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浙江省台州市2024—-2025学年九年级上学期期末数学卷
1．（2025九上·台州期末）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义“一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”逐项判断即可．
2．（2025九上·台州期末）下列事件为随机事件的是（　　）
A．地球绕太阳转
B．自然状态下的水从低处向高处流
C．明天太阳从东方升起
D．投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A．地球绕太阳转是必然事件；
B．自然状态下的水从低处向高处流是不可能事件；
C．明天太阳从东方升起是必然事件；
D．投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上为随机事件．
故答案为：D．
【分析】根据事件的分类“必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件”逐项判断解题即可．
3．（2025九上·台州期末）二次函数的图象的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
4．（2025九上·台州期末）如图，四边形内接于，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形内接于，若，
∴的度数为
故答案为：C．
【分析】利用圆内接四边形的的对角互补解答即可．
5．（2025九上·台州期末）关于x的一元二次方程（m为常数），则该方程（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．实数根的个数与m的取值有关
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，
，
，
该方程有两个不相等的实数根．
故答案为：B．
【分析】计算得，即可得到方程根的情况解题．
6．（2025九上·台州期末）如图，与位似，位似中心为点O，，若的面积为9，则的面积为（　　）
A． B．3 C．4 D．6
【答案】C
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：与位似，
，
，的面积为9，
，
解得．
故答案为：C．
【分析】利用位似图形的面积比等于位似比的平方解答即可．
7．（2025九上·台州期末）在中，，，，以点C为圆心，r为半径作．若点A在内，且点B在外，则r可能为（　　）
A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm
【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：点A在内，
，
点B在外，
，
，
只有符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用点和圆的位置关系，可以得到，再逐项判断即可．
8．（2025九上·台州期末）某次乒乓球比赛采取单循环赛制（每两球队之间都赛一场），共安排了28场比赛，求这次比赛共有几支球队参加？设共有x支球队参加比赛，可列方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
9．（2025九上·台州期末）二次函数自变量x与函数值y的对应关系如下表，下列说法正确的是（　　）
0 1 2 4
2 4.5 5 0
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：设二次函数解析式为
根据题意得，
解得
∴
∴
∴．
故答案为：C．
【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式，配方成顶点式求出对称轴即可解题．
10．（2025九上·台州期末）如图，在中，，，，矩形的一边在上，其余两个顶点分别在边，上．设，，当长度变化时，下列代数式的值为定值的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；求正切值
【解析】【解答】解∵四边形是矩形，
∴，
如图所示，过点作于点，
∵在中，，，，
设，则
在中，，
在中，，
∴
∴
解得：
∴，
∴
∴，
∴，
又∵
∴
∴
故答案为：D．
【分析】过点作于点，利用勾股定理求出长，然后利用正切的定义可以得到，，再利用矩形的性质得到，求出的关系解答即可．
11．（2025九上·台州期末）做“任意抛掷一个纸杯”的重复试验，获得如下数据：
抛掷总次数 50 100 500 800 1500 3000 5000
杯口朝上频数 5 15 100 168 330 660 1100
