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1.3线段的垂直平分线
课前导学
知识填空
1.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 .
2.判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 上.
思维拓展
1.尝试证明线段垂直平分线的判定定理
已知：如图，线段，.
求证：点P在线段的垂直平分线上.
2.尝试写出用尺规作出线段的垂直平分线作法.
基础练习
1.如图，在中，是的垂直平分线.若，，则的周长是________.
2.在中,,AB的垂直平分线交BC于点D,AC的垂直平分线交BC于点E,的度数为______.
3.如图,在中,,,,垂直平分,点P为直线上一动点,则的最小值是____________.
4.如图,在中,,.
(1)作的垂直平分线交于点D,垂足为P；(尺规作图,保留痕迹,不写作法)
(2)结合(1)中作图,连接,求的度数.
答案以及解析
一、知识填空
1.相等
2.垂直平分线
二、思维拓展
1.证明：过点作直线，垂足为点，
则是的高.
，
是等腰三角形.
是的中线（三线合一）.
直线是线段的垂直平分线.
点P在线段的垂直平分线上.
2.①分别以点和为圆心，以大于线段长度的一半为半径作弧，两弧交于点和.
②作直线.则直线就是线段的垂直平分线.
三、基础练习
1.答案：13
解析：是的垂直平分线.
，
，
的周长，
故答案为：13.
2.答案：40°/40度
解析：∵AB的垂直平分线交BC于点D,AC的垂直平分线交BC于点E,
∴,,
∴,,
在中,,
故答案为：
3.答案：8
解析：如图,连接,
是的垂直平分线,
,
∴,最小,
此时点P与点E重合.
所以的最小值即为的长,为8.
所以的最小值为8.
故答案为：8.
4.答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)如图,直线即为所求作的图形.
(2)∵,
∴.
∵,
∴.
∵垂直平分,
∴.
∴.
∴.1.4角平分线
课前导学
知识填空
1.性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离 .
2.判定：在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在 上.
思维拓展
三角形三条角平分线交于一点，这一点称为三角形的内心.尝试说出三角形内心的性质及其应用？
基础练习
1.如图,在中,,是的角平分线.若,则点D到的距离为( )
A. B. C. D.
2.如图所示,点O是内一点,平分,于点D,连接,若,,则的面积是______.
3.点P在的平分线上,点P到边的距离等于5,点D是边上任意一点,则的最小值是______.
4.如图,在中,,,.在,上分别截取线段,,使；分别以点M,N为圆心,大于的长为半径画弧,在内,两弧交于点P,作射线,交于点D.则的长为______.
5.如图,四边形中,,,于点F,交于点E,连接,平分.
(1)求证：；
(2)若,,求的长.
答案以及解析
一、知识填空
1.相等
2.这个角的平分线
二、思维拓展
三角形的内心到三角形三条边的距离相等
应用：三角形三条内角平分线的交点到三边的距离相等是三角形的一个重要特征，该交点与三角形三个顶点的连线形成三个等高的小三角形，利用三个小三角形的面积之和等于原三角形的面积，求角平分线交点到三边距离或者求三角形的面积，体现等面积法的运用.
三、基础练习
1.答案：B
解析：如图,过D作于E,
∵在中,,是的角平分线,,
∴,
∵,
∴,即点D到的距离为,
故选：B.
2.答案：
解析：过O作于点E,
∵平分,于点D,
∴,
∴的面积,
故答案为：.
3.答案：5
解析：∵点P在的平分线上,点P到边的距离等于5,
P到的距离为5,
点D是边上任意一点,
,
的最小值为5.
故答案为：5.
4.答案：4
解析：过点D作于点E,
由作图可知,为的平分线,
,
,
在中,,
,
,
,
,
,
故答案为：4.
5.答案：(1)见解析
(2)4
解析：(1)证明：∵,
∴,
∵平分,
∴,
又∵,
∴；
(2)在和中,
,
∴,
∴,
∵,
∴.1.1等腰三角形
课前导学
知识填空
1.等腰三角形的性质：
等腰三角形的两个底角相等，（简写成“ ”）
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．（简称“ ”）
2.等腰三角形的判定：如果一个三角形有 ，那么这两个角所对的边也相等（简写成“ ”）．
3.等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都为 度．
4.等边三角形的定理：
的三角形是等边三角形．
有一个角是 的等腰三角形是等边三角形．
5.在证明时，先假设_________________，然后推导出__________________________________
____________________的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法.
____________________________________
6.在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于 .
思维拓展
1.若要证明“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这一命题为真命题,你能写出“已知”和“求证”，并完成后面的证明过程吗？
2.除了书上的证明方法外,你还能用其他的方法证明与全等吗
基础练习
1.若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为，则这个三角形的形状是( )
A.直角三角形 B.等腰直角三角形
C.等边三角形 D.上述三种情形都有可能
2.牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一.”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于时，第一步先假设( )
A.三角形中有一个内角小于 B.三角形中有一个内角大于
C.三角形中每个内角都大于 D.三角形中没有一个内角小于
3.如图是西宁市某公园一段索道的示意图,已知A、B两点间的距离为30米,,则缆车从A点到B点过程中,上升的高度(的长)为______米.
