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菱形的性质
【A层 基础夯实】
知识点1　菱形的性质
1.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列结论中错误的是 ( )
A.AB=AD B.AC⊥BD
C.AC=BD D.∠DAC=∠BAC
2.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E为CD的中点.若OE=3,则菱形ABCD的周长为 ( )
A.6 B.12 C.24 D.48
3.(2024·上海中考)在菱形ABCD中,∠ABC=66°,则∠BAC= °.
4.用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个如图1所示的菱形教具,此时测得∠B=60°,对角线AC长为8,改变教具的形状成为如图2所示的正方形,则正方形的边长为 .
5.如图,BD是菱形ABCD的对角线,F是AD上一点,且EF垂直平分AB,垂足为E,连接BF,∠ABF=40°,则∠ADB的度数为 .
6.如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,BE=BF,DE,DF分别与AC交于点M,N.
求证:(1)△ADE ≌△CDF.
(2)ME=NF.
知识点2　菱形性质的实际应用
7.图①是艺术家埃舍尔的作品,他将数学与绘画完美结合,在平面上创造出立体效果.图②是一个菱形,将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③,用图③镶嵌得到图④,将图④着色后,再次镶嵌便得到图①,则图④中∠ABC的度数是 °.
8.如图,重叠在一起的菱形硬纸板ABCD和等边三角形硬纸板AEF的边长相等,且等边三角形硬纸板AEF的顶点E,F恰好落在菱形硬纸板的两边上.你能算出∠C的度数吗
【B层 能力进阶】
9.(2024·烟台期中)如图,在菱形纸片ABCD中,∠A=60°,折叠该纸片,使点C落在直线DP(P为AB中点)上的点C'处,得到经过点D的折痕DE,则∠DEC的度数为 ( )
A.80° B.75° C.70° D.60°
10.如图,菱形ABCD的边长为2,点P是对角线AC上的一个动点,点E,F分别为边AD,DC的中点,则PE+PF的最小值是 ( )
A.2 B.3 C.1.5 D.4
11.(2024·广东中考)如图,菱形ABCD的面积为24,点E是AB的中点,点F是BC上的动点.若△BEF的面积为4,则图中阴影部分的面积为 .
12.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)(2023·绍兴中考)如图,在菱形ABCD中,∠DAB=40°,连接AC,以点A为圆心,AC长为半径作弧,交直线AD于点E,连接CE,则∠AEC的度数是 .
13.(2023·襄阳中考)如图,AC是菱形ABCD的对角线.
(1)作边AB的垂直平分线,分别与AB,AC交于点E,F(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)的条件下,连接FB,若∠D=140°,求∠CBF的度数.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(推理能力、模型观念)在菱形ABCD中,∠ABC=60°,P是直线BD上一动点,以AP为边向右侧作等边△APE(A,P,E按逆时针排列),点E的位置随点P的位置变化而变化.
(1)如图1,当点P在线段BD上,且点E在菱形ABCD内部或边上时,连接CE,则BP与CE的数量关系是 BP=CE ,BC与CE的位置关系是 CE⊥BC ;
(2)如图2,当点P在线段BD上,且点E在菱形ABCD外部时,(1)中的结论是否还成立 若成立,请予以证明;若不成立,请说明理由.菱形的性质
【A层 基础夯实】
知识点1　菱形的性质
1.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列结论中错误的是 (C)
A.AB=AD B.AC⊥BD
C.AC=BD D.∠DAC=∠BAC
2.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E为CD的中点.若OE=3,则菱形ABCD的周长为 (C)
A.6 B.12 C.24 D.48
3.(2024·上海中考)在菱形ABCD中,∠ABC=66°,则∠BAC=　57　°.
4.用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个如图1所示的菱形教具,此时测得∠B=60°,对角线AC长为8,改变教具的形状成为如图2所示的正方形,则正方形的边长为　8　.
5.如图,BD是菱形ABCD的对角线,F是AD上一点,且EF垂直平分AB,垂足为E,连接BF,∠ABF=40°,则∠ADB的度数为　70°　.
6.如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,BE=BF,DE,DF分别与AC交于点M,N.
求证:(1)△ADE ≌△CDF.
【证明】(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴DA=DC,∠DAE=∠DCF,AB=CB,
∵BE=BF,∴AE=CF,
在△ADE和△CDF中,,
∴△ADE ≌△CDF(SAS);
(2)ME=NF.
【证明】(2)由(1)知△ADE ≌△CDF,
∴∠ADM=∠CDN,DE=DF,
∵DA=DC,∴∠DAM=∠DCN,
∴∠DMA=∠DNC,∴∠DMN=∠DNM,
∴DM=DN,∴DE-DM=DF-DN,
∴ME=NF.
知识点2　菱形性质的实际应用
7.图①是艺术家埃舍尔的作品,他将数学与绘画完美结合,在平面上创造出立体效果.图②是一个菱形,将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③,用图③镶嵌得到图④,将图④着色后,再次镶嵌便得到图①,则图④中∠ABC的度数是　60　°.
