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甘肃省甘南州卓尼县柳林中学 2024-2025 学年高二上学期期末数学试
卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线√ 3 +1 = 0的倾斜角为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°
2.已知等差数列{ }满足 3 + 8 = 2，则{ }的前10项和为( )
A. 5 B. 10 C. 20 D. 30
3.设 为抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点，若 上的点 (1, )到焦点 的距离为2，则 的准线方程为( )
A. = 1 B. = 2 C. = 1 D. = 2
4.某电视台连续播放4个广告，现将2个环同的公益广告插入其中，保持原来的4个广告播放顺序不变，不同
的播放方式有( )
A. 10种 B. 20种 C. 30种 D. 60种
5.古希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇编》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，他指出：
到定点的距离与到定直线的距离的比是常数 的点的轨迹叫做圆锥曲线.当0 < < 1时，轨迹为椭圆；当 = 1
时，轨迹为抛物线；当 > 1时，轨迹为双曲线.则方程√ ( 1)2 + 2 = |4 3 12|表示的圆锥曲线为( )
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 以上都不对
6.在以“旅行丝绸路，研学在甘肃”为主题的甘肃研学旅行大会活动中，某学校有10名志愿者参加接待工
作.若每天排早、中、晚三班，每班3人，每人每天最多值一班，则第一天不同的排班种数为( )
9 3 3
A. 9 3 3 B. 9 3 3 3

10 9 610 9 6 10 9 6 3 C. 3 D.
9
10
3 3
9 6
3
7.在平面直角坐标系 中，记 轴及 轴的右侧的动点 为( 0 , 0)，若点 在直线 + = 4上，则 0 +
√ 20 +
2
0的最小值为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
8.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子紧殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第
三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{ }称为“斐波那契数列”，
记 为数列{ }的前 项和，则下列结论正确的为( )
A. 7 = 21 B. 2 = 2 + +2( ≥ 3)
C. 1 + 2 + 3 + + 2024 = 2025 1 D.
2 + 21 2 + +
2
2024 = 2024 2025
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于直线 ： = +1 3 = 0与圆 ： 2 + 2 4 4 1 = 0，下列说法正确的是( )
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A. 过定点(3,1) B. 的半径为9
C. 与 相交 D. 被 截得的弦长最小值为2√ 7
1
10.若数列{ }满足 1 = ， +1 2 +1 = 0( ∈
)，数列{ }的前 项和为 ，且 = 2 1，2
则( )
1
A. ∈ { } 2025
B. { }是等比数列
1
C. 数列{ }的前 项和 =
2
+ 2
+ 1

1 2
D. + + + = ( 1)2 +1 + 2
1 2
11.到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设 1( , 0)和 2( , 0)且 > 0，动
点 满足| 1| | 2 | =
2( > 0)，记动点 的轨迹为曲线 ，则下列描述正确的是( )
A. 曲线 的方程是( 2 + 2)2 2 2( 2 2) = 4 4
B. 曲线 关于原点对称
C. 当 = = √ 2时，曲线 经过5个整点(横、纵坐标均为整数的点)
1
D. △ 1
2
2的面积的最大值为 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知某圆上的10个不同的点，过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画______个圆内接三角形．
13.若△ 的顶点 ， 的坐标分别是( 3, 1)，(2,1)，顶点 在圆 2 + 2 +4 6 + 9 = 0上运动，则
△ 的重心 的轨迹方程为______．
14.双曲线的光学性质：从双曲线右焦点 2发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延
长线经过左焦点 1 .我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性
质.某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线一部分，如图所示， 是它的一条对称轴， 是它
的左焦点，光线从焦点 发出，经过镜面上点 ，反射光线为 ，若∠ = 90°，∠ = 135°，
则该双曲线的离心率为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{ }的前 项和
2
= ，其中 ∈ ．
(1)求数列{ }的通项公式；
1
(2)若 = ，求数列{ }的前 项和 ． +1
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16.(本小题15分)
已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)，点 (2,4)在抛物线 上．
(1)求抛物线 的方程；
(2)不过原点的直线 ： = + 与抛物线交于不同两点 ， ，若 ⊥ ，求 的值．
17.(本小题15分)
1
在(2 + ) 的展开式中，_____．

