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　平行四边形的判定(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1　对角线互相平分的四边形是平行四边形
1.要使如图所示的四边形ABCD是平行四边形,根据图中数据,可以添加的条件是 ( )
A.OC=5 B.OC=3
C.CD=3 D.CD=9
2.(2024·泰安肥城市质检)如图所示,四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,下列判断正确的是 ( )
A.若AO=OC,则四边形ABCD是平行四边形
B.若AC=BD,则四边形ABCD是平行四边形
C.若AO=BO,CO=DO,则四边形ABCD是平行四边形
D.若AO=OC,BO=OD,则四边形ABCD是平行四边形
3.要做一个平行四边形框架,只要将两根木条AC,BD的中点重叠并用钉子固定,这样四边形ABCD就是平行四边形,这种做法的依据是 .
4.(2024·西安模拟)如图所示,在四边形ABCD中,点E,F分别为对角线BD上的两点,且DF=BE,连接AE,CF,若∠BFC+∠AEB=180°,AE=CF,求证:四边形ABCD为平行四边形.
知识点2　平行四边形判定定理的综合应用
5.(2024·乐山中考)如图,下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是 ( )
A.AB∥DC,AD∥BC
B.AB=DC,AD=BC
C.AO=CO,BO=DO
D.AB∥DC,AD=BC
6.在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,添加合适的条件使四边形ABCD是平行四边形 .
7.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是斜边AB上的一点,作DE⊥BC,垂足为E,延长DE到F,连接CF,使∠A=∠F.
(1)求证:四边形ADFC是平行四边形.
(2)连接CD,若E为DF的中点,求证:CD=AD.
【B层 能力进阶】
8.在四边形ABCD中,下列说法正确的是 ( )
A.当AD=BC,AB∥DC时,四边形ABCD是平行四边形
B.当AD=BC,AB=DC时,四边形ABCD是平行四边形
C.当AC=BD,AC平分BD时,四边形ABCD是平行四边形
D.当AC=BD,AC⊥BD时,四边形ABCD是平行四边形
9.如图所示,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点E,∠CBD=90°,BC=4,BE=ED=3,AC=10,则四边形ABCD的面积为 .
10.(2024·潍坊高密质检)如图,在 ABCD中,E和F分别是边CD和AB上的点,AE∥CF,连接BE和DF,已知,AF=2BF,四边形BFDE的面积是3,则四边形AFCE的面积是 .
11.(2024·潍坊高密质检)提出命题:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C,∠ABC=∠ADC,求证:四边形ABCD是平行四边形.
小明提供了如下解答过程:
证明:连接BD.
∵∠1+∠3=180°-∠A,∠2+∠4=180°-∠C,∠A=∠C,
∴∠1+∠3=∠2+∠4.
∵∠ABC=∠ADC,
∴∠1=∠4,∠2=∠3.
∴AB∥CD,AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
反思交流:(1)请问小明的解法正确吗 如果有错,请写出正确的证明过程.
(2)用语言叙述上述命题: .
运用探究:(3)下列条件中,能确定四边形ABCD是平行四边形的是 ( )
A.∠A∶∠B∶∠C∶∠D=1∶2∶3∶4
B.∠A∶∠B∶∠C∶∠D=1∶3∶1∶3
C.∠A∶∠B∶∠C∶∠D=2∶3∶3∶2
D.∠A∶∠B∶∠C∶∠D=1∶1∶3∶3
【C层 创新挑战(选做)】
12.(运算能力、应用意识、创新意识)
如图所示,有八个全等的三角形拼成一个大四边形ABCD和中间一个小四边形MNPQ,连接EF,GH得到四边形EFGH,设S四边形ABCD=S1,S四边形EFGH=S2,S四边形MNPQ=S3,若S1+S2+S3=10,则S2= . 　平行四边形的判定(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1　两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形
1.(2024·石家庄期中)依据所标数据,下列一定为平行四边形的是 ( )
2.如图,以△ABC的顶点A为圆心,以BC长为半径作弧;再以顶点C为圆心,以AB长为半径作弧,两弧交于点D,连接AD,CD,若∠B=65°,则∠D的大小是 .
3.(2024·济南期中)如图,在四边形ABCD中,已知AB=CD,若要判定四边形ABCD为平行四边形,在不添加辅助线的前提下只添加一个条件,则这个条件可以为 .