8.如图,重叠在一起的菱形硬纸板ABCD和等边三角形硬纸板AEF的边长相等,且等边三角形硬纸板AEF的顶点E,F恰好落在菱形硬纸板的两边上.你能算出∠C的度数吗
【解析】连接AC,设∠BAE=y°,∠B=x°,
∵△AEF是等边三角形,
∴∠EAF=60°,又根据对称性得到CA为∠EAF的平分线,
因而∠CAE=30°,
∴在△ABC和△ABE中,根据三角形内角和定理可得方程组
,
解得,
∴∠B=80°,
∵AB∥CD,
∴∠BCD=180°-∠B=100°.
【B层 能力进阶】
9.(2024·烟台期中)如图,在菱形纸片ABCD中,∠A=60°,折叠该纸片,使点C落在直线DP(P为AB中点)上的点C'处,得到经过点D的折痕DE,则∠DEC的度数为 (B)
A.80° B.75° C.70° D.60°
10.如图,菱形ABCD的边长为2,点P是对角线AC上的一个动点,点E,F分别为边AD,DC的中点,则PE+PF的最小值是 (A)
A.2 B.3 C.1.5 D.4
11.(2024·广东中考)如图,菱形ABCD的面积为24,点E是AB的中点,点F是BC上的动点.若△BEF的面积为4,则图中阴影部分的面积为　10　.
12.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)(2023·绍兴中考)如图,在菱形ABCD中,∠DAB=40°,连接AC,以点A为圆心,AC长为半径作弧,交直线AD于点E,连接CE,则∠AEC的度数是　10°或80°　.
13.(2023·襄阳中考)如图,AC是菱形ABCD的对角线.
(1)作边AB的垂直平分线,分别与AB,AC交于点E,F(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
【解析】(1)
(2)在(1)的条件下,连接FB,若∠D=140°,求∠CBF的度数.
【解析】(2)∵四边形ABCD是菱形,
∴∠ABC=∠D=140°,AB=CB,
∴∠BAC=∠BCA=×(180°-140°)=20°,
∵MN垂直平分AB,
∴AF=BF,
∴∠ABF=∠BAC=20°,
∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=120°.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(推理能力、模型观念)在菱形ABCD中,∠ABC=60°,P是直线BD上一动点,以AP为边向右侧作等边△APE(A,P,E按逆时针排列),点E的位置随点P的位置变化而变化.
(1)如图1,当点P在线段BD上,且点E在菱形ABCD内部或边上时,连接CE,则BP与CE的数量关系是　BP=CE　,BC与CE的位置关系是　CE⊥BC　;
【解析】(1)连接AC,延长CE交AD于H,如图1所示,
∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,
∴△ABC,△ACD都是等边三角形,∠ABD=∠CBD=30°,
∴AB=AC,∠BAC=60°,∠CAH=60°,
∵△APE是等边三角形,
∴AP=AE,∠PAE=60°,
∵∠BAC=∠PAE,
∴∠BAP+∠PAC=∠CAE+∠PAC,
∴∠BAP=∠CAE,
∴△BAP≌△CAE(SAS),
∴BP=CE,∠ABP=∠ACE=30°,
∵△ACD是等边三角形,
∴∠ACD=2∠ACH=60°,
∴CH⊥AD,即CE⊥AD,
又∵AD∥BC,
∴CE⊥BC.
(2)如图2,当点P在线段BD上,且点E在菱形ABCD外部时,(1)中的结论是否还成立 若成立,请予以证明;若不成立,请说明理由.
【解析】(2)(1)中结论仍然成立,证明如下:
如图2,连接AC,
∴△ABC,△ACD为等边三角形,
在△ABP和△ACE中,AB=AC,AP=AE,
又∵∠BAP=∠BAC+∠CAP=60°+∠CAP,∠CAE=∠EAP+∠CAP=60°+∠CAP,
∴∠BAP=∠CAE,
∴△ABP≌△ACE(SAS),
∴BP=CE,∠ACE=∠ABD=30°,
设CE与AD交于点H,
同理可得∠ACD=2∠ACH=60°,
∴CE⊥AD,
又∵AD∥BC,
∴CE⊥BC.菱形的判定
【A层 基础夯实】
知识点1　菱形的判定
1.在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,加下列条件能使四边形ABCD为菱形的是 (D)
A.AC=BD B.AB=AC
C.∠A=∠B D.AC⊥BD
2.如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是 (A)
A.AB=BC B.AC=BC
C.∠B=60° D.∠ACB=60°
3.如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边BC,AB,CA上,且DE∥CA,DF∥BA.下列四种说法:
①四边形AEDF是平行四边形;②如果∠BAC=90°,那么四边形AEDF是矩形;③如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是菱形;④如果AD⊥BC且AB=AC,那么四边形AEDF是菱形.其中,正确的有　①②③④　(只填写序号).
4. (2023·张家界中考)如图,已知点A,D,C,B在同一条直线上,且AD=BC,AE=BF,CE=DF.
(1)求证:AE∥BF;
【证明】(1)∵AD=BC,
∴AD+DC=BC+DC,即AC=BD,
在△AEC和△BFD中,,
∴△AEC ≌△BFD(SSS),
∴∠A=∠B,∴AE∥BF;
(2)若DF=FC,求证:四边形DECF是菱形.
【证明】(2)方法一:在△ADE和△BCF中,
,∴△ADE ≌△BCF(SAS),
∴DE=CF,又EC=DF,
∴四边形DECF是平行四边形,
∵DF=FC,∴ DECF是菱形.
方法二:∵△AEC ≌△BFD,
∴∠ECA=∠FDB,∴EC∥DF,
又EC=DF,∴四边形DECF是平行四边形,
∵DF=FC,∴ DECF是菱形.
