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云南省曲靖市会泽县 2024-2025 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | = √ 1}， = { | 1 ≤ ≤ 2}，则 ∪ =( )
A. ( 1,2] B. [ 1, 2] C. ( 1, 2) D. [ 1, +∞)
2.命题“ ∈ (1, +∞)， 2 3 + 2 > 0”的否定是( )
A. ∈ (1, +∞)， 2 3 + 2 ≤ 0 B. ∈ (1,+∞)， 2 3 + 2 ≤ 0
C. (1, +∞)， 2 3 + 2 ≤ 0 D. ∈ (1, +∞)， 2 3 + 2 > 0
3. 240°的值为( )
1 1 √ 3 √ 3
A. B. C. D.
2 2 2 2
2 24.“ = 1”是“ ( ) = ( 1) ( +2 3)为幂函数”的( )条件．
A. 充要 B. 必要不充分 C. 充分不必要 D. 既不充分也不必要
5.在古代的《扇艺奇谭》一书中有这样的描述：“有一扇面，其外弧和内弧所对圆心角依周天星辰之轨，
2
为 ，外弧长为16 厘米，内弧长为8 厘米.”则此扇面的面积为( )
3
144
A. 72 2 B. 144 2 C. 2 D. 180 2
3
6.已知函数 ( )是定义在 上的偶函数，且 ( + 2) = ( 2)，若 ∈ [0,2]时， ( ) = 2 1，则
(99) =( )
1
A. 3 B. 1 C. D. 1
2
7.设 = 3 3√ 5， + log5 = 2， = 0.5
0.2，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
| 2 |, ≤ 2
8.设函数 ( ) = { 2 ，若关于 的方程 ( ) = 有四个实根 ， ， ， ( < < < )， 8 + 14, > 2 1 2 3 4 1 2 3 4
则( 1 + 2)( 3 + 4)的取值范围为( )
A. (0,16] B. (18, +∞) C. (16,20] D. [16, +∞)
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若0 < < < 1，则下列不等式一定成立的是( )
1 1 +
A. + > 1 B. < C. 2 + 2 < 1 D. 0 < < 1
2
10.下列函数既是偶函数，又在( ∞, 0)上是减函数的是( )
1
A. = 2 B. = 4| |
C. = lg( 2 + 1) D. = ln( + √ 2 + 1)
11.设函数 ( )对任意的 ， ∈ ，都有 ( + ) + ( ) = 2 ( ) + 2 ( )，函数 ( )在[0, +∞)上单调
递增， (1) = 2，则下列选项正确的是( )
A. (2) = 8
B. = ( )是偶函数
C. 若 ( 2 ) 8 < 0，则 1 < < 2
D. 存在 0 ∈ ，使得 ( 0) < 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2
12.已知 = 2，则 =______．
sin +cos
13.已知函数 ( ) = 2 2 ，若 ( ) + ( 2 12) < 0，则实数 的取值范围是______．
1
14.已知 ( ) = 2 + + 1，且 (1) = 1， ( ) = ( )， ( ) + ( ) = ______，对于任意正整数 ，

1 1 +1
且 ≥ 2，记 ( ) = ( ) + ( ) + ( ) + (2) + + ( ) + ( )，求 (2025) = ______．
+1 2 1
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
2
已知全集 = ，集合 = { | < 0}， = { | 2 2 8 ≤ 0}， = { | + 1 < < 2 1}．
5
(1)求( ) ∩ ；
(2)若 ∩ = ，求实数 的取值范围．
16.(本小题15分)
已知函数 ( ) = log ( > 0且 ≠ 1)的图象过点(4,2)．
(1)求 的值；
(2)若 ( ) = (2 ) + (2 + )，
( )求 ( )的定义域并判断其奇偶性；
( )求 ( )的单调递减区间．
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17.(本小题15分)
在一座历史悠久、文化绚烂的古城中，有一家声名远扬的传统工艺工厂，此手工艺品蕴含着丰富的文化内
涵，制作工艺精细复杂，该厂近期接到一份制作传统手工艺品的重要订单.已知生产该手工艺品的固定成本
1
2 + 2 , 0 < ≤ 8
为8万元.每生产 万件，额外投入成本 ( )万元，且 ( ) = {2 ，这款手工艺品在市场
40
25 + 190, > 8
7
上广受欢迎，出厂单价统一为15元.但由于市场需求和工艺限制，预估市场需求量最多为20万件．
问题：
(1)当工厂生产4万件时，求工厂的利润(利润=销售收入 总成本)．
(2)要使工厂利润最大，应生产多少万件？并求出最大利润．
18.(本小题17分)

