资源简介

　平行四边形及其性质(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1　平行四边形的性质——对角线
1. (2024·贵州中考)如图, ABCD的对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是 (B)
A.AB=BC B.AD=BC
C.OA=OB D.AC⊥BD
2.在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=6,BD=12,则边AD的长度x的取值范围是 (B)
A.2C.13.如图,在 ABCD中,AD=5,对角线AC与BD相交于点O,AC+BD=12,则△BOC的周长为(B)
A.10 B.11 C.12 D.14
4.如图,在 ABCD中,AC,BD相交于点O,若△BOC的面积为3,则 ABCD的面积为　12　.
5.(2024·聊城模拟)如图,平行四边形ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,E,G分别是OA,OC的中点,过点O作任一条直线交AD于点H,交BC于点F,
求证:(1)OH=OF;
【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,OA=OC,OD=OB,
∴∠ADO=∠CBO,∠DHO=∠BFO,
且OD=OB,
∴△DHO≌△BFO(AAS),
∴OH=OF;
(2)HG=FE.
【证明】(2)∵E,G分别是OA,OC的中点,且OA=OC,
∴OG=OE,且OH=OF,
∵∠GOH=∠EOF,
∴△GOH≌△EOF(SAS),∴HG=FE.
知识点2　平行四边形性质的综合运用
6.(2024·菏泽模拟)平行四边形ABCD的周长为32,5AB=3BC,则对角线AC的取值范围为 (D)
A.6C.107. (2024·潍坊寒亭区期末)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,EF经过点O,交AD于点E,交BC于点F.若四边形ABFE周长为12,EO=2,则AB+BC=　8　.
8.(2023·济南中考)已知:如图,点O为 ABCD对角线AC的中点,过点O的直线与AD,BC分别相交于点E,F.求证:DE=BF.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∴∠EAO=∠FCO,∠OEA=∠OFC.
∵点O为对角线AC的中点,
∴AO=CO,
在△AOE和△COF中,
,
∴△AOE≌△COF(AAS),
∴AE=CF,
∴AD-AE=BC-CF,∴DE=BF.
【B层 能力进阶】
9.如图,在 ABCD中,AC,BD相交于点O,过点O作直线EF分别交AD,BC于点E,F,那么图中全等的三角形共有 (C)
A.2对 B.4对 C.6对 D.8对
10.(2024·聊城临清期末)如图,在 ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.若AE=4,AF=6,且 ABCD的周长为40,则 ABCD的面积为 (D)
A.24 B.36 C.40 D.48
11.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E是边CD上一点,且BC=EC,CF⊥BE交AB于点F,P是EB延长线上一点,下列结论:①BE平分∠CBF;②CF平分∠DCB;③BC=FB;④PF=PC.其中正确结论的个数为 (D)
A.1 B.2 C.3 D.4
12.(2024·菏泽期末)如图,在平行四边形纸片ABCD中,AB⊥AC,AB=6,将纸片沿对角线AC对折,BC边与AD边交于点E,点B的对应点为点F,此时△CDE恰为等腰直角三角形.则重叠部分△AEC的面积是　9　.
13.如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC,∠BCD的平分线交于P,且分别与AD交于E,F,
(1)求证:△BPC为直角三角形;
【解析】(1)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°,
∵∠ABC,∠BCD的平分线交于P,
∴∠PBC=∠ABC,∠BCP=∠BCD,
∴∠PBC+∠BCP=(∠ABC+∠BCD)=90°,
∴∠BPC=90°,即△BPC为直角三角形;
(2)若BC=16,CD=3,求EF的长.
【解析】(2)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥CB,
∴∠CBE=∠BEA,∠BCF=∠CFD,
∴∠ABE=∠BEA,∠DCF=∠CFD,
∴AB=AE=3,CD=DF=3,
∵AD=BC=16,EF=AD-AE-DF,
∴EF=10.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(2024·聊城质检)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=1,AB=2,BC=3,P为AB边上的一动点,以PD,PC为边作平行四边形PCQD,求对角线PQ的长的最小值.
