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9.1　随机抽样
9.1.1　简单随机抽样
学习任务 1．通过实例，了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程．(数学抽象) 2．掌握两种简单随机抽样方法：抽签法和随机数法．(数据分析) 3．会计算样本均值，了解样本与总体的关系．(数据分析)
某报告称，食品质量检测人员对某品牌牛奶的抽检合格率为99.9%，你知道这一数据是怎么得到的吗？
知识点1　全面调查和抽样调查
项目 全面调查 抽样调查
定义 对______调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查 根据一定目的，从总体中__________个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出____和____的调查方法，称为抽样调查
相关概念 总体：在一个调查中，我们把______________称为总体． 个体：组成总体的______________称为个体 样本：我们把从总体中抽取的______个体称为样本． 样本量：样本中包含的______称为样本量
知识点2　简单随机抽样
放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样
一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中____抽取n(1≤n＜N)个个体作为样本
如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都____，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内____________________被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样
简单随机抽样：放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样．通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本．除非特殊声明，所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样
知识点3　简单随机抽样的方法
1．抽签法
先把总体中的个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些小纸片放在一个______的盒里，充分搅拌．最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的个体数．
2．随机数法
(1)定义：先把总体中的个体编号，用随机数工具产生与总体中个体数量相等的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，并剔除重复的编号，直到抽足样本所需要的个体数．
(2)产生随机数的方法：①用随机试验生成随机数．②用信息技术生成随机数．
1．简单随机抽样具备哪些特点？
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知识点4　总体均值和样本均值
1．总体均值：一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称＝__________＝为总体均值，又称总体平均数．
2．总体均值加权平均数的形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数fi(i＝1，2，…，k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式＝__________．
3．样本均值：如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称＝__________＝为样本均值，又称样本平均数．
2．总体均值与样本均值有何区别与联系？
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1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验，适合用抽签法． (　　)
(2)从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验，适合用抽签法． (　　)
(3)从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验，适合用随机数法． (　　)
(4)利用随机数法抽取样本时，选定的初始数是任意的，但读数的方向只能是从左向右读． (　　)
(5)利用随机数法抽取样本时，若总体容量为100，则给每个个体分别编号为1，2，3，…，100． (　　)
2．某校共有1 000名高三学生参加2023年上学期开学考试，为了了解这1 000名学生的数学成绩，决定从中抽取50名学生的数学成绩进行统计分析．在此抽样过程中，总体是________；个体是________；样本是______；样本量是________．
3．从一个篮球训练营中抽取10名学员进行投篮比赛，每人投10次，统计出该10名学员投篮投中的次数，4个投中5次，3个投中6次，2个投中7次，1个投中8次，则该训练营10名学员投中的平均次数为________．
类型1　简单随机抽样的理解
【例1】　(1)从52名学生中选取5名学生参加“希望杯”全国数学邀请赛，若采用简单随机抽样抽取，则每人入选的可能性(　　)
A．都相等，且为　　 B．都相等，且为
C．都相等，且为　 D．都不相等
(2)下列抽样中，是简单随机抽样的是________．(填序号)
①仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；
②某班从50名同学中，选出5名数学成绩最优秀的同学代表本班参加数学竞赛；
③一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　判断一个抽样是不是简单随机抽样，一定要看它是否满足简单随机抽样的特点，这是判断的唯一标准．
[跟进训练]
1．(1)在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性(　　)
A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性大一些
B．与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等
C．与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性要大些
D．与第几次抽样无关，每次都是等可能地抽取，但各次抽取的可能性不一定
(2)为了进一步严厉打击交通违法，交警队在某一路口随机抽查司机是否酒驾，这种抽查是(　　)
A．简单随机抽样　　　 B．抽签法
C．随机数法　 D．以上都不对
类型2　抽签法与随机数法的应用
【例2】　某班有50名学生，要从中随机地抽出6人参加一项活动，请分别写出利用抽签法和随机数法抽取该样本的过程．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　抽签法、随机数法的步骤
[跟进训练]
2．(1)福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01，02，03，…，32，33这33个两位号码中选取，小明利用如下所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行第9列的数字开始，从左到右依次读取数据，则第四个被选中的红色球的号码为(　　)
81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 85
06 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49
A．12　　　B．33　　　C．06　　　D．16
(2)现从报名的某高校30名志愿者中选取6人组成志愿小组，请用抽签法设计抽样方案．
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类型3　用样本的平均数估计总体的平均数
【例3】　某班进行个人投篮比赛，受污损的下表记录了在规定时间内投入n个球的人数分布情况，同时，已知进球3个或3个以上的人平均每人投进3.5个球，进球4个或4个以下的人平均每人投进2.5个球，问投进3个球和4个球的各有多少人？
进球数n 0 1 2 3 4 5
投进n个球的人数 1 2 7 2
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　样本平均数与总体平均数的关系
(1)在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数；
(2)总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性；
(3)一般情况下，样本容量越大，估计值越准确．
[跟进训练]
3．某学校抽取100位老师的年龄，得到如下数据：
年龄(单位：岁) 32 34 38 40 42 43 45 46 48
频数 2 4 20 20 26 10 8 6 4
估计这个学校老师的平均年龄．
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1．(多选)下列调查中，适宜采用抽样调查的是(　　)
A．调查某市中小学生每天的运动时间
B．某幼儿园准备制作校服，对此幼儿园中的小朋友进行测量
C．农业科技人员调查今年麦穗的单穗平均质量
D．调查某快餐店中8位店员的生活质量情况
2．(多选)为了了解全校240名高一学生的身高情况，从中抽取了40名学生进行测量．下列说法正确的是(　　)
A．总体是240名学生的身高
B．个体是每一名学生的身高
C．样本是任意40名学生的身高
D．样本容量是40
3．“双色球”彩票中有33个红色球，每个球的编号分别为01，02，…，33．一位彩民用随机数法选取6个号码作为6个红色球的编号，选取方法是从下面的随机数中第1行第5列和第6列的数字开始，从左向右读数，则依次选出来的第5个红色球的编号为(　　)
7816 6572 0802 6314 0214 4319　9714 0198
3204 9234 4936 8200 3623 4869　6938 7181
A．01 　B．02 　C．14 　D．19
4．为了解一批轮胎的性能，汽车制造厂从这批轮胎中随机抽取了8个进行测试，每个轮胎行驶的最远里程数(单位：1 000 km)为：96，112，97，108，100，103，86，98．则估计这批轮胎行驶的最远里程数的平均数为________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．简单随机抽样有哪些特点？
2．简单随机抽样是一种简单、基本的抽样方法，其常用的简单随机抽样方法有哪两种，这两种方法有什么异同？
9.1.1　简单随机抽样
[必备知识·情境导学探新知]
知识点1　每一个　抽取一部分　估计　推断　调查对象的全体　每一个调查对象　那部分　个体数
知识点2　逐个　相等　未进入样本的各个个体
知识点3　1.不透明
思考1　提示：(1)被抽取样本的总体中的个体数N是有限的．
(2)抽取的样本是从总体中逐个抽取的．
(3)简单随机抽样中每个个体被抽到的机会相等．
思考2　提示：(1)区别：总体均值是一个确定的数，样本均值具有随机性．
(2)联系：在简单随机抽样中，我们常用样本均值估计总体均值．
课前自主体验
1．(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×
2．1 000名学生的数学成绩　每一名学生的数学成绩　50名学生的数学成绩　50
3．6　[10名学员投中的平均次数为＝6.]
[关键能力·合作探究释疑难]
例1　(1)C　(2)③　[(1)对于简单随机抽样，在抽样过程中每一个个体被抽取的机会都相等(随机抽样的等可能性)．若样本容量为n，总体的个体数为N，则用简单随机抽样时，每一个个体被抽到的可能性都是，体现了这种抽样方法的客观性和公平性．因此每人入选的可能性都相等，且为.
(2)根据简单随机抽样的特点逐个判断．①不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．②不是简单随机抽样．因为5名同学是从中挑出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．③是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，等可能的抽样．综上，只有③是简单随机抽样．]
跟进训练
1．(1)B　(2)D　[(1)在简单随机抽样中，每一个个体被抽到的可能性都相等，与第几次抽样无关，故A，C，D错误，B正确．
(2)由于不知道总体的情况(包括总体个数)，因此不属于简单随机抽样．]
例2　解：(1)利用抽签法步骤如下：
第一步：将这50名学生编号，编号为01，02，03，…，50.