杯口朝上频率 0.10 0.15 0.20 0.21 0.22 0.22 0.22
估计任意抛掷一个纸杯的杯口朝上的概率为　 　．
【答案】0.22
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据表格数据，纸杯的杯口朝上的频率稳定在0.22左右，
故任意抛掷一只纸杯的杯口朝上的概率为0.22，
故答案为：0.22．
【分析】利用通过大量重复实验，某事件发生的频率稳定的常数即为概率解题即可．
12．（2025九上·台州期末）某二次函数的部分图象和对称轴如图所示，则该图象与x轴负半轴交点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：依题意，二次函数图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线
∴该图象与x轴负半轴交点的坐标为，
故答案为：．
【分析】利用抛物线对称性得到与x轴负半轴交点的坐标即可．
13．（2025九上·台州期末）如图，直线，交于点，，若，，，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：，，
，
∵，
∴，
，
故答案为：．
【分析】利用平行得到到，然后根据相似三角形的对应边成比例解题即可．
14．（2025九上·台州期末）如图，在中，，，，将绕点按顺时针旋转得到，连接，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点，交于点，连接，则，
在中，，，，
∴，则
∴
∵在中，，，将绕点按顺时针旋转得到
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，则，
又∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∴是等边三角形，则，
又∵，
∴是的中点，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，
∴
故答案为：．
【分析】过点作于点，交于点，连接，即有，然后利用含30度角的直角三角形的性质得到，再利用旋转可得，，，即可得到形、是菱形，是等边三角形，最后利用解题即可．
15．（2025九上·台州期末）关于x的一元二次方程的两根分别为，，且，若，则　 　．
【答案】或
【知识点】解二元一次方程组；一元二次方程的根
【解析】【解答】∵，
∴为方程的一个根，
∵一元二次方程的两根分别为，，且，
∴方程的另一个根为2或者
当方程的两根分别为，2时，得
得，
∴
当方程的两根分别为，时，得
得，即
∴
故答案为：或．
【分析】先得到是方程的一个根，即可得到方程的另一个根，然后解关于a，b的二元一次方程组，再求比值即可．
16．（2025九上·台州期末）如图，以弦为直角边作等腰直角，，且点，，按顺时针排列，的垂直平分线交于点，连接，．若的半径为，则当弦长度变化时，面积的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数的最值；圆的相关概念
【解析】【解答】解：如图所示，设交于点，
设，
∵是等腰直角三角形，垂直平分，则，
∴
∴当且为直径时，面积的最大值为
故答案为：．
【分析】设交于点，则有，利用三角形的面积公式得到，然后利用二次函数的性质得到最值即可．
17．（2025九上·台州期末）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
解得，
（2）解：
解得，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据直接开方法解方程即可；
（2）运用配方法解方程即可．
（1）
解得，；
（2）
解得，．
18．（2025九上·台州期末）如图，在的方格网中，所有标出的点均为格点，请按要求作图．
（1）如图1，作出关于点O对称的；
（2）如图2，旋转得到，标出旋转中心点P．
【答案】（1）解：如图，就是所求作的三角形；
（2）解：如图，点P就是所求作的点．
【知识点】作图﹣旋转；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）作点A关于O点的对称点D，连结，，则就是所求作的三角形；
（2）分别作，的垂直平分线交于点P，点P就是所求作的点．
（1）解：如图，就是所求作的三角形；
（2）解：如图，点P就是所求作的点．
19．（2025九上·台州期末）某校举办“数学微说题”比赛，提供A、B、C三题由参赛选手抽签决定比赛内容．比赛前将正面写有A、B、C的三张完全相同的卡片背面朝上洗匀，由选手抽取卡片确定比赛内容．小明从三张卡片中随机抽取一张，记下字母后放回洗匀，小亮再随机抽取一张，记下字母．
（1）求小明抽到B卡片的概率；
（2）用列表或画树状图的方法求出小明和小亮恰好抽到同一题的概率．
【答案】（1）解：∵共有三张完全相同的卡片，小明从三张卡片中随机抽取一张，
∴小明抽到B卡片的概率为；