知识点2　菱形性质和判定的综合应用
5.(2024·潍坊模拟)如图,两张等宽的纸条交叉叠放在一起,重合部分构成一个四边形ABCD,在其中一张纸条转动的过程中,下列结论错误的是 (B)
A.AD=CD
B.四边形ABCD面积=AC·BD
C.AC⊥BD
D.四边形ABCD的周长=4AB
6.如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F,若AF=6,则四边形AEDF的周长是　24　.
7.如图,在△ABC中,AB=AC,AH⊥BC,点E是AH上一点,延长AH至点F,使FH=EH.
(1)求证:四边形EBFC是菱形;
【解析】(1)∵AB=AC,AH⊥BC,
∴BH=HC.
∵FH=EH,
∴四边形EBFC是平行四边形,
又∵AH⊥BC,
∴四边形EBFC是菱形;
(2)若∠BAC=∠ECF,求∠ACF的度数.
【解析】(2)∵四边形EBFC是菱形,
∴∠ECB=∠FCB=∠ECF.
∵AB=AC,AH⊥CB,∴∠CAH=∠BAC.
∵∠BAC=∠ECF,∴∠CAH=∠FCB,
∵AH⊥CB,∴∠CAH+∠ACH=90°.
∴∠FCB+∠ACH=90°.
∴∠ACF=90°.
【B层 能力进阶】
8.如图,AD是△ABC的中线,增加下列条件,能判断 ADCE是菱形的是 (D)
A.AB=AE B.∠DAE=90°
C.AB=AC D.∠BAC=90°
9.(2024·聊城东阿质检)如图在平行四边形ABCD中,∠A=110°,AD=DC.E,F分别是边AB和BC的中点,EP⊥CD于点P,则∠PEF= (A)
A.35° B.45° C.50° D.55°
10.(2024·菏泽单县模拟)如图, ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,当AB与AC满足条件　AB⊥AC　时,四边形AFCE是菱形.
11.如图,在 ABCD中,AB=AD,点E是AB上一点,连接CE,DE,且BC=CE,若∠BCE=40°,则∠ADE=　15°　.
12.(2024·雅安中考)如图,点O是 ABCD对角线的交点,过点O的直线分别交AD,BC于点E,F.
(1)求证:△ODE≌△OBF;
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥CB,∴∠OED=∠OFB,
∵点O是 ABCD对角线的交点,
∴OD=OB,
在△ODE和△OBF中,
,
∴△ODE≌△OBF(AAS).
(2)当EF⊥BD时,DE=15 cm,分别连接BE,DF.求此时四边形BEDF的周长.
【解析】(2)如图,
由(1)得△ODE≌△OBF,∴DE=BF,
∵DE∥BF,
∴四边形BEDF是平行四边形,
∵EF⊥BD,
∴四边形BEDF是菱形,
∴DF=BF=BE=DE=15 cm,∴DF+BF+BE+DE=4DE=4×15=60(cm),
∴四边形BEDF的周长为60 cm.
【C层 创新挑战(选做)】
13.已知四边形ABCD中,BC=CD,连接BD,过点C作BD的垂线交AB于点E,连接DE.
(1)如图1,若DE∥BC,求证:四边形BCDE是菱形;
【解析】(1)设CE与BD交于点O,
∵CB=CD,CE⊥BD,
∴DO=BO,
∵DE∥BC,∴∠DEO=∠BCO,
∵∠DOE=∠BOC,∴△DOE≌△BOC(AAS),
∴DE=BC,∴四边形BCDE是平行四边形,
∵CD=CB,∴平行四边形BCDE是菱形;
(2)如图2,连接AC,设BD,AC相交于点F,DE垂直平分线段AC.
(ⅰ)求∠CED的大小;
(ⅱ)若AF=AE,求证:BE=CF.
【解析】(2)(ⅰ)∵DE垂直平分AC,
∴AE=EC且DE⊥AC,
∴∠AED=∠CED,
又∵CD=CB且CE⊥BD,
∴CE垂直平分DB,∴DE=BE,
∴∠DEC=∠BEC,∴∠AED=∠CED=∠BEC,
又∵∠AED+∠CED+∠BEC=180°,
∴∠CED=×180°=60°;
(ⅱ)由(ⅰ)得AE=EC,
又∵∠AEC=∠AED+∠DEC=120°,
∴∠ACE=30°,
同理可得,在等腰△DEB中,∠EBD=30°,
∴∠ACE=∠ABF=30°,
在△ACE与△ABF中,,
∴△ACE≌△ABF(AAS),∴AC=AB,
又∵AE=AF,∴AB-AE=AC-AF,
即BE=CF.　矩形的判定
【A层 基础夯实】
知识点1　矩形的判定
1.(2024·泸州中考)已知四边形ABCD是平行四边形,下列条件中,不能判定 ABCD为矩形的是 ( )
A.∠A=90° B.∠B=∠C
C.AC=BD D.AC⊥BD
2. (2024·聊城模拟)如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使DE=AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件,不能使四边形DBCE成为矩形的是 ( )
A.AB=BE B.CE⊥DE
C.∠ADB=90° D.BE⊥AB
3.(2023·岳阳中考)如图,点M在 ABCD的边AD上,BM=CM,请从以下三个条件:①∠1=∠2;②AM=DM;③∠3=∠4中选择一个合适的序号作为已知条件,使 ABCD为矩形.
