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三角形的中位线定理
【A层 基础夯实】
知识点1　三角形中位线定理
1.如图所示,D,E分别为△ABC的边AB,AC的中点.连接DE,过点B作BF平分∠ABC,交DE于点F.若EF=4,AD=7,则BC的长为 ( )
A.22 B.20 C.18 D.16
2.如图,在△ABC中,AD是△ABC的中线,E,F分别是AC,AD的中点,连接EF,已知BC=12,则EF的长为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.如图所示,在平面直角坐标系中,△AOB的边AO,AB的中点C,D的横坐标分别是1,4,则点B的横坐标是 .
4.如图,四边形ABCD为平行四边形,线段AC为对角线,点E,F分别为线段BC,AD的中点,连接EF交AC于点O.
(1)求证:四边形AECF为平行四边形;
(2)若OF=3,求CD的长.
知识点2　中点多边形
5.如图所示,四边形ABCD中,E,F,G,H依次是各边中点,O是四边形内一点,若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为5,6,7,则四边形DHOG的面积为 ( )
A.5 B.6 C.8 D.9
6.在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别为各边的中点,对角线AC,BD互相垂直,AC=6,BD=8,顺次连接这个四边形四边中点所得的四边形面积等于 .
7.(2024·菏泽模拟)顺次连接一个四边形的各边中点,得到了一个矩形,则下列四边形中满足条件的是 .(填序号)
①平行四边形;②菱形;③矩形;④对角线互相垂直的四边形.
【B层 能力进阶】
8.如图所示,某居民小区为了美化居住环境,要在一块三角形空地上围一个四边形的花坛.已知AB=12 m,BC=16 m,AC=14 m,且四边形BCFE的顶点E,F分别是边AB,AC的中点,则四边形花坛BCFE的周长是 ( )
A.20 m B.30 m C.37 m D.42 m
9.如图所示,EF是△ABC的中位线,点O是EF上一点,且满足OE=2OF,则△ABC的面积与△AOC的面积之比为 ( )
A.2∶1 B.3∶2 C.5∶3 D.3∶1
10.(2024·山西中考)在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,EG,FH交于点O.若四边形ABCD的对角线相等,则线段EG与FH一定满足的关系为 ( )
A.互相垂直平分
B.互相平分且相等
C.互相垂直且相等
D.互相垂直平分且相等
11. (2024·吉林中考)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是OA的中点,点F是OD上一点,连接EF.若∠FEO=45°,则的值为 .
12.如图所示,四边形ABCD为平行四边形,E为AD上的一点,连接EB并延长,使BF=BE,连接EC并延长,使CG=CE,连接FG.H为FG的中点,连接DH.求证:四边形AFHD为平行四边形.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(推理能力、模型观念、应用意识)在△ABC中,AE平分∠BAC,BE⊥AE于点E,点F是BC的中点.
(1)如图1,BE的延长线与AC边相交于点D,求证:EF=(AC-AB);
(2)如图2,△ABC中,AB=9,AC=5,求线段EF的长.三角形的中位线定理
【A层 基础夯实】
知识点1　三角形中位线定理
1.如图所示,D,E分别为△ABC的边AB,AC的中点.连接DE,过点B作BF平分∠ABC,交DE于点F.若EF=4,AD=7,则BC的长为 (A)
A.22 B.20 C.18 D.16
2.如图,在△ABC中,AD是△ABC的中线,E,F分别是AC,AD的中点,连接EF,已知BC=12,则EF的长为 (A)
A.3 B.4 C.5 D.6
3.如图所示,在平面直角坐标系中,△AOB的边AO,AB的中点C,D的横坐标分别是1,4,则点B的横坐标是　6　.
4.如图,四边形ABCD为平行四边形,线段AC为对角线,点E,F分别为线段BC,AD的中点,连接EF交AC于点O.
(1)求证:四边形AECF为平行四边形;
【解析】(1)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∵点E,F分别为线段BC,AD的中点,
∴AF=AD,CE=BC,∴AF=CE,
∵AF∥CE,∴四边形AECF为平行四边形;
(2)若OF=3,求CD的长.
【解析】(2)∵四边形AECF为平行四边形,∴OA=OC,
∵AF=DF,
∴OF为△ACD的中位线,
∴CD=2OF=2×3=6.
知识点2　中点多边形
5.如图所示,四边形ABCD中,E,F,G,H依次是各边中点,O是四边形内一点,若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为5,6,7,则四边形DHOG的面积为 (B)
A.5 B.6 C.8 D.9
6.在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别为各边的中点,对角线AC,BD互相垂直,AC=6,BD=8,顺次连接这个四边形四边中点所得的四边形面积等于　12　.
7.(2024·菏泽模拟)顺次连接一个四边形的各边中点,得到了一个矩形,则下列四边形中满足条件的是　②④　.(填序号)
①平行四边形;②菱形;③矩形;④对角线互相垂直的四边形.
【B层 能力进阶】
8.如图所示,某居民小区为了美化居住环境,要在一块三角形空地上围一个四边形的花坛.已知AB=12 m,BC=16 m,AC=14 m,且四边形BCFE的顶点E,F分别是边AB,AC的中点,则四边形花坛BCFE的周长是 (C)
A.20 m B.30 m C.37 m D.42 m
9.如图所示,EF是△ABC的中位线,点O是EF上一点,且满足OE=2OF,则△ABC的面积与△AOC的面积之比为 (D)
A.2∶1 B.3∶2 C.5∶3 D.3∶1
10.(2024·山西中考)在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,EG,FH交于点O.若四边形ABCD的对角线相等,则线段EG与FH一定满足的关系为 (A)
A.互相垂直平分
B.互相平分且相等
C.互相垂直且相等
D.互相垂直平分且相等
11. (2024·吉林中考)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是OA的中点,点F是OD上一点,连接EF.若∠FEO=45°,则的值为 　.
12.如图所示,四边形ABCD为平行四边形,E为AD上的一点,连接EB并延长,使BF=BE,连接EC并延长,使CG=CE,连接FG.H为FG的中点,连接DH.求证:四边形AFHD为平行四边形.
【证明】∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∵BF=BE,CG=CE,
∴BC为△EFG的中位线,
∴BC∥FG,BC=FG,
又∵H为FG的中点,
∴FH=FG,
∴FH∥AD,FH=AD,
∴四边形AFHD为平行四边形.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(推理能力、模型观念、应用意识)在△ABC中,AE平分∠BAC,BE⊥AE于点E,点F是BC的中点.
(1)如图1,BE的延长线与AC边相交于点D,求证:EF=(AC-AB);
【解析】(1)在△AEB和△AED中,
,
∴△AEB≌△AED(ASA),
∴BE=ED,AD=AB,
∵BE=ED,BF=FC,
∴EF=CD=(AC-AD)=(AC-AB);
(2)如图2,△ABC中,AB=9,AC=5,求线段EF的长.
【解析】(2)如图所示,分别延长BE,AC交于点H,
在△AEB和△AEH中,
,
∴△AEB≌△AEH(ASA),
∴BE=EH,AH=AB=9,
∵BE=EH,BF=FC,
∴EF=CH=(AH-AC)=2.

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