进行促销：顾客每消费500元便得到奖券一张，每张奖券的中奖概率为，若中奖，商场返还顾客现金100元．某顾客现购买价格为2 300元的台式电脑一台，得到奖券4张．
(1)设该顾客中奖的奖券张数为X，求X的分布列；
(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为Y元，用X表示Y，并求Y的均值．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)在解决有关均值和方差问题时，要认真审题，如果题目中的离散型随机变量符合二项分布，就应直接利用二项分布求均值和方差，以简化问题的解答过程．
(2)对于二项分布的均值与方差公式E(X)＝np和D(X)＝np(1－p)要熟练掌握．
[跟进训练]
4．为了了解校园噪音情况，学校环保协会对校园环境噪音值(单位：分贝)进行了50天的监测，得到如下统计表：
环境噪音值 (单位：分贝) [55，57] (57，59] (59，61] (61，63] (63，65] (65，67]
频数 1 4 12 20 8 5
(1)根据该统计表，求这50天校园噪音值的样本平均数(同一组的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)根据相关规定，“环境噪音值超过65分贝，视为重度噪音污染，环境噪音值不超过59分贝，视为轻度噪音污染．”把由上述统计表算得的频率视作概率，回答下列问题：
①求周一到周五的5天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余3天都是轻度噪音污染的概率；
②学校要举行为期3天的“汉字听写大赛”校园选拔赛，把这3天校园出现的重度噪音污染天数记为X，求X的分布列和方差D(X)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．n重伯努利试验应满足的条件：
①各次试验之间是相互独立的；
②每次试验只有两种结果；
③各次试验成功的概率是相同的；
④每次试验发生的事件是互斥的．
其中正确的是(　　)
A．①② B．②③
C．①②③ D．①②④
2．小方每次投篮的命中率为，假设每次投篮相互独立，则他连续投篮2次，恰有1次命中的概率为(　　)
A．　　 B．
C．　　 D．
3．抛掷一枚质地均匀的硬币n(3≤n≤8)次，正面向上的次数ξ服从二项分布B，若P(ξ＝1)＝，则n＝________．
4．某次考试中，第一大题由12道选择题组成，每题选对得5分，不选或错选得0分．小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．n重伯努利试验中，X的分布列P(X＝k)＝pk(1－p)n－k中各量表示的含义是什么？
2．同一个伯努利试验重复做n次即为n重伯努利试验，重复意味着什么？
3．判断二项分布的关键点是什么？
7.4.1　二项分布
[必备知识·情境导学探新知]
知识点1　(1)两个　(2)独立地重复进行n次　(3)n　独立
思考1　提示：每次试验的概率相同，不受上次试验结果的影响．
知识点2　(1)pk(1－p)n-k　(2)np　np(1－p)
思考2　提示：(1)两点分布的试验次数只有一次，试验结果只有两种：事件A发生(X＝1)或不发生(X＝0)；二项分布是指在n重伯努利试验中事件A发生的次数X的分布列，试验次数为n次(每次试验的结果也只有两种：事件A发生或不发生)，试验结果有n＋1种：事件A恰好发生0次，1次，2次，…，n次．
(2)二项分布是两点分布的一般形式，两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1的二项分布．
课前自主体验
1．(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√
2．①③　[在n重伯努利试验中，每次试验事件发生的概率都相等，故①正确；
②中恰好击中3次需要看哪3次击中，正确的概率应为×0.93×0.1，故错误；
利用对立事件求解，③正确．]
3．　[依题意X~B，
则E(X)＝5×，
∴E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×＋1＝．]
[关键能力·合作探究释疑难]
例1　解：(1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是n重伯努利试验．
(2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验．
(3)每次抽取时，球的个数不一样多，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是n重伯努利试验．
例2　解：(1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击3次，相当于3重伯努利试验，故P(A1)＝1－P()＝1－＝．
(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，则P(A2)＝＝，P(B2)＝＝，由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)＝＝．
母题探究
1．解：记“甲击中目标1次”为事件A3，“乙击中目标1次”为事件B3，则P(A3)＝××，
P(B3)＝××，
所以甲、乙均击中目标1次的概率为P(A3B3)＝×．
2．解：记“甲未击中目标”为事件A4，“乙击中2次”为事件B4，则P(A4)＝＝，P(B4)＝＝，
所以甲未击中，乙击中目标2次的概率为P(A4B4)＝＝．
跟进训练
1．ABC　[A，C符合互斥事件的概念，是互斥事件；B是相互独立事件；D是n重伯努利试验．]
2．D　[因为小明每次投篮投中的概率是，所以在他连续四次投篮中，恰有两次投中的概率为P＝＝．]
例3解：由题意可知，P点的坐标可能有6×6＝36(种)情况，而符合题意的点只有下列8个：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，如图所示．那么在抛掷骰子时，点P在圆x2＋y2＝16内的概率为＝．
由题意可知X～B，所以
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝．
因此，随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
跟进训练
3．解：(1)甲恰好通过两个项目测试的概率为＝．
(2)因为甲、乙、丙三人被录用的概率均为
＋＝，所以可看作3重伯努利试验，
甲、乙、丙三人中被录用的人数X服从二项分布，即X～B，
所以P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝．
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
例4　解：(1)由于每张奖券是否中奖是相互独立的，
因此X～B．
所以P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
其分布列为
X 0 1 2 3 4
P
(2)因为X～B，所以E(X)＝4×＝2(张)．
又由题意可得Y＝2300－100X，
所以E(Y)＝E(2300－100X)＝2300－100E(X)＝2300－100×2＝2100(元)．
即所求变量Y的均值为2100元．
跟进训练
4．解：(1)由数据可知样本平均数为：
＝61.8(分贝)．
(2)①由题意知，出现重度噪音污染的概率为，
出现轻度噪音污染的概率为，