第二步：将50个号码分别写在外观、质地均无差别的小纸片上，并揉成团，制成号签．
第三步：将得到的号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀．
第四步：从容器中逐一抽取6个号签，并记录上面的号码．
对应上面6个号码的学生就是参加该项活动的学生．
(2)利用随机数法步骤如下：
第一步：将这50名学生编号，编号为1，2，3，…，50.
第二步：用随机数工具产生1～50范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的学生进入样本．
第三步：重复第二步的过程，直到抽足样本所需人数．
对应上面6个号码的学生就是参加该项活动的学生．
跟进训练
2．(1)C　[被选中的红色球的号码依次为17，12，33，06，32，22.
所以第四个被选中的红色球的号码为06.故选C.]
(2)解：①将30名志愿者编号，号码分别是01，02，…，30.
②将号码分别写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签．
③将小纸片放入一个不透明的盒里，充分搅匀．
④从盒中不放回地逐个抽取6个号签，使与号签上编号相同的志愿者进入样本．
例3　解：设投进3个球的人数为a，投进4个球的人数为b，
根据已知有＝3.5，＝2.5，
即解得
故进3个球的有9人，进4个球的有3人．
跟进训练
3．解：＝×(32×2＋34×4＋38×20＋40×20＋42×26＋43×10＋45×8＋46×6＋48×4)＝41.1(岁)，
即这个学校老师的平均年龄约为41岁．
[学习效果·课堂评估夯基础]
1．AC　[因为B中要对所有小朋友进行检查，所以用普查的方式；D中共8名店员，可采用普查的方式；A，C中总体容量大，难以做到普查，故采用抽样调查的方式．]
2．ABD　[在这个问题中，总体是240名学生的身高，个体是每一名学生的身高，样本是抽取的40名学生的身高，样本容量是40.]
3．A　[从随机数中第1行第5列和第6列的数字开始，从左向右读数，依次是65(舍去)，72(舍去)，08，02，63(舍去)，14，02(舍去)，14(舍去)，43(舍去)，19，97(舍去)，14(舍去)，01，98(舍去)，32；选出来的这6个数为：08，02，14，19，01，32，第5个红色球的编号为01.]
4．100　[用样本平均数估计总体平均数，得这批轮胎行驶的最远里程数的平均数约为＝100.]
课堂小结
1．提示：简单随机抽样的三个特点：总体有限、逐个抽取、等可能抽样.
2．提示：简单随机抽样常用的抽样方法有抽签法和随机数法．其具有以下异同点：
抽签法 随机数法
不同点 ①抽签法比随机数法简单； ②抽签法适用于总体中的个体数相对较少的情况 随机数法适用于总体中的个体数相对较多的情况
相同点 ①都是简单随机抽样，并且要求被抽取样本的总体的个数有限； ②都是从总体中逐个不放回地抽取9.1.2　分层随机抽样
学习任务 1．通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围．(数学抽象) 2．了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法．(数据分析) 3．结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值．(数学运算)
假设某地区有高中生2 400人，初中生10 900人，小学生11 000人．此地区教育部门为了了解本地区中小学生的近视情况及其形成原因，要从本地区的中小学生中抽取1%的学生进行调查．你认为应当怎样抽取样本才合理？
知识点1　分层随机抽样的相关概念
1．分层随机抽样的定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行________抽样，再把所有子总体中抽取的样本________作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．
2．比例分配：在分层随机抽样中，如果每层______都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．
知识点2　分层随机抽样中的总体平均数与样本平均数
1．在分层随机抽样中，如果总体分为2层，两层包含的个体数分别为M，N，两层抽取的样本量分别为m，n，两层的样本平均数分别为，两层的总体平均数分别为，则样本平均数＝_________，总体平均数＝________．
2．在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数.即.
分层随机抽样适合于什么样的总体？
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1．某校有高一学生400人，高二学生380人，高三学生220人，现教育局督导组拟采用分层随机抽样的方法抽取50名学生进行问卷调查，则高一学生应抽取________人．
2．为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高为1.60 m；从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50 m．由此可估计我国13岁男孩的平均身高为________m．
类型1　对分层随机抽样概念的理解
【例1】　(1)某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，则下列方法最合适的是(　　)
A．抽签法　 B．随机数法
C．简单随机抽样法　 D．分层随机抽样法
(2)分层随机抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行(　　)
A．每层等可能抽样
B．每层可以不等可能抽样
C．所有层按同一抽样比等可能抽样
D．所有层抽取的个体数量相同
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　使用分层随机抽样的前提
分层随机抽样的使用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小．
[跟进训练]
1．下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是(　　)
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会
B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本
C．从1 000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
类型2　分层随机抽样的应用
【例2】　某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人．教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　1．分层随机抽样的相关计算的2个关系
(1).
(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．
2．分层随机抽样的步骤
第一步，按某种特征将总体分成______________；
第二步，计算各层所占____；
第三步，计算各层抽取的______；
第四步，按简单随机抽样从各层抽取样本；
第五步，综合每层抽样，组成总样本．
[跟进训练]
2．(1)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为(　　)
A．101　　B．808　　C．1 212　　D．2 012
(2)将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为5∶3∶2．若用分层随机抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取________个个体．
类型3　分层随机抽样中的平均数
【例3】　某校有初中、高中两个部门，其中初中有学生850人，高中有学生650人，小军想要进行一个视力调查，对学校按部门进行按比例分配分层随机抽样，得到初中生、高中生平均视力分别为1.0，0.8，其中样本量为60，则在初中部、高中部各抽取多少人？整个学校平均视力是多少？
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　样本的平均数和各层的样本平均数的关系为：.
[跟进训练]
3．通过分层随机抽样的方法估测某校高三年级全体学生的身高水平，抽取总样本量为100，抽取的男生的平均身高为170 cm，抽取的女生的平均身高为160 cm，估测得到高三全体学生的平均身高为166 cm，则抽取总样本量中男生、女生人数分别为(　　)
A．60，40 　 B．70，30
C．80，20 　 D．90，10
1．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生的作业负担情况，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是(　　)
A．抽签法　 B．简单随机抽样
C．分层随机抽样　 D．随机数法
2．某学校高一年级有300名男生，200名女生，通过分层随机抽样的方法调查数学考试成绩，抽取总样本量为50，男生平均成绩为120分，女生平均成绩为110分，那么可以推测高一年级学生的数学平均成绩约为(　　)
A．110分　B．115分　　C．116分　D．120分
3．(多选)某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1 200辆，6 000辆和2 000辆，为检验该公司的产品质量，公司质监部门要抽取46辆进行检验，则(　　)
A．应采用分层随机抽样法抽取
B．应采用抽签法抽取
C．三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆
D．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的
4．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．在分层随机抽样中，总体容量、样本容量、各层的个体数、各层抽取的样本数这四者之间有何关系？
2．简单随机抽样与分层随机抽样有何区别与联系？
3．如何用分层随机抽样中的样本平均数估计总体平均数？
9.1.2　分层随机抽样
[必备知识·情境导学探新知]
知识点1　1.简单随机　合在一起　2.样本量
知识点2　1.
思考　提示：当总体是由差异明显的几部分组成时，用分层随机抽样.
课前自主体验
1．20　[高一学生应抽取＝20人．]
2．1.56　[这500名13岁男孩的平均身高是＝1.56(m)，据此可估计我国13岁男孩的平均身高为1.56 m．]
[关键能力·合作探究释疑难]
例1　(1)D　(2)C　[(1)总体由差异明显的三部分构成，应选用分层随机抽样法．
(2)保证每个个体等可能的被抽取是三种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取．]
跟进训练
1．B　[A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无差异且个数较多，不适合用分层随机抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层随机抽样．]
例2　解：抽样过程如下：
第一步，确定抽样比，样本容量与总体容量的比为＝.
第二步，确定分别从三类人员中抽取的人数，从行政人员中抽取16×＝2(人)；从教师中抽取112×＝14(人)；从后勤人员中抽取32×＝4(人)．
第三步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师14人，后勤人员4人．
第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本．
发现规律
2．若干部分(层)　比例　个体数
跟进训练
2．(1)B　(2)20　[(1)因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12，
所以四个社区抽取驾驶员的比例为＝，
所以驾驶员的总人数为(12＋21＋25＋43)÷＝808.
(2)∵A，B，C三层个体数之比为5∶3∶2，总体中每个个体被抽到的可能性相等，∴分层随机抽样应从C中抽取100×＝20(个)个体．]
例3　解：初中部抽取人数为60×＝34，
高中部抽取人数为60×＝26，
学校平均视力为×1.0＋×0.8≈0.91，
所以在初中部、高中部各抽取34，26人，学校平均视力约为0.91.
