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吉林省四平实验中学 2024-2025 学年高一下学期期初数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
1.已知全集 = ，集合 = { 1,0,1,2,3}， = { | < 2}，则图中阴影部分表

示的集合为( )
A. {0} B. { 1,0} C. {1,2,3} D. { 1,0,1,2}
2.已知角 的终边上有一点 ( , 2 )， ≠ 0，则 的值是( )
√ 5 2√ 5 √ 5 1
A. B. C. ± D.
5 5 5 2
3.函数 ( ) = √ 1 2 + 2(3 + 2 )的定义域是( )
3 3 1 3 1 3 1
A. ( , +∞) B. ( , ) C. ( , ] D. [ , ]
2 2 2 2 2 2 2
4.“角 为第二象限角”是“ < 0”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5.函数 ( ) = 的图象大致为( ) +
A. B.
C. D.
6.已知 = 20250.1， = log20252024， = log0.12025，则( )
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A. > > B. > > C. > > D. > >
7.函数 ( ) = √ √ 3cos( )的零点的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
( ) ( )
8.已知 ( )为 上的奇函数， (2) = 2，若 1， 2 ∈ (0, +∞)且 > ，都有
1 1 2 2
1 2 > 0，则不等式 1 2
( 2) ( 2) < 4的解集为( )
A. ( ∞, 0) ∪ (4, +∞) B. ( ∞, 0)
C. (4, +∞) D. (0,4)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
1 1
9.若 < < 0，则下列不等式正确的是( )

A. | | > | | B. < C. + < D. 3 > 3

10.已知函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < )的部分图象
2
如图所示，则( )
A. = 2
B. = 2

C. 函数 ( )的对称轴方程为 = + ( ∈ )
12

D. 将 ( )的图象向左平移 个单位长度得到一个偶函数的图象
12
11.已知函数 ( )的定义域为 ，对任意 ， ∈ ，都有 ( ) ( ) = ( + )，当 > 0时，0 < ( ) < 1，
且 (0) ≠ 0，则( )
1
A. ∈ ，都有 ( ) =
( )
B. 当 < 0时， ( ) > 1
C. ( )是减函数
1 (5 ) 3
D. 若 (3) = ，则不等式 (2 2) > 的解集为( , 4)
2 16 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。

12.函数 = (2 + )的定义域是 ．
3
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2
13.已知函数 ( ) = +2 3的图象经过点(0,8)，则函数 ( )的单调递增区间是______．
3
14.已知sin( + ) = ，0 < < ，则cos(2 + )的值为______．
4 5 4
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合 = { | 2 4 + 3 < 0}， = { |2 < < 1 }．
(1)当 = 1时，求：① ∪ ；② ∩ ( )；
(2)若 ，求实数 的取值范围．
16.(本小题15分)

已知函数 ( ) = sin(2 ) + 2 2 1( > 0)．
6
(1)若 = 1，求函数 ( )的单调增区间；
3
(2)若函数 ( )图象的相邻两对称轴之间的距离为 ，求函数 ( )在[0, ]上的值域．
16 8
17.(本小题15分)
1
已知 是自然对数的底数， ( ) = + ．

(1)判断函数 ( )在[0, +∞)上的单调性并证明；
(2)解不等式 (2 ) ≥ ( + 1)．
18.(本小题17分)
正值安顺市创建全国文明城市之际，某单位积极倡导“环保生活，低碳出行”，其中电动汽车正成为人们
购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速60 / .经多次测试得到该汽车
每小时耗电量 (单位： )与速度 (单位： / )的数据如表所示：
0 20 30 40
0 2400 3375 4400
1
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： ( ) = 3 + 2 +
40
2
， ( ) = 1000( ) + ， ( ) = 300 + ． 3
(1)当0 ≤ ≤ 60时，请选出你认为最符合表格所列数据的函数模型，并求出相应的函数解析式；
(2)现有一辆该型号汽车从 地驶到 地，前一段是40 的国道，后一段是50 的高速路，若已知高速路上
该汽车每小时耗电量 (单位： )与速度 (单位： / )的关系是： ( ) = 2 60 + 6400(60 < ≤ 120)，
则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？
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19.(本小题17分)
设函数 ( )的定义域为 ，若存在 ∈ ，使得 ( ) = 成立，则称 为 ( )的一个“准不动点”.已知函数
( ) = (4 2 +11 + 2)．
2
(1)若 = 1，求 ( )的准不动点；
(2)若 0为 ( )的一个“准不动点”，且 0 ∈ [1,2]，求实数 的取值范围；
(3)设函数 ( ) = 2 ，若 1 ∈ [0,1]， 2 ∈ [0,1]，使得| ( 1) + ( 2)| ≤ 1成立，求实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】

12.【答案】{ | ≠ + , ∈ }
2 12
13.【答案】( ∞, 1)
17√ 2
14.【答案】
50
15.【答案】解：(1)因为方程 2 4 + 3 = 0的根为1和3，
所以不等式 2 4 + 3 < 0的解为1 < < 3，
所以 = { |1 < < 3}，
当 = 1时，所以 = { | 2 < < 2}，
所以 ∪ = { | 2 < < 3}，
又 = { | ≤ 2或 ≥ 2}，
所以 ∩ ( ) = { |2 ≤ < 3}；
(2)由(1)可知 = { |1 < < 3}，
2 < 1
因为 ，所以{2 ≤ 1 ，解得 ≤ 2，
1 ≥ 3
所以实数 的取值范围是( ∞, 2]．
√ 3 1
16.【答案】解：(1) ( ) = sin(2 ) + 2 2 1 = 2 2 + 2
6 2 2
√ 3 1
= 2 + 2 = sin(2 + )．
2 2 6
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当 = 1时， ( ) = sin(2 + )，
6