已知函数 ( ) = 2√ 3sin(2 ) + 2．
6
(1)求 ( )的最小正周期和单调递增区间；

(2)求 ( )在区间[ , ]上的最值，并求出取得最值时 的值；
6 4
2 (3)若不等式 ( ) 2 ( ) + 3 ≥ 0在区间 ∈ [ , ]上恒成立，求 的取值范围．
12 4
19.(本小题17分)
1+ 2 ( 1)+ ( )设函数 ( )定义域在区间[ , ]连续，对于[ , ]内任意两数 1，
2
2，都有 ( ) ≤ ，则称 ( )为2 2
1+ 2 ( )+ ( )[ , ]上的凹函数；若 ( ) ≥ 1 2 ，则称 ( )为[ , ]上的凸函数；若 ( )在区间[ , ]上为凸函数，
2 2
+ + + ( )+ ( )+ + ( )
则对任意的 1， 2， 3，…， ∈ [ , ]，有琴生不等式 (
1 2 ) ≥ 1 2 恒成立(当且仅

当 1 = 2 = = 时，等号成立)．
(1)证明：函数 ( ) = 在(0,+∞)上为凸函数；
(2)设 1， 2， 3，…， 8 > 0，且 1 + 2 + 3 + + 8 = 8√ 2，求 = 1 + 2 + + 8的最大值；
1 1 1
(3)设 1， 2， 3，…， 为正实数，且 1 + 2 + 3 + + = ，证明：
1 + 2 + + ≤ ( ) ．
1 2
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】1
13.【答案】( 4,3)
14.【答案】2 4050
2
15.【答案】解：(1) = { | < 0} = { |2 < < 5}， = { | 2 2 8 ≤ 0} = { | 2 ≤ ≤ 4}，
5
则 = { | ≥ 5或 ≤ 2}，
所以( ) ∩ = { | 2 ≤ ≤ 2}；
(2) = { | 2 ≤ ≤ 4}， = { | + 1 < < 2 1}，
若 ∩ = ，
当 = 时， + 1 ≥ 2 1，即 ≤ 2，
> 2
当 ≠ 时，{ ，解得 ≥ 3，
+ 1 ≥ 4 或 2 1 ≤ 2
综上， 的范围为{ | ≥ 3或 ≤ 2}．
16.【答案】解：(1)由题意可得，log 4 = 2， > 0，
所以 = 2；
(2)( ) ( ) = (2 ) + (2 + ) = log2(2 ) + log2(2 + )，
则{
2 + > 0
，解得 2 < < 2，
2 > 0
故 ( )的定义域为( 2,2)，
因为 ( ) = log2(2 + ) + log2(2 ) = ( )，
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所以 ( )为偶函数；
( )因为 ( ) = log2(2 ) + log2(2 + ) = log (4
2
2 )， 2 < < 2，
根据复合函数单调性可知， ( )的单调递减区间为[0,2)．
1
17.【答案】解：(1)当工厂生产4万件时， ( ) = × 42 + 2 × 4 = 16(万元)，利润为15 × 4 16 8 = 36(
2
万元)．
1 1
(2)设利润为 ( )当0 < ≤ 8时， ( ) = 15 2 2 8 = 2 + 13 8，
2 2
当 = 8时， ( ) = 64(万元)，
40 40 182
当 > 8时， ( ) = 15 25 + 190 8 = 10 +
7 7 40
≤
= 10( 7) +112
7
√ 40 2 10( 7) + 112 = 72，
7
40
当且仅当10( 7) = ，即 = 9时， ( ) = 72(万元)．
7
综上，要使工厂利润最大，应生产9万件，最大利润为72万元．
2
18.【答案】解：(1)由题意，函数 ( )的最小正周期 = = ，
2