给出下列条件：①二项式系数和为64；②各项系数之和为729；③第三项的二项式系数为15.试在是三个条
件中任选一个，补充在上面的横线上，并且完成下列问题：
(1)求 的值并求展开式中的常数项；
2 1(2)求(1 + )(2 + ) 展开式中 2的系数．

18.(本小题17分)
2 2 1
如图，已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 ，且过点 ( 2,0)． 2
(1)求椭圆 的方程．
(2)过椭圆右焦点 且与 轴不重合的直线 与椭圆交于 ， 两点．
①求△ 面积的最大值；
②若直线 与直线 = 4相交于点 ，点 在直线 = 1上，证明： + = 2 ．
19.(本小题17分)
若数列{ }： 1， 2，… ( ≥ 2)满足| +1 | = 3( = 1,2, , 1)，则数列{ }为 数列，记 ( ) =
1 + 2 + + ．
(1)写出一个满足 1 = 5 = 0，且 ( 5) = 0的 数列{ 5}；
(2)若 1 = 0， = 676，证明： 数列{ }是递增数列的充要条件是 676 = 2025．
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(3)对任意给定的整数 ( ≥ 2)，是否存在首项为0的 数列{ }，使得 ( ) = 0？如果存在，写出一个满足
条件的 数列{ }；如果不存在，请说明理由．
第 4 页，共 8 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】120
13.【答案】( + 1)2
4
+ ( 1)2 =
9
14.【答案】√ 2 + 1
15.【答案】解：(1)当 = 1时， 1 = 1 = 1；
当 ≥ 2时， =
2 2
1 = ( 1) = 2 1，
当 = 1时， 1 = 1也符合上式，所以 = 2 1；
(2)由(1)知， = 2 1，则 +1 = 2 + 1，
1 1 1 1 1
所以 = = = ( )， +1 (2 1)(2 +1) 2 2 1 2 +1
1 1 1 1 1 1
所以 = (1 + + + ) 2 3 3 5 2 1 2 +1
1 1 1 1
= (1 ) = ．
2 2 +1 2 4 +2
16.【答案】解：(1) ∵点 (2,4)在抛物线 上，∴ 42 = 2 × 2，∴ = 4，
故抛物线的方程为 2 = 8 ；
= +
(2)设 ( 1 , 1)， ( 2, 2)，联立{ 2
，
= 8
得 2 + (2 8) + 2 = 0， = (2 8)2 4 2 > 0，得 < 2，
∴ 1 + 2 = 8 2 ，
2
1 2 = ，
又 ⊥ ，则 = 1 2 + 1 2 = 0，
第 5 页，共 8 页
∴ 1 2 + 1 2 = 1 2 + ( 1 + )( 2 + ) = 2 1 2 = + ( 1 + 2)+
2 = 2 2 + (8 2 )+ 2 = 0，
∴ = 8或 = 0，经检验，当 = 0时，直线过坐标原点，不合题意，
又 = 8 < 2，
综上： 的值为 8．
1
17.【答案】解：二项式为：(2 + ) ，