令 + 2 ≤ 2 + ≤ + 2 ， ∈
2 6 2

可得 + ≤ ≤ + ， ∈ ．
3 6

∴函数 ( )的单调增区间为[ + , + ]， ∈ ；
3 6
3 3
(2)由函数 ( )图象的相邻两对称轴之间的距离为 ，得 = ，
16 8
8 16
即可知 = ，则 ( ) = sin( + )，
3 3 6
16 5 1
由 ∈ [0, ]得， + ∈ [ , ]，则 ( ) ∈ [ , 1].
8 3 6 6 6 2
17.【答案】解：(1)函数 ( )在[0, +∞)上单调递增，
证明如下：
任取 1， 2 ∈ [0, +∞)，且 1 < 2，
1 1
则 ( 1) ( ) = (
1
2 + ) (
2 + )
1 2
1 1
= ( 1 2) + ( ) 1 2
1= ( 1 2)(1 )， 1 2
因为 1， 2 ∈ [0, +∞)，且 1 < 2，
所以 2 > 1 ≥ 1，
1
所以 1 2 < 0， 1 2 > 1，1 > 0， 1 2
故 ( 1) ( 2) < 0，
即 ( 1) < ( 2)，
所以 ( )在[0, +∞)上单调递增．
1 1 1
(2)函数 ( ) = + 的定义域为 ，且 ( ) =
+ = + = ( )，

所以 ( )是偶函数，
又由(1)知 ( )在[0, +∞)上单调递增，
则 ( )在( ∞, 0)上单调递减，
所以 (2 ) ≥ ( + 1) (|2 |) ≥ (| + 1|) |2 | ≥ | + 1|，
两边平方可得3 2 2 1 ≥ 0，
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1
解得 ≥ 1或 ≤ ，
3
1
故不等式 (2 ) ≥ ( + 1)的解集为{ | ≥ 1 或 ≤ }．
3
18.【答案】解：(1)为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，
1 2
现有以下三种函数模型供选择： ( ) = 3 + 2 + ， ( ) = 1000( ) + ， ( ) = 300 + ， 40 3
对于 ( ) = 300 + ，当 = 0时，它无意义，所以不合题意，
2 2
对于 ( ) = 1000( ) + ，易知 ( ) = 1000( ) + 是减函数，由图表知， 随着 的增大而增大，所以
3 3
不合题意，
1
1 × 20
3 + × 202 + × 20 = 2400
所以选 ( ) = 3 + 2 + ，由表中数据可得{40 ，
40 1 × 403 + × 402 + × 40 = 4400
40
1
解得 = 150， = 2，所以当0 ≤ ≤ 60时，相应的函数解析式为 ( ) = 3 2 2 + 150 ；
40
(2)若已知高速路上该汽车每小时耗电量 (单位： )与速度 (单位： / )的关系是： ( ) = 2 60 +
6400(60 < ≤ 120)，
40
国道路段长为40 ，所用时间为 ，

40 40
所耗电量为 ( ) = ( ) = (0.025 3 2 2 + 150 ) = 2 80 + 6000 = ( 40)2 + 4400，

因为0 ≤ ≤ 60，当 = 40时， ( ) = 4400 ；
50
高速路段长为50 ，所用时间为 ，

50 50 6400 6400
所耗电量为 ( ) = ( ) = ( 2 60 + 6400) = 50 × ( + 60) ≥ 50 × (2√ 60) =

5000，
6400
当且仅当 = 即 = 80时等号成立，

所以 ( ) = (80) = 5000 ；
故当这辆车在国道上的行驶速度为40 / ，在高速路上的行驶速度为80 / 时，
该车从 地到 地的总耗电量最少，最少为4400 + 5000 = 9400 ．
19.【答案】解：(1)当 = 1时，由 ( ) = 可得，4 2 +1 + 2 = 2 ，
令 = 2 ，则 2 3 + 2 = 0，解得 = 1或 = 2，
即2 = 1或2 = 2，
解得 = 0或 = 1，
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∴ ( )的不动点为0或1；
(2)由 ( ) = 可得， +11(4 2 + 2) = ，
2
1即4 2 +1 + 2 = ( ) = 2 在[1,2]上有解，
2
令 = 2 ，
由 ∈ [1,2]可得 ∈ [2,4]，
则 2 2 + 2 = 在[2,4]上有解，
2 +2 2
故2 = = + 1，

2
当 ∈ [2,4]时， = + 1在[2,4]上单调递增，

7 7
∴ ∈ [2, ]，2 ≤ 2 ≤ ，
2 2
7
解得1 ≤ ≤ ，
4
7
∴ 的取值范围[1, ]；
4
(3)由| ( 1) + ( 2)| ≤ 1可得， 1 ≤ ( 1) + ( 2) ≤ 1，
即 1 ( 2) ≤ ( 1) ≤ ( 2) + 1，
则 1 ( 2) ≤ ( 1) ≤ ( 2) + 1，
又由指数函数的性质可知 ( )在[0,1]上单调递增，
∴ ( 2) = (1) = 2， ( 2) = (0) = 1，
则 3 ≤ ( +11) ≤ 0，即1 ≤ 4 2 + 2 ≤ 8，
令 = 2 ， ∈ [0,1]，则 ∈ [1,2]，从而1 ≤ 2 2 + 2 ≤ 8，
6
2 ≥
则{ ，
1
2 ≤ +

1 6
又 2 = + ， 1 = 在[1,2]上均为增函数，
则 1 = 1， 2 = 2，
1
∴ 1 ≤ 2 ≤ 2，即 ≤ ≤ 1．
2
1
∴实数 的取值范围为：[ , 1]．
2
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