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2025年九年级中考数学三轮冲刺练习二次函数中的角度问题
1．如图，抛物线与y＝ax2+bx+3与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．顶点为（1，4）．直线y＝3x+7与x，y轴分别相交于点D，E，与直线BC相交于点F．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）请探究在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得∠PBF＝∠DFB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
2．已知在平面直角坐标系xOy中，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上．现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线经过点O和D．
（1）求点D的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否存在点P，使得∠POB＝∠BAO？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．已知点B（5，0），点C（4，3）都在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，其中点A是抛物线与x轴的交点，点D是抛物线的顶点，连接AD，CD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求∠ACD的度数；
（3）点P是y轴上的一个动点，当∠PCA＝∠CAD时，直接写出P点坐标．
4．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴左、右交点分别为A、B，与y轴负半轴交于点C，坐标原点为O，若OB＝OC＝3OA，S△ABC＝6，点P是抛物线上的动点（点P在y轴右侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）D是线段OC的中点，
①当∠OPC＝45°时，请求出点P的坐标；
②当∠OPC＝∠OAD时，请求出点P的坐标．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x+1）2（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，连结AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求线段AB的长度；
（3）点P是抛物线上的一个动点，满足∠PBA＝∠CAB，求点P的坐标．
6．如图，已知抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点P（m，n）是线段BC上方抛物线上的一动点，过P作y轴的平行线，交线段BC于点Q．
①当四边形OCPQ为平行四边形时，求点P的坐标；
②当时，在点P运动过程中，抛物线上是否始终存在点E，使得∠EPQ＝∠CPQ，请说明理由．
7．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线上的一点，使得S△MBC＝S△OBC，请求出点M的坐标；
（3）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BD．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于点A（﹣1，0）、点B（4，0），与y轴交于点C．点P是第一象限的抛物线上一动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，连接PC，当∠PCB＝2∠CBA时，求点P的坐标；
（3）如图，过点P作PD⊥BC于点D，求的最大值．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3），且经过点D（4，﹣5）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，过P作PE∥y轴，交直线CD于点E，若以P、E、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q，使∠QCD＝45°．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接AB、BC、PA、PC，PC与AB相交于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，当S1﹣S2＝5时，求点P的坐标；
（3）抛物线上存在点P，满足∠PAB+∠CBO＝45°，则点P的坐标为　 　．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，联结AC，tan∠CAO＝3，抛物线的顶点为点D．