设事件A为“周一至周五的5天中恰有两天校园出现重度噪音污染而其余3天都是轻度噪音污染”，
则P(A)＝＝．
②由题意，得X～B，
则随机变量X的分布列为
P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3．
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以D(X)＝np(1－p)＝0.27．
[学习效果·课堂评估夯基础]
1．C　[由n重伯努利试验的概念知①②③正确，④错误．]
2．A　[由题意可知，小方连续投篮2次，恰有1次命中的概率P＝＝．故选A．]
3．6　[因为3≤n≤8，ξ服从二项分布B，且P(ξ＝1)＝，所以·＝，即n＝，解得n＝6．]
4．48　[设小王选对的个数为X，得分为Y＝5X，
则X~B(12，0.8)，E(X)＝np＝12×0.8＝9.6，
E(Y)＝E(5X)＝5E(X)＝5×9.6＝48．]
课堂小结
1．提示：k表示事件A发生的次数，n表示试验总次数，p表示事件A发生的概率，(1－p)表示事件发生的概率．
2．提示：重复意味着试验成功的概率相同．
3．提示：(1)对立性．在一次试验中，事件A发生与否必居其一．
(2)重复性．试验可以独立重复地进行，且每次试验事件A发生的概率为同一常数．
(3)X的取值从0到n，中间不间断．7.4.2　超几何分布
学习任务 1．理解超几何分布的概念及特征，能够判断随机变量是否服从超几何分布．(数学抽象) 2．会利用公式求服从超几何分布的随机变量的概率、均值．(数学运算) 3．能用超几何分布的概率模型解决实际问题．(数据分析、数学运算)
已知在8件产品中有3件次品，现从8件产品中任取3件产品，用X表示取到的次品数，X可取哪些值？P(X＝2)的值呢？如何求P(X＝k)
知识点1　超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝__________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r．
其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，N——总体中的个体总数，M——总体中的特殊个体总数(如次品总数)，n——样本量，k——样本中的特殊个体数(如次品数)．
什么样的概率问题适合超几何分布？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点2　服从超几何分布的随机变量的均值
设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数．令p＝，则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，则E(X)＝＝np．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)超几何分布是不放回抽样． (　　)
(2)超几何分布的总体是只有两类物品． (　　)
(3)超几何分布与二项分布没有任何联系． (　　)
2．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝________．
3．已知100件产品中有10件次品，从中任取3件，则任意取出的3件产品中次品数的数学期望为______________________．
类型1　超几何分布
　超几何分布的判断
【例1】　下列问题中，哪些属于超几何分布问题？说明理由．
(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列；
(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的颗数记为X，求X的分布列；
(3)盒子中有红球3个，黄球4个，蓝球5个，任取3个球，把不是红色的球的个数记为X，求X的分布列；
(4)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的分布列；
(5)现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的台数记为X，求X的分布列．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判断一个随机变量是否服从超几何分布的方法
(1)总体是否可分为两类明确的对象．
(2)是否为不放回抽样．
(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数．
　超几何分布的概率
【例2】　从放有10个红球与15个白球的暗箱中，随机摸出5个球，规定取到一个白球得1分，一个红球得2分，求某人摸出5个球，恰好得7分的概率．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)解答此类问题的关键是先分析随机变量是否满足超几何分布．
(2)注意公式中M，N，n的含义．
[跟进训练]
1．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10．现从中任取4个球，有如下几种变量：
①X表示取出的最大号码；
②Y表示取出的最小号码；
③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，ξ表示取出的4个球的总得分；
④η表示取出的黑球个数．
这四种变量中服从超几何分布的是______________．(填序号)
2．袋中有大小、质地相同的4个红球和3个黑球，一次性从袋中取出4个球，取到1个红球得1分，取到1个黑球得3分．设得分为随机变量X．则P(X≤7)＝________．
类型2　超几何分布的分布列
【例3】　箱中装有4个白球和m个黑球．规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从箱中任取3个球，假设每个球被取出的可能性都相等．记随机变量X为取出的3个球的得分之和．
(1)若P(X＝6)＝，求m的值；
(2)当m＝3时，求X的分布列．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求超几何分布的分布列的步骤
[跟进训练]
3．从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．
(1)求所选3人中恰有1名男生的概率；
(2)求所选3人中男生人数X的分布列．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　超几何分布的均值
【例4】　某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每名同学被选到的可能性相同)．
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列及均值．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求超几何分布均值的步骤
(1)验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值．
(2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率．
(3)利用均值公式求解．
[跟进训练]
4．从5名女生和2名男生中任选3人参加英语演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中男生的人数．