（2）解：用树状图法表示所有等可能出现的结果如下：
共有9种等可能出现的结果，其中小明和小亮恰好抽到同一题的有3种，
所以小明和小亮恰好抽到同一题的概率为．

【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）运用概率公式解题；
（2）用树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的的结果数，再利用概率公式解题．
（1）解：∵共有三张完全相同的卡片，小明从三张卡片中随机抽取一张，
∴小明抽到B卡片的概率为；
（2）解：用树状图法表示所有等可能出现的结果如下：
共有9种等可能出现的结果，其中小明和小亮恰好抽到同一题的有3种，
所以小明和小亮恰好抽到同一题的概率为．
20．（2025九上·台州期末）如图，在四边形中，，，点在上，．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，，∴，即，
∴，
在中，
在中，
在中，．
【知识点】勾股定理；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
21．（2025九上·台州期末）经市场调查发现，某商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，该商品的售价x（元/件），周销售量y（件），周销售利润w（元）三者对应值如下表：
售价x（元/件） 30 40 60 80
周销售量y（件） 210 120 60
周销售利润w（元） 2100 4800 3600
（1）________，________；
（2）因该商品原材料上涨，进价提高了6元/件，商场为稳定销量，规定该商品售价x不得超过60，求进价提高后周销售利润的最大值．
【答案】（1）180，3600
（2）根据题意得，∵
∴开口向下
∵规定该商品售价x不得超过60，
∴当时，．
∴当售价为60元时，周销售利润的最大值为4080元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）设
根据题意得，解得
∴
∴当时，；
∵该商品的进价为元/件，
∴
∴当时，；
故答案为：180，3600；
【分析】（1）根据待定系数法求函数解析式，再把代入得到a的值；再根据利润=单利润×销售量得到，把代入计算得到b的值解题；
（2）把二次函数配方成顶点式，然后得到最值即可．
（1）设
根据题意得，
解得
∴
∴当时，；
∵该商品的进价为元/件，
∴
∴当时，；
（2）根据题意得，
∵
∴开口向下
∵规定该商品售价x不得超过60，
∴当时，．
∴当售价为60元时，周销售利润的最大值为4080元．
22．（2025九上·台州期末）如图，是以的边为直径的圆，，，与交于点D．
（1）求证：是的切线；
（2）求阴影部分面积．
【答案】（1）证明：∵，∴
∴
∵是以的边为直径的圆，
∴是的切线；
（2）解：如图所示，连接
∵，
∴
∴
∵
∴阴影部分面积．

【知识点】圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）利用等等腰三角形的性质可得，即可得到证明即可；
（2）连接，得到，，再利用阴影部分的面积解题即可．
（1）∵，
∴
∴
∵是以的边为直径的圆，
∴是的切线；
（2）如图所示，连接
∵，
∴
∴
∵
∴阴影部分面积．
23．（2025九上·台州期末）已知二次函数，其中a为常数．
（1）求证：点在二次函数图象上；
（2）当a为何值时，二次函数图象与x轴只有一个交点；
（3）当时，y的最小值为1，求a值．
【答案】（1）证明：将代入，
∴点在二次函数图象上；
（2）解：∵二次函数图象与x轴只有一个交点
∴判别式
∴解得或；

（3）解：二次函数的对称轴为当时，即，此时在对称轴的右侧，
又∵，图象开口向上
∴当时，随的增大而增大，
当时，最小，即；
当时，即，此时对称轴在之间
当时，最小，即
解得或（舍去）；
当时，即，此时对称轴在的右边
当时，最小，即，
解得，不符合题意，舍去；
综上，a值为1或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）把代入二次函数解析式求出y值判断即可；
（2）根据根的判别式得到关于a的一元二次方程，解方程即可求出a的值；
（3）分对称轴在左边，之间以及右边三种情况，根据最值列方程解题即可．
（1）解：将代入，
∴点在二次函数图象上；
（2）∵二次函数图象与x轴只有一个交点
∴判别式
∴解得或；
（3）解：二次函数的对称轴为
当时，即，此时在对称轴的右侧，
又∵，图象开口向上
∴当时，随的增大而增大，
当时，最小，即；
当时，即，此时对称轴在之间
当时，最小，即
解得或（舍去）；
当时，即，此时对称轴在的右边
当时，最小，即，
解得，不符合题意，舍去；
综上，a值为1或．
24．（2025九上·台州期末）如图1，点A，B在半径为2的上，，，垂足为．绕点C顺时针旋转，分别交于点M，N（均位于直线AB上方），连接MN．
（1）________；
（2）如图2，当时，求的值；
（3）如图3，当时，求的长度；
（4）如图4，当时，请直接写出的长度．
【答案】（1）1
（2）解：中，由（1）得，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，
∴，
∴；