跟进训练
3．A　[设抽取的总样本量中男生、女生人数分别为m, n，则由题意可得
故选A. ]
[学习效果·课堂评估夯基础]
1．C　[根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层随机抽样．]
2．C　[由题意可得抽取的50人中，男生为30人，女生为20人，所以样本平均数＝×120＋×110＝116，所以可以估计高一年级学生的数学平均成绩为116分．]
3．ACD　[由于总体按型号分为三个子总体，所以应采用分层随机抽样法抽取，A正确；设三种型号的轿车依次抽取x辆、y辆、z辆，
则有解得
所以三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆，故C正确；由分层随机抽样的定义可知D正确．]
4．13　[∵＝，∴n＝13.]
课堂小结
1．提示：设总体容量为N，样本容量为n，第i(i＝1，2，…，k)层的个体数为Ni，各层抽取的样本数为ni，则＝，这四者中，已知其中三个可以求出另外一个．
2．提示：
类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围
简单 随机 抽样 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等 从总体中逐个抽取 — 总体中的个体数较少
分层 随机 抽样 将总体分成几层，分层进行抽取 在各层抽样时采用简单随机抽样 总体由存在明显差异的几部分组成
3．提示：可以用＝.9.1.3　获取数据的途径
学习任务 知道获取数据的途径多种多样，包括统计报表和年鉴、社会调查、普查和抽样、互联网、试验设计等．(数据分析)
生活中遇到的很多问题，都需要借助数据才可能得到答案．例如，校园中每天产生多少可回收垃圾，食堂有多少人就餐，城市里的车辆有多少，公共汽车平均每天的载客量是多少，某旅游旺季有出门旅游意向的人有多少……要得到这些问题的答案，就需要获取相关数据．
知识点　获取数据的基本途径
获取数据的基本途径 适用类型 注意问题
通过调查获取数据 对于有限总体问题，我们一般通过抽样调查或普查的方法获取数据 要充分有效地利用背景信息选择或创建更好的抽样方法，并有效避免抽样过程中的人为错误
通过试验获取数据 没有现存的数据可以查询 严格控制试验环境，通过精心的设计安排试验，以提高数据质量
通过观察 获取数据 自然现象 要通过长久的持续观察获取数据
通过查询 获得数据 众多专家研究过，其收集的数据有所存储 必须根据问题背景知识“清洗”数据，去伪存真
(1)利用统计报表和年鉴属于哪种获取数据的途径？
(2)要了解一种新型灯管的寿命，能通过观察获取数据吗？
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思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1) 要了解一批节能灯的使用寿命，可以采用普查的方式． (　　)
(2)农科院获取小麦新品种的产量可以通过查询获取数据． (　　)
(3)普查获取的资料更加全面、系统，抽样调查更方便、快捷． (　　)
类型1　获取数据途径的选择
【例1】　(1)下列数据中是通过试验获取的是(　　)
A．2022年济南市的降雨量
B．2022年中国新生儿人口数量
C．某学校2023级同学的数学期末测试成绩
D．某种特效中成药的配方
(2)“中国天眼”为500米口径球面射电望远镜(简称FAST)，是具有我国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜．建造“中国天眼”的目的是(　　)
A．通过调查获取数据　　　 B．通过试验获取数据
C．通过观察获取数据　 D．通过查询获得数据
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　选择获取数据的途径的依据
选择获取数据的途径主要是根据所要研究问题的类型，以及获取数据的难易程度．有的数据可以有多种获取途径，有的数据只能通过一种途径获取，选择合适的方法和途径能够更好地提高数据的可靠性．
[跟进训练]
1．要得到某乡镇的贫困人口数据，应采取的方法是(　　)
A．通过调查获取数据　 B．通过试验获取数据
C．通过观察获取数据　 D．通过查询获得数据
类型2　获取数据途径的方法的设计
【例2】　为了缓解城市的交通拥堵情况，某市准备出台限制私家车的政策，为此要进行民意调查．某个调查小组调查了一些拥有私家车的市民，你认为这样的调查结果能很好地反映该市市民的意愿吗？
[尝试解答]　_________________________________________________________
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_____________________________________________________________________
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　在统计活动中，尤其是大型的统计活动，为避免一些外界因素的干扰，通常需要确定调查的对象、调查的方法与策略，需要精心设计前期的准备工作和收集数据的方法，然后对数据进行分析，得出统计推断．
[跟进训练]
2．一些期刊杂志社经常会请一些曾经高考落榜而在某方面的事业上取得成就的著名专家、学者，谈他们对高考落榜的看法，这些名人所讲的都是大同小异，不外乎“我也有过落榜的沮丧，但从长远看，它有益于我的人生”“我是因祸得福，落榜使我走了另一条成功之路”等．小明据此得出结论“上大学不如高考落榜”，他的结论正确吗？
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1．下列调查方式中，可用“普查”方式的是(　　)
A．调查某品牌电视机的市场占有率
B．调查某电视连续剧在全国的收视率
C．调查某校七年级一班的男女同学的比例
D．调查某型号炮弹的射程
2．(多选)影响获取数据可靠程度的因素包括(　　)
A．获取数据方法的设计
B．所用专业测量设备的精度
C．调查人员的认真程度
D．数据的大小
3．粮食安全是每一个国家必须高度关注的问题，在现有条件下，降雨量对粮食生产的影响是非常巨大的，某次降雨之后该地气象台播报说本次降雨量是该地有气象记录以来最大的一次，气象台获取这些数据的途径是(　　)
A．通过调查获取数据　　　 B．通过试验获取数据
C．通过观察获取数据　　　 D.通过查询获得数据
4．小明从网上查询到某地区10户居民家庭人均年收入(单位：万元)如表所示：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年收入 1.2 1.3 1.8 2.0 4.6 1.7 0.9 2.1 1.0 1.6
根据以上数据，我们认为有一个数据是不准确的，需要剔除，这个数据是________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
获取数据的基本途径有哪些？
9.1.3　获取数据的途径
[必备知识·情境导学探新知]
思考　提示：(1)属于通过查询获取数据的途径．
(2)不能，应该通过试验获取数据．
课前自主体验
(1)×　(2)×　(3)√
[关键能力·合作探究释疑难]
例1　(1)D　(2)C　[(1)某种特效中成药的配方的数据只能通过试验获得．
(2)“中国天眼”主要是通过观察获取数据．]
跟进训练
1．A　[某乡镇的贫困人口数据属于有限总体问题，所以可以通过调查获取数据．]
例2　解：(1)一个城市的交通状况的好坏将直接影响着生活在这个城市中的每个人，关系到每个人的利益．为了调查这个问题，在抽样时应当关注到各种人群，既要抽到拥有私家车的市民，也要抽到没有私家车的市民．
(2)调查时，如果只对拥有私家车的市民进行调查，结果一定是片面的，不能代表所有市民的意愿．因此，在调查时，要对生活在该城市的所有市民进行随机地抽样调查，不要只关注到拥有私家车的市民．
跟进训练
2．解：小明的结论是错误的，在众多的高考落榜生中，走出另外一条成功之路的是少数，小明通过研究一些期刊杂志社报道过的一些成功人士就得出结论是片面的，因为他的抽样不具有代表性．
[学习效果·课堂评估夯基础]
1．C
2．ABC　[数据的大小不影响获取数据的可靠程度．]
3．C　[该地的气象记录和本次的降雨量数据都是通过观察获取的．]
4．4.6　[由于编号为5的数据为4.6，明显高于其他数据，所以这个数据是不准确的．]
课堂小结
提示：具有四种基本途径： (1)通过调查获取数据；(2)通过试验获取数据；(3)通过观察获取数据；(4)通过查询获取数据．9.2　用样本估计总体
9.2.1　总体取值规律的估计
学习任务 1．理解并掌握统计图表的画法及应用．(直观想象) 2．结合实例，能用样本估计总体的取值规律．(数据分析)
情境1　某工厂生产一批产品，经调查只有10个不合格品．
情境2　某工厂生产一批产品，经调查产品不合格率为1%.