（1）求b的值和点D的坐标；
（2）点P是抛物线上一点（不与点B重合），点P关于x轴的对称点恰好在直线BC上．
①求点P的坐标；
②点M是抛物线上一点且在对称轴左侧，联结BM，如果∠MBP＝∠ABD，求点M的坐标．
12．已知：抛物线y＝x2﹣bx﹣3交x、y轴于A、B（3，0），交y轴于C，顶点为D，M为抛物线上动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在M运动过程中，连OM，当∠DOM＝45°时，求M点坐标；
（3）随着M运动到第一象限，如图（2）直线AM交对称轴于E，直线MB交对称轴于F，若对称轴交x轴于H，求HF﹣HE的值．
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，其中点B的坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求抛物线和直线BC的函数表达式；
（2）点P是直线BC上方的抛物线上一个动点，当△PBC面积最大时，求P点的坐标；
（3）连接B和（2）中求出的点P，点Q位于直线BP下方且在抛物线上，若∠PBQ＝45°，求点Q的坐标．
14．如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（3，0）．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）点P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为点E，求2PD+PE的最大值，及此时P点的坐标．
（3）点M为该抛物线上的点，当∠MCB＝45°时，请直接写出满足条件的点M的坐标．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D（3，4）在抛物线上，点P是抛物线上一动点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接BC，若BC上方抛物线上有一点P，且P到直线BC的距离为，求点P的坐标；
（3）如图，连接AC，BC，抛物线上是否存在点P，使∠CBP+∠ACO＝45°？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
16．二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式；
（3）请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由．
17．如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ＝∠CBA+45°时，求点P的坐标；
（3）如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点A（﹣2，0）和点B（4，0）．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）点P为该抛物线上一点（不与点C重合），直线CP将△ABC的面积分成2：1两部分，求点P的坐标；
（3）点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿y轴移动，运动时间为t秒，当∠OCA＝∠OCB﹣∠OMA时，求t的值．
19．如图，抛物线yx2x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．
（1）A，B，C三点的坐标为 　 　，　 　，　 　．
（2）连接AP，交线段BC于点D，
①当CP与x轴平行时，求的值；
②当CP与x轴不平行时，求的最大值；
（3）连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．
20．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过坐标原点O，且顶点为A（2，﹣4）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线与x轴正半轴的交点为B，点P位于抛物线上且在x轴下方，连接OA、PB，若∠AOB+∠PBO＝90°，求点P的坐标．
21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点A（﹣3，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，4）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知抛物线上有一点P（x0，y0），其中y0＜0，若∠CAO+∠ABP＝90°，求x0的值；
（3）若点D，E分别是线段AC，AB上的动点，且AE＝2CD，求CE+2BD的最小值．
参考答案
1．【解答】解：（1）∵抛物线与y＝ax2+bx+3的顶点为（1，4），
∴y＝ax2+bx+3＝a（x﹣1）2+4，
由题意得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）在第三象限内的抛物线上存在点P，使得∠PBF＝∠DFB；理由如下：