(1)求ξ的分布列；
(2)求ξ的均值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(多选)下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是(　　)
A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X
B．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X
C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数
2．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
3．盒子里有5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任取两球，设取出白球的个数为ξ，则E(ξ)＝____________________．
4．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．在产品抽样检验中，若抽到的次品数服从超几何分布，则抽样有何特点？
2．超几何分布的均值公式：E(X)＝np，与二项分布的均值公式一样吗？
7.4.2　超几何分布
[必备知识·情境导学探新知]
知识点1　
思考　提示：在形式上适合超几何分布的模型常有较明显的两部分组成，如“男生，女生”“正品，次品”“阳性，阴性”等．
课前自主体验
1．(1)√　(2)√　(3)×
2．　[P(X＝3)＝．]
3．0.3　[因为次品数服从超几何分布，
所以E(X)＝3×＝0.3．]
[关键能力·合作探究释疑难]
例1　解：(1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题．(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，是超几何分布．
(5)中没有给出不合格产品数，无法计算X的分布列，所以不属于超几何分布问题．
例2　解：设摸出的红球个数为X，则X服从超几何分布，其中N＝25，M＝10，n＝5，由于摸出5个球，得7分，仅有恰好摸出两个红球、三个白球一种可能情况，那么恰好得7分的概率为P(X＝2)＝．
跟进训练
1．④　[依据超几何分布的数学模型及计数公式，知①②③中的变量不服从超几何分布，④中的变量服从超几何分布．]
2．　[取出的4个球中红球的个数可能为4，3，2，1个，黑球相应个数为0，1，2，3个，其分值为X＝4，6，8，10，P(X≤7)＝P(X＝4)＋P(X＝6)＝．]
例3　解：(1)由题意得，只有当取出的3个球都是白球时，随机变量X＝6，
所以P(X＝6)＝＝10，所以m＝1．
(2)由题意得，当m＝3时，X的可能取值为3，4，5，6．
P(X＝3)＝，
P(X＝4)＝，
P(X＝5)＝，
P(X＝6)＝，
所以X的分布列为
X 3 4 5 6
P
跟进训练
3．解：(1)所选3人中恰有1名男生的概率P＝．
(2)X的可能取值为0，1，2，3，且X服从超几何分布，
则P(X＝0)＝，
P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝．
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
例4　解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝．所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为．
(2)依据条件，随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝4，n＝3，且随机变量X的可能取值为0，1，2，3．
P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3．
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以随机变量X的均值为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.2(或E(X)＝＝1.2)．
跟进训练
4．解：(1)由题知ξ的可能取值为0，1，2，
P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝2)＝，
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
(2)由(1)可得E(ξ)＝0×＋1×＋2×．
[学习效果·课堂评估夯基础]
1．ACD　[由超几何分布的定义可知仅B项是超几何分布，故选ACD．]
2．B　[由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P(X＝1)＝．]
3．　[E(ξ)＝．]
4．　[从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A，则P(A)＝．]
课堂小结
1．提示：抽样方法为不放回抽样．
2．提示：不一样．在二项分布中，n为伯努利试验重复的次数，p为成功概率；在超几何分布中，n是抽取的产品件数，p是N件产品的次品率．7.5　正态分布
学习 任务 1．利用实际问题的直方图，了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义．(直观想象) 2．了解变量落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小．(数学运算) 3．会用正态分布去解决实际问题．(逻辑推理)
自然界与工程技术中的随机变量是最常见的．诸如，机械加工中零件的几何尺寸(直径、长度、宽度、高度)、强度、质量、使用寿命这些变量都不具备离散型随机变量的特点．它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，这种变量如何构建适当的概率模型刻画随机变量的分布？
知识点1　正态曲线
(1)连续型随机变量
大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至________，但取一点的概率为________，我们称这类随机变量为连续型随机变量．
(2)正态曲线的定义
我们称f(x)＝________，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线．
(3)正态曲线的特点
①曲线位于x轴________，与x轴不相交．
②曲线与x轴之间的面积为________．
③曲线是单峰的，它关于直线________对称．
④曲线在________处达到峰值．
⑤当|x|无限增大时，曲线无限接近________．
知识点2　正态分布
(1)定义：若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从________．
(2)若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝________，D(X)＝________．
(3)正态分布的特征
①当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿________平移，如图1．