上面哪一种情境能更好地反映工厂的生产情况？
知识点1　频率分布直方图
画频率分布直方图的步骤
(1)求极差：极差为一组数据中______与______的差．
(2)决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成________组，为了方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”．
(3)将数据分组．
(4)列频率分布表：一般分四列：分组、________、频数、____．其中频数合计应是样本容量，频率合计是__．
(5)画频率分布直方图：横轴表示分组，纵轴表示____．小长方形的面积＝组距×____＝____．各小长方形的面积总和等于1．
知识点2　其他统计图表
统计图表 主要应用
扇形图 直观描述各类数据占总数的比例
条形图和直方图 直观描述不同类别或分组数据的频数和频率
折线图 描述数据随时间的变化趋势
1．如图所示是一个容量为1 000的样本频率分布直方图．
(1)样本数据落在范围[5，9)的频率为________；
(2)样本数据落在范围[9，13)的频数为________．
2．下列四个图中，用来表示不同品种的奶牛的平均产奶量最为合适的是________．(填序号)
类型1　频率分布直方图的画法
【例1】　为了了解中学生身体发育情况，对某中学15岁的60名女生的身高(单位：cm)进行了测量，结果如下：
154　159　166　169　159　156　166
162　158　159　156　166　160　164
160　157　151　157　161　162　158
153　158　164　158　163　158　153
157　168　162　159　154　165　166
157　155　146　151　158　160　165
158　163　163　162　161　154　165
161　162　159　157　159　149　164
168　159　153　160
列出样本的频率分布表，绘出频率分布直方图．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　绘制频率分布直方图的注意点
(1)各组频率的和等于1，因此，各小矩形的面积的和也等于1．
(2)横轴表示样本数据，纵轴表示，这样每一组的频率可以用该组的组距为底、为高的小矩形的面积表示．
(3)画频率分布直方图的关键是确定矩形的高，一般地，频率分布直方图中两坐标轴上的单位长度不一致．
[跟进训练]
1．从某校高三学生中抽取50名参加数学竞赛，成绩(单位：分)分组及各组的频数如下：
[40，50)，2；[50，60)，3；[60，70)，10；[70，80)，15；[80，90)，12；[90，100]，8．
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计成绩在[60，90)的学生比例．
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类型2　频率分布直方图的应用
【例2】　为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12．
(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
(2)若次数在110次以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　频率分布直方图具备的性质
(1)因为小长方形的面积＝组距×＝____，所以各小长方形的面积表示相应各组的频率．这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小．
(2)在频率分布直方图中，各小长方形的面积之和等于__．
(3)样本容量＝.
[跟进训练]
2．某校100名学生期中考试语文成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100].
(1)求图中a的值；
(2)若这100名学生的语文成绩在某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如下表所示，求数学成绩在[50，90)之外的人数．
分数段 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90)
x∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5
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类型3　其他统计图表
【例3】　(1)如图所示的是某学校某年级的三个班和该年级在一学期内的六次数学测试的平均成绩y关于测试序号x的图象，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图象，给出下列结论：
①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；
②二班成绩不够稳定，波动程度较大；
③三班成绩虽然多次低于年级平均水平，但在稳步提升．
其中正确结论的个数为(　　)
A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3
(2)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图(1)和图(2)所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用按比例分配分层随机抽样的方法抽取了2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为________和________．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　不同的统计图适用的数据类型也不同．例如，条形图适用于描述离散型的数据，直方图适用描述连续型数据等．因此，在解决问题的过程中，要根据实际问题的特点，选择恰当的统计图对数据进行可视化描述，以使我们能通过图形直观地发现样本数据的分布情况，进而估计总体的分布规律．
[跟进训练]
3．如图是根据某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)的情况绘制的折线统计图，试根据折线统计图反映的信息，绘制该市3月1日到10日最低气温(单位：℃)的扇形统计图．
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1．某集团董事长想了解集团旗下五个超市的销售情况，通知五个超市经理把最近一周内的销售金额统计上报，要求既要反映一周内每天销售金额的多少，又要反映一周内每天销售金额的变化情况和趋势，则最好选用的统计图表为(　　)
A．频率分布直方图　 B．折线统计图
C．扇形统计图　 D．统计表
2．如图是甲、乙、丙、丁四组人数的扇形统计图的部分结果，根据扇形统计图的情况可以知道丙、丁两组人数和为(　　)
A．250 　 B．150
C．400　 D．300
3．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n的样本，其频率分布直方图
如图所示，其中支出(单位：元)在[50，60]内的学生有30人，则n的值为(　　)
A．100　　B．1 000　　C．90　　D．900
4．小张刚参加工作时，月工资为5 000元，各种用途占比统计如图(1)所示的条形图．后来他加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如图(2)所示的折线图，已知目前的月就医费比刚参加工作时少200元，则目前小张的月工资为________元．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．画频率分布直方图的步骤是什么？
2．频率分布直方图具备哪些性质？
3．常用的统计图有哪几种？这些统计图对于数据分析能够起到什么作用？
9.2.1　总体取值规律的估计
[必备知识·情境导学探新知]
知识点1　(1)最大值　最小值　(2)5～12　(4)频数累计　频率　1　(5)　频率
课前自主体验
1．(1)0.32　(2)360
2．④
[关键能力·合作探究释疑难]
例1　解：第一步，求极差：上述60个数据中最大为169，最小为146.故极差为169－146＝23(cm)．
第二步，确定组距和组数：可取组距为3 cm，
则组数为＝7 ，可将全部数据分为8组．
第三步，分组：[145.5，148.5)，[148.5，151.5)，[151.5，154.5)，[154.5，157.5)，[157.5，160.5)，[160.5，163.5)，[163.5，166.5)，[166.5，169.5].
第四步，列频率分布表：
分组 频率累计 频数 频率
[145.5，148.5) 一 1 0.017
[148.5，151.5) 3 0.050
[151.5，154.5) 正一 6 0.100
[154.5，157.5) 正 8 0.133
[157.5，160.5) 正正正 18 0.300
[160.5，163.5) 正正一 11 0.183
[163.5，166.5) 正正 10 0.167
[166.5，169.5] 3 0.050
合计 60 1.000
第五步，根据上述数据绘制频率分布直方图．
跟进训练
1．解：(1)频率分布表如下，
成绩分组 频数累计 频数 频率
[40，50) 2 0.04
[50，60) 3 0.06
[60，70) 正正 10 0.2
[70，80) 正正正 15 0.3
[80，90) 正正 12 0.24
[90，100] 正 8 0.16
合计 50 1.00
(2)频率分布直方图如图所示．
(3)学生成绩在[60，90)的频率为(0.2＋0.3＋0.24)×100%＝74%，所以估计成绩在[60，90)的学生比例为74%.
例2　解：(1)频率分布直方图是以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小的，因此第二小组的频率为＝0.08.
又因为第二小组的频率＝，
所以样本容量＝＝＝150.
(2)由频率分布直方图可估计该校高一年级学生的达标率为×100%＝88%.
发现规律
(1)频率　(2)1
跟进训练
2．解：(1)依题意得，10×(2a＋0.02＋0.03＋0.04)＝1，解得a＝0.005.
(2)数学成绩在[50，60)之间的人数为100×0.05＝5，数学成绩在[60，70)之间的人数为100×0.4×＝20，数学成绩在[70，80)之间的人数为100×0.3×＝40，数学成绩在[80，90)之间的人数为100×0.2×＝25，所以数学成绩在[50，90)之外的人数为100－5－20－40－25＝10.
例3　(1)D　(2)200　20　[(1)由题图可知，一班每次考试的平均成绩都在年级平均成绩之上，故①正确；二班平均成绩的图象高低变化明显，成绩不稳定，波动程度较大，故②正确；三班平均成绩的图象呈上升趋势，并且图象的大部分都在年级平均成绩图象的下方，故③正确．故选D.
(2)该地区中小学生总人数为3 500＋2 000＋4 500＝10 000，则样本容量为10 000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%＝20.]
跟进训练
3．解：该城市3月1日至10日的最低气温(单位：℃)情况如下表：
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
最低 气温(℃) －3 －2 0 －1 1 2 0 －1 2 2
其中最低气温为－3 ℃的有1天，占10%，最低气温为－2 ℃的有1天，占10%，最低气温为－1℃的有2天，占20%，最低气温为0 ℃的有2天，占20%，最低气温为1 ℃的有1天，占10%，最低气温为2 ℃的有3天，占30%，扇形统计图如图所示．
[学习效果·课堂评估夯基础]
1．B　[折线统计图的一个显著特点就是能反映统计量的变化趋势，所以既要反映一周内每天销售金额的多少，又要反映一周内每天销售金额的变化情况和趋势，则最好选用的统计图表为折线统计图，故选B.]
2．A　[甲组人数是120，占30%，则总人数是＝400(人)．则乙组人数是400×7.5%＝30(人)，则丙、丁两组人数和为400－120－30＝250.]