(1)你添加的条件是 (填序号);
(2)添加条件后,请证明 ABCD为矩形.
4.(2023·内江中考)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F.
(1)求证:FA=BD;
(2)连接BF,若AB=AC,求证:四边形ADBF是矩形.
知识点2　矩形判定和性质综合应用
5.如图,点A,B在直线l1上,点C,D在直线l2上,l1∥l2,CA⊥l1,BD⊥l2,AC=3 cm,则BD等于 ( )
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
6.如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,且∠1=∠2.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若∠AOB=60°,且AB=4,求四边形ABCD对角线长.
【B层 能力进阶】
7.如图,在平行四边形ABCD中,M,N是BD上两点,BM=DN,连接AM,MC,CN,NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是 ( )
A.MB=MO B.OM=AC
C.BD⊥AC D.∠AMB=∠CND
8.如图,在△ABC中,点P是边BC上一个动点,过点P作直线MN∥AB.MN交∠ABC的平分线于点E,交△ABC的外角∠CBD的平分线于点F.下面给出了四个结论:①PE=PF;②△EBF是直角三角形;③若BE=12,BF=5,则PB=6;④若PC=PB,则四边形CEBF是矩形.其中正确的是 ( )
A.①② B.②③
C.①②④ D.①②③④
9.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD,∠OAD=50°,则∠OAB的度数为 .
10.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿AC方向运动,点F同时以每秒1个单位长度的速度从点C出发沿CA方向运动,若AC=12,BD=8,则经过 秒后,四边形BEDF是矩形.
11.如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,延长BA至点H,使AH=BA,连接DH,过点H作HG∥DB,过点B作BG∥AC.
(1)求证:HD=AC;
(2)当DA=AB时,求证:四边形HGBD是矩形.
【C层 创新挑战(选做)】
12.(2024·菏泽质检)已知:如图,在△ABC中,AB=AC,D为边BC上一点,以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE,连接AD,EC.
(1)求证:∠1=∠2;
(2)求证:△ADC≌△ECD;
(3)当点D在什么位置时,四边形ADCE是矩形 请说明理由.　矩形的判定
【A层 基础夯实】
知识点1　矩形的判定
1.(2024·泸州中考)已知四边形ABCD是平行四边形,下列条件中,不能判定 ABCD为矩形的是 (D)
A.∠A=90° B.∠B=∠C
C.AC=BD D.AC⊥BD
2. (2024·聊城模拟)如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使DE=AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件,不能使四边形DBCE成为矩形的是 (D)
A.AB=BE B.CE⊥DE
C.∠ADB=90° D.BE⊥AB
3.(2023·岳阳中考)如图,点M在 ABCD的边AD上,BM=CM,请从以下三个条件:①∠1=∠2;②AM=DM;③∠3=∠4中选择一个合适的序号作为已知条件,使 ABCD为矩形.
(1)你添加的条件是　①或②　(填序号);
(2)添加条件后,请证明 ABCD为矩形.
【解析】(2)添加条件①, ABCD为矩形,理由如下:
在 ABCD中,AB=CD,AB∥CD,
在△ABM和△DCM中,,
∴△ABM ≌△DCM,
∴∠A=∠D,又∵AB∥CD,
∴∠A+∠D=180°,
∴∠A=∠D=90°,∴ ABCD为矩形;
添加条件②, ABCD为矩形,理由如下:
在 ABCD中,AB=CD,AB∥CD,
在△ABM和△DCM中,,
∴△ABM ≌△DCM,∴∠A=∠D,
又∵AB∥CD,
∴∠A+∠D=180°,
∴∠A=∠D=90°,∴ ABCD为矩形.
4.(2023·内江中考)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F.
(1)求证:FA=BD;
【证明】(1)∵AF∥BC,
∴∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠CDE,
又∵E为AD的中点,
∴AE=DE,
∴△AEF≌△DEC(AAS),
∴AF=DC,
又∵D为BC的中点,
∴BD=CD,
∴AF=BD;
(2)连接BF,若AB=AC,求证:四边形ADBF是矩形.
【证明】(2)∵AF=BD,AF∥BD,
∴四边形ADBF是平行四边形,
∵AB=AC,D为BC的中点,
∴AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,
∴四边形ADBF是矩形.
知识点2　矩形判定和性质综合应用
5.如图,点A,B在直线l1上,点C,D在直线l2上,l1∥l2,CA⊥l1,BD⊥l2,AC=3 cm,则BD等于 (C)
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
6.如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,且∠1=∠2.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AC=2OC,BD=2OB,
∵∠1=∠2,
∴OB=OC,
∴AC=BD,
∴平行四边形ABCD是矩形.
(2)若∠AOB=60°,且AB=4,求四边形ABCD对角线长.
【解析】(2)由(1)得平行四边形ABCD是矩形,
∴OA=OB=AC=BD,
∵∠AOB=60°,
∴△AOB是等边三角形,
∴OA=OB=AB=4,
∴AC=BD=8.