4.一个四边形的四条边长分别为a,b,c,d,且满足(a-c)2+(b-d)2=0,则这个四边形一定是 形.
5.如图,在△ABC中,分别以AB,AC,BC为边在BC的同侧作等边△ABD,等边△ACE,等边△BCF.
求证:四边形DAEF是平行四边形.
知识点2　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
6.如图是嘉淇不完整的推理过程,为了使嘉淇的推理成立,需在四边形ABCD中添加条件,下列添加的条件正确的是 ( )
∵∠A+∠D=180°, ∴AB∥CD. 又∵ , ∴四边形ABCD是平行四边形.
A.∠B+∠C=180°
B.AB=CD　
C.∠A=∠B
D.AD=BC
7.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)在平面直角坐标系中,已知两点A(-1,2),B(3,2),点C在x轴上,若以A,B,O,C为顶点的四边形是平行四边形,则C点坐标是 .
8.(2024·湖南中考)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E在边AB上, .
请从“①∠B=∠AED;②AE=BE,AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件,填在横线上(填序号),再解决下列问题:
求证:四边形BCDE为平行四边形.
【B层 能力进阶】
9.(2023·邵阳中考)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,若添加一个条件,使四边形ABCD为平行四边形,则下列正确的是 ( )
A.AD=BC
B.∠ABD=∠BDC　
C.AB=AD
D.∠A=∠C
10.如图,在 ABCD中,点E,F分别在边BC,AD上.若从下列条件中只选择一个添加到图中的条件中:①AE∥CF;②AE=CF;③BE=DF;④∠BAE=∠DCF.那么不能使四边形AECF是平行四边形的条件相应序号是 ( )
A.① B.② C.③ D.④
11.如图,将△ABC向右平移4个单位长度,得到△DEF,连接AD,BE,CF,则图中有 个平行四边形.
12.如果把平行四边形纸片ABCD沿EF折起,如图所示,当折痕EF满足 条件时,折起后由A,B,C,D四点组成的四边形仍是平行四边形.
13.(2024·安徽中考节选)如图, ABCD的对角线AC与BD交于点O,点M,N分别在边AD,BC上,且AM=CN.点E,F分别是BD与AN,CM的交点.求证:OE=OF.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(几何直观、应用意识、创新意识)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BC=6厘米,AD=9厘米,点P,Q分别从点A,C同时出发,点P以1厘米/秒的速度由点A向点D运动,点Q以2厘米/秒的速度由点C向点B运动.当一点到达终点时,两点均停止运动.
(1)经过几秒四边形ABQP为平行四边形
(2)经过几秒直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形 　平行四边形的判定(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1　对角线互相平分的四边形是平行四边形
1.要使如图所示的四边形ABCD是平行四边形,根据图中数据,可以添加的条件是 (B)
A.OC=5 B.OC=3
C.CD=3 D.CD=9
2.(2024·泰安肥城市质检)如图所示,四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,下列判断正确的是 (D)
A.若AO=OC,则四边形ABCD是平行四边形
B.若AC=BD,则四边形ABCD是平行四边形
C.若AO=BO,CO=DO,则四边形ABCD是平行四边形
D.若AO=OC,BO=OD,则四边形ABCD是平行四边形
3.要做一个平行四边形框架,只要将两根木条AC,BD的中点重叠并用钉子固定,这样四边形ABCD就是平行四边形,这种做法的依据是　对角线互相平分的四边形是平行四边形　.
4.(2024·西安模拟)如图所示,在四边形ABCD中,点E,F分别为对角线BD上的两点,且DF=BE,连接AE,CF,若∠BFC+∠AEB=180°,AE=CF,求证:四边形ABCD为平行四边形.
【证明】连接AF,CE,AC,设AC与BD交于点O,
∵∠BFC+∠AEB=180°,∠BFC+∠EFC=180°,∴∠AEB=∠EFC,
∴AE∥CF,
∵AE=CF,∴四边形AFCE是平行四边形,
∴OA=OC,OF=OE,
∵DF=BE,∴DF-OF=BE-OE,即OD=OB,
∴四边形ABCD是平行四边形.
知识点2　平行四边形判定定理的综合应用
5.(2024·乐山中考)如图,下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是 (D)
A.AB∥DC,AD∥BC
B.AB=DC,AD=BC
C.AO=CO,BO=DO
D.AB∥DC,AD=BC
6.在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,添加合适的条件使四边形ABCD是平行四边形　OA=OC,OB=OD(答案不唯一)　.