3．A　[由题意可知，前三组的频率之和为(0.01＋0.024＋0.036)×10＝0.7，
∴支出在[50，60]内的频率为1－0.7＝0.3，∴n＝＝100.]
4．5 500　[小张刚参加工作时，月工资为5 000元，小张每月就医费为5 000×15%＝750(元)，又已知目前的月就医费比刚参加工作时少200元，即550元，则目前小张的月工资为＝5 500(元)．]
课堂小结
1．提示：绘制频率分布直方图的步骤如下：
①求极差；②决定组距与组数；③将数据分组；④列频率分布表；⑤画频率分布直方图．
2．提示：①因为小矩形的面积＝组距×＝频率，所以各小矩形的面积表示相应各组的频率．这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小；
②在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1；
③＝样本容量．
3．提示：统计图有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图；从统计图中可以获取有用的数据信息，并能直观、准确地理解相关的结果．9.2.2　总体百分位数的估计
学习任务 结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义．(数学抽象、数学运算)
某省数学考试结果揭晓，0.8%的同学需要补考．
问题：那么如何确定需要补考的分数线呢？
知识点　百分位数
1．第p百分位数的定义
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有____的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
1．“这次数学测试成绩的第70百分位数是85分”，这句话是什么意思？
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2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
第1步，按________排列原始数据．
第2步，计算i＝________．
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第__项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的______．
2．某组数据的第p百分位数在此组数据中一定存在吗？为什么？
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3．四分位数
______，______，______这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．
数据7.0，8.4，8.4，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的第30百分位数是________．
类型1　一组数据的第p百分位数
【例1】　从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：
7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0．
(1)分别求出这组数据的第25，75，95百分位数；
(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　百分位数是用于衡量数据位置的度量，它提供了有关数据在最小值与最大值之间位置的信息．需注意，在求百分位数时，一定要将数据按照从小到大的顺序排列．
[跟进训练]
1．已知甲、乙两组按顺序排列的数据：甲组：27，28，37，m，40，50；乙组：24，n，34，43，48，52；若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数分别对应相等，则等于(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
类型2　频率分布直方图计算百分位数
【例2】　为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，你能估计一下60株树木的第50百分位数和第75百分位数吗？
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　频率分布直方图中第p百分位数的计算
(1)确定百分位数所在的区间[a，b)．
(2)确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为fa%，fb%，则第p百分位数为_________________．
[跟进训练]
2．某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]，则60分为成绩的第________百分位数．
3．某省教育厅为了了解和掌握2023年高考考生的实际答卷情况，随机地取出了100名考生的数学成绩(单位：分)，将数据分成了11组，制成了如图所示的频率分布表：
分组 频数 频率
[80，85) 1 0.01
[85，90) 2 0.02
[90，95) 4 0.04
[95，100) 14 0.14
[100，105) 24 0.24
[105，110) 15 0.15
[110，115) 12 0.12
[115，120) 9 0.09
[120，125) 11 0.11
[125，130) 6 0.06
[130，135] 2 0.02
合计 100 1
(1)求样本数据的第60，80百分位数；
(2)估计2023年高考考生的数学成绩的90%分位数．
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1．对于考试成绩的统计，如果你的成绩处在第95百分位数上，以下说法正确的是(　　)
A．你得了95分
B．你答对了95%的试题
C．95%的参加考试者得到了和你一样的考分或还要低的分数
D．你排名在第95名
2．已知一组数据按从小到大排列为1，1，2，2，3，3，4，5，7，7，8，10，那么数据的25%分位数、75%分位数分别是(　　)
A．3，9　　B．2，7　　C．9，3　　D．7，2
3．某组数据的中位数是2 023，那么它的第50百分位数是________．
4．某市举行“中学生诗词大赛”，某校有1 000名学生参加了比赛，从中抽取100名学生，统计他们的成绩(单位：分)，并进行适当的分组(每组为左闭右开的区间)，得到的频率分布直方图如图所示，则估计该校学生成绩的80%分位数为________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．百分位数告诉我们什么信息？
2．计算第p百分位数时应注意什么？
9.2.2　总体百分位数的估计
[必备知识·情境导学探新知]
知识点　1.p%
思考1　提示：有70%的同学数学测试成绩小于或等于85分．
2．从小到大　n×p%　j　平均数
思考2　提示：不一定．因为按照计算第p百分位数的步骤，第2步计算所得的i＝n×p%，如果是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数，若第i项与第(i＋1)项数据不相等，则第p百分位数在此组数据中就不存在．
3．25%　50%　75%
课前自主体验
8.4　[因为8×30%＝2.4，故第30百分位数是第三项数据8.4.]
[关键能力·合作探究释疑难]
例1　解：(1)将所有数据从小到大排列，得
7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9，
因为共有12个数据，所以12×25%＝3，12×75%＝9，12×95%＝11.4，则第25百分位数是＝8.15，第75百分位数是＝8.75，
第95百分位数是第12个数据为9.9.
(2)因为共有12个数据，所以12×15%＝1.8，则第15百分位数是第2个数据为7.9.
即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8 g，7.9 g．
跟进训练
1．B　[因为30%×6＝1.8，50%×6＝3，
所以第30百分位数为n＝28，第50百分位数为＝，所以m＝40，所以＝＝，故选B.]
例2　解：由题意知分别落在各区间上的频数
在[80，90)上为60×0.015×10＝9，
在[90，100)上为60×0.025×10＝15，
在[100，110)上为60×0.030×10＝18，
在[110，120)上为60×0.020×10＝12，
在[120，130]上为60×0.010×10＝6.
从以上数据可知第50百分位数一定落在区间[100，110)上，由100＋10×≈103.3；
第75百分位数一定落在区间[110，120)上，
由110＋10×＝112.5.
综上可知，第50百分位数和第75百分位数分别为103.3 cm，112.5 cm.
发现规律
(2)a＋×(b－a)
跟进训练
2．30　[因为[20，40)，[40，60)的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以60分为成绩的第30百分位数．]
3．解：从频率分布表得，前六组的频率之和为
0．01＋0.02＋0.04＋0.14＋0.24＋0.15＝0.60，
前七组的频率之和为0.60＋0.12＝0.72，
前八组的频率之和为0.72＋0.09＝0.81，
前九组的频率之和为0.81＋0.11＝0.92.
(1)由前六组的频率之和为0.60，得样本数据的第60百分位数为110，样本数据的第80百分位数一定在第八组[115，120)内，由115＋5×≈119.4，估计样本数据的第80百分位数约为119.4.
(2)由前八组的频率之和为0.81，前九组的频率之和为0.92，知90%分位数一定在第九组[120，125)内，由120＋5×≈124.1，
估计2023年高考考生的数学成绩的90%分位数为124.1分．
[学习效果·课堂评估夯基础]
1．C　[第95百分位数是指把数据从小到大排序，有至少95%数据小于或等于这个数，至少有5%的数据大于或等于这个值，只有C正确．]
2．B　[因为这组数据有12个数，所以12×25%＝3，12×75%＝9，所以数据的25%分位数是＝2，数据的75%分位数是＝7.故选B.]
3．2 023　[某组数据的中位数是2 023，第50百分位数就是中位数，它的第50百分位数是2 023.]
4．122　[根据频率分布直方图可知，成绩在130分以下的学生所占比例为1－0.005 0×20＝0.9，成绩在110分以下的学生所占比例为1－(0.012 5＋0.005 0)×20＝0.65，因此80%分位数一定位于[110，130)内，由110＋20×＝122，故可估计该校学生成绩的80%分位数为122.]