【解析】过点Q作QH⊥BC,交BC的延长线于点H,如图,
∵AD∥BC,∴∠ADC=∠DCH,即∠ADP+∠PDC=∠DCQ+∠QCH,
∵PD∥CQ,∴∠PDC=∠DCQ,
∴∠ADP=∠QCH,
又∵PD=CQ,∠A=∠CHQ=90°,
∴△ADP≌△HCQ(AAS),∴AD=HC,
∵AD=1,BC=3,∴BH=4,
∴当PQ⊥AB时,PQ的长最小,即为4.　平行四边形及其性质(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1　平行四边形的性质——边
1.如图,在 ABCD中,AD=5,AB=3,AE平分∠BAD交BC边于点E,则线段BE,EC的长度分别为 ( )
A.1和4 B.4和1
C.2和3 D.3和2
2.在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的顶点A,B,C的坐标分别是(0,0),(5,0),(2,3),则顶点D的坐标是 ( )
A.(-3,3) B.(3,-3)　 C.(7,3)　 D.(-5,3)
3.(2024·广州中考)如图, ABCD中,BC=2,点E在DA的延长线上,BE=3,若BA平分∠EBC,则DE= .
4.如图,在平行四边形ABCD中,∠ABD的平分线BE交AD于点E,∠CDB的平分线DF交BC于点F.求证:AE=CF.
知识点2　平行四边形的性质——角
5.如图所示,在 ABCD中,∠C=120°,延长BA至点E,延长DA至点F,连接EF,则∠E+∠F的度数为 ( )
A.120° B.30° C.50° D.60°
6.在 ABCD中,它的四个内角按一定顺序的度数比可能为 ( )
A.3∶4∶5∶6 B.4∶5∶4∶5
C.2∶3∶3∶2 D.2∶4∶3∶3
7.如图 ABCD,点M是边AD上的一点,且BM平分∠ABC,MN⊥CD于点N,若∠DMN=30°,则∠BMN的度数为 .
8.如图,在 ABCD中,DB=DC,∠A=65°,CE⊥BD于E,则∠BCE= .
9.(2022·烟台中考)如图,在 ABCD中,DF平分∠ADC,交AB于点F,BE∥DF,交AD的延长线于点E.若∠A=40°,求∠ABE的度数.
【B层 能力进阶】
10.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E,B,D,F在同一条直线上,请添加一个条件使得△ABE≌△CDF,下列不正确的是 ( )
A.AE=CF
B.∠AEB=∠CFD
C.∠EAB=∠FCD
D.BE=DF
11.如图,在平行四边形纸片ABCD中,AB=3 cm,将纸片沿对角线AC对折,BC边与AD边交于点E,若△CDE恰为等边三角形,则AD的长度是 ( )
A.6 cm B.6 cm
C.8 cm D.10 cm
12.(2024·眉山中考)如图,在 ABCD中,点O是BD的中点,EF过点O,下列结论:①AB∥DC;②EO=ED;③∠A=∠C;④S四边形ABOE=S四边形C DOF,其中正确结论的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
13.(2024·盐城期中)若E是 ABCD内任意一点, ABCD的面积是6,则阴影部分的面积是 .
14. (2023·兰州中考)如图,在 ABCD中,BD=CD,AE⊥BD于点E,若∠C=70°,则∠BAE= °.
15.如图,在平行四边形ABCD中,点H是边AB上一点,连接CH.作∠ADC的平分线DF,分别交CH,BC及AB的延长线于G,E,F.
(1)如果AB=2,AD=3,那么AF= ,BE= ;
(2)若点G恰好是线段CH的中点,求证:BF=AH.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(教材拓展题)(2024·潍坊寿光质检)如图,平行四边形ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于点E,且AB=AE,延长AB与DE的延长线交于点F.