（3）解：在图3中，连接，，延长交于H，
∵，，
∴垂直平分，即，，
设，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，则，
在中，，，
由勾股定理得，即，
解得，（负值舍去），
∴；

（4）解：在图4中，连接，，过作交延长线于H，过M作于G，则，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
设，
在中，，，
由勾股定理得，即，
解得，（负值舍去），
∴，则；
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
设，
在中，，，
由勾股定理得，即，
解得，（负值舍去），
∴，则，
在中，，
∴．

【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；圆与三角形的综合
【解析】【解答】（1）解：在图1中，∵，
∴，
∵，
∴，又，
∴在中，，
故答案为：1；
【分析】（1）先求出∠OAC=30°，然后根据30度角所对的直角边等于斜边的一半解题；
（2）先推导，即可得到，再根据勾股定理求得长，求比值即可；
（3）连接，，延长交于H，可得垂直平分，设，在中，根据勾股定理求得x的值，进而求出MN的长即可；
（4）连接，，过作交延长线于H，过M作于G，即可得到，分别得到、是等腰直角三角形，即可得到，，，，再根据勾股定理求出CN、CM的值，进而求出长．
（1）解：在图1中，∵，
∴，
∵，
∴，又，
∴在中，，
故答案为：1；
（2）解：在图2，中，由（1）得，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（3）解：在图3中，连接，，延长交于H，
∵，，
∴垂直平分，即，，
设，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，则，
在中，，，
由勾股定理得，即，
解得，（负值舍去），
∴；
（4）解：在图4中，连接，，过作交延长线于H，过M作于G，则，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
设，
在中，，，
由勾股定理得，即，
解得，（负值舍去），
∴，则；
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
设，
在中，，，
由勾股定理得，即，
解得，（负值舍去），
∴，则，
在中，，
∴．
1 / 1浙江省台州市2024—-2025学年九年级上学期期末数学卷
1．（2025九上·台州期末）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025九上·台州期末）下列事件为随机事件的是（　　）
A．地球绕太阳转
B．自然状态下的水从低处向高处流
C．明天太阳从东方升起
D．投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
3．（2025九上·台州期末）二次函数的图象的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九上·台州期末）如图，四边形内接于，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九上·台州期末）关于x的一元二次方程（m为常数），则该方程（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．实数根的个数与m的取值有关
6．（2025九上·台州期末）如图，与位似，位似中心为点O，，若的面积为9，则的面积为（　　）
A． B．3 C．4 D．6
7．（2025九上·台州期末）在中，，，，以点C为圆心，r为半径作．若点A在内，且点B在外，则r可能为（　　）
A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm
8．（2025九上·台州期末）某次乒乓球比赛采取单循环赛制（每两球队之间都赛一场），共安排了28场比赛，求这次比赛共有几支球队参加？设共有x支球队参加比赛，可列方程为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025九上·台州期末）二次函数自变量x与函数值y的对应关系如下表，下列说法正确的是（　　）
0 1 2 4
2 4.5 5 0
A． B．
C． D．
10．（2025九上·台州期末）如图，在中，，，，矩形的一边在上，其余两个顶点分别在边，上．设，，当长度变化时，下列代数式的值为定值的是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025九上·台州期末）做“任意抛掷一个纸杯”的重复试验，获得如下数据：
抛掷总次数 50 100 500 800 1500 3000 5000
杯口朝上频数 5 15 100 168 330 660 1100
杯口朝上频率 0.10 0.15 0.20 0.21 0.22 0.22 0.22
估计任意抛掷一个纸杯的杯口朝上的概率为　 　．
12．（2025九上·台州期末）某二次函数的部分图象和对称轴如图所示，则该图象与x轴负半轴交点的坐标为　 　．
13．（2025九上·台州期末）如图，直线，交于点，，若，，，则的值为　 　．
14．（2025九上·台州期末）如图，在中，，，，将绕点按顺时针旋转得到，连接，则图中阴影部分的面积为　 　．
15．（2025九上·台州期末）关于x的一元二次方程的两根分别为，，且，若，则　 　．
16．（2025九上·台州期末）如图，以弦为直角边作等腰直角，，且点，，按顺时针排列，的垂直平分线交于点，连接，．若的半径为，则当弦长度变化时，面积的最大值为　 　．
17．（2025九上·台州期末）解方程：
（1）；
（2）．
18．（2025九上·台州期末）如图，在的方格网中，所有标出的点均为格点，请按要求作图．
（1）如图1，作出关于点O对称的；
（2）如图2，旋转得到，标出旋转中心点P．
19．（2025九上·台州期末）某校举办“数学微说题”比赛，提供A、B、C三题由参赛选手抽签决定比赛内容．比赛前将正面写有A、B、C的三张完全相同的卡片背面朝上洗匀，由选手抽取卡片确定比赛内容．小明从三张卡片中随机抽取一张，记下字母后放回洗匀，小亮再随机抽取一张，记下字母．
（1）求小明抽到B卡片的概率；
（2）用列表或画树状图的方法求出小明和小亮恰好抽到同一题的概率．
20．（2025九上·台州期末）如图，在四边形中，，，点在上，．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
21．（2025九上·台州期末）经市场调查发现，某商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，该商品的售价x（元/件），周销售量y（件），周销售利润w（元）三者对应值如下表：
售价x（元/件） 30 40 60 80
周销售量y（件） 210 120 60
周销售利润w（元） 2100 4800 3600
（1）________，________；
（2）因该商品原材料上涨，进价提高了6元/件，商场为稳定销量，规定该商品售价x不得超过60，求进价提高后周销售利润的最大值．