【B层 能力进阶】
7.如图,在平行四边形ABCD中,M,N是BD上两点,BM=DN,连接AM,MC,CN,NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是 (B)
A.MB=MO B.OM=AC
C.BD⊥AC D.∠AMB=∠CND
8.如图,在△ABC中,点P是边BC上一个动点,过点P作直线MN∥AB.MN交∠ABC的平分线于点E,交△ABC的外角∠CBD的平分线于点F.下面给出了四个结论:①PE=PF;②△EBF是直角三角形;③若BE=12,BF=5,则PB=6;④若PC=PB,则四边形CEBF是矩形.其中正确的是 (C)
A.①② B.②③
C.①②④ D.①②③④
9.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD,∠OAD=50°,则∠OAB的度数为　40°　.
10.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿AC方向运动,点F同时以每秒1个单位长度的速度从点C出发沿CA方向运动,若AC=12,BD=8,则经过　2或10　秒后,四边形BEDF是矩形.
11.如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,延长BA至点H,使AH=BA,连接DH,过点H作HG∥DB,过点B作BG∥AC.
(1)求证:HD=AC;
【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∵AH=AB,
∴AH∥CD,AH=CD,
∴四边形AHDC是平行四边形,
∴DH=AC;
(2)当DA=AB时,求证:四边形HGBD是矩形.
【证明】(2)∵BG∥AC,AC∥DH,∴BG∥DH,
∵HG∥DB,
∴四边形BDHG是平行四边形,
∵AD=AB,AB=AH,
∴AD=BH,∴∠BDH=90°,
∴四边形HGBD是矩形.
【C层 创新挑战(选做)】
12.(2024·菏泽质检)已知:如图,在△ABC中,AB=AC,D为边BC上一点,以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE,连接AD,EC.
(1)求证:∠1=∠2;
【解析】(1)∵AB=AC,
∴∠B=∠2,
又∵四边形ABDE是平行四边形,
∴AB∥DE,
∴∠B=∠1,
∴∠1=∠2;
(2)求证:△ADC≌△ECD;
【解析】(2)∵四边形ABDE是平行四边形,
∴AB=ED,
∵AB=AC,
∴AC=ED,
在△ADC和△ECD中,
,
∴△ADC≌△ECD(SAS);
(3)当点D在什么位置时,四边形ADCE是矩形 请说明理由.
【解析】(3)当点D在BC的中点上时,四边形ADCE是矩形,理由如下:
∵四边形ABDE是平行四边形,
∴AE=BD,AE∥BC,
∵D为BC的中点,
∴BD=CD,
∴AE=CD,AE∥CD,
∴四边形ADCE是平行四边形,
∵△ADC≌△ECD,
∴AC=DE,
∴平行四边形ADCE是矩形.正方形的性质与判定
【A层 基础夯实】
知识点1　正方形的性质
1.(2023·自贡中考)如图,边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合,点C的坐标是( )
A.(3,-3) B.(-3,3)
C.(3,3) D.(-3,-3)
2.(2023·怀化中考)如图,点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点,PE⊥AD于点E,PE=3.则点P到直线AB的距离为 .
3. (2023·宁夏中考)如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E在AD上,连接EB,EC.则图中阴影部分的面积是 .
4.如图所示,在正方形ABCD中,P是对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且PE=PB.
(1)求证:△BCP≌△DCP;
(2)求证:DP⊥PE.
知识点2　正方形的判定
5.已知在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是 ( )
A.AC=BD,AB∥CD,AB=CD
B.AD∥BC,∠A=∠C
C.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD
D.AO=CO,BO=DO,AB=BC
6.(2024·黑龙江中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,请添加一个条件 ,使得菱形ABCD为正方形.
7.如图,△ABC中,∠ABC=90°,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.求证:四边形DEBF是正方形.
【B层 能力进阶】
8.下列说法中不正确的是 ( )
A.菱形的四条边相等
B.平行四边形的对角线互相平分
C.正方形的对角线相等
D.矩形的对角线互相垂直
9.(2024·菏泽质检)如图,四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成的,则四边形EFGH的形状是 ( )
A.矩形(正方形除外)
B.菱形(正方形除外)
C.平行四边形(矩形、菱形、正方形除外)
D.正方形
10.(2024·福建中考)如图,正方形ABCD的面积为4,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,AD的中点,则四边形EFGH的面积为 .
11.如图,点D,E,F分别是△ABC三边的中点,则下列结论:
①四边形AEDF一定是平行四边形;
②若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是正方形;
③若AD⊥BC,则四边形AEDF是菱形;
④若∠BAC=90°,则四边形AEDF是矩形.
正确的是 .(填序号)
12.已知四边形ABCD是正方形,以AD为边在正方形ABCD所在平面内作等边三角形PAD,那么∠BPC的度数是 .
13.如图,在正方形ABCD和 ECGF中,点B,C,G在同一条直线上,P是线段AF的中点,连接DP,连接EP并延长,交AD于点Q.请证明:
(1)四边形ECGF是矩形.
(2)当∠DPE=90°时,四边形ECGF是正方形.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(几何直观、推理能力、模型观念)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD,BE.
(1)求证:CE=AD;
(2)当D在AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形 说明你的理由;
(3)若D为AB中点,则当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形 请说明你的理由.　矩形的性质
【A层 基础夯实】
知识点1　矩形的性质
1.(2024·重庆期中)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,以下说法中错误的是(D)
A.∠ABC=90° B.AC=BD
C.OB=OC D.OA=AB
2.如图,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连接AE.若∠ADB=40°,则∠E的度数为(B)
A.10° B.20° C.25° D.30°
3.如图,矩形ABCD中,若∠BED=125°,则∠1等于　35°　.
