资源简介

模型 14 “垂线段最短”模型
模型展现
类型 垂线段最短 两条线段和的最小值问题
图示
条件 直线l外一定点A和直线l上一动点 B,连接AB 点P 是∠AOB 内部或边上一定点,点M,N分别是OA,OB上的动点,连接PN,MN
结论 当AB⊥l时,AB的值最小 作点 P 关于 OB 的对称点 P',当P'M⊥AO时,PN+MN的值最小
结论分析
结论：作点 P 关于OB的对称点 当 时,PN+MN的值最小证明：如图，若 为OA，OB上任意一点，连接
则
∴ PN'+M'N'=P'N'+M'N'>P'M'≥P'M,
∴当 时,PN+MN的值最小.
模型解题三步法
例1 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,点E是AB上任意一点,若AD=5,AC=4,则 DE 的最小值为 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
例2 如图,四边形ABCD是菱形,∠A=60°,延长AD 到点E,使DE=AD,连接BD,BE,CE.点P是BC的中点,M,N分别在线段CE,BE上.若AB=6,则PN+NM 的最小值为 .
中小学教育资源及组卷应用平台
题以类解
1. 如图,正方形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点O，点P 为 BC 边上一动点(不与点 B，C重合),PE⊥OB 于点 E,PF⊥OC 于点 F.若AB=20,则EF的最小值为 ( )
A. 10 C. 20
2. 如图,在△ABC 中,AB =4,∠BAC = 45°,∠BAC 的平分线交 BC 于点 D,E,F 分别是边AD,AB 上的动点,则 BE+EF 的最小值是 .
3.如图，在等腰三角形ABC中，点 D 为AC的中点,M,N分别是AB,BC 上的动点,若CD=2,∠A=120°,则 DN+MN 的最小值为 .
4.如图，抛物线 与x轴交于A,B 两点(点A 在点 B 左侧),与y轴交于点 C，P 是直线 BC 上一动点，Q是x轴上一动点,连接AP,PQ,则AP+PQ的最小值为 .
5. 问题提出
(1)如图①，△ABC是边长为2 的等边三角形,点 E 为 BC 边上一动点,连接AE,求AE的最小值；
问题解决
(2)如图②，某小区现有一片菱形空地AB-CD,其中AB=60 m,∠B=60°,为了美化环境，该小区计划在这块空地里种植两种花卉，并修建三条小道AE，AF，EF 供居民观赏,根据设计要求:点 E,F 分别在 BC,CD边上,且∠EAF=60°.现计划在△AEF 内种植玫瑰，其余空地种植郁金香，试求按设计要求，玫瑰的种植面积最小为多少
模型解题三步法
例1 A 【解析】在 Rt△ACD 中,∵ AD=5,AC=4,∴CD=3,根据“垂线段最短”模型得:当DE⊥AB 时,DE 的值最小.∵ AD 是∠BAC 的平分线,∠C =90°,∴ CD = DE.∴DE 的最小值为3.
例2 P M N
【解析】∵四边形ABCD 是菱形,∴ AD∥BC,AD = BC,∵ DE =AD,∴ DE=BC,∵ 点 E在 AD 的延长线上，∴DE∥BC,∴四边形 DBCE 是平行四边形,∵ ∠A=60°,∴ △ADB 和△BCD 是等边三角形,∴BD=BC,∴四边形 DBCE 是菱形,∴ BE⊥CD.如解图,作点 P 关于 BE 的对称点 P',过P'作CE 的垂线交 BE 于点 N',交CE 于点M'(点M'与点C重合),根据“垂线段最短”模型可得:当 P'M⊥CE时,PN+NM取得最小值,为P'C 的长,在 Rt△P'CB中,∠P'BC=60°,BC=AB=6,∴ P'C=BC ·
的最小值为3
题以类解
1. A 【解析】找模型：是否存在一个定点：点O；是否存在一条定直线和该直线上一动点：线段：BC，动点：点P；是否求最值：连接OP，OP 的最小值即 EF 的最小值.抽离模型：如解图.用模型:连接OP,∵四边形 ABCD 是正方形,∴BD⊥AC,又∵PE⊥OB,PF⊥OC,∴四边形 OEPF 为矩形,∴EF=OP,根据“垂线段最短”模型可得：当OP⊥BC 时，OP 取得最小值，即 EF 取得最小值.在正方形 ABCD中,OB=OC且∠BOC=90°,∴∠OBC=45°, 在 Rt△OBP 中,OP= ∴EF的最小值为10.
【解析】找模型：是否存在一个定角：定角：∠DAB.角的边上是否存在一个定点：点B.角的两边上是否存在两个动点：点E，点F.是否求最值：BE+EF 的最小值.抽离模型：如解图.用模型：作点 B 关于AD 的对称点 B',过点 B'向 AB 作垂线,交 AD 于点 E',交AB 于点 F',连接 BE',∵ AD 是∠BAC 的平分线,∴ 点 B'恰好落在 AC 上,. 的最小值为 BE'+ 在Rt△AB'F'中, 的最小值为
【解析】如解图，作点 D 关于 BC 的对称点 D',作 D'M'⊥AB,交 BC 于点 N',连接DN',CD',当 AD'⊥AB 时,DN+MN 的值最小,为AD'.∵∠BAC=120°,AB=AC,∴∠ACB= 30°,在△AD'C中,∠D'AC=∠BAC-∠BAD'= 的最小值为2
4.4 【解析】如解图，连接AC，作点 A 关于直线 BC的对称点A'，过点A'作x轴的垂线，交BC于点 P',交x轴于点 Q',连接AP'.当x=0时,y=2,∴C(0,2).当y=0时, +2=0,解得x =-1,x =4.∴A(-1,0),B(4, ∴ △ABC 为直角三角形, 即∠ACB = 90°,∴AC⊥BC,即点AA'的连线恰好过点 C.∵点A与点 A'关于直线 BC 对称, ,当A'Q'⊥x轴时,A'Q'的长度最小，即 '的值最小，此时AP+PQ的值最小，最小值为A'Q'的长(“垂线段最短”模型)，过点A'向y轴作垂线，垂足为 D，在△AOC 和△A'DC 中, ∴△AOC≌△A'DC(AAS),∵ A(-1,0),C(0,2),∴AO=A'D=1,OC=CD=2,∴A'Q'=CD+OC=4,∴AP+PQ 的最小值为4.
5.解：(1)由“垂线段最短”模型可知，当AE⊥BC时,AE 最小,
∵△ABC 是边长为2的等边三角形，
即AE 的最小值为
(2)如解图,连接AC,
∵四边形ABCD 是菱形,∠B=60°,
∴ △ABC是等边三角形,∠BCD=120°.
∴AB=AC,∠BAC=60°,∠ACF=60°.
∴∠B=∠ACF.∵ ∠EAF=60°, A
∴ ∠BAE + ∠EAC =∠CAF+∠EAC=60°,
∴ ∠BAE=∠CAF,
∴△BAE≌△CAF(ASA),
∴AE=AF,
∴ △AEF是等边三角形,
∴当AE 最小时，玫瑰的种植面积最小，过点A作AH⊥BC于点 H,
当AE⊥BC 时,AE 最小,最小值为 AH 的长(“垂线段最短”模型),此时AE=AH=30
∴玫瑰的种植面积最小为

展开更多......

收起↑