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2025年九年级中考数学三轮冲刺二次函数与面积的综合训练
1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．
（1）b＝　 　，c＝　 　；
（2）若点D在该二次函数的图象上，且S△ABD＝2S△ABC，求点D的坐标；
（3）若点P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且S△APC＝S△APB，直接写出点P的坐标．
2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接OD，过点B作BE⊥OD，垂足为E，若BE＝2OE，求点D的坐标；
（3）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接AM，交BC于点N，连接BM，记△BMN的面积为S1，△ABN的面积为S2，求的最大值．
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数yx+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（﹣2，0），抛物线经过A，B，C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AD与y轴负半轴交于点D，且∠BAO＝∠DAO，求证：OB＝OD；
（3）在（2）的条件下，若直线AD与抛物线的对称轴l交于点E，连接BE，在第一象限内的抛物线上是否存在一点P，使四边形BEAP的面积最大？若存在，请求出点P的坐标及四边形BEAP面积的最大值；若不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点A（﹣2，0）和点B（4，0）．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）点P为该抛物线上一点（不与点C重合），直线CP将△ABC的面积分成2：1两部分，求点P的坐标；
（3）点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿y轴移动，运动时间为t秒，当∠OCA＝∠OCB﹣∠OMA时，求t的值．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线yx+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线yx2+bx+c经过坐标原点和点A，顶点为点M．
（1）求抛物线的关系式及点M的坐标；
（2）点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当△EAB的面积等于时，求E点的坐标；
（3）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，求证：∠ADM﹣∠ACM＝45°．
6．如图，抛物线y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知B（3，0）．
（1）求m的值和直线BC对应的函数表达式；
（2）P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，请直接写出点P的坐标；
（3）Q为抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标．
7．抛物线yx2+bx+c与x轴分别交于点A，B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1， BCPQ顶点P在抛物线上，如果 BCPQ面积为某值时，符合条件的点P有且只有三个，求点P的坐标．
（3）如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在MO延长线上，OM＝2ON，连接BN并延长到点D，使ND＝NB．MD交x轴于点E，∠DEB与∠DBE均为锐角，tan∠DEB＝2tan∠DBE，求点M的坐标．
8．如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．
9．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线对称轴上一动点，当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得S△BCM＝S△BCP？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．
10．在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c经过点A（，）和点B（4，0），与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）如图，点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作PD⊥AB，垂足为D，作PE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F，设△PDF的面积为S1，△BEF的面积为S2，当时，求点P坐标；
（3）点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN？若存在，请直接写出点N坐标，若不存在，请说明理由．
11．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，直线BC方程为y＝x﹣3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上一点，若S△PBCS△ABC，请直接写出点P的坐标；
（3）点Q是抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标．
12．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
（3）如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