∵直线y＝3x+7与x，y轴分别相交于点D，E，
∴当y＝0时，3x+7＝0，
解得，
∴点D的坐标为．
抛物线与y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），
当y＝0时得：﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），
在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，
∴点C的坐标为（0，3），
设直线BC的解析式为y＝sx+t，将点B，点C的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3，
联立得：，
解得，
∴点F的坐标为（﹣1，4）．
连接FA，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，
由题知FA⊥x轴，，AF＝4，，
设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3），
，
当∠PBF＝∠DFB时，，
解得，m2＝3（舍去），
点P的坐标为．
2．【解答】解：（1）①如图：过点D作DH⊥x轴，
∵A（0，2），B（1，0），
∴OA＝2，OB＝1，
由旋转知，∠ABD＝90°，AB＝DB，
∴∠ABO+∠DBH＝90°，
∵过点D作DH⊥x轴，
∴∠DBH+∠BDH＝90°，
∴∠ABO＝∠BDH，
在△AOB和△BHD中，
，
∴△AOB≌△BHD（AAS），
∴DH＝OB＝1，BH＝OA＝2，
∴OH＝OB+BH＝3
∴D（3，1）；
（2）∵抛物线经过点O和D，
把D（3，1），O（0，0），代入得：
，
解得，
∴；
（3）在抛物线上存在点P，使得∠POB＝∠BAO；理由如下：
设，
如图，当点P在x轴上方时，作PG⊥x轴于G，则OG＝p，，
∵∠POB＝∠BAO，
∴tan∠POB＝tan∠BAO，
由①可得：OA＝2，OB＝1，
∵，，
∴，
解得：，
此时，即；
如图3，当点P在x轴上方时，作PI⊥x轴于I，则OI＝p，，
∵∠POB＝∠BAO，
∴tan∠POB＝tan∠BAO，
∵，，
∴，
解得：，
此时，即；
综上所述，点P的坐标为或．
3．【解答】解：（1）∵点B（5，0），点C（4，3）都在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+6x﹣5．
（2）令y＝0，则﹣x2+6x﹣5＝0，
∴x＝5或x＝1，
∴A（1，0），
∴OA＝1．
∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴D（3，4）．
过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，CG⊥DE于点G，如图，
则OE＝3，DE＝4，OF＝4，CF＝3，
∴EF＝OF﹣OE＝4﹣3＝1，AE＝OE﹣OA＝2，AF＝OF﹣OA＝3，
∴DE⊥AB，CF⊥AB，CG⊥DE，
∴四边形CGEF为矩形，
∴CG＝EF＝1，EG＝CF＝3，
∴DG＝DE﹣EG＝1，
∴AD2＝AE2+DE2＝22+42＝20，
CD2＝CG2+DG2＝12+12＝2，
AC2＝AF2+CF2＝32+32＝18，
∴CD2+AC2＝2+18＝20，
∴CD2+AC2＝AD2，
∴△ACD为直角三角形，
∴∠ACD＝90°．
（3）①当点P在AC的上方时，如图，
设PC与AD交于点H，
由（2）知：∠ACD＝90°，
∴∠PCA+∠PCD＝90°，∠CAD+∠HDC＝90°，
∵∠PCA＝∠CAD，
∴∠HDC＝∠PCD，
∴HD＝HC．
∵∠PCA＝∠CAD，
∴HA＝HC，
∴HA＝HD，
∵A（1，0），D（3，4），
∴H（2，2）．
设直线CH的解析式为y＝kx+a，
∴，
∴，
∴直线CH的解析式为yx+1，
令x＝0，则y＝1，
∴P（0，1）；
②当点P在AC的下方时，如图，
∵∠PCA＝∠CAD，
∴PC∥AD．
设直线AD的解析式为y＝mx+n，
∵D（3，4），A（1，0），
∴，
∴，
∴直线AD的解析式为y＝2x﹣2．
∴直线PC的解析式为y＝2x+d，
∴2×4+d＝3，
∴d＝﹣5，
∴直线PC的解析式为y＝2x﹣5，
令x＝0，则y＝﹣5，
∴P（0，﹣5）．
综上，当∠PCA＝∠CAD时，P点坐标为（0，1）或（0，﹣5）．
4．【解答】解：（1）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴左、右交点分别为A、B，与y轴负半轴交于点C，OB＝OC＝3OA，S△ABC＝6，
∴AB＝OA+OB＝4OA，
∴，
解得：OA＝1（负值舍去），
∴OB＝3，OC＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），把点C的坐标代入得：
﹣3＝a（0+1）（0﹣3），
解得：a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）①∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵∠OPC＝45°＝∠OBC，