课堂小结
1．提示：对于无大量重复的数据，第p百分位数将它分为两个部分，大约有p%的数据项的值比第p百分位数小，而大约有(100－p)%的数据项的值比第p百分位数大．
2．提示：对于数据型的第p百分位数计算时应注意以下两点：
(1)求百分位数时，一定要将数据按照从小到大的顺序排列；
(2)计算i＝n×p%后要弄清i是整数还是非整数．
对于由频率分布直方图求百分位数时应注意频率分布直方图中小矩形的面积，就是数据确定在哪个区间．9.2.3　总体集中趋势的估计
学习任务 1．结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)．(数学抽象、数据分析) 2．理解集中趋势参数的统计含义．(直观想象)
甲、乙两位同学相约晚上在某餐馆吃饭．他们分别在A，B两个网站查看同一家餐馆的好评率．甲在网站A查到的好评率是98%，而乙在网站B查到的好评率是85%.综合考虑这两个网站的信息，应该如何得到这家餐馆的总好评率？
知识点　众数、中位数、平均数
1．众数、中位数和平均数的定义
(1)众数：一组数据中____________的数．
(2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于____位置的数．如果个数是偶数，则取____两个数据的平均数．
(3)平均数：一组数据的__除以数据个数所得到的数．
1．中位数一定是样本数据中的一个数吗？
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2．一组数据的众数一定唯一吗？
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2．频率分布直方图中的众数、中位数、平均数
(1)单峰频率分布直方图中的平均数与中位数
①如果直方图的形状是____的，那么平均数与中位数大体上差不多．
②如果直方图在____“拖尾”，那么平均数大于中位数；如果直方图在____“拖尾”，那么平均数小于中位数，也就是说，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边．
(2)在频率分布直方图中，众数是____矩形底边中点的横坐标；中位数左边和右边的直方图的面积应该____；样本平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形底边中点的______与小矩形的____的乘积之和．
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势． (　　)
(2)样本的平均数是频率分布直方图中最高长方形的中点对应的数据． (　　)
(3)若改变一组数据中其中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改变． (　　)
类型1　一组数据的平均数、中位数和众数
【例1】　已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16，18，15，11，16，18，18，17，15，13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有(　　)
A．a＞b＞c　　 B．a＞c＞b
C．c＞a＞b　 D．c＞b＞a
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　平均数、众数、中位数的计算方法
平均数一般是根据公式来计算的；计算中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据相关数据的总数是奇数还是偶数而定；众数是看出现次数最多的数．
[跟进训练]
1．(1)已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，那么另一组数据2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均数为(　　)
A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4
(2)某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数如下所示：
甲：20，22，27，8，12，13，37，25，24，26；
乙：14，9，13，18，19，20，23，21，21，11．
则下面结论中正确的是________(填序号)．
①甲的极差是29；②乙的众数是21；③甲的平均数为21.4；④甲的中位数是24．
类型2　频率分布直方图中的平均数、中位数和众数
【例2】　某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名，将其物理成绩(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后，画出如图所示的频率分布直方图．观察图中的信息，回答下列问题：
(1)估计这次考试的物理成绩的众数m与中位数n(结果保留一位小数)；
(2)估计这次考试的物理成绩的及格率(60分及以上为及格)和平均分．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数
(1)众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数．
(2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数．
(3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
[跟进训练]
2．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图．
求：(1)成绩的众数、中位数的估计值；
(2)平均成绩的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．
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类型3　平均数、中位数和众数的实际应用
【例3】　(源自湘教版教材)某公司全体职工的月工资如下：
月工资/元 18 000 12 000 8 000 6 000 4 000 2 500 2 000 1 500 1 200
人数 1 (总经理) 2 (副总经理) 3 4 10 20 22 12 6
(1)试求出该公司月工资数据中的众数、中位数和平均数；
(2)你认为用平均数、中位数或众数中的哪一个更能反映该公司的工资水平？
(3)对于职工月工资数据的平均数、中位数和众数，你认为该公司总经理、普通员工及应聘者将分别关注哪一个？说说你的理由．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　平均数、中位数、众数应用问题的两个关注点
(1)平均数与每一个数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受极端值的影响大；中位数是样本数据所占频率的等分线，不受几个极端值的影响；众数只能体现数据的最大集中点，无法客观反映总体特征．
(2)当平均数大于中位数时，说明数据中存在许多较大的极端值．
[跟进训练]
3．如表是五年级两个班各11名同学1分钟仰卧起坐的成绩(单位：次)：
一班 19 33 26 29 28 33 34 35 33 33 30
二班 25 27 29 28 29 30 29 35 29 30 29
(1)这两组数据的平均数，中位数和众数各是多少？
(2)你认为哪个数表示两个班的成绩更合适？
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1．(多选)在一次体育测试中，某班6名同学的成绩(单位：分)分别为66，83，87，83，77，96．关于这组数据，下列说法正确的是(　　)
A．众数是83　　 B．中位数是83
C．极差是30 　 D．平均数是83
2．下列关于平均数、中位数、众数的说法中正确的是(　　)
A．中位数可以准确地反映出总体的情况
B．平均数可以准确地反映出总体的情况
C．众数可以准确地反映出总体的情况
D．平均数、中位数、众数都有局限性，都不能准确地反映出总体的情况
3．已知一组数据按从小到大排列为－1，0，4，x，6，15，且这组数据的中位数是5，那么数据的众数是________，平均数是________．
4．某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．
(1)这次测试数学成绩的众数为________；
(2)这次测试数学成绩的中位数为________；
(3)这次测试数学成绩的平均分为________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．在频率分布直方图中，如何确定众数、中位数和平均数？
2．众数、中位数和平均数的各有哪些优缺点？
9.2.3　总体集中趋势的估计
[必备知识·情境导学探新知]
知识点　1.(1)出现次数最多　(2)中间　中间　(3)和
思考1　提示：不一定．一组数据按大小顺序排列后，如果有奇数个数据，处于中间位置的数是中位数；如果有偶数个数据，则中间两个数据的平均数是中位数．
思考2　提示：不一定，数据的众数可能有一个，也可能有多个．
2．(1)对称　右边　左边　(2)最高　相等　横坐标　面积
课前自主体验
(1)√　(2)×　(3)×
[关键能力·合作探究释疑难]
例1　D　[由题意得a＝(16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝＝15.7，中位数为16，众数为18，则b＝16，c＝18，∴c＞b＞a.]
跟进训练
1．(1)A　(2)①②③　[(1)因为一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，所以另一组数据2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均数为2×2－3＝1.故选A.
(2)把两组数据按从小到大的顺序排列，得
甲：8，12，13，20，22，24，25，26，27，37
乙：9，11，13，14，18，19，20，21，21，23
故甲的最大值为37，最小值为8，则极差为29，所以①正确；乙中出现最多的数据是21，所以②正确；甲的平均数为＝×(8＋12＋13＋20＋22＋24＋25＋26＋27＋37)＝21.4，所以③正确；甲的中位数为×(22＋24)＝23，故④不正确．]
例2　解：(1)众数是频率分布直方图中最高小矩形底边中点的横坐标，所以众数为m＝75.0.
前3个小矩形面积和为0.01×10＋0.015×10＋0.015×10＝0.4<0.5，
前4个小矩形面积和为0.4＋0.03×10＝0.7>0.5，
所以中位数n＝70＋≈73.3.
(2)依题意，60及60以上的分数在第三、四、五、六组，频率和为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，
所以估计这次考试的物理成绩的及格率是75%.
利用组中值估算抽样学生的平均分为45×f1＋55×f2＋65×f3＋75×f4＋85×f5＋95×f6＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.
所以估计这次考试的物理成绩的平均分是71分．
跟进训练
2．解：(1)由图可知众数的估计值为65分．
设中位数为x，
又∵第一个小矩形的面积为0.3，
则0.3＋(x－60)×0.04＝0.5，得x＝65.
∴中位数的估计值为65分．
(2)依题意，平均成绩为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67(分)，
∴平均成绩的估计值为67分．
例3　解：(1)在上述80个数据中，2 000出现了22次，出现的次数最多，因此这组数据的众数是2 000.
把这80个数据按从小到大的顺序排列后，位于中间的数是2 000，2 500，因此这组数据的中位数是＝2 250.
这组数据的平均数为＝＝＝3 115.