13．抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．
（1）直接写出点B和点D的坐标；
（2）如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO时，求点P的坐标；
（3）如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值．
14．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴于点D（1，0），将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处．
（1）求抛物线解析式；
（2）连接BE，求△BCE的面积；
（3）抛物线上是否存在一点P，使∠PEA＝∠BAE？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
15．已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求b，c的值；
（2）P为第一象限抛物线上一点，△PBC的面积与△ABC的面积相等，求直线AP的解析式；
（3）在（2）的条件下，设E是直线BC上一点，点P关于AE的对称点为点P′，试探究，是否存在满足条件的点E，使得点P'恰好落在直线BC上，如果存在，求出点P′的坐标；如果不存在，请说明理由．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，6）．点D为线段BC上的一动点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，求△AOD周长的最小值；
（3）如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．
17．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC：y＝x+3交于点D，若点M是直线AC上方抛物线上的一个动点，求△MCD面积的最大值．
（3）如图2，点P是直线AC上的一个动点，过点P的直线l与BC平行，则在直线l上是否存在点Q，使点B与点P关于直线CQ对称？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）、点B（5，0），交y轴于点C．
（1）求b，c的值．
（2）点P（x0，y0）（0＜x0＜5）是抛物线上的动点．
①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；
②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
19．已知：y关于x的函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b．
（1）若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a＝4b，则a的值是 　 　；
（2）如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A（﹣2，0），B（4，0），并与动直线l：x＝m（0＜m＜4）交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E．设△PBE的面积为S1，△CDE的面积为S2．
①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积；
②探究直线l在运动过程中，S1﹣S2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接OP交BC于点Q，连接BP，当时，求点P的坐标；
（3）点M为抛物线上的点，当∠BCM＝∠ACO时，直接写出点M的坐标．
21．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+4（a≠0）与x轴交于点A（4，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点Q是线段AB上一动点，过Q作QE∥AC交BC于点E，连接CQ，当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；
（3）若平行于x轴的动直线与抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问是否存在这样的直线，使得△ODF是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【解答】解：（1）∵点A和点B在二次函数y＝x2+bx+c图象上，
则，解得：，
故答案为：﹣2，﹣3；
（2）连接BC，由题意可得：
A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），y＝x2﹣2x﹣3，
∴S△ABC6，
∵S△ABD＝2S△ABC，设点D（m，m2﹣2m﹣3），
∴|yD|＝2×6，即4×|m2﹣2m﹣3|＝2×6，
解得：m或，代入y＝x2﹣2x﹣3，
可得：y值都为6，
∴D（，6）或（，6）；
（3）设P（n，n2﹣2n﹣3），
∵点P在抛物线位于x轴上方的部分，
∴n＜﹣1或n＞3，
当点P在点A左侧时，即n＜﹣1，
可知点C到AP的距离小于点B到AP的距离，
∴S△APC＜S△APB，不成立；
当点P在点B右侧时，即n＞3，
∵△APC和△APB都以AP为底，若要面积相等，
则点B和点C到AP的距离相等，即BC∥AP，
设直线BC的解析式为y＝kx+p，
则，解得：，
则设直线AP的解析式为y＝x+q，将点A（﹣1，0）代入，
则﹣1+q＝0，解得：q＝1，
则直线AP的解析式为y＝x+1，将P（n，n2﹣2n﹣3）代入，
即n2﹣2n﹣3＝n+1，
解得：n＝4或n＝﹣1（舍），
n2﹣2n﹣3＝5，
∴点P的坐标为（4，5）．
2．【解答】解：（1）依题意，设y＝a（x+1）（x﹣3），
代入C（0，）得：a 1 （﹣3），
解得：a，
∴y（x+1）（x﹣3）x2﹣x；
（2）∵BE＝2OE，