∴当点P与点B重合时，满足题意；此时：P（3，0）；
当点P与点B不重合时，则：O，C，B，P四点共圆，
∵∠BOC＝90°，
∴BC为圆的直径，取BC的中点E，则点E即为圆心，连接EP，则：，
∵B（3，0），C（0，3），
∴，，，
设点P（m，m2﹣2m﹣3）（m＞0），
则：，
整理得：m（m2﹣m﹣1）（m﹣3）＝0，
解得：m＝0（舍去）或m＝3（舍去）或（舍去）或，
当时，，
∴；
综上所述，P（3，0）或；
②∵C（0．﹣3），D为OC的中点，
∴，
∵OA＝1，
∴，
取点F（2，0），连接CF，则：OF＝2，
∴，
∴∠OFC＝∠OAD，
∵∠OPC＝∠OAD，
∴∠OPC＝∠OFC，
∴O，P，F，C四点共圆，
∵∠COF＝90°，
∴CF为圆的直径，取CF的中点H，如图2，则，，
∵，
∴，
设P（n，n2﹣2n﹣3），
∴，
化简，得：n4﹣4n3+2n2+4n＝n（n2﹣2n﹣2）（n﹣2）＝0，
解得：n＝0（舍去）或n＝2或（舍去）或；
∴P（2，﹣3）或．
5．【解答】解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝9a，则a，
则抛物线的表达式为：y（x+1）2；
（2）令y（x+1）20，则x＝﹣4或2，即点B（2，0），
则AB＝2﹣（﹣4）＝6；
（3）当点P在x轴下方时，
∵∠PBA＝∠CAB，则PB∥AC，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：yx+2，
则直线PB的表达式为：y（x﹣2），
当点P在x轴上方时，
则PB的表达式为：y（x﹣2），
联立PB和抛物线的表达式得：（x﹣2）（x+1）2或（x﹣2）（x+1）2，
解得：x＝2（舍去）或﹣2或﹣4.5，
则点P（﹣2，2）或（，）．
6．【解答】解：（1）在y＝﹣x2+3x+4中，
当x＝0时，y＝4，
∴点C（0，4），
当y＝0时，﹣x2+3x+4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴点A（﹣1，0），B（4，0）；
（2）①由（1）知B（4，0），C（0，4），
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将点B（4，0），C（0，4）代入上式，得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
∵C（0，4），
∴OC＝4，
∵过P作y轴的平行线，交线段BC于点Q，如图，
可设P（m，﹣m2+3m+4），则Q（m，﹣m+4），
∴PQ＝﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m，
∵四边形OCPQ为平行四边形，
∴PQ＝OC＝4，
∴﹣m2+4m＝4，
解得，m1＝m2＝2，
当m＝2，得n＝6，
∴P（2，6）；
②解法一：作点C关于直线PQ的对称点D（2m，4），如图，
设直线PD的解析式为y＝k1x+b1，
∵P（m，﹣m2+3m+4），
∴，
解得，
∴直线PD的解析式为y＝（m﹣3）x﹣2m2+6m+4，
联立，
整理得，x2+（m﹣6）x﹣2m2+6m＝0，
则Δ＝（m﹣6）2﹣4×1×（﹣2m2+6m）
＝9m2﹣36m+36
＝9（m﹣2）2≥0，
解方程得x1＝m，x2＝6﹣2m，
∵，
∴x2＝6﹣2m＞x1，
∴当时，点P在运动过程中，抛物线上始终存在点E，使得∠EPQ＝∠CPQ，
解法二：作点C关于直线PQ的对称点D（2m，4），
在y＝﹣x2+3x+4中，
当x＝2m时，y＝﹣（2m）2+3×2m+4＝﹣4m2+6m+4，
则，
∵，
∴y﹣4＞0，
∴点D在抛物线内，
∴当时，点P在运动过程中，抛物线上始终存在点E，使得∠EPQ＝∠CPQ．
7．【解答】解：（1）直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为：（3，0）、（0，3），
由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵S△MBC＝S△OBC，
∴过点O作直线m∥BC交抛物线于点M，则点M为所求点，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
则直线m的表达式为：y＝﹣x，
联立上式和抛物线的表达式得：﹣x＝﹣x2+2x+3，则x，
即点M（，）或（，），
当M在BC上方时，
同理可得直线m的表达式为：y＝﹣x+6，
联立上式和抛物线的表达式得：6﹣x＝﹣x2+2x+3，此方程无解；
故点M（，）或（，）；
（3）点D在抛物线上，则点D（2，3），连接CD，
过点D作DT⊥CB于点TA，交PB于点H，
∵∠PBC＝∠DBC，
则点T是DH的中点，
由（1）知，BC的表达式为：y＝﹣x+3，
则直线DT的表达式为：y＝（x﹣2）+3＝x+1，
联立上式和BC得表达式得：x+1＝﹣x+3，则x＝1，
即点T（1，2），
由中点坐标公式得，点H（0，1），
由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：yx+1，