求证:(1)△ABE是等边三角形;
(2)△BAC≌△AED;
(3)S△ABE=S△CEF.　平行四边形及其性质(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1　平行四边形的性质——对角线
1. (2024·贵州中考)如图, ABCD的对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是 ( )
A.AB=BC B.AD=BC
C.OA=OB D.AC⊥BD
2.在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=6,BD=12,则边AD的长度x的取值范围是 ( )
A.2C.13.如图,在 ABCD中,AD=5,对角线AC与BD相交于点O,AC+BD=12,则△BOC的周长为( )
A.10 B.11 C.12 D.14
4.如图,在 ABCD中,AC,BD相交于点O,若△BOC的面积为3,则 ABCD的面积为 .
5.(2024·聊城模拟)如图,平行四边形ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,E,G分别是OA,OC的中点,过点O作任一条直线交AD于点H,交BC于点F,
求证:(1)OH=OF;
(2)HG=FE.
知识点2　平行四边形性质的综合运用
6.(2024·菏泽模拟)平行四边形ABCD的周长为32,5AB=3BC,则对角线AC的取值范围为 ( )
A.6C.107. (2024·潍坊寒亭区期末)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,EF经过点O,交AD于点E,交BC于点F.若四边形ABFE周长为12,EO=2,则AB+BC= .
8.(2023·济南中考)已知:如图,点O为 ABCD对角线AC的中点,过点O的直线与AD,BC分别相交于点E,F.求证:DE=BF.
【B层 能力进阶】
9.如图,在 ABCD中,AC,BD相交于点O,过点O作直线EF分别交AD,BC于点E,F,那么图中全等的三角形共有 ( )
A.2对 B.4对 C.6对 D.8对
10.(2024·聊城临清期末)如图,在 ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.若AE=4,AF=6,且 ABCD的周长为40,则 ABCD的面积为 ( )
A.24 B.36 C.40 D.48
11.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E是边CD上一点,且BC=EC,CF⊥BE交AB于点F,P是EB延长线上一点,下列结论:①BE平分∠CBF;②CF平分∠DCB;③BC=FB;④PF=PC.其中正确结论的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
12.(2024·菏泽期末)如图,在平行四边形纸片ABCD中,AB⊥AC,AB=6,将纸片沿对角线AC对折,BC边与AD边交于点E,点B的对应点为点F,此时△CDE恰为等腰直角三角形.则重叠部分△AEC的面积是 .
13.如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC,∠BCD的平分线交于P,且分别与AD交于E,F,
(1)求证:△BPC为直角三角形;
(2)若BC=16,CD=3,求EF的长.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(2024·聊城质检)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=1,AB=2,BC=3,P为AB边上的一动点,以PD,PC为边作平行四边形PCQD,求对角线PQ的长的最小值.　平行四边形及其性质(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1　平行四边形的性质——边
1.如图,在 ABCD中,AD=5,AB=3,AE平分∠BAD交BC边于点E,则线段BE,EC的长度分别为 (D)
A.1和4 B.4和1
C.2和3 D.3和2
2.在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的顶点A,B,C的坐标分别是(0,0),(5,0),(2,3),则顶点D的坐标是 (A)
A.(-3,3) B.(3,-3)　 C.(7,3)　 D.(-5,3)
3.(2024·广州中考)如图, ABCD中,BC=2,点E在DA的延长线上,BE=3,若BA平分∠EBC,则DE=　5　.
4.如图,在平行四边形ABCD中,∠ABD的平分线BE交AD于点E,∠CDB的平分线DF交BC于点F.求证:AE=CF.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,∠A=∠C,AB∥CD,
∴∠ABD=∠CDB.
∵BE平分∠ABD,DF平分∠CDB,
∴∠ABE=∠ABD,∠CDF=∠CDB.
∴∠ABE=∠CDF,
在△ABE和△CDF中,,
∴△ABE≌△CDF(ASA),∴AE=CF.