设OE为x，BE＝2x，
由勾股定理得：OE2+BE2＝OB2，
x2+4x2＝9，
解得：x1，x2（舍），
∴OE，BE，
过点E作TG平行于OB，T在y轴上，过B作BG⊥TG于G，
∴△ETO∽△OEB，
∴，
∴OE2＝OB TE，
∴TE，
∴OT，
∴E（，），
∴直线OE的解析式为y＝﹣2x，
∵OE的延长线交抛物线于点D，
∴，
解得：x1＝1，x2＝﹣3（舍），
当x＝1时，y＝﹣2，
∴D（1，﹣2）；
（3）如图所示，延长BC于点F，AF∥y轴，过A点作AH⊥BF于点H，作MT∥y轴交BF于点T，过M点作MG⊥BF于点J，
∵AF∥MT，
∴∠AFH＝∠MTJ，
∵AH⊥BF，MJ⊥BF，
∴∠AHF＝∠MJT＝90°，
∴△AFH∽△MJT，
∴，
∵S1NB MJ，S2NB AH，
∴，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B，C两点代入得，
，
解得：，
∴直线BC的解析式为yx，
当x＝﹣1时，y （﹣1）2，
∴F（﹣1，﹣2），
∴AF＝2，
设M（x，x2﹣x），
∴MTx（x2﹣x）（x）2，
∴a0，
∴MTmax，
∴．
3．【解答】解：（1）令y＝0，则x+3＝0，解得x＝6，
令x＝0，则y＝3，
∴A（6，0），B（0，3），
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
把A，B，C三点坐标代入解析式，得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为yx2+x+3；
（2）证明：∵在平面直角坐标系xOy中，
∴∠BOA＝∠DOA＝90°，
在△BOA和△DOA中，
，
∴△BOA≌△DOA （ASA），
∴OB＝OD，
（3）存在，理由如下：
如图，过点E作EM⊥y轴于点M，
∵yx2+x+3（x﹣2）2+4，
∴抛物线的对称轴是直线x＝2，
∴E点的横坐标是2，即EM＝2，
∵B（0，3），
∴OB＝OD＝3，
∴BD＝6，
∵A（6，0），
∴OA＝6，
∴S△ABE＝S△ABD﹣S△DBE6×66×2＝12，
设点P的坐标为（t，t2+t+3），
连接PA，PB，过点P作PN⊥x轴于点H1，交直线AB于点N，过点B作BH2⊥PN于点H2，
∴N（t，t+3），
∴PNt2+t+3﹣（t+3）t2t，
∵AH1+BH2＝OA＝6，S△ABP＝S△NBP+S△ANPPN BH2PN AH1PN OA，
∴S△ABP6（t2t）（t﹣3）2，
∵0，抛物线开口向下，函数有最大值，
∴当t＝3时，△BPA面积的最大值是，此时四边形BEAP的面积最大，
∴四边形BEAP的面积最大值为12，
∴当P点坐标是（3，）时，四边形BEAP面积的最大值是．
4．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则y＝a（x+2）（x﹣4）＝ax2﹣2ax﹣8a，
即﹣8a＝4，解得a，
故抛物线的表达式为yx2+x+4①；
（2）由点A、B的坐标知，OB＝2OA，
故CO将△ABC的面积分成2：1两部分，此时，点P不在抛物线上；
如图1，当BHAB＝2时，CH将△ABC的面积分成2：1两部分，
即点H的坐标为（2，0），
则CH和抛物线的交点即为点P，
由点C、H的坐标得，直线CH的表达式为y＝﹣2x+4②，
联立①②并解得（不合题意的值已舍去），
故点P的坐标为（6，﹣8）；
（3）在OB上取点E（2，0），则∠ACO＝∠OCE，
∵∠OCA＝∠OCB﹣∠OMA，故∠AMO＝∠ECB，
过点E作EF⊥BC于点F，
在Rt△BOC中，由OB＝OC知，∠OBC＝45°，
则EFEB（4﹣2）BF，
由点B、C的坐标知，BC＝4，
则CF＝BC﹣BF＝43，
则tan∠ECBtan∠AMO，
则tan∠AMO，
则OM＝6，
故CM＝OM±OC＝6±4＝2或10，
则t＝2或10．
5．【解答】解：（1）对于yx+3，令yx+3＝0，解得x＝6，令x＝0，则y＝3，
故点A、B的坐标分别为（6，0）、（0，3），
∵抛物线yx2+bx+c经过坐标原点，故c＝0，
将点A的坐标代入抛物线表达式得：036+6b，解得b＝﹣2，
故抛物线的表达式为yx2﹣2x；
则抛物线的对称轴为x＝3，当x＝3时，yx2﹣2x＝﹣3，
则点M的坐标为（3，﹣3）；
（2）如图1，过点E作EH∥y轴交AB于点H，
设点E的坐标为（x，x2﹣2x），则点H（x，x+3），
则△EAB的面积＝S△EHB+S△EHAEH×OA6×（x+3x2+2x），
解得x＝1或，
故点E的坐标为（1，）或（，）；
（3）∵直线AB向下平移后过点M（3，﹣3），
故直线CM的表达式为y（x﹣3）﹣3x，
令yx0，解得x＝﹣3，
故点C（﹣3，0）；
过点D作DH⊥CM于点H，
∵直线CM的表达式为yx，故tan∠MCD，则sin∠MCD，
则DH＝CDsin∠MCD＝（2+3），
由点D、M的坐标得，DM，
则sin∠HMD，
故∠HMD＝45°＝∠DMC＝∠ADM﹣∠ACM＝45°，
∴∠ADM﹣∠ACM＝45°．
6．【解答】解：（1）将B（3，0）代入y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9），化简得，m2+m＝0，
则m＝0（舍）或m＝﹣1，
∴m＝﹣1，
∴y＝﹣x2+4x﹣3．
∴C（0，﹣3），
设直线BC的函数表达式为y＝kx+b，
将B（3，0），C（0，﹣3）代入表达式，可得，
，解得，，
∴直线BC的函数表达式为y＝x﹣3．
（2）如图，过点A作AP1∥BC，设直线AP1交y轴于点G，将直线BC向下平移GC个单位，得到直线P2P3．
由（1）得直线BC的表达式为y＝x﹣3，A（1，0），
∴直线AG的表达式为y＝x﹣1，
联立，解得，或，
∴P1（2，1）或（1，0），
由直线AG的表达式可得G（0，﹣1），
∴GC＝2，CH＝2，
∴直线P2P3的表达式为：y＝x﹣5，
联立，
解得，，或，，
∴P2（，），P3（，）；
综上可得，符合题意的点P的坐标为：（2，1），（1，0），（，），（，）；
（3）如图，取点Q使∠ACQ＝45°，作直线CQ，过点A作AD⊥CQ于点D，过点D作DF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥DF于点E，
则△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
∴△CDE≌△DAF（AAS），
∴AF＝DE，CE＝DF．
设DE＝AF＝a，则CE＝DF＝a+1，
由OC＝3，则DF＝3﹣a，
∴a+1＝3﹣a，解得a＝1．
∴D（2，﹣2），又C（0，﹣3），
∴直线CD对应的表达式为yx﹣3，
设Q（n，n﹣3），代人y＝﹣x2+4x﹣3，
∴n﹣3＝﹣n2+4n﹣3，整理得n2n＝0．
又n≠0，则n．
∴Q（，）．
7．【解答】解：（1）由题意得，
，
∴，
∴y；
（2）如图1，
作直线l∥BC且与抛物线相切于点P1，直线l交y轴于E，作直线m∥BC且直线m到BC的距离等于直线l到BC的距离，
∵BC的解析式为y＝x﹣4，
∴设直线l的解析式为：y＝x+m，
由x+m得，
x2﹣4x﹣3（m+4）＝0，
∵Δ＝0，
∴﹣3（m+4）＝4，
∴m，
∴x2﹣4x+4＝0，y＝x，
∴x＝2，y，
∴P1（2，），
∵E（0，），C（0，﹣4），
∴F（0，﹣4×2﹣（）），
即（0，），
∴直线m的解析式为：y＝x，
∴，
∴，，
∴P2（2﹣2，﹣2），P3（2+2，2），
综上所述：点P（2，）或（2﹣2，﹣2）或（2+2，2）；
（3）如图2，
作MG⊥x轴于G，作NH⊥x轴于H，作MK⊥DF，交DF的延长线于K，
设D点的横坐标为a，
∵BN＝DN，
∴BD＝2BN，N点的横坐标为：，
∴OH，
∵NH∥DF，
∴△BHN∽△BFD，
∴，
∴DF＝2NH，
同理可得：△OMG∽△ONH，
∴，
∴MG＝2NH，OG＝2OH＝a+4，
∴KF＝MG＝DF，
∵tan∠DEB＝2tan∠DBE
∴2 ，
∴EF，
∵BF＝4﹣a，
∴EF，
∵EF∥MK，
∴△DEF∽△DMK，
∴，
∴，
∴a＝0，
∴OG＝a+4＝4，
∴G（﹣4，0），
当x＝﹣4时，y4，
∴M（﹣4，）．
8．【解答】（1）∵抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4，
∴B（﹣3，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）过Q作QE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，
设P（m，0），则PA＝1﹣m，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴C（﹣1，﹣4），
∴CF＝4，
∵PQ∥BC，
∴△PQA∽△BCA，
∴，即，
∴QE＝1﹣m，
∴S△CPQ＝S△PCA﹣S△PQA
PA CFPA QE
（1﹣m）×4（1﹣m）（1﹣m）
（m+1）2+2，
∵﹣3≤m≤1，
∴当m＝﹣1时 S△CPQ有最大值2，
∴△CPQ面积的最大值为2，此时P点坐标为（﹣1，0）．
9．【解答】解：（1）由题意得：y＝﹣（x+1） （x﹣3），
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）设P（1，m），
∵PB2＝PC2，
∴（3﹣1）2+m2＝1+（m﹣3）2，
∴m＝1，
∴P（1，1）；
（3）如图，
假设存在M点满足条件，
作PQ∥BC交y轴于Q，作MN∥BC交y轴于N，
∵PQ的解析式为y＝﹣x+2，
∴Q（0，2），
∵C（0，3），S△BCM＝S△BCP，
∴N（0，4），
∴直线MN的解析式为：y＝﹣x+4，
由﹣x2+2x+3＝﹣x+4得，
x，
∴M点横坐标为或．
10．【解答】解：（1）∵抛物线yx2+bx+c经过点A（，）和点B（4，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：yx2+x+4；
设直线AB的解析式为：y＝kx+b′，
∴，
解得．
∴直线AB的解析式为：yx+3．
（2）如图，设直线AB与y轴交于点G，
∴G（0，3），
∴OG＝3，OB＝4，BG＝5，
∵PD⊥AB，PE⊥OB，
∴∠PDF＝∠BEF＝∠GOB＝90°，
∵∠P+∠PFD＝∠BFE+∠OBG＝90°，∠PFE＝∠BFE，
∴∠P＝∠OBG，
∴△PDF∽△BOG，
∴PD：DF：PF＝OB：OG：BG＝4：3：5，
∴PDPF，DFPF，
∴S1 PD DFPF2，
设点P的横坐标为m，则P（m，m2+m+4）（0＜m＜4），
∴F（m，m+3），E（m，0），
∴PFm2+m+4﹣（m+3）m2m+1，BE＝4﹣m，FEm+3，
∴S1（m2m+1）2（m﹣4）2（2m+1）2，
S2 BE EF（4﹣m）（m+3）（m﹣4）2，
∵，
∴[（m﹣4）2（2m+1）2]：[（m﹣4）2]，
解得m＝3或m＝﹣4（舍），
∴P（3，）．
（3）存在，点N的坐标为（1，3）或（1，3）．理由如下：
法一：由抛物线的解析式可知，C（0，4），
∴OB＝OC＝4，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°．
如图，当点P在直线AB上方时，如图所示，过点P作x轴的平行线PH，过点B作x轴的垂线交PH于点H，
∵BC垂直平分PN，
∴BN＝BP，∠PBC＝∠NBC，
∵∠OBC＝∠CBH＝45°，
∴∠PBH＝∠OBN，
∵∠H＝∠BKN＝90°，
∴△PHB≌△NKB（AAS），
∴HB＝BK，PH＝NK，
∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴BK＝3，
∴BH＝3，
令x2+x+4＝3，
解得x＝1或x＝1（舍），
∴PH＝4﹣（1）＝3，
∴NK＝3，
∴N（1，3）；
当点P在直线AB下方时，如图所示，过点N作x轴的平行线NM，过点B作x轴的垂线BM交NM于点M，过点P作PQ⊥x轴于点Q．
∵BC垂直平分PN，
∴BN＝BP，∠PBC＝∠NBC，
∵∠OBC＝∠CBM＝45°，
∴∠PBQ＝∠MBN，
∵∠M＝∠PQB＝90°，
∴△PQB≌△NMB（AAS），
∴QB＝MB，PQ＝NM，
∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴MN＝3，
∴PQ＝3，
令x2+x+4＝3，
解得x＝1（舍）或x＝1，
∴BQ＝4﹣（1）＝3，
∴BM＝3，
∴N（1，3）．