7.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是斜边AB上的一点,作DE⊥BC,垂足为E,延长DE到F,连接CF,使∠A=∠F.
(1)求证:四边形ADFC是平行四边形.
【证明】(1)∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC,
又∵DE⊥BC,∴AC∥DF,
∴∠A=∠BDF,
∵∠A=∠F,∴∠BDF=∠F,∴CF∥AB,
又∵AC∥DF,
∴四边形ADFC是平行四边形;
(2)连接CD,若E为DF的中点,求证:CD=AD.
【证明】(2)∵E为DF的中点,DE⊥BC,
∴BC垂直平分DF,∴CD=CF,
∵四边形ADFC是平行四边形,
∴AD=CF,∴CD=AD.
【B层 能力进阶】
8.在四边形ABCD中,下列说法正确的是 (B)
A.当AD=BC,AB∥DC时,四边形ABCD是平行四边形
B.当AD=BC,AB=DC时,四边形ABCD是平行四边形
C.当AC=BD,AC平分BD时,四边形ABCD是平行四边形
D.当AC=BD,AC⊥BD时,四边形ABCD是平行四边形
9.如图所示,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点E,∠CBD=90°,BC=4,BE=ED=3,AC=10,则四边形ABCD的面积为　24　.
10.(2024·潍坊高密质检)如图,在 ABCD中,E和F分别是边CD和AB上的点,AE∥CF,连接BE和DF,已知,AF=2BF,四边形BFDE的面积是3,则四边形AFCE的面积是　6　.
11.(2024·潍坊高密质检)提出命题:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C,∠ABC=∠ADC,求证:四边形ABCD是平行四边形.
小明提供了如下解答过程:
证明:连接BD.
∵∠1+∠3=180°-∠A,∠2+∠4=180°-∠C,∠A=∠C,
∴∠1+∠3=∠2+∠4.
∵∠ABC=∠ADC,
∴∠1=∠4,∠2=∠3.
∴AB∥CD,AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
反思交流:(1)请问小明的解法正确吗 如果有错,请写出正确的证明过程.
【解析】(1)正确;理由如下:
∵∠1+∠3=180°-∠A,∠2+∠4=180°-∠C,∠A=∠C,
∴∠1+∠3=∠2+∠4.①
∵∠ABC=∠ADC,
即∠1+∠2=∠3+∠4,②
由①②相加、相减得:∠1=∠4,∠2=∠3.
∴AB∥CD,AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
(2)用语言叙述上述命题:　两组对角分别相等的四边形是平行四边形　.
运用探究:(3)下列条件中,能确定四边形ABCD是平行四边形的是 (　B　)
A.∠A∶∠B∶∠C∶∠D=1∶2∶3∶4
B.∠A∶∠B∶∠C∶∠D=1∶3∶1∶3
C.∠A∶∠B∶∠C∶∠D=2∶3∶3∶2
D.∠A∶∠B∶∠C∶∠D=1∶1∶3∶3
【解析】(3)∵∠A∶∠B∶∠C∶∠D=1∶3∶1∶3,
∴∠A=∠C,∠B=∠D,
∴四边形ABCD是平行四边形.
【C层 创新挑战(选做)】
12.(运算能力、应用意识、创新意识)
如图所示,有八个全等的三角形拼成一个大四边形ABCD和中间一个小四边形MNPQ,连接EF,GH得到四边形EFGH,设S四边形ABCD=S1,S四边形EFGH=S2,S四边形MNPQ=S3,若S1+S2+S3=10,则S2= 　. 　平行四边形的判定(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1　两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形
1.(2024·石家庄期中)依据所标数据,下列一定为平行四边形的是 (C)
2.如图,以△ABC的顶点A为圆心,以BC长为半径作弧;再以顶点C为圆心,以AB长为半径作弧,两弧交于点D,连接AD,CD,若∠B=65°,则∠D的大小是　65°　.
3.(2024·济南期中)如图,在四边形ABCD中,已知AB=CD,若要判定四边形ABCD为平行四边形,在不添加辅助线的前提下只添加一个条件,则这个条件可以为　BC=AD(答案不唯一)　.