②当μ一定时，曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，曲线“________”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“________”，表示随机变量X的分布比较分散，如图2．
(4)正态分布的几何意义：若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积．
知识点3　正态总体在三个特殊区间内取值的概率及3σ原则
(1)三个特殊区间内取值的概率
若X～N(μ，σ2)，则
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．
(2)3σ原则
在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．
对于正态分布X～N(μ，σ2)而言，随机变量X在[μ－3σ，μ＋3σ]之外取值几乎不可能发生，它在产品检查、质量检验中起着重要的作用．
1．(多选)以下关于正态密度曲线的说法中正确的有(　　)
A．曲线都在x轴的上方，左右两侧与x轴无限接近，最终可与x轴相交
B．曲线关于直线x＝μ对称
C．曲线呈现“中间高，两边低”的钟形形状
D．曲线与x轴之间的面积为1
2．(多选)已知三个正态密度函数φi(x)＝(x∈R，i＝1，2，3)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)
A．σ1＝σ2 B．μ1>μ3
C．μ1＝μ2 D．σ2<σ3
3．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________．
类型1　正态曲线及性质
【例1】　(1)如图是一个正态曲线，总体随机变量的均值μ＝________，方差σ2＝________；
(2)某正态密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为，则总体落入区间[0，2]内的概率为________________．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用正态曲线的性质求参数μ，σ
(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ．
(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此性质结合图象求σ．
[跟进训练]
1．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩X(单位：分)服从正态分布，其正态密度函数为f(x)＝，则下列说法不正确的是(　　)
A．这次考试的数学平均成绩为80分
B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D．这次考试的数学成绩的标准差为10
类型2　服从正态分布的随机变量的概率
【例2】　(1)已知随机变量X～N(5，1)，且P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，求P(6≤X≤7)．
(2)设随机变量X～N(2，9)，若P(X>c＋1)＝P(X①求c的值；
②求P(－4≤X≤8)．
附：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5．
[思路导引]　—
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用正态分布求概率的两个方法
(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如：
①P(X②P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．
(2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 7，0.954 5，0.997 3求解．
[跟进训练]
2．设ξ～N(1，22)，试求：
(1)P(－1≤ξ≤3)；
(2)P(3≤ξ≤5)；
(3)P(ξ≥5)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　正态分布的实际应用
【例3】　(源自湘教版教材)在某次数学考试中，假设考生的成绩ξ服从正态分布ξ～N(90，100)．
(1)求考试成绩ξ位于区间(70，110)上的概率；
(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80，100)间的考生大约有多少人．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　解答正态分布的实际应用题，其关键是转化，把普通的区间转化为3σ区间，由特殊区间的概率值求出．同时应熟练掌握正态分布在[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率，在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．
[跟进训练]
3．某厂生产的圆柱形零件的外直径X(单位：cm)服从正态分布N(4，0.52)．质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查1件，测得它的外直径为5.7 cm，试问：该厂生产的这批零件是否合格？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．如图是正态分布(σ1，σ2，σ3>0)对应的曲线，则σ1，σ2，σ3的大小关系是(　　)
A．σ1>σ2>σ3 B．σ3>σ2>σ1
C．σ1>σ3>σ2 D．σ2>σ1>σ3
2．设随机变量X～N(2，σ2)，若P(X≤1－a)＋P(X≤1＋2a)＝1，则实数a＝(　　)
A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．4
3．某种零件的尺寸X(单位：cm)服从正态分布N(3，1)，则不属于区间[1，5]这个尺寸范围的零件数约占总数的________．
4．某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N(100，σ2)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．你能写出三个常用的概率值吗？
2．正态密度曲线有哪些特征？
7.5　正态分布
[必备知识·情境导学探新知]
知识点1　(1)整个实轴　0　(2)　(3)上方　1　x＝μ　x＝μ　x轴
知识点2　(1)标准正态分布　(2)μ　σ2　(3)x轴　瘦高　矮胖
课前自主体验
1．BCD　[A中正态密度曲线与x轴永远不相交，A错，其余均正确．]
2．AD　[根据正态曲线关于直线x＝μ对称，且μ越大，图象越靠右，
可知μ1<μ2＝μ3，故B、C错误；
因为σ越小，数据越集中，图象越瘦高，
所以σ1＝σ2<σ3，故A、D正确．]
3．　[由于随机变量X~N(μ，σ2)，其正态密度曲线关于直线x＝μ对称，故P(X≤μ)＝．]
[关键能力·合作探究释疑难]
例1　(1)20　2　(2)0.47725　[(1)从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，
所以μ＝20，，解得σ＝，
因此总体随机变量的均值μ＝20，方差σ2＝()2＝2．
(2)正态密度函数是f(x)＝·，x∈(－∞，＋∞)．若它是偶函数，则μ＝0．
∵f(x)的最大值为f(μ)＝，