综上，存在，点N的坐标为（1，3）或（1，3）．
法二：设BC与对称轴交于E，
可得E（1，3），
过E做x轴平行线交抛物线于P1P2，
∴直线P1P2和直线DE关于直线BC对称，
令x2+x+4＝3，
解得x＝1或x＝1，
此即线P1和P2的横坐标，
∴P1E＝P2E，
∴EN1＝EN2，
∴点N的坐标为（1，3）或（1，3）．
11．【解答】解：（1）在y＝x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
令y＝0，则x＝3，
∴B（3，0），
将B、C两点代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）令y＝0，则﹣x2+4x﹣3＝0，
解得x＝1或x＝3，
∴A（1，0），
∴AB＝2，
∴S△ABC2×3＝3，
∵S△PBCS△ABC，
∴S△PBC，
过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，
设P（t，﹣t2+4t﹣3），则Q（t，t﹣3），
∴PQ＝|﹣t2+3t|，
∴3×|﹣t2+3t|，
解得t或t，
∴P点坐标为（，）或（，）或（，）或（，）；
（3）过点B作BE⊥BC交CQ于点E，过E点作EF⊥x轴交于F，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝45°，
∵∠ACQ＝45°，
∴∠BCQ＝∠OCA，
∵OA＝1，
∴tan∠OCA，
∴tan∠BCE，
∵BC＝3，
∴BE，
∵∠OBC＝45°，
∴∠EBF＝45°，
∴EF＝BF＝1，
∴E（4，﹣1），
设直线CE的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴yx﹣3，
联立方程组，
解得（舍）或，
∴Q（，）．
12．【解答】解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入y＝ax2+bx，
∴，解得．
∴抛物线的解析式为：yx2x．
（2）设直线AB的解析式为：y＝kx+t，
将A（4，0），B（1，4）代入y＝kx+t，
∴，
解得．
∵A（4，0），B（1，4），
∴S△OAB4×4＝8，
∴S△OAB＝2S△PAB＝8，即S△PAB＝4，
过点P作PM⊥x轴于点M，PM与AB交于点N，过点B作BE⊥PM于点E，如图，
∴S△PAB＝S△PNB+S△PNAPN×BEPN×AMPN＝4，
∴PN．
设点P的横坐标为m，
∴P（m，m2m）（1＜m＜4），N（m，m），
∴PNm2m﹣（m）．
解得m＝2或m＝3；
∴P（2，）或（3，4）．
（3）∵PD∥OB，
∴∠DPC＝∠BOC，∠PDC＝∠OBC，
∴△DPC∽△BOC，
∴CP：CO＝CD：CB＝PD：OB，
∵，，
∴．
设直线AB交y轴于点F．则F（0，），
过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH交AB于点G，如图，
∵∠PDC＝∠OBC，
∴∠PDG＝∠OBF，
∵PG∥OF，
∴∠PGD＝∠OFB，
∴△PDG∽△OBF，
∴PD：OB＝PG：OF，
设P（n，n2n）（1＜n＜4），
由（2）可知，PGn2n，
∴PG（n）2．
∵1＜n＜4，
∴当n时，的最大值为．
13．【解答】解：（1）令y＝x2﹣4x＝x，
解得x＝0或x＝5，
∴B（5，5）；
∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴顶点D（2，﹣4）．
（2）如图，过点D作DE⊥y轴于点E，
∴DE＝2，OE＝4，
∴tan∠DOE，
∵tan∠PDO，
∴∠DOE＝∠PDO，
①当点P在线段OD的右侧时，DP∥y轴，如图，
∴P（2，0）；
②当点P在线段OD左侧时，设直线DP与y轴交于点G，则△ODG是等腰三角形，
∴OG＝DG，
设OG＝t，则DG＝t，GE＝4﹣t，
在Rt△DGE中，t2＝22+（4﹣t）2，
解得t，
∴G（0，），
∴直线DG的解析式为：yx，
令y＝0，则x0，
解得x，
∴P（，0）．
综上，点P的坐标为（2，0）或（，0）．
（3）∵点B（5，5）与点M关于对称轴x＝2对称，
∴M（﹣1，5）．
如图，分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线OB于点N，K，
∴N（﹣1，﹣1），MN＝6，
∵点Q横坐标为m，
∴Q（m，m2﹣4m），K（m，m），
∴KQ＝m﹣（m2﹣4m）＝﹣m2+5m．
∵S1QK（xB﹣xE），S2MN（xB﹣xE），
∴（m2﹣5m）（m）2，
∵0，
∴当m时，的最大值为．
提示：本题也可分别过点M，Q作BO的垂线，用m分别表示高线，再求比，也可得出结论．
14．【解答】解：（1）∵将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处，点A的坐标为（3，0），点D的坐标为（1，0），
∴点E的坐标为（﹣1，0）．
将A（3，0），E（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）当x＝0时，y＝﹣1×02+2×0+3＝3，
∴点B的坐标为（0，3）．
设直线AB的解析式为y＝mx+n（m≠0），
将A（3，0），B（0，3）代入y＝mx+n，
得：，解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3．
∵点C在直线AB上，CD⊥x轴于点D（1，0），当x＝1时，y＝﹣1×1+3＝2，
∴点C的坐标为（1，2）．
∵点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（1，2），点E的坐标为（﹣1，0），
∴AE＝4，OB＝3，CD＝2，
∴S△BCE＝S△ABE﹣S△ACEAE OBAE CD4×34×2＝2，
∴△BCE的面积为2．
（3）存在，理由如下：
∵点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，3），
∴OA＝OB＝3．
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，
∴∠BAE＝45°.