4.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且∠AOD=120°.过点A作AE⊥BD于点E,则= 　.
5.(2023·温州中考改编)如图,已知矩形ABCD,点E在CB延长线上,点F在BC延长线上,过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H,连接AF交EH于点G,GE=GH.求证:BE=CF.
【证明】∵FH⊥EF,
∴∠HFE=90°,
∵GE=GH,
∴FG=EH=GE=GH,
∴∠E=∠GFE,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°,
∴△ABF≌△DCE(AAS),
∴BF=CE,
∴BF-BC=CE-BC,
即BE=CF.
知识点2　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,若∠A=28°.则∠BDC的度数为 (C)
A.26° B.52° C.56° D.64°
7.如图,DE是△ABC的中位线,点F在DE上,且∠AFB=90°,若AB=7,BC=10,则EF= (D)
A.4 B.3 C.2.5 D.1.5
8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点.若CD=2,则线段EF的长是　2　.
9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,CE是AB边上的中线,与AD交于点F.若∠B=40°,则∠AFC的度数为　105°　.
10.(2024·聊城茌平期末)如图,在△ABC和△ADC中,∠ABC=∠ADC=90°,连接BD与AC交于点O,M,N分别是AC,BD的中点,连接MN.求证:MN垂直平分BD.
【证明】如图,
连接BM,DM,
∵∠ABC=∠ADC=90°,
∴BM=AC,DM=AC,
∴BM=DM,
∵点N是BD的中点,
∴MN⊥BD,
∴MN垂直平分BD.
【B层 能力进阶】
11.(2023·宁波中考)如图,以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE,连接AE,AD,设△AED,△ABE,△ACD的面积分别为S,S1,S2,若要求出S-S1-S2的值,只需知道 (C)
A.△ABE的面积
B.△ACD的面积
C.△ABC的面积
D.矩形BCDE的面积
12.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB=6,BC=8,过点O作OE⊥AC,交AD于点E,过点E作EF⊥BD,垂足为F,则OE+EF的值为 (C)
A. B. C. D.
13.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)(2023·哈尔滨中考)矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点F在矩形ABCD边上,连接OF.若∠ADB=38°,∠BOF=30°,则∠AOF=　46°或106°　.
14.如图,在Rt△AEB和Rt△AFB中,∠AEB=∠AFB=90°,O为AB的中点,连接EF,OE,若∠EAF=50°,则∠OEF=　40°　.
15.如图,矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点E是BC上一点,且AE平分∠BAD交BD于点F,∠1=15°,
(1)∠BAO=　60°　,∠2=　30°　.
【解析】(1)∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=∠BAD=90°,OB=OD,
OA=OC,AC=BD,
∴OB=OC=OA,∴∠OCB=∠OBC,
∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE=45°,
∴∠AEB=180°-90°-45°=45°,
∵∠1=15°,∴∠BAO=45°+15°=60°,
∵OA=OB,∴△AOB是等边三角形,
∴AB=OB,∠ABO=60°,
∴∠CBO=90°-60°=30°,
∵∠BAE=∠AEB=45°,
∴AB=BE,∴OB=BE,
∴∠OEB=∠EOB=(180°-30°)=75°,
∵∠AEB=45°,∴∠2=∠OEB-∠AEB=30°.
(2)求证:OE=EF.
【解析】(2)∵∠2=30°,∠BOE=75°,
∴∠EFO=180°-75°-30°=75°,
∴∠EOF=∠EFO,∴EO=EF;
(3)求证:△BEF ≌△COE.
【解析】(3)∵OB=OC,∠OBC=30°,
∴∠OBC=∠OCB=30°,
∵∠BEO=75°=∠EFO,
∴∠BFE=∠OEC=180°-75°=105°,
∵BE=OB,OB=OC,
∴BE=OC,
∴△BEF ≌△COE.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(几何直观、推理能力、模型观念)四边形ABCD是矩形,E是BC延长线上一点,连接AC,DE,BE=AC.
(1)如图①,若∠ACB=40°,求∠E的度数;
【解析】(1)如图①,连接BD,与AC交于点O,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,OB=BD,OC=AC,
∴OB=OC,
∴∠DBC=∠ACB=40°,
∵BE=AC,
∴BD=BE,
∴∠BDE=∠E,
∴∠E==70°;
(2)如图②,若F是DE的中点,连接AF,CF,求证:AF⊥FC.
【解析】(2)如图②,延长CF交AD延长线于点G,
∵AG∥BE,
∴∠GDF=∠E,∠G=∠ECF,
∵F是DE的中点,
∴DF=EF,
∴△DFG ≌△EFC(AAS),
∴DG=EC,GF=CF.
∴BC+CE=AD+DG,即AG=BE,
∵BE=AC,
∴AG=AC,
又∵GF=CF,
∴AF⊥FC.菱形的判定
【A层 基础夯实】
知识点1　菱形的判定
1.在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,加下列条件能使四边形ABCD为菱形的是 ( )
A.AC=BD B.AB=AC
C.∠A=∠B D.AC⊥BD
2.如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是 ( )
A.AB=BC B.AC=BC
C.∠B=60° D.∠ACB=60°
3.如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边BC,AB,CA上,且DE∥CA,DF∥BA.下列四种说法:
①四边形AEDF是平行四边形;②如果∠BAC=90°,那么四边形AEDF是矩形;③如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是菱形;④如果AD⊥BC且AB=AC,那么四边形AEDF是菱形.其中,正确的有 (只填写序号).