联立上式和抛物线的表达式得：﹣x2+2x+3x+1，则x＝3（舍去）或，
则点P（，）．
8．【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），
则﹣4a＝3，则a，
则抛物线的表达式为：yx2x+3；
（2）过点C作CE∥AB，则∠ECB＝∠CBA，
∵∠PCB＝2∠CBA，则∠PCE＝∠CBA，
则tan∠PCE＝tan∠CAB，
则直线PC的表达式为：yx+3，
联立上式和抛物线的表达式得：x+3x2x+3，
解得：x＝0（舍去）或2，
即点P（2，）；
（3）过点P作PT⊥x轴于点T，交CB于点H，作DN⊥PH于点N，
则∠THP＝∠CBA＝α，tanα，则sinα，cosα，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：yx+3，
设点P（x，x2x+3），则点H（x，x+3），
则PH＝（x2x+3）﹣（x+3）x2+3x，
则DH＝PH sinαPH，BH（4﹣x），
则BD＝HD+BHPH（4﹣x），
而PDPH sinαPH，
则PH（4﹣x）PH＝PH（4﹣x）（x）2，
即的最大值为：．
9．【解答】解：（1）把C（0，3），D（4，﹣5）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）由C（0，3），D（4，﹣5）得直线CD解析式为y＝﹣2x+3，
设P（m，﹣m2+2m+3），则E（m，﹣2m+3），
∵CO∥PE，
∴当CO＝PE时，以P、E、O、C为顶点的四边形是平行四边形，
∴|﹣m2+2m+3+2m﹣3|＝3，
∴m2﹣4m＝3或m2﹣4m＝﹣3，
解得m2或m2或m＝1或m＝3，
∴P的横坐标为2或2或1或3；
（3）抛物线上存在点Q，使∠QCD＝45°，理由如下：
过D作DK⊥CQ于K，过K作TG∥y轴，过C作CT⊥TG于T，过D作DG⊥TG于G，
设K（p，q），
当CQ在CD右侧时，如图：
∵∠QCD＝45°，
∴△CKD是等腰直角三角形，
∴CK＝DK，∠CKD＝90°，
∴∠CKT＝90°﹣∠GKD＝∠KDG，
∵∠T＝∠G＝90°，
∴△CTK≌△KGD（AAS），
∴CT＝KG，TK＝DG，
∵C（0，3），D（4，﹣5）
∴，
解得，
∴K（6，1），
由K（6，1），C（0，3）可得直线CK解析式为yx+3，
联立，
解得（此时C，Q重合，舍去）或，
∴Q（，）；
当CQ在CD左侧时，如图：
同理可得K（﹣2，﹣3），直线CK解析式为y＝3x+3，
联立，
解得或（舍去），
∴Q（﹣1，0）；
综上所述，Q的坐标为（，）或（﹣1，0）．
10．【解答】解：（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，将点A，点C的坐标代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4；
（2）设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，S1﹣S2＝5，
∴S△ACP﹣S△ABC＝5．
抛物线y＝﹣x2+3x+4与y轴交于点B，
当x＝0时，y＝4，
∴B（0，4）．
∵A（4，0），C（﹣1，0），
∴OB＝OA＝4，AC＝5，
∴，
∴S△ACP＝15．
设P（t，﹣t2+3t+4），
∴，
∴t＝1或t＝2，
∴P（1，6）或P（2，6）；
（3）过点P作PD⊥x轴于点D，如图，
∵OB＝OA＝4，
∴∠ABO＝∠OAB＝45°．
∵∠PAB+∠CBO＝45°，
∴∠CBO+∠PAB+∠BAO＝90°．
∵∠CBO+∠BCO＝90°，
∴∠BCO＝∠OAB+∠PAB＝∠PAD．
∵∠BOC＝∠PDA＝90°，
∴△BOC∽△PDA，
∴．
设点P（a，﹣a2+3a+4），
∴PD＝﹣a2+3a+4，AD＝4﹣a，
∴，
整理得a2﹣7a+12＝0，
解得a1＝3或a2＝4（不合题意，舍去），
∴P（3，4），
故答案为：（3，4）．
11．【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，点C（0，3），则OC＝3，
∵tan∠CAO＝3，则OA＝1，即点A（﹣1，0），
将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣1﹣b+3，
则b＝2，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，
则点D（1，4）；
（2）①由抛物线的表达式知，点B（3，0），
由点B、C的坐标知，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
设点P（m，﹣m2+2m+3），则点P关于x轴的对称点（m，m2﹣2m﹣3），
将点（m，m2﹣2m﹣3）的坐标代入y＝﹣x+3得：m2﹣2m﹣3＝﹣m+3，
解得：m＝3（舍去）或﹣2，
即点P（﹣2，﹣5）；
②设BM交抛物线对称轴于点H，过点H作HN⊥BD于点N，
由点B、P的坐标得，直线BP的表达式为：y＝（x﹣3），即∠ABP＝45°，
由点B、D的坐标得：tan∠NDH，