∵点P在抛物线上，
∴设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3）．
①当点P在x轴上方时记为P1，过点P1作P1M⊥x轴于点M，
在Rt△EMP1中，∠P1EA＝45°，∠P1ME＝90°，
∴EM＝P1M，即m﹣（﹣1）＝﹣m2+2m+3，
解得：m1＝﹣1（不合题意，舍去），m2＝2，
∴点P1的坐标为（2，3）；
②当点P在x轴下方时记为P2，过点P2作P2N⊥x轴于点N，
在Rt△ENP2中，∠P2EN＝45°，∠P2NE＝90°，
∴EN＝P2N，即m﹣（﹣1）＝﹣（﹣m2+2m+3），
解得：m1＝﹣1（不合题意，舍去），m2＝4，
∴点P2的坐标为（4，﹣5）．
综上所述，抛物线上存在一点P，使∠PEA＝∠BAE，点P的坐标为（2，3）或（4，﹣5）．
15．【解答】解：（1）由点C的坐标知，c＝﹣3，
则抛物线的表达式为：y＝x2+bx+3，
将点A的坐标代入上式得：0＝1﹣b﹣3，
解得：b＝﹣2；
（2）由（1）得抛物线的解析式为 y＝x2﹣2x﹣3．
令y＝0，则 x2﹣2x﹣3＝0，得 x1＝﹣1，x2＝3．
∴B点的坐标为（3，0）．
∵S△PBC＝S△ABC，
∴AP∥BC．
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴直线BC的解析式为 y＝x﹣3，
∵AP∥BC，
∴可设直线AP的解析式为 y＝x+m．
∵A（﹣1，0）在直线AP上，
∴0＝﹣1+m．
∴m＝1．
∴直线AP的解析式为y＝x+1；
（3）存在，理由：
设P点坐标为（m，n）．
∵点P在直线y＝x+1和抛物线 y＝x2﹣2x﹣3 上，
∴n＝m+1，n＝m2﹣2m﹣3．
∴m+1＝m2﹣2m﹣3．
解得 m1＝4，m2＝﹣1 （舍去）．
∴点P的坐标为（4，5）．
由点P关于AE的对称点为点P′，得∠AEP＝∠AEP′，P′E＝PE．
∵AP∥BC，
∴∠PAE＝∠AEP'；
∴∠PAE＝∠PEA．
∴，
设点E的坐标为（t，t﹣3），
即（t﹣4）2+（t﹣3﹣5）2＝（5）2，
∴．
当 时，
点E的坐标为：，．
设点P′（s，s﹣3），
由P′E＝PE＝5得：（s﹣6）2+（s﹣3﹣3）2＝（5）2，
解得：s＝1，
则点P′的坐标为 ，．
当 时，同理可得，点P′的坐标为：．
综上所述，点P′的坐标为：， 或 ．
16．【解答】解：（1）由题意可知，设抛物线的表达式为y＝a（x+2）（x﹣6），
将（0，6）代入上式得：6＝a（0+2）（0﹣6），
解得，
∴抛物线的表达式为y（x+2）（x﹣6）x2+2x+6；
（2）作点O关于直线BC的对称点E，连接EC、EB，
∵B（6，0），C（0，6），∠BOC＝90°，
∴OB＝OC＝6，
∵O、E关于直线BC对称，
∴四边形OBEC为正方形，
∴E（6，6），
连接AE，交BC于点D，由对称性|DE|＝|DO|，
此时|DO|+|DA|有最小值为AE的长，
∴AE10，
∵△AOD 的周长为DA+DO+AO，AO＝2，DA+DO的最小值为10，
∴△AOD的周长的最小值为10+2＝12，
（3）由已知点A（﹣2，0），B（6，0），C（0，6），
设直线BC的表达式为 y＝kx+b，
将B（6，0），C（0，6）代入y＝kx+b 中，
则，
解得，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+6，
同理可得：直线AC的表达式为y＝3x+6，
∵PD∥AC，
∴可设直线PD表达式为y＝3x+a，
由（1）设P（m，m2+2m+6），
将P点坐标代入直线PD的表达式得am2﹣m+6，
∴直线PD的表达式为：，
由，
得，
∴D（m2m，m2m+6），
∵P，D都在第一象限，
∴S＝S△PBD+S△PAD＝S△PAB﹣S△DAB
|AB|[（m2+2m+6）﹣（m2m+6）]
8×（m2m）
m2+9m
（m2﹣6m）
（m﹣3）2，
∵0，
∴当 m＝3 时，S有最大值，最大值为，
此时P点为 ．
解法二：利用平行等积，将△PAD面积转化为△PCD的面积，那么△PAD与△PBD的面积之和等于△PBC的面积，即求△PBC的面积最大值．
17．【解答】解：（1）由题意得，
y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图1，
作MQ⊥AC于Q，作ME⊥AB于F，交AC于E，
∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，
∴∠CAO＝∠ACO＝45°，