1 1
(1)若选①，易知2 = 64，则 = 6，此时(2 + )6的常数项为 36 ( )
3(2 )3 = 160；

1
若选②，令 = 1，则(2+ ) = 3 = 729，
1
1 1
则 = 6，此时(2 + )6的常数项为 3( )36 (2 )
3 = 160；

1 1
若选③，易知 2 = 15，则 = 6，此时(2 + )
6的常数项为 3 3 3
6
( ) (2 ) = 160；

(2)由上可知不论选①②③，都有 = 6，
1
则问题为求(1 + 2)(2 + )6展开式中 2的系数，

1 1
所以(1 + 2)(2 + )6展开式中含 2的项为： 2 26 ( ) (2 )
4 = 240 2，和160 2，

而240 2 + 160 2 = 400 2，所以其系数为400．
1
18.【答案】解：(1)因为椭圆 的离心率为 ，且过点 ( 2,0)，
2
1
=
{ 2所以 = 2 ，
2 = 2 + 2
= 2
解得{ = √ 3，
= 1
2 2
则椭圆的标准方程为 + = 1．
4 3
(2)①设直线 的方程为 = + 1， ( 1 , 1)， ( 2, 2)，
= +1
联立{ 2 2 2 2 ，消去 并整理得(3 + 4) + 6 9 = 0，
+ = 1
4 3
此时 > 0，
6 9
由韦达定理得 1 + 2 = 2 , 1 = 3 +4 2 3 2
，
+4
1 3
△ = △ + △ = × 3|
2
2 1
2| = √ ( + ) 4 2 1 2 1 2
第 6 页，共 8 页
3 36 2 36 18√ 2+1
= √ + = ，
2 (3 2+4) 3 2+4 3 2 +4
令 0 = √ 2 +1, 0 ≥ 1，
18 18
此时 0△ = 2 = ， 3 0+1
1
3 0+ 0
1
易知函数 = 3 0 + 在[1,+∞)上单调递增， 0
9
所以当 = 0，即 0 = 1时， △ 取得最大值，最大值为 ； 2
3
②证明：由①知 (4, )，

设 (1, )，
( )(1 2)+( )(1 2)
则 + =
1 + 2 = 1 2
1 1 1 2 (1 1)(1 2)
6 9
( 1)( 2)+( )( ) ( + )+2
( )+2( )
= 2 1 = 1 2 1 2
2
= 3 +4 3
2+4
( 1)( 2)
9
1 2 (
3 2
)
+4
3
2 6
= = 2 = 2 ． 3 3
故 + = 2 ．
19.【答案】解：(1)数列{ }： 1， 2，… ( ≥ 2)满足| +1 | = 3( = 1,2, , 1)，
则数列{ }为 数列， ( ) = 1 + 2 + + ．
1 = 5 = 0，且 ( 5) = 0，
∴ 0，3，0， 3，0是一个满足条件的 数列 5．
(2)必要性：∵ 数列 是递增数列，
∴ +1 = 3( = 1,2, ,675)，
∴ 是首项为0，公差为3的等差数列．
∴ 676 = 0 + (676 1) × 3 = 2025，
充分性：∵ | +1 | = 3( = 1,2, , 1)，
∴ 676 675 ≤ 3， 675 674 ≤ 1，……， 2 1 ≤ 3，
∴ 676 1 ≤ 2025，即 676 ≤ 1 + 2025，当且仅当 +1 = 1( = 1,2, ,675)时，等号成立，
∵ 1 = 0， 676 = 2025，
∴ 676 = 1 +2025，
∴ +1 = 1 > 0( = 1,2, ,675)，即 是递增数列．
综上所述， 数列{ }是递增数列的充要条件是 676 = 2025．
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(3)设 = +1 ( = 1,2, , 1)，则 = ±3，
∵ 2 = 1 + 1， 3 = 1 + 1 + 2，……， = 1 + 1 + 2 + + 1，
∴ ( )= 1 + ( 1) 1 + ( 2) 2 + ( 3) 3 + +
= ( 1) + ( 2) + +1 [(1 1)( 1)+ (1 2)( 2) + + (1 1)]
( 1)
= [(1 1)( 1) + (1 2)( 2)+ + (1 2 1)]，
∵ = ±3，∴ 1 为偶数( = 1,2, , 1)，
∴ (1 1)( 1) + (1 2)( 2) + + (1 1)为偶数，
( 1)
∴要使 ( )= 0，必须使 为偶数， 2
即4整除 ( 1)，即 = 4 或 = 4 + 1( ∈ )，
当 = 4 ( ∈ )时， 数列 的项满足 4 +1 = 4 1 = 0， 4 2 = 3， 4 = 3( = 1,2, , 1)，
此时，有 1 = 0且 ( ) = 0成立，
当 = 4 + 1( ∈ )时， 数列 的项满足 4 +1 = 4 1 = 0， 4 2 = 3，
4 = 3( = 1,2, , 1)， 4 +1 = 0时，亦有 1 = 0且 ( ) = 0成立，
当 = 4 + 2或 = 4 + 3( ∈ )时， ( 1)不能被4整除，
此时不存在数列 ，使得 1 = 0且 ( )= 0成立．
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