22．（2025九上·台州期末）如图，是以的边为直径的圆，，，与交于点D．
（1）求证：是的切线；
（2）求阴影部分面积．
23．（2025九上·台州期末）已知二次函数，其中a为常数．
（1）求证：点在二次函数图象上；
（2）当a为何值时，二次函数图象与x轴只有一个交点；
（3）当时，y的最小值为1，求a值．
24．（2025九上·台州期末）如图1，点A，B在半径为2的上，，，垂足为．绕点C顺时针旋转，分别交于点M，N（均位于直线AB上方），连接MN．
（1）________；
（2）如图2，当时，求的值；
（3）如图3，当时，求的长度；
（4）如图4，当时，请直接写出的长度．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义“一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”逐项判断即可．
2．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A．地球绕太阳转是必然事件；
B．自然状态下的水从低处向高处流是不可能事件；
C．明天太阳从东方升起是必然事件；
D．投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上为随机事件．
故答案为：D．
【分析】根据事件的分类“必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件”逐项判断解题即可．
3．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
4．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形内接于，若，
∴的度数为
故答案为：C．
【分析】利用圆内接四边形的的对角互补解答即可．
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，
，
，
该方程有两个不相等的实数根．
故答案为：B．
【分析】计算得，即可得到方程根的情况解题．
6．【答案】C
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：与位似，
，
，的面积为9，
，
解得．
故答案为：C．
【分析】利用位似图形的面积比等于位似比的平方解答即可．
7．【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：点A在内，
，
点B在外，
，
，
只有符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用点和圆的位置关系，可以得到，再逐项判断即可．
8．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
9．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：设二次函数解析式为
根据题意得，
解得
∴
∴
∴．
故答案为：C．
【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式，配方成顶点式求出对称轴即可解题．
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；求正切值
【解析】【解答】解∵四边形是矩形，
∴，
如图所示，过点作于点，
∵在中，，，，
设，则
在中，，
在中，，
∴
∴
解得：
∴，
∴
∴，
∴，
又∵
∴
∴
故答案为：D．
【分析】过点作于点，利用勾股定理求出长，然后利用正切的定义可以得到，，再利用矩形的性质得到，求出的关系解答即可．
11．【答案】0.22
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据表格数据，纸杯的杯口朝上的频率稳定在0.22左右，
故任意抛掷一只纸杯的杯口朝上的概率为0.22，
故答案为：0.22．
【分析】利用通过大量重复实验，某事件发生的频率稳定的常数即为概率解题即可．
12．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：依题意，二次函数图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线
∴该图象与x轴负半轴交点的坐标为，
故答案为：．
【分析】利用抛物线对称性得到与x轴负半轴交点的坐标即可．
13．【答案】
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：，，
，
∵，
∴，
，
故答案为：．
【分析】利用平行得到到，然后根据相似三角形的对应边成比例解题即可．
14．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点，交于点，连接，则，
在中，，，，
∴，则
∴
∵在中，，，将绕点按顺时针旋转得到
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，则，
又∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∴是等边三角形，则，
又∵，
∴是的中点，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，
∴
故答案为：．
【分析】过点作于点，交于点，连接，即有，然后利用含30度角的直角三角形的性质得到，再利用旋转可得，，，即可得到形、是菱形，是等边三角形，最后利用解题即可．
15．【答案】或
【知识点】解二元一次方程组；一元二次方程的根
【解析】【解答】∵，
∴为方程的一个根，
∵一元二次方程的两根分别为，，且，
∴方程的另一个根为2或者
当方程的两根分别为，2时，得
得，
∴
当方程的两根分别为，时，得
得，即
∴
故答案为：或．
【分析】先得到是方程的一个根，即可得到方程的另一个根，然后解关于a，b的二元一次方程组，再求比值即可．
16．【答案】
【知识点】二次函数的最值；圆的相关概念
【解析】【解答】解：如图所示，设交于点，
设，
∵是等腰直角三角形，垂直平分，则，
∴
∴当且为直径时，面积的最大值为
故答案为：．
【分析】设交于点，则有，利用三角形的面积公式得到，然后利用二次函数的性质得到最值即可．
17．【答案】（1）解：
解得，
（2）解：
解得，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据直接开方法解方程即可；
（2）运用配方法解方程即可．
（1）
解得，；
（2）
解得，．
18．【答案】（1）解：如图，就是所求作的三角形；
（2）解：如图，点P就是所求作的点．
【知识点】作图﹣旋转；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）作点A关于O点的对称点D，连结，，则就是所求作的三角形；
（2）分别作，的垂直平分线交于点P，点P就是所求作的点．
（1）解：如图，就是所求作的三角形；
（2）解：如图，点P就是所求作的点．
19．【答案】（1）解：∵共有三张完全相同的卡片，小明从三张卡片中随机抽取一张，
∴小明抽到B卡片的概率为；