∵∠MBP＝∠ABD，即∠DBM+∠MBA＝∠MBA＝∠ABP，
∴∠DBM＝∠ABP＝45°，
在△BDH中，tan∠NDH，∠DBH＝45°，
故设NH＝x＝NB，则DN＝2x，则DHx，
则BDBN+DN＝3x，则x，
则DHx，则点H（1，）；
由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y（x﹣3），
联立上式和抛物线的表达式得：﹣x2+2x+3（x﹣3），
解得：x＝3（舍去）或，
即点M（，）．
12．【解答】解：（1）将点B的坐标代入上式得：0＝9﹣3b﹣3，
解得：b＝2，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）过点D作DH⊥OM于点H，过点H作GH平行于y轴交x轴于点G，交过点D和x轴的平行线于点T，
设点H（x，y），由抛物线的表达式知，点D（1，﹣4），
∵∠DOM＝45°，则△ODH为等腰直角三角形，
则OH＝DH，
∵∠OHG+∠DHT＝90°，∠DHT+∠HDT＝90°，
∴∠OHG＝∠HDT，
在△HTD和△OGH中，
，
∴△HTD≌△OGH（AAS），
则OG＝MT，DT＝GH，
即x﹣y＝4且x+y＝1，
解得：x，y，即点H（，），
由点H的坐标得，直线OH的表达式为：yx，
联立上式和抛物线的表达式得：x＝x2﹣2x﹣3，则x，
则点M（，）；
当点M（M′）在第三象限时，
则OM⊥OM′，
则直线OM′的表达式为：yx，
联立上式和抛物线的表达式得：x＝x2﹣2x﹣3，
解得：x，即M′（，），
综上，M（，）或（，）；
（3）设点M（m，m2﹣2m﹣3），抛物线的对称轴为直线x＝1，
由点A、M的坐标得，直线AM的表达式为：y＝（m﹣3）（x+1），
则点E（1，2m﹣6），
同理可得，点F（1，﹣2m﹣2），
则HF﹣HE＝2m+2﹣2m+6＝8．
13．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，
∴抛物线的函数表达式为yx2x+2；
设直线BC的函数表达式为y＝mx+2，：
∴4m+2＝0，
解得m，
∴直线BC的函数表达式为yx+2；
（2）过P作PH∥y轴交BC于H，如图：
设P（t，t2t+2），则H（t，t+2），
∴PHt2t+2﹣（t+2）t2+2t，
∴S△PBC＝PH OB＝（t2+2t）×4＝﹣2t2+8t＝﹣2（t﹣2）2+8，
∵﹣2＜0，
∴当t＝2时，S△PBC取最大值8，
此时P的坐标为（2，3）；
（3）直线BP下方存在点Q，使得∠PBQ＝45°，理由如下：
过P作PM⊥PB交BQ的延长线于M，过P作TK∥x轴，过B作BK⊥TK于K，过M作MT⊥TK于T，如图：
由（2）知P（2，3），
∵B（4，0），
∴PK＝2，BK＝3，
∵∠PBQ＝45°，
∴△PBM是等腰直角三角形，
∴∠MPB＝90°，PB＝PM，
∴∠KPB＝90°﹣∠TPM＝∠TMP，
∵∠K＝∠T＝90°，
∴△BPK≌△PMT（AAS），
∴PK＝MT＝2，BK＝PT＝3，
∴M（﹣1，1），
设BM：y＝mx+n，
则，解得：，
∴BM：yx，
解，得：或，
∴Q的坐标为（，）．
14．【解答】解：（1）由题意得：y（x+1）（x﹣3）x2x+2；
（2）当x＝0时，yx2x+2＝2，
∴C（0，2），
由点B、C（0，2）的坐标得，直线BC为yx+2，
设点P（x，x2x+2），点D（x，x+2），
∴2PD+PE＝2（x2x+2x﹣2）+xx2+5x，
当x时，2PD+PE有最大值，
此时点P（，）；
（3）如图，以CB为对角线作正方形CTBK，
∴∠BCK＝∠BCT＝45°，
∴CK，CT与抛物线的另一个交点即为M，
如图，过T作x轴的平行线交y轴于Q，过B作BG⊥TQ于G，则OB＝GQ＝3，
∴∠CTB＝90°＝∠CQT＝∠QGB，
∴∠QCT+∠CTQ＝90°＝∠CTQ+∠BTG，
∴∠QCT＝∠BTG，
∵CT＝BT，
∴△CQT≌△TGB（AAS），
∴QT＝GB，CQ＝TG，
设TQ＝GB＝m，则CQ＝TG＝3﹣m，
∴Q0＝3﹣m﹣2＝1﹣m，
∴T（m，m﹣1），
由TC＝TB可得m2+（m﹣3）2＝（m﹣3）2+（m﹣1）2，
解得m，
∴T（，），
则直线CT为y＝﹣5x+2，
联立上式和抛物线的表达式得：﹣5x+2x2x+2，
解得：x＝0（舍去）或，
即点M（，）、T（，）、C（0，2）、B（3，0），正方形CTBK，
则K（2.5，2.5）；
同理可得直线CK为yx+2，
联立上式和抛物线的表达式得：x2x+2x+2，
解得：x或0（舍去），
则点M（，），
综上，点M的坐标M（，）或（，）．
15．【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于B（4，0）点，与y轴交于D（3，4），将点B，点D的坐标代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4；
（2）已知抛物线y＝﹣x2+3x+4与y轴交于点C，
令x＝0，得：y＝4，
∴C（0，4），
∴OC＝4，
∵OB＝4，
∴OB＝OC，
又∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