∴∠MEQ＝∠AEF＝90°﹣∠CAO＝45°，
抛物线的对称轴是直线：x，
∴y＝x+3＝﹣1+3＝2，
∴D（﹣1，2），
∵C（0，3），
∴CD，
故只需△MCD的边CD上的高最大时，△MCD的面积最大，
设过点M与AC平行的直线的解析式为：y＝x+m，
当直线y＝x+m与抛物线相切时，△MCD的面积最大，
由x+m＝﹣x2﹣2x+3得，
x2+3x+（m﹣3）＝0，
由Δ＝0得，
32﹣4（m﹣3）＝0得，
m﹣3，
∴x2+3x0，
∴x1＝x2，
∴y＝﹣（）2﹣23，
y＝x+33，
∴ME，
∴MQ＝ME sin∠MEQ＝ME sin45°，
∴S△MCD最大；
（3）如图2，
当点P在线段AC上时，连接BP，交CQ于R，
∵点B和点Q关于CQ对称，
∴CP＝CB，
设P（t，t+3），
由CP2＝CB2得，
2t2＝10，
∴t1，t2（舍去），
∴P（，3），
∵PQ∥BC，
∴，
∴CR＝QR，
∴四边形BCPQ是平行四边形，
∵1+（）﹣0＝1，0+（3）﹣3，
∴Q（1，）；
如图3，
当点P在AC的延长线上时，由上可知：P（，3），
同理可得：Q（1，），
综上所述：Q（1，）或（1，）．
18．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）、点B（5，0），
∴抛物线的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5）＝x2﹣4x﹣5，
∴b＝﹣4，c＝﹣5；
（2）由（1）得，抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x﹣5，
令x＝0，则y＝﹣5；
∴C（0，﹣5）
∴直线BC的表达式为：y＝x﹣5，P（x0，4x0﹣5），
①如图，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点D，
则D（x0，x0﹣5），
∴S△PBCOB PD5×（x0﹣54x0+5）
x0
（x0﹣2.5）2，
∴当x0＝2.5时，S的值取最大，最大值为；
②存在，理由如下：
由题意可知，PE⊥PF，若△PEF是等腰直角三角形，则PE＝PF，
由①可得，PE＝x0﹣5﹣x02+4x0+55x0，
∵PF∥x轴，
∴F（4﹣x0，4x0﹣5），
∴PF＝|2x0﹣4|，
∴|2x0﹣4|5x0，
解得x0＝﹣1（舍）或x0＝4或x0或x0（舍），
∴当△PEF是等腰直角三角形时，点P的坐标为（4，﹣5），（，）．
19．【解答】解：（1）①当a﹣2＝0时，即a＝2时，
y关于x的函数解析式为y＝3x，
此时y＝3x与x轴的交点坐标为（，0），
与y轴的交点坐标为（0，）；
②当a﹣2≠0时，y关于x的函数为二次函数，
∵二次函数图象抛物线与坐标轴有两个交点，
∴抛物线可能存在与x轴有两个交点，其中一个交点为坐标原点或与x轴有一个交点与y轴一个交点两种情况．
当抛物线与x轴有两个交点且一个为坐标原点时，
由题意得b＝0，此时a＝0，抛物线为y＝﹣2x2+x．
当y＝0时，﹣2x2+x＝0，
解得x1＝0，x2．
∴其图象与x轴的交点坐标为（0，0）（，0）．
当抛物线与x轴有一个交点与y轴有一个交点时，
由题意得，y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b所对应的一元二次方程（a﹣2）x2+（a+1）x+b＝0有两个相等实数根．
∴Δ＝（a+1）2﹣4（a﹣2）a＝0，
解得a，
此时yx2x，
当x＝0时，y，
∴与y轴的交点坐标为（0，），
当y＝0时，x2x0，
解得x1＝x2，
∴与x轴的交点坐标为（，0），
综上所述，若y关于x的函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b的图象与坐标轴有两个交点，则a可取的值为2，0，，
故答案为：2或0或；
（2）①如图，设直线l与BC交于点F，
根据题意得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8，
当x＝0时，y＝8，
∴C（0，8），
∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，点P为抛物线顶点，
∴P（1，9），
∵B（4，0），C（0，8），
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+8，
∴F（1，6），
∴PF＝9﹣6＝3，
∴△PBC的面积OB PF6；
②S1﹣S2存在最大值，