（2）解：用树状图法表示所有等可能出现的结果如下：
共有9种等可能出现的结果，其中小明和小亮恰好抽到同一题的有3种，
所以小明和小亮恰好抽到同一题的概率为．

【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）运用概率公式解题；
（2）用树状图得到所有等可能结果，找出符合条件的的结果数，再利用概率公式解题．
（1）解：∵共有三张完全相同的卡片，小明从三张卡片中随机抽取一张，
∴小明抽到B卡片的概率为；
（2）解：用树状图法表示所有等可能出现的结果如下：
共有9种等可能出现的结果，其中小明和小亮恰好抽到同一题的有3种，
所以小明和小亮恰好抽到同一题的概率为．
20．【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，，∴，即，
∴，
在中，
在中，
在中，．
【知识点】勾股定理；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
21．【答案】（1）180，3600
（2）根据题意得，∵
∴开口向下
∵规定该商品售价x不得超过60，
∴当时，．
∴当售价为60元时，周销售利润的最大值为4080元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）设
根据题意得，解得
∴
∴当时，；
∵该商品的进价为元/件，
∴
∴当时，；
故答案为：180，3600；
【分析】（1）根据待定系数法求函数解析式，再把代入得到a的值；再根据利润=单利润×销售量得到，把代入计算得到b的值解题；
（2）把二次函数配方成顶点式，然后得到最值即可．
（1）设
根据题意得，
解得
∴
∴当时，；
∵该商品的进价为元/件，
∴
∴当时，；
（2）根据题意得，
∵
∴开口向下
∵规定该商品售价x不得超过60，
∴当时，．
∴当售价为60元时，周销售利润的最大值为4080元．
22．【答案】（1）证明：∵，∴
∴
∵是以的边为直径的圆，
∴是的切线；
（2）解：如图所示，连接
∵，
∴
∴
∵
∴阴影部分面积．