(2)由于大多数员工的月工资达不到平均数3 115，显然用平均数作为该公司员工月工资的代表值并不合适；众数2 000及中位数2 250在一定程度上代表了大多数人的工资水平，较能反映月工资水平的实际情况．
(3)公司总经理最关心的是月工资的总额，所以他关注的是平均数；普通员工关注的是自己的收入在本公司职工群体中的位置，中位数能帮助职工了解自己的工资收入处于什么样的水平；应聘者最想知道公司发给大多数员工的工资数额，这也是一般应聘者将会拿到的工资，因此应聘者关注的是该公司月工资的众数．
跟进训练
3．解：(1)一班平均数：(19＋33＋26＋29＋28＋33＋34＋35＋33＋33＋30)÷11＝333÷11≈30.27(次)，
一班数据从小到大排列为：19，26，28，29，30，33，33，33，33，34，35，
所以一班中位数为33次，
33出现的次数最多，众数是33次；
二班平均数：(25＋27＋29＋28＋29＋30＋29＋35＋29＋30＋29)÷11＝320÷11≈29.09(次)，
二班数据从小到大排列为：25，27，28，29，29，29，29，29，30，30，35，
所以二班的中位数是29次，
29出现的次数最多，所以二班的众数是29次．
(2)运用平均数表示两个班的成绩更合适．
[学习效果·课堂评估夯基础]
1．ABC　[由于83出现的次数最多，所以众数是83，故A正确；把数据按从小到大排列为66，77，83，83，87，96，中间两个数为83，83，所以中位数是83，故B正确；极差是96－66＝30，故C正确；由于平均数为(66＋83＋87＋83＋77＋96)÷6＝82，故D错误．]
2．D　[中位数不受少数极端值的影响，对极端值的不敏感也会成为缺点，故A错误；平均数可以较好地反映样本数据全体的信息，但是样本数据质量较差时，使用平均数描述数据的中心位置就可能会与实际情况产生较大差异，故B错误；众数体现了样本数据的最大集中点，但对其他数据信息的忽略使得无法客观反映总体特征，故C错误；综上可知，D正确．]
3．6　5　[因为－1，0，4，x，6，15的中位数是5，所以(4＋x)＝5，x＝6.所以这组数据的众数是6，平均数是(－1＋0＋4＋6＋6＋15)＝5.]
4．(1)75　(2)　(3)72　[(1)由题干图知众数为＝75.
(2)由题干图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3，0.3＋0.4>0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03(x－70)，所以x＝.
(3)由题干图知这次数学成绩的平均数为：×0.005×10＋×0.015×10＋×0.02×10＋×0.03×10＋×0.025×10＋×0.005×10＝72.]
课堂小结
1．提示：在频率分布直方图中，众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据；中位数左边和右边的直方图的面积应该相等；平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
2．提示：
名称 优点 缺点
平均数 与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大
中位数 不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响 对极端值不敏感
众数 体现了样本数据的最大集中点 众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感9.2.4　总体离散程度的估计
学习任务 1．结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)．(数学抽象、数据分析) 2．理解离散程度参数的统计含义．(直观想象)
甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是：
甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；
乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5．
经过计算可知甲、乙的命中环数的平均数都是7环．
问题：若从二人中选一人去参加射击大赛，只用平均数能否作出选择？
知识点　方差、标准差
1．一组数据x1，x2，…，xn的方差和标准差
数据x1，x2，…，xn的方差为_________＝_________，标准差为_________．
2．总体方差和标准差
(1)总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体的平均数为，则称S2＝__________为总体方差，S＝____为总体标准差．
(2)总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S2＝__________．
3．样本方差和标准差
如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称s2＝__________为样本方差，s＝___为样本标准差．
4．标准差的意义
标准差刻画了数据的________或________，标准差越大，数据的离散程度越__；标准差越小，数据的离散程度越__．
5．分层随机抽样的方差
设样本容量为n，平均数为，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为，方差分别为，则这个样本的方差为s2＝______________________________．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0． (　　)
(2)标准差、方差的取值范围为[0，＋∞)． (　　)
(3)标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散． (　　)
(4)一般情况下数据中绝大部分数据落在内，也有可能落在外． (　　)
(5)计算分层随机抽样中总样本的平均数与方差时，必须已知各层的权重． (　　)
2．已知一个样本中的数据为1，2，3，4，5，则该样本的方差为________；标准差为________．
3．某班为了了解学生每周购买零食的支出情况，利用分层随机抽样抽取了一个15人的样本统计如下：
性别 学生数 平均支出(元) 方差
男生 9 40 6
女生 6 35 4
则全班学生每周购买零食的平均费用为________；方差为________．
类型1　方差和标准差的性质与计算
【例1】　(1)已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为s2，则(　　)
A．＝4，s2<2　 B．＝4，s2>2
C．>4，s2<2 　 D．>4，s2>2
(2)若40个数据的平方和是56，平均数是，则这组数据的方差是________，标准差是________．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　方差和标准差的计算技巧与性质
(1)方差的计算
①基本公式：s2＝2＋2＋…＋].
②简化计算公式：s2＝－，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方．
(2)方差和标准差的性质
若把一组数据的每一个数变为原来的k倍并加上或减去常数a，则它的标准差变为原来的k倍，方差变为原来的k2倍，而与a的大小无关．
[跟进训练]
1．(1)(多选)下列四个选项中，正确的是(　　)
A．极差与方差都反映了数据的集中程度
B．方差是没有单位的统计量
C．标准差比较小时，数据比较分散
D．只有两个数据时，极差是标准差的2倍
(2)样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均数为1，则样本的方差为________．
类型2　方差和标准差的应用
【例2】　为响应“绿色出行”号召，某市先后推出了“共享单车”和“新能源分时租赁汽车”，并计划在甲、乙两个工厂选择一个工厂生产汽车轮胎，现分别从甲、乙两厂各随机选取10个轮胎，将每个轮胎的宽度(单位：mm)记录下来并绘制出如下的折线图：
(1)分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均数；
(2)轮胎的宽度在[194，196]内，则称这个轮胎是标准轮胎．试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个工厂会被选择．
[尝试解答]　_________________________________________________________
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　在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度．在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，离散程度越小，数据越集中，越稳定．
[跟进训练]
2．汽车行业是碳排放量比较大的行业之一，某检测单位对甲、乙两类MI型品牌的新车各抽取了5辆进行CO2排放量检测，记录如下(单位：g/km)，则甲、乙两品牌汽车CO2的排放量稳定性更好的是(　　)
甲 80 110 120 140 150
乙 100 120 100 120 160
A．甲　 B．乙
C．甲、乙相同　 D．无法确定
类型3　分层随机抽样的方差
【例3】　某市教育部门采用分层随机抽样的方法从甲、乙、丙三个学校选取了100名学生的某次考试数学成绩(单位：分)，并制成如下表格：
学校 学生数 平均数 方差
甲 40 98 10
乙 30 92 12
丙 30 95 15
试估计这次考试数学成绩的平均数与方差．
[尝试解答]　_________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
　分层随机抽样的方差
设样本中不同层的平均数分别为，…，，方差分别为，…，，相应的权重分别为w1，w2，…，wn，则这个样本的方差为s2＝(为样本的平均数)．
[跟进训练]
3．甲、乙两支田径队体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，求甲、乙两队全部队员的平均体重和方差．
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
1．甲、乙、丙、丁四名射手在选拔赛中所得的平均环数及其方差s2如表所示，则选送决赛的最佳人选应是(　　)
项目 甲 乙 丙 丁
7 8 8 7
s2 6.3 6.3 7 8.7
A.甲　　　B．乙　　　C．丙　　　D．丁
2．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是3，方差是，那么另一组数据2x1－1，2x2－1，2x3－1，2x4－1，2x5－1的平均数、方差分别是(　　)
A．5，　B．5，2 　C．3，2 　D．3，
3．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4，
则：(1)平均命中环数为________；
(2)命中环数的标准差为________．
4．在对某中学高一学生体重的调查中，采取按样本量比例分配的分层随机抽样，已知抽取了男生30人，其平均数和方差分别为55和15，抽取了女生20人，其平均数和方差分别为45和20．根据以上数据估计该校高一学生体重的总样本的平均数为________，方差为________．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．描述数据的离散程度的量有哪些？分别如何描述的？
2．如何计算一组数据的方差或标准差？
3．如何计算分层随机抽样的方差？
9.2.4　总体离散程度的估计
[必备知识·情境导学探新知]
课前自主体验
1．(1)√　(2)√　 (3)×　(4)√　(5)√
2．2　
3．38　11.2
[关键能力·合作探究释疑难]
例1　(1)A　(2)0.9　　[(1)因为某7个数的平均数为4，所以这7个数的和为4×7＝28，因为加入一个新数据4，所以＝＝4.又因为这7个数的方差为2，且加入一个新数据4，所以这8个数的方差s2＝＝<2.故选A.
(2)由方差公式
s2＝，
得s2＝
＝.
由已知得n＝＝56，＝.
∴s2＝＝0.9，s＝.]
跟进训练
1．(1)AD　(2)2　[(1)设两个数据分别为x1，x2，则极差等于|x2－x1|，标准差等于|x2－x1|，故D正确．由定义可知A正确，B，C错误．
(2)由平均数为1可得＝1，
解得a＝－1.所以样本的方差s2＝＝2.]
例2　解：(1)甲厂提供的10个轮胎宽度的平均数为
×(195＋194＋196＋193＋194＋197＋196＋195＋193＋197)＝195.
乙厂提供的10个轮胎宽度的平均数为
×(195＋196＋193＋192＋195＋194＋195＋192＋195＋193)＝194.