令 + 2 ≤ 2 ≤ + 2 ， ∈ ，解得 + ≤ ≤ + ， ∈ ，
2 6 2 6 3

所以 ( )的单调递增区间为[ + , + ]， ∈ ．
6 3

(2)由(1)可知 ( )在区间[ , ]上单调递增，
6 4

所以当 = 时， ( )取得最小值为 ( ) = 2√ 3sin[2 × ( ) ] + 2 = 2√ 3 + 2，
6 6 6 6

当 = 时， ( )取得最大值为 ( ) = 2√ 3sin(2 × ) + 2 = 5，
4 4 4 6

(3)当 ∈ [ , ]时， ( )为增函数，
12 4

( ) = 2√ 3sin[2 × ( ) ] + 2 = 1， ( ) = 5，
12 12 6 4
所以 ( ) ∈ [ 1,5]，
令 = ( )，则 ∈ [ 1,5]，

不等式 2( ) 2 ( ) + 3 ≥ 0在区间 ∈ [ , ]上恒成立，
12 4
即 2 2 + 3 ≥ 0在区间 ∈ [ 1,5]上恒成立，
令 ( ) = 2 2 + 3 ，图象开口方向向上，对称轴为 = ，
1
当 ≤ 1时， ( )在[ 1,5]上单调递增，则 ( ) = ( 1) = 1 + 5 ≥ 0，解得 ≥ ，与 ≤ 1矛盾，5
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此时无解；
25
当 ≥ 5时， ( )在[ 1,5]上单调递减，则 ( ) = (5) = 25 7 ≥ 0，解得 ≤ ，与 ≥ 5矛盾，此7
时无解；
当 1 < < 5时， ( ) = ( ) =
2 + 3 ≥ 0，解得0 ≤ ≤ 3．
综上， 的取值范围是[0,3]．
19.【答案】解：(1)证明：由 ( ) = ，设 1， 2 ∈ (0, +∞)，
+ +
则 ( 1 2) = ln 1 2，
2 2
( 1)+ ( 2) 1+ = 2 = ln ，
2 2 √ 1 2
+
因为 1 2 ≥ √ 1 2，当且仅当 1 = 2时取等号， 2
再由 ( ) = 在(0, +∞)为增函数，
1+ 2
所以ln ≥ ln√ 2 1 2，
+ ( )+ ( )
即 ( 1 2) ≥ 1 2 ，
2 2
所以函数 ( ) = 在(0, +∞)上为凸函数；
(2)因为函数 ( ) = 在(0,+∞)上为凸函数，

则 ( 1
+ 2+ + 8 ( 1)+ ( 2)+ + (8)) ≥ ，
8 8
+ + +
也即 = 1 + 2 + + 8 ≤ 8 (
1 2 8) = 4 2，
8
当且仅当 1 = 2 = = 8 = √ 2时，等号成立，
所以 = 1 + 2 + + 8的最大值为4 2；
1
(3)构造函数 ( ) = 在(0, +∞)上为凸函数，

证明如下： 1， 2 ∈ (0, +∞)，
1+ 2 ( 1)+ ( 2)
要证 ( ) ≥ ，
2 2
2 1 1
等价于1 ≥ 1 ；
1+ 2 2 1 2 2
2 1 1
等价于 ≤ + ；
1+ 2 2 1 2 2
1 等价于4 ≤ 2 + + 2；而此式由基本不等式可知恒成立，当且仅当 1 = 2取等号， 2 1
1
故 ( ) = 在(0,+∞)上为凸函数，

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+
所以 ( 1 2
+ + ( )+ ( )+ + ( )) ≥ 1 2 ，

+
即 ( 1 2
+ 3 + ) ≥ ( 1) + ( 2) + + (
)，
又 1 + 2 + 3 + = ，

所以 ( ) ≥ ( 1) + ( 2) + + ( )，

1 1 1 2 1 1
即 × ≥ + + +
，

1
2
1 1 2 1 1 即 + + + ≤ ( ) ；
1 2
得证．
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