知识点2　平行四边形的性质——角
5.如图所示,在 ABCD中,∠C=120°,延长BA至点E,延长DA至点F,连接EF,则∠E+∠F的度数为 (D)
A.120° B.30° C.50° D.60°
6.在 ABCD中,它的四个内角按一定顺序的度数比可能为 (B)
A.3∶4∶5∶6 B.4∶5∶4∶5
C.2∶3∶3∶2 D.2∶4∶3∶3
7.如图 ABCD,点M是边AD上的一点,且BM平分∠ABC,MN⊥CD于点N,若∠DMN=30°,则∠BMN的度数为　120°　.
8.如图,在 ABCD中,DB=DC,∠A=65°,CE⊥BD于E,则∠BCE=　25°　.
9.(2022·烟台中考)如图,在 ABCD中,DF平分∠ADC,交AB于点F,BE∥DF,交AD的延长线于点E.若∠A=40°,求∠ABE的度数.
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∴∠A+∠ADC=180°,
∵∠A=40°,∴∠ADC=140°,
∵DF平分∠ADC,
∴∠CDF=∠ADC=70°,
∴∠AFD=∠CDF=70°,
∵DF∥BE,
∴∠ABE=∠AFD=70°.
【B层 能力进阶】
10.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E,B,D,F在同一条直线上,请添加一个条件使得△ABE≌△CDF,下列不正确的是 (A)
A.AE=CF
B.∠AEB=∠CFD
C.∠EAB=∠FCD
D.BE=DF
11.如图,在平行四边形纸片ABCD中,AB=3 cm,将纸片沿对角线AC对折,BC边与AD边交于点E,若△CDE恰为等边三角形,则AD的长度是 (A)
A.6 cm B.6 cm
C.8 cm D.10 cm
12.(2024·眉山中考)如图,在 ABCD中,点O是BD的中点,EF过点O,下列结论:①AB∥DC;②EO=ED;③∠A=∠C;④S四边形ABOE=S四边形C DOF,其中正确结论的个数为 (C)
A.1 B.2 C.3 D.4
13.(2024·盐城期中)若E是 ABCD内任意一点, ABCD的面积是6,则阴影部分的面积是　3　.
14. (2023·兰州中考)如图,在 ABCD中,BD=CD,AE⊥BD于点E,若∠C=70°,则∠BAE=　50　°.
15.如图,在平行四边形ABCD中,点H是边AB上一点,连接CH.作∠ADC的平分线DF,分别交CH,BC及AB的延长线于G,E,F.
(1)如果AB=2,AD=3,那么AF=　3　,BE=　1　;
【解析】(1)∵DF是∠ADC的平分线,
∴∠ADF=∠CDE.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,AB=CD=2,BC=AD=3,
∴∠ADF=∠DEC,∠AFD=∠CDE,
∴∠ADF=∠AFD,∠DEC=∠CDE,
∴AF=AD=3,CE=CD=2,
∴BE=BC-CE=3-2=1.
(2)若点G恰好是线段CH的中点,求证:BF=AH.
【解析】(2)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,∴∠AFD=∠CDF.
∵G为CH的中点,∴CG=HG.
∵∠CGD=∠HGF,∴△CDG≌△HFG(AAS),
∴FH=CD,∴FH=AB,
∴FH-BH=AB-BH,∴BF=AH.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(教材拓展题)(2024·潍坊寿光质检)如图,平行四边形ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于点E,且AB=AE,延长AB与DE的延长线交于点F.
求证:(1)△ABE是等边三角形;
【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴∠EAD=∠AEB,
又∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE,
∴∠BAE=∠BEA,∴AB=BE,
∵AB=AE,∴△ABE是等边三角形;
(2)△BAC≌△AED;
【证明】(2)∵△ABE是等边三角形,
∴∠ABE=∠EAD=60°,
∵AB=AE,BC=AD,
∴△ABC≌△EAD(SAS);
(3)S△ABE=S△CEF.
【证明】(3)∵△FCD与△ABC等底(AB=CD)等高(AB与CD间的距离相等),
∴S△FCD=S△ABC,
又∵△AEC与△DEC同底等高,
∴S△AEC=S△DEC,
∴S△ABE=S△CEF.

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