设直线BC的解析式为y＝kx+m，将点B，点C的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4；
作PH⊥BC交BC于点H，PM⊥x轴交x轴于点M，交BC于点N，如图1，
∵PM⊥x轴，
∴PM∥y轴，
∴∠PNH＝∠OCB＝45°，
∵PH⊥BC，
∴∠PHN＝90°，
∴∠HPN＝90°﹣∠PNH＝45°，
∴∠HPN＝∠PNH＝45°，
∴△PHN是等腰直角三角形，
∴，
由题意得：，
∴，
设点P的坐标为（m，﹣m2+3m+4），则点N的坐标为（m，﹣m+4），
∴PN＝﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m＝4，
解得：m＝2，
∴﹣m2+3m+4＝﹣22+3×2+4＝6，
∴点P的坐标为（2，6）；
（3）抛物线上存在点P，使∠CBP+∠ACO＝45°；理由如下：
令y＝0，则0＝﹣x2+3x+4，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴A（﹣1，0），
如图2，将△AOC绕点O顺时针方向旋转90°至△A′OB，则A′O＝AO＝1，∠A′BO＝∠ACO，
∴A′（0，1），
由（2）中的结论得，∠OBC＝45°，
∵∠CBP+∠ACO＝45°，
∴∠CBP＝45°﹣∠ACO＝∠OBC﹣∠A′BO＝∠CBA′，
∴直线BA′上存在符合题意的点P，
设直线BA′的解析式为y＝tx+n，将点B，点A′的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线BA′的解析式为，
联立，
解得：或，
∴；
如图，连接CD、BD，过点B作BE⊥CD交于点E，
∵C（0，4），D（3，4），
∴CD∥x轴，
∵BE⊥CD，B（4，0），
∴∠E＝90°，DE＝4﹣3＝1，BE＝4，
∴CE＝CD+DE＝3+1＝4，
∴CE＝BE＝4，
∴△CBE是等腰直角三角形，
∴∠CBE＝45°，
∵AO＝1，OC＝4，
∴DE＝AO，BE＝OC，
又∵∠E＝∠AOC＝90°，
姑△BDE和△CAO中，
，
∴△BDE≌△CAO（SAS），
∴∠DBE＝∠ACO，
∵∠CBP+∠ACO＝45°，
∴∠CBP＝45°﹣∠ACO＝∠CBE﹣∠DBE＝∠CBD，
∴直线BD上也存在符合题意的点P，
又∵点D（3，4）在抛物线上，
∴点P与点D重合，即P（3，4）；
∴综上所述，抛物线上存在点P，使∠CBP+∠ACO＝45°；点P的坐标为或（3，4）．
16．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），
∴，
解得：，
∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）如图，设BP与y轴交于点E，
∵PD∥y轴，
∴∠DPB＝∠OEB，
∵∠DPB＝2∠BCO，
∴∠OEB＝2∠BCO，
∴∠ECB＝∠EBC，
∴BE＝CE，
令x＝0，得y＝4，
∴C（0，4），OC＝4，
设OE＝a，则CE＝4﹣a，
∴BE＝4﹣a，
在Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2＝OE2+OB2，
∴（4﹣a）2＝a2+12，
解得：a，
∴E（0，），
设BE所在直线表达式为y＝kx+e（k≠0），
∴，
解得：，
∴直线BP的表达式为yx；
（3）有最大值．
如图，设PD与AC交于点N，
过点B作y轴的平行线与AC相交于点M，
设直线AC表达式为y＝mx+n，
∵A（﹣4，0），C（0，4），
∴，
解得：，
∴直线AC表达式为y＝x+4，
∴M点的坐标为（1，5），
∴BM＝5，
∵BM∥PN，
∴△PNQ∽△BMQ，
∴，
设P（a0，﹣a02﹣3a0+4）（﹣4＜a0＜0），则N（a0，a0+4），
∴，
∴当a0＝﹣2时，有最大值，
此时，点P的坐标为（﹣2，6）．
17．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），B（4，0）是抛物线yx2+bx+c与x轴的两个交点，且二次项系数a，
∴根据抛物线的两点式知，y．
（2）根据抛物线表达式可求C（0，2），即OC＝2．
∴2，
∵∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO＝∠CBO，
∴∠QAB＝∠QAC+∠CAO＝∠CBA+45°+∠CAO＝∠ACO+∠CAO+45°＝135°，
∴∠BAP＝180°﹣∠QAB＝45°，
设P（m，n），且过点P作PD⊥x轴于D，则△ADP是等腰直角三角形，
∴AD＝PD，即m+1＝﹣n①，
又∵P在抛物线上，
∴②，
联立①②两式，解得m＝6（﹣1舍去），此时n＝﹣7，
∴点P的坐标是（6，﹣7）．
（3）设PH与x轴的交点为Q1，P（a，），
则H（a，），PH，
若FP＝FH，则∠FPH＝∠FHP＝∠BHQ1＝∠BCO，
∴tan∠APQ1＝tan∠BCO＝2，
∴AQ1＝2PQ1，
即a+1＝2（），
解得a＝3（﹣1舍去），此时PH．
若PF＝PH，过点F作FM⊥y轴于点M，
∴∠PFH＝∠PHF，
∵∠CFA＝∠PFH，∠Q1HB＝∠PHF，