(2)甲厂提供的10个轮胎的宽度在[194，196]内的数据为195，194，196，194，196，195，共6个，标准轮胎宽度的平均数为＝195，方差为×(0＋1＋1＋1＋1＋0)＝.
乙厂提供的10个轮胎的宽度在[194，196]内的数据为195，196，195，194，195，195，共6个，标准轮胎宽度的平均数为＝195，
方差为×(0＋1＋0＋1＋0＋0)＝.
由于甲、乙两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙的方差更小，所以乙厂的轮胎会被选择．
跟进训练
2．B　[甲类品牌汽车的CO2排放量的平均值
＝＝120(g/km)，
甲类品牌汽车的CO2排放量的方差
＝×[(80－120)2＋(110－120)2＋(120－120)2＋(140－120)2＋(150－120)2]＝600.
乙类品牌汽车的CO2排放量的平均值
＝＝120(g/km)，
乙类品牌汽车的CO2排放量的方差
＝×[(100－120)2＋(120－120)2＋(100－120)2＋(120－120)2＋(160－120)2]＝480，所以.故选B.]
例3　解：由题意可得，样本平均数＝(40×98＋30×92＋30×95)＝95.3(分)，方差s2＝{40×[10＋(98－95.3)2]＋30×[12＋(92－95.3)2]＋30×[15＋(95－95.3)2]}＝18.31，所以估计这次考试数学成绩的平均数为95.3分，方差为18.31.
跟进训练
3．解：由题意可知＝60，甲队队员在所有队员中所占权重为＝＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为，则甲、乙两队全部队员的平均体重为＝×60＋×70＝68 kg，甲、乙两队全部队员的体重的方差为s2＝[200＋(60－68)2]＋[300＋(70－68)2]＝296.
[学习效果·课堂评估夯基础]
1．B　[∵＝>＝，且＝，故应选择乙进入决赛．]
2．B　[因为数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是3，方差是，所以，因此数据2x1－1，2x2－1，2x3－1，2x4－1，2x5－1的平均数为－1＝5，方差为＝＝＝＝2．故选B.]
3．(1)7　(2)2　[(1)＝＝7.
(2)∵s2＝×[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.]
4．51　41　[总样本的平均数为×55＋×45＝51，总样本的方差为×[15＋(55－51)2]＋×[20＋(45－51)2]＝41.]
课堂小结
1．提示：数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述．
(1)极差是数据的最大值与最小值的差．它反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感．
(2)方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小．为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度通常用标准差．在平均数相同的情况下，方差(或标准差)越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性差；方差(或标准差)越小，数据越集中、越稳定．
2．提示：(1)公式法：s2＝2＋2＋…＋]＝－；
(2)性质法：若x1，x2，…，xn的方差为s2，则mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的方差为m2s2.
3．提示：计算分层随机抽样的方差s2的步骤
(1)分层随机抽样中两组数据x，y的抽样比例是；
(2)总体均值为＝；
(3)总体方差s2＝＋]＋·＋].第9章 统计 章末综合提升
类型1　抽样方法
1．抽样方法有：简单随机抽样、分层随机抽样．对抽样方法的考查，主要有两点：一是两种抽样方法的判断；二是关于分层随机抽样的样本容量的计算问题，特别与其他的问题结合在一起的问题要引起重视．
2．掌握两种抽样方法，提升数据分析素养．
【例1】　(1)某市举行以“学习党的二十大精神，培根铸魂育新人”为主题的中小学教师演讲比赛．若将报名的50位教师编号为00，01，…，49，利用下面的随机数表来决定他们的出场顺序，选取方法是从下面随机数表第1行第5列开始横向依次选取两个数字，重复的剔除，则选出来的第8个个体的编号为(　　)
45 67 32 12 12 31 02 01 04 52 15 20 01 12 51 29
32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81
A．12　　　B．20　　　C．29　　　D．23
(2)(多选)(2022·山东聊城一中月考)某校高二年级有男生600人，女生400人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到一个总样本量为100的样本，计算得到男生、女生的平均身高分别为170 cm和160 cm，方差分别为15和30，则下列说法正确的有(　　)
A．若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则男生、女生分别应抽取60人和40人
B．若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则样本的方差为37.8
C．若张华采用样本量比例分配的方式进行抽样，则样本的平均数为166，此时可用样本平均数估计总体的平均数
D．若张华采用等额抽取，即男生、女生分别抽取50人，则某男生甲被抽到的概率为
[尝试解答]　_________________________________________________________
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类型2　统计图表及其应用
1．常见的统计图表有：频率分布直方图、条形图、折线图、扇形图等等，不同的统计图表在表示数据上有不同的特点．
2．掌握常见的统计图表，提升直观想象、数据分析和数学运算素养．
【例2】　(1)(多选)(2022·江苏沭阳县修远中学期末)某中学举行安全知识竞赛，对全校参赛的1 000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成了5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是(　　)
A．这组数据的极差为50　
B．这组数据的众数为76
C．这组数据的中位数为　
D．这组数据的第75百分位数为85
(2)(多选)(2022·山东济南市历城第二中学月考)某保险公司为客户定制了A，B，C，D，E共5个险种，并对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：
用该样本估计总体，以下说法正确的有(　　)
A．57周岁以上参保人数最少　
B．18～30周岁人群参保总费用最少
C．C险种更受参保人青睐
D．31周岁以上的人群约占参保人群80%
[尝试解答]　_________________________________________________________
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类型3　用样本的集中趋势、离散程度估计总体
1．为了从整体上更好地把握总体规律，我们还可以通过样本数据的众数、中位数、平均数估计总体的集中趋势，通过样本数据的方差或标准差估计总体的离散程度．
2．掌握样本数据的众数、中位数、平均数及方差的计算方法，提升数据分析和数学运算素养．
【例3】　某工厂36名工人的年龄(单位：岁)数据如下：
40，44，40，41，33，40，45，42，43，36，31，38，39，43，45，39，38，36，27，43，41，37，24，42，37，44，42，34，39，43，38，42，53，37，49，39．
利用简单随机抽样抽取容量为9的样本，其年龄数据为44，40，36，43，36，37，44，43，37．
(1)计算样本的平均数和方差s2；
(2)36名工人中年龄在－s与＋s之间的有多少人？所占的百分比是多少？(精确到0.01%)
[尝试解答]　_________________________________________________________
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章末综合提升
例1　(1)B　(2)AC　[(1)根据随机数表的读数规则，依次从随机数表中读出的有效编号为：32，12，31，02，01，04，15，20，得到选出来的第8个个体的编号为20.故选B.
(2)A选项，男生抽取100×＝60，女生抽取100－60＝40人，A选项正确．
C选项，样本平均数为×170＋×160＝166，可以用样本平均数估计总体的平均数，C选项正确．
B选项，样本方差为[30＋(160－166)2]＝＝45，所以B选项错误．
D选项，男生甲被抽到的概率为＝，D选项错误．
故选AC.]
例2　(1)CD　(2)ACD　[(1)对于A：由频率分布直方图无法得到这组数据的最大值和最小值，
故这组数据的极差无法准确判断，故A错误；
数据的众数为(70＋80)＝75，故B错误；
(0.005＋0.02＋0.035)×10＝0.6>0.5，(0.005＋0.02)×10＝0.25<0.5，所以中位数位于之间，设中位数为x，则(0.005＋0.02)×10＋×0.035＝0.5，解得x＝，即这组数据的中位数为，故C正确；
∵(0.005＋0.02＋0.035)×10＝0.6，(0.005＋0.02＋0.035＋0.03)×10＝0.9，故估计第75分位数是80＋×10＝85，故D正确．故选CD.
(2)由扇形图可知，57周岁以上参保人数最少，故A正确；
由折线图可知，18～30周岁人群人均参保费用最少，但是由扇形图知参保人数并不是最少的，所以参保总费用不是最少，故B错误；
由条形图可知，C险种参保比例最高，故C正确；
由扇形图可知，31周岁以上的人群约占参保人群80%，故D正确．故选ACD.]
例3　解：(1)由平均数公式知，＝×(44＋40＋36＋43＋36＋37＋44＋43＋37)＝40，由方差公式知，s2＝×[(44－40)2＋(40－40)2＋…＋(37－40)2]＝.
(2)因为s2＝，则s＝，所以36名工人中年龄在＋s之间的人数等于年龄在区间[37，43]内的人数，共23人．
所以36名工人中年龄在＋s之间的人数所占的百分比为×100%≈63.89%.

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