∴σ＝1，
∴P(0≤X≤2)＝P(－2≤X≤2)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈×0.9545＝0.47725．]
跟进训练
1．B　[由函数解析式知这次考试的数学平均成绩为80分，标准差为10，故A，D正确．因为函数图象关于直线x＝80对称，所以分数在120分以上的人数与分数在40分以下的人数相同；分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，故B错误，C正确．]
例2　解：(1)由随机变量X~N(5，1)知，μ＝5，σ＝1，所以P(4≤X≤6)≈0.6827，P(3≤X≤7)≈0.9545，
所以P(6≤X≤7)＝[P(3≤X≤7)－P(4≤X≤6)]≈0.1359．
(2)①由X~N(2，9)可知，正态曲线关于直线x＝2时称．
因为P(X>c＋1)＝P(X所以2－(c－1)＝(c＋1)－2，
解得c＝2．
②由X~N(2，9)知μ＝2，σ＝3，
所以P(－4≤X≤8)＝P(2－2×3≤X≤2＋2×3)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545．
跟进训练
2．解：因为ξ~N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2．
(1)P(－1≤ξ≤3)＝P(1－2≤ξ≤1＋2)
＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)
≈0.6827．
(2)因为P(3≤ξ≤5)＝P(－3≤ξ≤－1)，
所以P(3≤ξ≤5)＝[P(－3≤ξ≤5)－P(－1≤ξ≤3)]
＝[P(1－4≤ξ≤1＋4)－P(1－2≤ξ≤1＋2)]
＝[P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)]
≈(0.9545－0.6827)
＝0.1359．
(3)P(ξ≥5)＝P(ξ≤－3)＝[1－P(－3≤ξ≤5)]
＝[1－P(1－4≤ξ≤1＋4)]
＝[1－P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)]
≈(1－0.9545)
＝0.02275．
例3　解：因为ξ~N(90，100)，
所以μ＝90，σ＝＝10．
(1)由正态分布的性质可知，考生成绩在μ－2σ＝90－2×10＝70和μ＋2σ＝90＋2×10＝110之间的概率约为0.9545．
(2)由正态分布的性质可知，考生成绩在μ－σ＝80和μ＋σ＝100之间的概率是0.6827．又因为一共有2000名学生参加考试，因此考试成绩在(80，100)间的考生大约有2000×0.6827≈1365(人)．
跟进训练
3．解：由于外直径X~N(4，0.52)，则X在[4－3×0.5，4＋3×0.5]之内取值的概率为0.9973，在[2.5，5.5]之外取值的概率为0.0027，
而5.7 [2.5，5.5]，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为这批零件是不合格的．
[学习效果·课堂评估夯基础]
1．A　[由σ的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，σ越小，故有σ1>σ2>σ3．]
2．C　[因为P(X≤1－a)＋P(X≤1＋2a)＝1，所以P(X≤1＋2a)＝1－P(X≤1－a)＝P(X>1－a)．因为X~N(2，σ2)，所以1＋2a＋1－a＝2×2，所以a＝2．]
3．4.55%　[属于区间[μ－2σ，μ＋2σ]，即区间[1，5]的取值概率约为95.45%，故不属于区间[1，5]这个尺寸范围的零件数约占总数的1－95.45%＝4.55%．]
4．10　[由题意知，P(ξ>110)＝＝0.2，故估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10．]
课堂小结
1．提示：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827．
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545．
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973．
2．提示：(1)集中性：正态曲线的高峰位于正中央．
(2)对称性：正态曲线关于x＝μ对称且不与x轴相交．
(3)均匀变动性：正态曲线由峰值开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降．微专题2　离散型随机变量均值与方差的实际应用
离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，因此在实际决策问题中，常借助均值与方差的取值来决策一些实际问题．
类型1　均值的实际应用
【例1】　(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？说明理由．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　解答概率模型的三个步骤
(1)建模：即把实际问题概率模型化．
(2)解模：确定分布列，计算随机变量的均值．
(3)回归：利用所得数据，对实际问题做出判断．
类型2　方差的实际应用
【例2】　甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X，Y，且X和Y的分布列如下表：
X 0 1 2
P 0.6 0.1 0.3
Y 0 1 2
P 0.5 0.3 0.2
根据次品数的均值和方差，试对这两名工人的技术水平进行比较．
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　随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
类型3　决策问题
　均值在决策问题中的应用
【例3】　甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：
甲公司送餐员送餐单数频数表：
送餐单数 38 39 40 41 42
天数 10 15 10 10 5
乙公司送餐员送餐单数频数表：
送餐单数 38 39 40 41 42
天数 5 10 10 20 5
若将频率视为概率，回答下列问题．
(1)记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和均值；
(2)小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．
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　数学期望在决策型问题中的应用
数学期望是随机变量的数字特征之一，它代表了随机变量总体取值的平均水平．随着社会的进步和经济的发展，数学期望在日常生活中和经济活动中的运用越来越广，如个人的采购，投资风险分析，企业的生产和经营方案等，经常需要对事物的进展情况进行决策，以便用最有利的方式来采取行动．人们常把数学期望作为决策参考的重要依据，应用数学期望讨论某些经济问题，从而得到一些有意义的结论．
　方差在决策问题中的应用