4.某地地震过后，河沿村中学的同学用下面的方法检测教室的房梁是否水平：
在等腰直角三角尺斜边中点拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直角顶点，同学们由此确信房梁是水平的，他们的判断对吗？为什么？
5.如图，是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，且，连接BD，CE.求证：.
6.如图,是等边三角形,点D,E分别在,的延长线上,且,连接.求证：是等边三角形.
答案以及解析
一、知识填空
1.等边对等角 三线合一
2.两个角相等 等角对等边
3.60
4.三个角都相等 60°
5.命题的结论不成立；与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾
6.斜边的一半
二、思维拓展
1.已知：，，
求证：
证明：，
，
又，，
又，
2.证明：如图，作顶角的角平分线
，，
（全等三角形对应角相等）
三、基础练习
1.答案：C
解析：因为三角形是轴对称图形，
则该三角形是等腰三角形，根据有一个内角是的等腰三角形是等边三角形.
故选：C.
2.答案：C
解析：用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于时，
第一步先假设三角形中每个内角都大于，
故选：C.
3.答案：15
解析：在中,,米,
米,
故答案为：15.
4.答案：正确，理由见解析
解析：他们的判断是正确的，因为等腰三角形底边上的中线和底边上的高重合.
5.答案：证明见解析
解析：证明：是等腰三角形，
，
在与中，
，
，
.
6.答案：证明见解析
解析：证明：∵是等边三角形,
∴,
∴,
又∵,
∴是等边三角形.1.2直角三角形
课前导学
知识填空
1.直角三角形的两个锐角 .
2.有两个角互余的三角形是 .
3.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 .
4.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是 ．
5.条件和结论正好相反的两个命题叫做 ．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 .
6.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形 .
思维拓展
1.勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形的重要方法，那在判定时，对于三条边的长度关系需要注意什么？如何准确运用它来判定复杂图形中的三角形是否为直角三角形？
2.直角三角形的判定定理和性质定理的逆命题都成立吗？如果成立，如何证明？如果不成立，能举反例说明吗？
基础练习
1.下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长,则不能构成直角三角形的是( )
A.,2, B.6,8,10 C.3,4,5 D.5,12,13
2.如图，于点D，于点F，要根据“”证明，则还需要添加的条件是( )
A. B. C. D.
3.如图,甲、乙两船同时从A港出发,甲船的速度是15海里/时,航向是东北方向(射线方向),乙船比它每小时快5海里,航向是东南方向(射线方向),多少小时后两船相距100海里？
4.如图，在中，，是高.求证：
（1）；
（2）.
答案以及解析
一、知识填空
1.互余
2.直角三角形
3.平方
4.直角三角形
5.互逆命题 逆命题
6.全等
二、思维拓展
1.运用勾股定理逆定理时，一定要先确定最长边，然后计算两较短边的平方和是否等于最长边的平方. 在复杂图形中，首先要准确找出三角形的三条边，通过测量或已知条件得到边长数据，再按照上述方法判断. 比如在一个多边形中，有多个三角形，要逐一分析每个三角形的三边关系，不能混淆边的对应关系. 而且在一些实际问题中，边长可能不是直接给出具体数值，而是用代数式表示，这时就需要先进行化简计算，再运用逆定理判定.
2.以勾股定理及其逆定理为例，勾股定理 “直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方” ，它的逆命题 “如果一个三角形的三边满足两边平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形” 是成立的，证明方法通常是构造一个直角三角形，利用全等三角形来证明原三角形与构造的直角三角形全等，从而证明它是直角三角形. 但并不是所有直角三角形相关命题的逆命题都成立，比如 “直角三角形中，30° 所对的直角边是斜边的一半”，若逆命题表述为 “如果三角形中一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是 30°” ，这是不成立的，反例：在等腰直角三角形中，直角边与斜边的关系不符合该逆命题的结论.
三、基础练习
1.答案：A
解析：A、,不能构成直角三角形,故此选项符合题意；
B、,能构成直角三角形,故此选项不符合题意；
C、,能构成直角三角形,故此选项不符合题意；
D、,能构成直角三角形,故此选项不符合题意；
故选：A.
2.答案：C
解析：于点D，于点F，
，
，
当添加时，根据“”判断
故选：C.
3.答案：4小时后两船相距100海里
解析：由题意,得,.
设小时后两船相距100海里,
根据题意得：,
解得：(舍去)或.
答：4小时后两船相距100海里.
4.答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）证明：由题意可知，和均是直角三角形.
在和中，
，
.
（2）证明：由（1）知，
.

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