∴∠CFA＝∠Q1HB，
又∵∠ACF＝∠BQ1H＝90°，
∴△ACF∽△BQ1H，
∴CFAC，
在Rt△CMF中，MF＝1，CM，
F（1，），
∴AF：，
将上式和抛物线解析式联立并解得x（﹣1舍去），
此时 PH．
若HF＝HP，过点C作CE∥AB交AP于点E（见图），
∵∠CAF+∠CFA＝90°，
∠PAQ+∠HPF＝90°，
∠CFA＝∠HFP＝∠HPF，
∴∠CAF＝∠PAQ1，
即 AP平分∠CAB，
∴CE＝CA，
∴E（，2），
∴AE：，
联立抛物线解析式，解得x＝5（﹣1舍去）．
此时 PH．
∴当FP＝FH时，PH；
当PF＝PH时，PH；
当HF＝HP时，PH；
18．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则y＝a（x+2）（x﹣4）＝ax2﹣2ax﹣8a，
即﹣8a＝4，解得a，
故抛物线的表达式为yx2+x+4①；
（2）由点A、B的坐标知，OB＝2OA，
故CO将△ABC的面积分成2：1两部分，此时，点P不在抛物线上；
如图1，当BHAB＝2时，CH将△ABC的面积分成2：1两部分，
即点H的坐标为（2，0），
则CH和抛物线的交点即为点P，
由点C、H的坐标得，直线CH的表达式为y＝﹣2x+4②，
联立①②并解得（不合题意的值已舍去），
故点P的坐标为（6，﹣8）；
（3）在OB上取点E（2，0），则∠ACO＝∠OCE，
∵∠OCA＝∠OCB﹣∠OMA，故∠AMO＝∠ECB，
过点E作EF⊥BC于点F，
在Rt△BOC中，由OB＝OC知，∠OBC＝45°，
则EFEB（4﹣2）BF，
由点B、C的坐标知，BC＝4，
则CF＝BC﹣BF＝43，
则tan∠ECBtan∠AMO，
则tan∠AMO，
则OM＝6，
故CM＝OM±OC＝6±4＝2或10，
则t＝2或10．
19．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4）；
令y＝0，则x2x+4＝0，
∴x＝﹣2或x＝3，
∴A（﹣2，0），B（3，0）．
故答案为：（﹣2，0）；（3，0）；（0，4）．
（2）①∵CP∥x轴，C（0，4），
∴P（1，4），
∴CP＝1，AB＝5，
∵CP∥x轴，
∴．
②如图，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，
∴直线BC的解析式为：yx+4．
设点P的横坐标为m，
则P（m，m2m+4），Q（m2m，m2m+4）．
∴PQ＝m﹣（m2m）m2m，
∵PQ∥AB，
∴（m）2，
∴当m时，的最大值为．
另解：分别过点P，A作y轴的平行线，交直线BC于两点，仿照以上解法即可求解．
（3）假设存在点P使得∠BCO+2∠BCP＝90°，即0＜m＜3．
过点C作CF∥x轴交抛物线于点F，
∵∠BCO+2∠PCB＝90°，∠BCO+∠BCM+∠MCF＝90°，
∴∠MCF＝∠BCP，
延长CP交x轴于点M，
∵CF∥x轴，
∴∠PCF＝∠BMC，
∴∠BCP＝∠BMC，
∴△CBM为等腰三角形，
∵BC＝5，
∴BM＝5，OM＝8，
∴M（8，0），
∴直线CM的解析式为：yx+4，
令x2x+4x+4，
解得x或x＝0（舍），
∴存在点P满足题意，此时m．
20．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2﹣4，
将O（0，0）代入得：4a﹣4＝0，
解得a＝1，
∴y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x；
（2）过A作AT⊥y轴于T，过P作PK⊥x轴于K，如图：
设P（m，m2﹣4m），
在y＝x2﹣4x中，令y＝0得x＝0或x＝4，
∴B（4，0）；
∵∠AOB+∠AOT＝90°，∠AOB+∠PBO＝90°，
∴∠AOT＝∠PBO，
∵∠ATO＝90°＝∠PKB，
∴△AOT∽△PBK，
∴，
∵A（2，﹣4），
∴，
解得m或m＝4（此时P与B重合，舍去），
∴P（，）．
21．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣4）＝a（x2﹣x﹣12），
即﹣12a＝4，则a，
故抛物线的表达式为：yx2x+4①；
（2）在Rt△AOC中，tan∠CAO，
∵∠CAO+∠ABP＝90°，
则tan∠ABP，
故设直线BP的表达式为：y（x﹣4）②，
联立①②得：x2x+4（x﹣4），
解得：xx0（不合题意的值已舍去）；
（3）作∠EAG＝∠BCD，
设AG＝2BC＝2×48，
∵AE＝2CD，
∴△BCD∽△GAE且相似比为1：2，
则EG＝2BD，
故当C、E、G共线时，CE+2BD＝CE+EG＝CG为最小，
在△ABC中，设AC边上的高为h，
则S△ABCAC hAB×CO，
即5h＝4×7，
解得：h，
则sin∠ACBsin∠EAG，
则tan∠EAG＝7，
过点G作GN⊥x轴于点N，
则NG＝AG sin∠EAG，
即点G的纵坐标为：，
同理可得，点G的横坐标为：，
即点G（，），
由点C、G的坐标得，CG，
即CE+2BD的最小值为．
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