4.一个四边形的四条边长分别为a,b,c,d,且满足(a-c)2+(b-d)2=0,则这个四边形一定是　平行四边　形.
5.如图,在△ABC中,分别以AB,AC,BC为边在BC的同侧作等边△ABD,等边△ACE,等边△BCF.
求证:四边形DAEF是平行四边形.
【证明】∵△ABD和△FBC都是等边三角形,
∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°,
∴∠DBF=∠ABC.
又∵BD=BA,BF=BC,
∴△DBF≌△ABC,∴AC=DF=AE,
同理可证△ABC≌△EFC,∴AB=EF=AD,
∴四边形DAEF是平行四边形.
知识点2　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
6.如图是嘉淇不完整的推理过程,为了使嘉淇的推理成立,需在四边形ABCD中添加条件,下列添加的条件正确的是 (B)
∵∠A+∠D=180°, ∴AB∥CD. 又∵　　　　　　　, ∴四边形ABCD是平行四边形.
A.∠B+∠C=180°
B.AB=CD　
C.∠A=∠B
D.AD=BC
7.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)在平面直角坐标系中,已知两点A(-1,2),B(3,2),点C在x轴上,若以A,B,O,C为顶点的四边形是平行四边形,则C点坐标是　(4,0)或(-4,0)　.
8.(2024·湖南中考)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E在边AB上,　①或②　.
请从“①∠B=∠AED;②AE=BE,AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件,填在横线上(填序号),再解决下列问题:
求证:四边形BCDE为平行四边形.
【解析】选择①或②,证明如下:
选择①,∵∠B=∠AED,∴BC∥DE,
∵AB∥CD,∴四边形BCDE为平行四边形;
选择②,∵AE=BE,AE=CD,∴BE=CD,
∵AB∥CD,∴四边形BCDE为平行四边形.
【B层 能力进阶】
9.(2023·邵阳中考)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,若添加一个条件,使四边形ABCD为平行四边形,则下列正确的是 (D)
A.AD=BC
B.∠ABD=∠BDC　
C.AB=AD
D.∠A=∠C
10.如图,在 ABCD中,点E,F分别在边BC,AD上.若从下列条件中只选择一个添加到图中的条件中:①AE∥CF;②AE=CF;③BE=DF;④∠BAE=∠DCF.那么不能使四边形AECF是平行四边形的条件相应序号是 (B)
A.① B.② C.③ D.④
11.如图,将△ABC向右平移4个单位长度,得到△DEF,连接AD,BE,CF,则图中有　3　个平行四边形.
12.如果把平行四边形纸片ABCD沿EF折起,如图所示,当折痕EF满足　EF∥AB(或EF∥CD)　条件时,折起后由A,B,C,D四点组成的四边形仍是平行四边形.
13.(2024·安徽中考节选)如图, ABCD的对角线AC与BD交于点O,点M,N分别在边AD,BC上,且AM=CN.点E,F分别是BD与AN,CM的交点.求证:OE=OF.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,OA=OC,∴AM∥CN,
∵AM=CN,
∴四边形AMCN是平行四边形,
∴AN∥CM,
∴∠OAE=∠OCF,
在△AOE与△COF中,,
∴△AOE≌△COF(ASA),
∴OE=OF.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(几何直观、应用意识、创新意识)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BC=6厘米,AD=9厘米,点P,Q分别从点A,C同时出发,点P以1厘米/秒的速度由点A向点D运动,点Q以2厘米/秒的速度由点C向点B运动.当一点到达终点时,两点均停止运动.
(1)经过几秒四边形ABQP为平行四边形
【解析】(1)设经过t秒四边形ABQP是平行四边形,根据题意,得AP=t厘米,CQ=2t厘米,
则BQ=(6-2t)厘米,
∵AD∥BC,∴当AP=BQ时,四边形ABQP是平行四边形,
∴t=6-2t,解得t=2,
即经过2秒四边形ABQP为平行四边形;
(2)经过几秒直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形
【解析】(2)由(1)知,经过2秒四边形ABQP是平行四边形,设经过x秒直线PQ将四边形ABCD截出另一个平行四边形DCQP,
根据题意,得AP=x厘米,CQ=2x厘米,
则PD=(9-x)厘米,
∵AD∥BC,
∴当CQ=PD时,四边形DCQP是平行四边形,
∴2x=9-x,
解得x=3.
综上,经过2秒或3秒直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形.

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