理由：如图，设直线x＝m交x轴于H，
由①得，OB＝4，AO＝2，AB＝6，OC＝8，AH＝2+m，P（m，﹣m2+2m+8），
∴PH＝﹣m2+2m+8，
∵OD∥PH，
∴△AOD∽△AHP，
∴，
∴，
∴OD＝8﹣2m，
∵S1﹣S2＝S△PAB﹣S△AOD﹣S△OBC3m2+8m＝﹣3（m）2，
∵﹣3＜0，0＜m＜4，
∴当m时，S1﹣S2存在最大值，最大值为．
20．【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，
∴，
∴，
∴y2+x+4；
（2）如图1，
∵，
∴，
作PD∥y轴，交BC于D，
∴，
∵OC＝4，
∴PD＝2，
∵B（4，0），C （0，4），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
设P（m，m2+m+4），则D（m，﹣m+4），
∴PD＝（m+4）﹣（﹣x+4）2m＝2，
∴m1＝m2＝2，
当m＝2时，y4，
∴P（2，4）；
（3）如图2，
设CM交x轴于D，作DG⊥CM，交直线AC于G，过点D作EF∥y轴，作CE⊥EF于E，作GF⊥EF于F，
∵∠ACO＝∠BCM，
∴∠ACO+∠DCO＝∠BCM+∠DCO＝45°，
∴∠ACD＝45°，
∴∠CGD＝90°﹣∠ACD＝45°，
∴∠ACD＝∠CGD，
∴CD＝DG，
∵∠CDG＝90°，
∴∠CDE+∠GDF＝90°，
∵∠E＝∠F＝90°，
∴∠GDF+∠DGF＝90°，
∴∠CDE＝∠DGF，
∴△CDE≌△DGF（AAS），
∴FG＝DE＝4，DF＝CE，
设OD＝a，
∴DF＝CE＝OD＝a，
∴G（a﹣4，﹣a），
∵C（0，4），A（﹣2，0），
∴直线AC的解析式为y＝2x+4，
∴2（a﹣4）+4＝﹣a，
∴a，
∴D（，0），
∴直线CM的解析式为y＝﹣3x+4，
由﹣3x+4x+4得，
x1＝0（舍去），x2＝8，
当x＝8时，y＝﹣3×8+4＝﹣20，
∴M1（8，﹣20），
如图3，
设射线CM交x轴于T，
∵OC＝OB＝4，∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
由上知：tan∠OCD，∠BCD＝∠ACO，∠BCD+∠OCD＝45°，
∵∠BCM+∠CTB＝∠OBC＝45°，∠BCM＝∠ACO，
∴∠CTB＝∠OCD，
∴tan∠CTB，
∴，
∴OT＝3OC＝12，
∴直线CT的解析式为yx+4，
由x+42+x+4得，
x1＝0（舍去），x2，
当x时，y，
∴M2（，
综上所述：M（8，﹣20）或（．
21．【解答】解：（1）将点A的坐标代入函数表达式得：16a﹣8a+4＝0，
则a，
故抛物线解析式为y；
（2）设点Q（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G，
由﹣＝0，得x1＝﹣2，x2＝4，
∴点B的坐标为（﹣2，0），AB＝6，BQ＝m+2，
又∵QE∥AC，
∴△BQE∽△BAC，
∴EG：CO＝BQ：BA，即EG：4＝（m+2）：6，
解得：GE；
∴S△CQE＝S△CBQ﹣S△EBQ（CO﹣GE） BQ（m+2）（4）（m﹣1）2+3，
∴当m＝1时，S△CQE有最大值3，此时Q（1，0）；
（3）存在．在△ODF中，
（ⅰ）若DO＝DF，∵A（4，0），D（2，0），
∴AD＝OD＝DF＝2．
又在Rt△AOC中，OA＝OC＝4，
∴∠OAC＝45°．
∴∠DFA＝∠OAC＝45°．
∴∠ADF＝90°．
此时，点F的坐标为（2，2）．
由2，得x＝1±，
此时，点P的坐标为：P1（1，2）或P2（1，2）；
（ⅱ）若FO＝FD，过点F作FM⊥x轴于点M．
由等腰三角形的性质得：OMOD＝1，
∴AM＝3．
∴在等腰直角△AMF中，MF＝AM＝3．
∴F（1，3）．
由﹣＝3，得x1＝1±，
此时，点P的坐标为：P3（1，3）或P4（1，3）；
（ⅲ）若OD＝OF，
∵OA＝OC＝4，且∠AOC＝90°．
∴AC＝4，
∴点O到AC的距离为2，
而OF＝OD＝2＜2与OF≥2矛盾．
∴在AC上不存在点使得OF＝OD＝2．
此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．
综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．所求点P的坐标为：（1，2）或（1，2）或（1，3）或（1，3）．
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