【知识点】圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）利用等等腰三角形的性质可得，即可得到证明即可；
（2）连接，得到，，再利用阴影部分的面积解题即可．
（1）∵，
∴
∴
∵是以的边为直径的圆，
∴是的切线；
（2）如图所示，连接
∵，
∴
∴
∵
∴阴影部分面积．
23．【答案】（1）证明：将代入，
∴点在二次函数图象上；
（2）解：∵二次函数图象与x轴只有一个交点
∴判别式
∴解得或；

（3）解：二次函数的对称轴为当时，即，此时在对称轴的右侧，
又∵，图象开口向上
∴当时，随的增大而增大，
当时，最小，即；
当时，即，此时对称轴在之间
当时，最小，即
解得或（舍去）；
当时，即，此时对称轴在的右边
当时，最小，即，
解得，不符合题意，舍去；
综上，a值为1或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）把代入二次函数解析式求出y值判断即可；
（2）根据根的判别式得到关于a的一元二次方程，解方程即可求出a的值；
（3）分对称轴在左边，之间以及右边三种情况，根据最值列方程解题即可．
（1）解：将代入，
∴点在二次函数图象上；
（2）∵二次函数图象与x轴只有一个交点
∴判别式
∴解得或；
（3）解：二次函数的对称轴为
当时，即，此时在对称轴的右侧，
又∵，图象开口向上
∴当时，随的增大而增大，
当时，最小，即；
当时，即，此时对称轴在之间
当时，最小，即
解得或（舍去）；
当时，即，此时对称轴在的右边
当时，最小，即，
解得，不符合题意，舍去；
综上，a值为1或．
24．【答案】（1）1
（2）解：中，由（1）得，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，
∴，
∴；

（3）解：在图3中，连接，，延长交于H，
∵，，
∴垂直平分，即，，
设，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，则，
在中，，，
由勾股定理得，即，
解得，（负值舍去），
∴；

（4）解：在图4中，连接，，过作交延长线于H，过M作于G，则，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
设，
在中，，，
由勾股定理得，即，
解得，（负值舍去），
∴，则；
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
设，
在中，，，
由勾股定理得，即，
解得，（负值舍去），
∴，则，
在中，，
∴．

【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；圆与三角形的综合
【解析】【解答】（1）解：在图1中，∵，
∴，
∵，
∴，又，
∴在中，，
故答案为：1；
【分析】（1）先求出∠OAC=30°，然后根据30度角所对的直角边等于斜边的一半解题；
（2）先推导，即可得到，再根据勾股定理求得长，求比值即可；
（3）连接，，延长交于H，可得垂直平分，设，在中，根据勾股定理求得x的值，进而求出MN的长即可；
（4）连接，，过作交延长线于H，过M作于G，即可得到，分别得到、是等腰直角三角形，即可得到，，，，再根据勾股定理求出CN、CM的值，进而求出长．
（1）解：在图1中，∵，
∴，
∵，
∴，又，
∴在中，，
故答案为：1；
（2）解：在图2，中，由（1）得，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（3）解：在图3中，连接，，延长交于H，
∵，，
∴垂直平分，即，，
设，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，则，
在中，，，
由勾股定理得，即，
解得，（负值舍去），
∴；
（4）解：在图4中，连接，，过作交延长线于H，过M作于G，则，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
设，
在中，，，
由勾股定理得，即，
解得，（负值舍去），
∴，则；
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
设，
在中，，，
由勾股定理得，即，
解得，（负值舍去），
∴，则，
在中，，
∴．
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