【例4】　某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研．项目A：通信设备．根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利40%、亏损20%、不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，a．项目B：新能源汽车．根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利30%、亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为b，c．
经测算，当投入A，B两个项目的资金相等时，它们所获得的平均收益(即均值)也相等．
(1)求a，b，c的值；
(2)若将100万元全部投到其中一个项目，请你从投资回报稳定性的角度考虑，为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
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　均值、方差在决策中的作用
(1)均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高．
(2)方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定．
(3)在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断．
微专题2　离散型随机变量均值与方差的实际应用
例1　解：(1)由题意得，X的所有可能取值为0，20，100，
P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，
P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，
P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，
所以X的分布列为
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
(2)当小明先回答A类问题时，由(1)可得E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4．
当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分，
则Y的所有可能取值为0，80，100，
P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，
P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，
P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，
所以Y的分布列为
Y 0 80 100
P 0.4 0.12 0.48
E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6．
因为57.6>54.4，即E(Y)>E(X)，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题．
例2　解：E(X)＝0.1＋0.6＝0.7，
D(X)＝0.72×0.6＋0.32×0.1＋1.32×0.3＝0.294＋0.009＋0.507＝0.81．
E(Y)＝0.3＋0.4＝0.7，
D(Y)＝0.72×0.5＋0.32×0.3＋1.32×0.2＝0.245＋0.027＋0.338＝0.61．
E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，
两者的均值相同，但乙的稳定性比甲好，故可认为乙的技术水平更高．
例3　解：(1)设乙公司送餐员送餐单数为a，
当a＝38时，X＝38×6＝228，P＝；
当a＝39时，X＝39×6＝234，P＝；
当a＝40时，X＝40×6＝240，P＝；
当a＝41时，X＝40×6＋1×7＝247，P＝；
当a＝42时，X＝40×6＋2×7＝254，P＝，
故X的所有可能取值为228，234，240，247，254．
故X的分布列为
X 228 234 240 247 254
P
故E(X)＝228×＋234×＋240×＋247×＋254×＝241.8(元)．
(2)甲公司送餐员日平均送餐单数为
38×0.2＋39×0.3＋40×0.2＋41×0.2＋42×0.1＝39.7，
则甲公司送餐员日平均工资为80＋4×39.7＝238.8(元)，
因为乙公司送餐员日平均工资为241.8元，238.8<241.8，
所以推荐小王去乙公司应聘．
例4　解：(1)依题意，得＋a＝1，解得a＝．
设投到项目A，B的资金都为x万元，变量X1和X2分别表示投资项目A和B所获得的利润，
则X1和X2的分布列分别为
X1 0.4x －0.2x 0
P
X2 0.3x －0.1x
P b c
所以E(X1)＝0.4x×＋(－0.2x)×＋0×＝0.2x，
E(X2)＝0.3bx－0.1cx，
因为E(X1)＝E(X2)，
所以0.3bx－0.1cx＝0.2x，
即0.3b－0.1c＝0.2． ①
又b＋c＝1， ②
由①②，解得b＝，c＝，
所以a＝，b＝，c＝．
(2)选择项目B．理由如下：
当投入100万元资金时，由(1)知x＝100，所以E(X1)＝E(X2)＝20，
D(X1)＝(40－20)2×＋(－20－20)2×＋(0－20)2×＝600，
D(X2)＝(30－20)2×＋(－10－20)2×＝300．
因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，说明虽然项目A和项目B的平均收益相等，但项目B更稳妥，所以从风险回报稳定性的角度考虑，建议该投资公司选择项目B．微专题3　二项分布与超几何分布的综合应用
1．建立模型
袋子中有大小相同的N个球，其中有M个红球、N－M个白球，令p＝，设X表示摸出的n个球中红球的个数，则：
摸球方式 X的分布 E(X) D(X)
放回摸球 二项分布B(n，p) np np(1－p)
不放回摸球 参数为N，n，M的超几何分布 np np(1－p)
2．二项分布与超几何分布的联系与区别
(1)由古典概型得出超几何分布，由n重伯努利试验得出二项分布，放回摸球是二项分布，不放回摸球是超几何分布．
(2)对于同一个模型，两个分布的均值相同，但超几何分布的方差较小，说明超几何分布中随机变量的取值更集中于均值附近．
(3)对于不放回摸球，当N充分大，且n远远小于N时，各次抽样结果彼此影响很小，可近似认为是独立的．此时，超几何分布可以用二项分布近似．从方差的角度看，由于≈1，两个分布的方差也近似相等．
(4)在确定分布列时，超几何分布必须同时知道N和M，而二项分布只需要知道p＝即可．
类型1　二项分布的综合应用
【例1】　(2023·河南开封尉氏三中月考)在一次测试中，第22，23，24题为选做题，规定每名考生必须从中选做一题，设5名考生选做这三题中任意一题的可能性均为，每名考生对每题的选择是相互独立的，各考生的选择相互之间没有影响．
(1)求其中甲、乙两人选做同一题的概率；
(2)设选做第23题的人数为ξ，求ξ的分布列、数学期望及方差．
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　(1)解题的关键是判定随机变量ξ服从二项分布，确定参数n和p的值．
(2)根据二项分布的概率列出分布列．
(3)利用定义或二项分布的性质求二项分布的均值和方差．
类型2　超几何分布的综合应用