4. (2023·张家界中考)如图,已知点A,D,C,B在同一条直线上,且AD=BC,AE=BF,CE=DF.
(1)求证:AE∥BF;
(2)若DF=FC,求证:四边形DECF是菱形.
知识点2　菱形性质和判定的综合应用
5.(2024·潍坊模拟)如图,两张等宽的纸条交叉叠放在一起,重合部分构成一个四边形ABCD,在其中一张纸条转动的过程中,下列结论错误的是 ( )
A.AD=CD
B.四边形ABCD面积=AC·BD
C.AC⊥BD
D.四边形ABCD的周长=4AB
6.如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F,若AF=6,则四边形AEDF的周长是 .
7.如图,在△ABC中,AB=AC,AH⊥BC,点E是AH上一点,延长AH至点F,使FH=EH.
(1)求证:四边形EBFC是菱形;
(2)若∠BAC=∠ECF,求∠ACF的度数.
【B层 能力进阶】
8.如图,AD是△ABC的中线,增加下列条件,能判断 ADCE是菱形的是 ( )
A.AB=AE B.∠DAE=90°
C.AB=AC D.∠BAC=90°
9.(2024·聊城东阿质检)如图在平行四边形ABCD中,∠A=110°,AD=DC.E,F分别是边AB和BC的中点,EP⊥CD于点P,则∠PEF= ( )
A.35° B.45° C.50° D.55°
10.(2024·菏泽单县模拟)如图, ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,当AB与AC满足条件 时,四边形AFCE是菱形.
11.如图,在 ABCD中,AB=AD,点E是AB上一点,连接CE,DE,且BC=CE,若∠BCE=40°,则∠ADE= .
12.(2024·雅安中考)如图,点O是 ABCD对角线的交点,过点O的直线分别交AD,BC于点E,F.
(1)求证:△ODE≌△OBF;
(2)当EF⊥BD时,DE=15 cm,分别连接BE,DF.求此时四边形BEDF的周长.
【C层 创新挑战(选做)】
13.已知四边形ABCD中,BC=CD,连接BD,过点C作BD的垂线交AB于点E,连接DE.
(1)如图1,若DE∥BC,求证:四边形BCDE是菱形;
(2)如图2,连接AC,设BD,AC相交于点F,DE垂直平分线段AC.
(ⅰ)求∠CED的大小;
(ⅱ)若AF=AE,求证:BE=CF.正方形的性质与判定
【A层 基础夯实】
知识点1　正方形的性质
1.(2023·自贡中考)如图,边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合,点C的坐标是(C)
A.(3,-3) B.(-3,3)
C.(3,3) D.(-3,-3)
2.(2023·怀化中考)如图,点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点,PE⊥AD于点E,PE=3.则点P到直线AB的距离为　3　.
3. (2023·宁夏中考)如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E在AD上,连接EB,EC.则图中阴影部分的面积是　2　.
4.如图所示,在正方形ABCD中,P是对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且PE=PB.
(1)求证:△BCP≌△DCP;
【证明】(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=DC,∠BCP=∠DCP=45°,
∵在△BCP和△DCP中,,
∴△BCP≌△DCP(SAS);
(2)求证:DP⊥PE.
【证明】(2)如图所示:
由(1)知,△BCP≌△DCP,
∴∠CBP=∠CDP,
∵PE=PB,∴∠CBP=∠E,
∵∠BCD=90°,
∴∠DCE=90°,∴∠E+∠2=90°,
∵∠1=∠2,∴∠1+∠CDP=90°,
∴∠DPE=90°,∴DP⊥PE.
知识点2　正方形的判定
5.已知在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是 (C)
A.AC=BD,AB∥CD,AB=CD
B.AD∥BC,∠A=∠C
C.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD
D.AO=CO,BO=DO,AB=BC
6.(2024·黑龙江中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,请添加一个条件　AC=BD(答案不唯一)　,使得菱形ABCD为正方形.
7.如图,△ABC中,∠ABC=90°,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.求证:四边形DEBF是正方形.
【证明】∵DE⊥AB,DF⊥BC,
∴∠DEB=∠DFB=90°,
又∵∠ABC=90°,
∴四边形BEDF为矩形,
∵BD是∠ABC的平分线,且DE⊥AB,DF⊥BC,
∴DE=DF,
∴矩形BEDF为正方形.
【B层 能力进阶】
8.下列说法中不正确的是 (D)
A.菱形的四条边相等
B.平行四边形的对角线互相平分
C.正方形的对角线相等
D.矩形的对角线互相垂直
9.(2024·菏泽质检)如图,四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成的,则四边形EFGH的形状是 (D)
A.矩形(正方形除外)
B.菱形(正方形除外)
C.平行四边形(矩形、菱形、正方形除外)
D.正方形
10.(2024·福建中考)如图,正方形ABCD的面积为4,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,AD的中点,则四边形EFGH的面积为　2　.
11.如图,点D,E,F分别是△ABC三边的中点,则下列结论:
①四边形AEDF一定是平行四边形;
②若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是正方形;
③若AD⊥BC,则四边形AEDF是菱形;
④若∠BAC=90°,则四边形AEDF是矩形.
