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模型15 “倍角”模型
基础模型
类型 2倍角
图示
条件 在△ABC中,∠B=2∠C
作法 作2倍角的角平分线： 作∠B 的平分线BD 内作双等腰：过点A作∠AC=∠C 外作双等腰：延长CB至点 D,使得BD=BA
结论 △BCD是等腰三角形 △ABD与△ADC 是等腰三角形 △ABD与△ADC 是等腰三角形
模型拓展
类型 3 倍角
图示
条件 ∠BAC=3∠C
作法 内作双等腰:过点A作∠DAC=∠C
结论 △ABD与△ADC是等腰三角形
模型解题三步法
例 一题多解 如图，AD为△ABC的中线， 则∠ADB 的度数为 ( )
视频讲解
A. 120° B. 130° C. 140° D. 150°
题以类解
1. 如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于点 D,∠B =2∠C,若AC=4 ,AB=5,则BD 的值为 .
2. 如图,在△ABC 中,∠ABC=2∠C,BD 平分∠ABC,AD⊥BD,则 的值为 .
3. 如图,在△ABC 中,∠B =3∠C,AB=6,AC=10,AD为∠BAC 的平分线,则 tan C 的值为 .
4. 如图，抛物线 与x轴交于点 A，B，与y轴交于点 C，连接AC，BC.点P 是第一象限内抛物线上的动点,过点 P 作直线 PQ⊥x轴,分别交 BC,x轴于点 M，N.当△PMC 中存在内角度数等于∠OBC 度数的2倍时，求点 P 的横坐标.
模型解题三步法
例 A 一题多解
解法一：如解图①，根据“外作双等腰”倍角模型可得:△ACE 与△ABE 是等腰三角形,∴AB=AE.∵ DA 为△ABC 的中线,∴ BD= 在△ABD 和△AEC 中,
△AEC(SAS),∴AD=AC,∴AD=AC=CD,即△ACD为等边三角形,∴ ∠DAC=∠ACD=60°,∴∠ADB=∠DAC+∠ACD=120°.
解法二：找模型：在同一个三角形中是否存在角度的倍数关系：三角形：△ABC，角度关系:∠C=2∠B,抽离模型:如解图②,用模型：根据“作2倍角的角平分线”倍角模型可得:△BEC 是等腰三角形,∵ DA 为△ABC的中线,∴BD=CD.∴ED⊥BC,∵AC= BC,∴AC=CD,在△ACE和△DCE中,
∴∠EAC=∠EDC=90°,∵ ∠ACB=2∠B,∠B+∠ACB =90°,∴ ∠B =30°,∴ ∠ACB =60°,∴ △ACD 是等边三角形,∴ ∠DAC =∠ACD = 60°,∴∠ADB = ∠DAC+∠ACD =120°.
解法三：找模型：在同一个三角形中是否存在角度的倍数关系：三角形：△ABC，角度关系:∠C=2∠B,抽离模型：如解图③，用模型：根据“内作双等腰”倍角模型可得:△ABE 与△ACE 是等腰三角形,∴AE=AC=BE,∵AD 为△ABC 的中线,∴点 D 为BC的中点,∴ ∴BE=BD,∴点D与点E重合,. BE,∴AC=AE=CE,即△AEC 为等边三角形,∴ ∠AEC=60°,∴∠ADB = ∠AEB =180°-
题以类解
1.3 【解析】找模型：在同一个三角形中是否存在角度的倍数关系：三角形：△ABC.角度关系：∠B=2∠C.抽离模型：如解图.用模型:延长 CB 到点 E,使 BE=AB,连接AE.∴ △ABE 和△EAC 均为等腰三角形(外作双等腰“倍角”模型),∵AB=5,∴ BE=AB=5, ,在 Rt△ABD 中, BD ,在 Rt△ADE中, DE =AB -BD ,∵DE=BE+BD,∴(4 ) - 解得BD=3.
2. 【解析】找模型：在同一个三角形中是否存在角度的倍数关系：三角形：△ABC.角度关系:∠ABC=2∠C.抽离模型:如解图.用模型:延长BD交AC于点 E,过点A作∠FAB=∠ABD，根据“作2倍角的角平分线”倍角模型可得:△BEC 为等腰三角形,∴EB=CE,∠CBE=∠C.设∠CBE=α,则∠C=∠ABF=∠FAB=α,∴ ∠AFD=∠ABD+∠FAB=2α,∠AED = ∠C + ∠EBC = 2α,∴ ∠AFD =∠AED,∴AF=AE,∵AF=BF,∴AF=AE =BF,∵AD⊥BD,∴DF=DE,∴AC=AE+CE=BF+BE=2BD,则
3. 【解析】如解图，过点B 作∠EBC=∠C,交 AC于点 E,作 BF⊥AC 于点F.设AD与BE 交于点 G,∠C=α,则∠EBC=α,∵∠B=3∠C,∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=2α,∠BEA=∠EBC+∠C=2α,∴∠ABE=∠BEA(“内作双等腰”的3倍角模型),∴AB=AE=6,∴CE=AC-AE=10-6=4,∵∠C=∠EBC,∴BE=CE=4.在等腰△ABE中,AD 为∠BAC 的平分线,∴BG= (等腰三角形三线合一),在 Rt△ABG中, 在Rt△BEF中,EF= 在Rt△BCF中,
4. 解:令
解得
∴A(-1,0),B(4,0),
∵C(0,2),
∴在Rt△OBC中,OC=2,OB=4,
①若∠CMP=2∠OBC,则∠NMB=2∠OBC.
∵PQ∥y轴,∴∠MNB=90°,
∴∠NMB+∠OBC=90°,
∴∠OBC=30°,
∴BC=2OC=4,这与 相矛盾，
∴∠CMP≠2∠OBC;
②若∠MCP=2∠OBC,如解图①,取BC的中点D,连接OD,
∴ D(2,1),OD =CD =BD = ,∠DOB =∠OBC(“内作双等腰”倍角模型)，
∴∠CDO=2∠OBC,∴∠MCP=∠CDO,
∴OD∥CP.
∵D(2,1),
∴直线 OD 的函数解析式为
∵C(0,2),
∴ 直线 CP 的函数解析式为
联立
解得 (舍去)，
∴点 P 的横坐标为2；
③若∠CPM = 2∠OBC,由②得∠CPM =∠ODC,OD=
如解图②,过点 O 作 OE⊥BC 于点 E,
则 (三角形等面积法).
在 Rt△ODE中，根据勾股定理得，
过点C作CF⊥PQ于点 F.
在Rt△CPF中,∵∠CPM=∠ODE,
设点 P 的横坐标为a，
则
∵C(0,2),
解得 (舍去),
∴点P的横坐标为
综上所述，点P 的横坐标为2或

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