【例2】　某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如表所示．表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为．
性别 中文 英语 数学 体育
男 n 1 m 1
女 1 1 1 1
现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动(每名同学被选到的可能性相同)．
(1)求m，n的值；
(2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率；
(3)设ξ为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量ξ的分布列、均值及方差．
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　解决超几何分布问题的两个关键点
(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．
(2)超几何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列，利用均值、方差的定义求出随机变量的均值和方差．
类型3　二项分布与超几何分布的综合应用
【例3】　某高校通过自主招生方式招收一名优秀的高三毕业生，经过层层筛选，甲、乙两名学生进入最后测试，该校设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从6个问题中随机抽3个．已知这6个问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两名学生对每个问题的回答都是相互独立、互不影响的．
(1)求甲、乙两名学生共答对2个问题的概率．
(2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两名学生哪名被录取的可能性更大？
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　(1)根据题意，确定是二项分布还是超几何分布模型．
(2)根据超几何分布与二项分布的分布列和性质求出随机变量的均值和方差．
(3)利用均值与方差的意义进行决策判断．
微专题3　二项分布与超几何分布的综合应用
例1　解：(1)设事件A1表示甲选做第22题，A2表示甲选做第23题，A3表示甲选做第24题，B1表示乙选做第22题，B2表示乙选做第23题，B3表示乙选做第24题，
依题意知P(Ai)＝P(Bi)＝，i＝1，2，3，记甲、乙两人选做同一题为事件M，则M＝A1B1＋A2B2＋A3B3，易知A1与B1，A2与B2，A3与B3均相互独立，
∴P(M)＝P(A1B1＋A2B2＋A3B3)＝P(A1)P(B1)＋P(A2)P(B2)＋P(A3)P(B3)＝××3＝．
(2)ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5．
∵5名考生选做这三题中任意一题的可能性均为，
∴P(ξ＝k)＝＝·，k＝0，1，2，3，4，5，
∴ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4 5
P
∴E(ξ)＝5×，
D(ξ)＝5×＝．
例2　解：(1)设事件A为“从10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学”，
由题意，可知数学专业的同学共有(1＋m)名，
则P(A)＝，解得m＝3．
因为m＋n＋6＝10，所以n＝1．
(2)设事件B为“选出的3名同学恰为专业互不相同的男生”，
则P(B)＝．
(3)由题意，可知这10名同学中是女生或专业为数学的人数为7，
ξ的可能取值为0，1，2，3．
P(ξ＝0)＝，
P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝2)＝，
P(ξ＝3)＝．
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
∴数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．
方差D(ξ)＝＝．
例3　解：(1)由题意得，甲、乙两名学生共答对2个问题的概率：
P＝＝．
(2)设学生甲答对的题数为X，则X的所有可能取值为1，2，3，
P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，
E(X)＝1×＋2×＋3×＝2，
D(X)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×．
设学生乙答对的题数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3，
由题意知Y～B，E(Y)＝3×＝2，D(Y)＝3×＝，
E(X)＝E(Y)，D(X)类型1　条件概率与全概率公式
(1)条件概率是概率的重要内容之一，是后续学习的基础．在高考中经常涉及，一般以选择和填空的形式考查，试题难度不大，属基础题．求条件概率的常用方法为：
①定义法，分别求出P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝．
②借助古典概型公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝．
(3)掌握条件概率与全概率运算，重点提升逻辑推理和数学运算的核心素养．
【例1】　某投篮小组共有20名投手，其中一级投手4人，二级投手8人，三级投手8人，一、二、三级投手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9，0.7，0.4．求任选一名投手能通过选拔进入比赛的概率．
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类型2　分布列、期望与方差的综合应用
(1)均值和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差是建立在均值的基础之上，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者的联系密切，在现实生产生活中的应用比较广泛．
(2)掌握离散型随机变量的分布列、均值和方差，重点提升逻辑推理与运算的核心素养．
【例2】　甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮；第一次由甲投篮，已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为．
(1)求第三次由乙投篮的概率；
(2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为X，求X的分布列、均值及标准差．
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类型3　两种特殊概率分布的均值与方差
(1)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
特别地，若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
(2)若X服从参数M，n，N的超几何分布，则E(X)＝．
(3)掌握二项分布与超几何分布的均值与方差，提高数据分析、数学运算的核心素养．
　二项分布的均值、方差