正确的是　①③④　.(填序号)
12.已知四边形ABCD是正方形,以AD为边在正方形ABCD所在平面内作等边三角形PAD,那么∠BPC的度数是　30°或150°　.
13.如图,在正方形ABCD和 ECGF中,点B,C,G在同一条直线上,P是线段AF的中点,连接DP,连接EP并延长,交AD于点Q.请证明:
(1)四边形ECGF是矩形.
【证明】(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BCD=90°,∴∠GCE=90°,
∵四边形ECGF是平行四边形,
∴平行四边形ECGF是矩形;
(2)当∠DPE=90°时,四边形ECGF是正方形.
【证明】(2)在正方形ABCD和矩形ECGF中,点B,C,G在同一条直线上,
∴AD∥BG,EF∥BG,∠ADC=90°,
∴AD∥EF,∴∠QAP=∠EFP,
∵P是线段AF的中点,∴AP=PF,
又∠APQ=∠FPE,∴△APQ≌△FPE(ASA),
∴AQ=EF,QP=PE,
∵∠DPE=90°,∴∠DPQ=90°,
在△PDQ和△PDE中,,
∴△PDQ≌△PDE(SAS),∴QD=DE,
∵AD=DC,∴AQ=EC,∵AQ=EF,
∴EC=EF,∴矩形ECGF是正方形.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(几何直观、推理能力、模型观念)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD,BE.
(1)求证:CE=AD;
【解析】(1)∵DE⊥BC,
∴∠DFB=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠DFB,
∴AC∥DE,
∵MN∥AB,即CE∥AD,
∴四边形ADEC是平行四边形,
∴CE=AD;
(2)当D在AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形 说明你的理由;
【解析】(2)四边形BECD是菱形,理由:
∵D为AB中点,
∴AD=BD,
∵CE=AD,
∴BD=CE,
∵BD∥CE,
∴四边形BECD是平行四边形,
∵∠ACB=90°,D为AB中点,
∴CD=BD,
∴平行四边形BECD是菱形;
(3)若D为AB中点,则当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形 请说明你的理由.
【解析】(3)当∠A=45°时,四边形BECD是正方形,理由:
∵∠ACB=90°,∠A=45°,
∴∠ABC=∠A=45°,
∴AC=BC,
∵D为AB中点,
∴CD⊥AB,
∴∠CDB=90°,
∵四边形BECD是菱形,
∴菱形BECD是正方形,即当∠A=45°时,四边形BECD是正方形.　矩形的性质
【A层 基础夯实】
知识点1　矩形的性质
1.(2024·重庆期中)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,以下说法中错误的是( )
A.∠ABC=90° B.AC=BD
C.OB=OC D.OA=AB
2.如图,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连接AE.若∠ADB=40°,则∠E的度数为( )
A.10° B.20° C.25° D.30°
3.如图,矩形ABCD中,若∠BED=125°,则∠1等于 .
4.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且∠AOD=120°.过点A作AE⊥BD于点E,则= .
5.(2023·温州中考改编)如图,已知矩形ABCD,点E在CB延长线上,点F在BC延长线上,过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H,连接AF交EH于点G,GE=GH.求证:BE=CF.
知识点2　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,若∠A=28°.则∠BDC的度数为 ( )
A.26° B.52° C.56° D.64°
7.如图,DE是△ABC的中位线,点F在DE上,且∠AFB=90°,若AB=7,BC=10,则EF= ( )
A.4 B.3 C.2.5 D.1.5
8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点.若CD=2,则线段EF的长是 .
9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,CE是AB边上的中线,与AD交于点F.若∠B=40°,则∠AFC的度数为 .
10.(2024·聊城茌平期末)如图,在△ABC和△ADC中,∠ABC=∠ADC=90°,连接BD与AC交于点O,M,N分别是AC,BD的中点,连接MN.求证:MN垂直平分BD.
【B层 能力进阶】
11.(2023·宁波中考)如图,以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE,连接AE,AD,设△AED,△ABE,△ACD的面积分别为S,S1,S2,若要求出S-S1-S2的值,只需知道 ( )
A.△ABE的面积
B.△ACD的面积
C.△ABC的面积
D.矩形BCDE的面积
12.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB=6,BC=8,过点O作OE⊥AC,交AD于点E,过点E作EF⊥BD,垂足为F,则OE+EF的值为 ( )
A. B. C. D.
13.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)(2023·哈尔滨中考)矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点F在矩形ABCD边上,连接OF.若∠ADB=38°,∠BOF=30°,则∠AOF= .
14.如图,在Rt△AEB和Rt△AFB中,∠AEB=∠AFB=90°,O为AB的中点,连接EF,OE,若∠EAF=50°,则∠OEF= .
15.如图,矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点E是BC上一点,且AE平分∠BAD交BD于点F,∠1=15°,
(1)∠BAO= ,∠2= .
(2)求证:OE=EF.
(3)求证:△BEF ≌△COE.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(几何直观、推理能力、模型观念)四边形ABCD是矩形,E是BC延长线上一点,连接AC,DE,BE=AC.
(1)如图①,若∠ACB=40°,求∠E的度数;
(2)如图②,若F是DE的中点,连接AF,CF,求证:AF⊥FC.

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