【例3】　某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障需要维修的概率为．
(1)求机器出现故障台数的分布列、数学期望和方差；
(2)已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每名工人1万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，能使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值．
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　超几何分布的均值、方差
【例4】　某学院为了调查本校学生2023年4月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0，5]，(5，10]，(10，15]，…，(25，30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；
(2)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的分布列及均值E(Y)．
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类型4　正态分布与二项分布、超几何分布的综合应用
(1)解答正态分布的实际应用题，关键是如何转化，同时注意以下两点：
①注意“3σ”原则，记住正态总体在三个区间内取值的概率．
②注意数形结合．由于正态密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性和结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题．
(2)掌握正态分布的实际应用问题，提升数据分析、数学建模的核心素养．
【例5】　(2023·广东茂名联考)当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．某地区2022年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分．某学校在初三上学期开始时想要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到如下频率分布直方图，且规定计分规则如表．
每分钟跳绳个数 得分
[165，175) 16
[175，185) 17
[185，195) 18
[195，205) 19
[205，215] 20
(1)现从抽取的100名学生中，任意选取2人，求两人得分之和不大于33分的概率；
(2)若该校初三年级所有学生的跳绳个数X服从正态分布N(μ，σ2)，用样本数据的平均值和方差估计总体的平均值和方差(结果四舍五入到整数)，已知样本方差s2≈77.8(各组数据用该组区间中点值代替)．根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设明年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时的个数增加10，利用新得的正态分布模型解决下列问题．
(ⅰ)若全年级恰好有1 000名学生，试估计正式测试时每分钟跳193个及以上的人数；(结果四舍五入到整数)
(ⅱ)若在该地区所有初三毕业生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳202个及以上的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，σ＝≈9，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．
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章末综合提升
例1　解：设Ai＝“选出的i级投手”，i＝1，2，3，B＝“选出的投手能通过选拔进入比赛”，
则A1∪A2∪A3＝Ω，且A1，A2，A3两两互斥．
由题意知P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，且P(B|A1)＝0.9，P(B|A2)＝0.7，P(B|A3)＝0.4，
则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝×0.9＋×0.7＋×0.4＝0.62，
即任选一名投手能通过选拔进入比赛的概率为0.62．
例2　解：(1)由题意知第三次由乙投篮的概率
P＝××．
(2)由题意，得X的所有可能取值为0，1，2，
P(X＝0)＝×．
P(X＝1)＝××，
P(X＝2)＝×．
故X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)＝0×＋1×＋2×，
D(X)＝＝．
∴σ(X)＝．
例3　解：(1)设“机器出现故障”为事件A，则P(A)＝．
设出现故障的机器台数为X，
则X～B，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝．
故X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝．
D(X)＝np(1－p)＝4××．
(2)设该厂获利为Y万元，则Y的所有可能取值为18，13，8，
P(Y＝18)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝，
P(Y＝13)＝P(X＝3)＝，
P(Y＝8)＝P(X＝4)＝．
故Y的分布列为
Y 18 13 8
P
所以E(Y)＝18×＋13×＋8×(万元)，
故该厂获利的均值为万元．
例4　解：(1)由题图可知，健康上网天数未超过20天的频率为(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，
所以健康上网天数超过20天的学生人数是
40×(1－0.75)＝40×0.25＝10．
(2)随机变量Y的所有可能取值为0，1，2，
且Y服从超几何分布，
所以P(Y＝0)＝，
P(Y＝1)＝，
P(Y＝2)＝．
所以Y的分布列为
Y 0 1 2
P
所以Y的均值E(Y)＝1×＋2×．
例5　解：(1)两人得分之和不大于33分，即两人得分均为16分，或两人中1人得分为16分，1人得分为17分，
由题图知，得分为16分的有0.005×10×100＝5(人)，得分为17分的有0.009×10×100＝9(人)，
∴两人得分之和不大于33分的概率P＝．
(2)(ⅰ)由题意可知，该校初三年级所有学生的跳绳个数的平均值为170×0.05＋180×0.09＋190×0.5＋200×0.3＋210×0.06＝192.3≈192(个)，
∵样本方差s2≈77.8，∴s≈9，∴正式测试时，μ＝202，σ＝9，
∴μ－σ＝193，μ＋σ＝211，
∴P(ξ≥193)≈1－＝0.84135，又0.84135×1000＝841.35≈841，
∴正式测试时每分钟跳193个及以上的人数为841．
(ⅱ)由(ⅰ)可知在该地区所有初三毕业生中任取1人，其每分钟跳绳个数为202及以上的概率为，故ξ～B，
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
∴ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×．

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