资源简介

　勾股定理
【A层 基础夯实】
知识点1　勾股定理与面积
1.如图,点E在正方形ABCD的边AB上,若EB=1,EC=2,那么正方形ABCD的面积为( )
A. B.3 C. D.5
2.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,BD是△ABC的角平分线,若AC=10 cm,CD=6 cm,则点D到BC的距离是( )
A.6 cm　 B.5 cm　 C.4 cm　 D.3 cm
3.若等腰三角形腰长为10 cm,底边长为12 cm,那么它的面积为 .
4.(2023·郴州中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点M是AB的中点,求CM= .
5.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)一直角三角形的三边长分别为5,12,x,那么以x为边长的正方形的面积为 .
6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D为BC的中点,过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E,若AC=4,CE=5,求CD的长.
知识点2　勾股定理的拼图验证
7.汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝,如图所示的弦图中,其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形,△ABF,△BCG,△CDH,△DAE是四个直角三角形,当EF=7,DE=12时,则正方形ABCD的边长是( )
A.13 B.28 C.48 D.52
8.如图1,将长为2a+3,宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形,拼成“赵爽弦图”(如图2),得到大小两个正方形.
(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长.
(2)当a=3时,该小正方形的面积是多少
知识点3　勾股定理的简单应用
9.如图1,一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下,树顶落在离树根12米处,图2是这棵大树折断的示意图,则这棵大树在折断之前的高是( )
A.20米 B.18米 C.16米 D.15米
10.如图,学校有一块长方形花圃,有少数人为了走“捷径”,在花圃内走出一条不文明的“路”,其实他们仅仅少走了 m,却踩伤了花草.( )
A.1 B.2 C.1.5 D.0.5
【B层 能力进阶】
11.(2024·潍坊质检)如图,在△ABC中,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,且EF∥BC交AC于M,若CM=3,则CE2+CF2的值为( )
A.6　 B.9　 C.18　 D.36
12.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,CD⊥AB于点D,E是AB的中点,则DE的长为( )
A.0.6　 B.0.7　 C.0.8　 D.0.9
13.(2024·苏州期中)如图,四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间是个小正方形,这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.连接四条线段得到如图2的新的图案.如果图1中的直角三角形的长直角边为9,短直角边为4,图2中的阴影部分的面积为S,那么S的值为( )
A.56 B.60 C.65 D.75
14.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D是BC上的点,若BD=6,DC=9,则AB2-AD2的值为 .
15.如图,已知∠B=∠C=∠D=∠E=90°,且AB=CD=3,BC=DE=8,EF=6,求A,F两点间的距离.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(应用意识、推理能力、运算能力)
傍晚,子涵同学去小区遛狗,她观察发现,她站直身体时,牵绳的手离地面高度为AB=1.3米,小狗的高CD=0.3米,小狗与子涵的距离AC=2.4米.(绳子一直是直的)
(1)此时,牵狗绳BD的长为 米;
(2)子涵将手上的小球扔至3.2米远的M处,若她站着不动,将牵狗绳放长至3.5米,则小狗能否将小球捡回来 请说明理由.(假设小狗碰到球就能将球捡回来)　勾股定理
【A层 基础夯实】
知识点1　勾股定理与面积
1.如图,点E在正方形ABCD的边AB上,若EB=1,EC=2,那么正方形ABCD的面积为(B)
A. B.3 C. D.5
2.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,BD是△ABC的角平分线,若AC=10 cm,CD=6 cm,则点D到BC的距离是(C)
A.6 cm　 B.5 cm　 C.4 cm　 D.3 cm
3.若等腰三角形腰长为10 cm,底边长为12 cm,那么它的面积为　48 cm2　.
4.(2023·郴州中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点M是AB的中点,求CM=　5　.
5.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)一直角三角形的三边长分别为5,12,x,那么以x为边长的正方形的面积为　169或119　.
6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D为BC的中点,过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E,若AC=4,CE=5,求CD的长.
【解析】因为点D为BC的中点,
所以BD=CD,
因为CE∥AB,所以∠B=∠DCE,
在△ABD和△ECD中,,
所以△ABD≌△ECD(ASA),所以AB=CE=5,
所以在Rt△ABC中,BC2=AB2-AC2=52-42=9,所以BC=3,所以CD=.
知识点2　勾股定理的拼图验证
7.汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝,如图所示的弦图中,其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形,△ABF,△BCG,△CDH,△DAE是四个直角三角形,当EF=7,DE=12时,则正方形ABCD的边长是(A)
A.13 B.28 C.48 D.52
8.如图1,将长为2a+3,宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形,拼成“赵爽弦图”(如图2),得到大小两个正方形.
(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长.
【解析】本题考查列代数式,代数式求值,勾股定理的图形验证.观察题图,找出直角三角形与小正方形的关系.
(1)因为直角三角形较短的直角边为×2a=a,较长的直角边为2a+3,
所以小正方形的边长为2a+3-a=a+3;
(2)当a=3时,该小正方形的面积是多少
【解析】(2)小正方形的面积为(a+3)2,
当a=3时,面积为(3+3)2=36.
知识点3　勾股定理的简单应用
9.如图1,一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下,树顶落在离树根12米处,图2是这棵大树折断的示意图,则这棵大树在折断之前的高是(B)
A.20米 B.18米 C.16米 D.15米
10.如图,学校有一块长方形花圃,有少数人为了走“捷径”,在花圃内走出一条不文明的“路”,其实他们仅仅少走了　　　　m,却踩伤了花草.(B)
A.1 B.2 C.1.5 D.0.5
【B层 能力进阶】
11.(2024·潍坊质检)如图,在△ABC中,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,且EF∥BC交AC于M,若CM=3,则CE2+CF2的值为(D)
A.6　 B.9　 C.18　 D.36
12.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,CD⊥AB于点D,E是AB的中点,则DE的长为(B)
A.0.6　 B.0.7　 C.0.8　 D.0.9
13.(2024·苏州期中)如图,四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间是个小正方形,这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.连接四条线段得到如图2的新的图案.如果图1中的直角三角形的长直角边为9,短直角边为4,图2中的阴影部分的面积为S,那么S的值为(C)
A.56 B.60 C.65 D.75
14.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D是BC上的点,若BD=6,DC=9,则AB2-AD2的值为　144　.
15.如图,已知∠B=∠C=∠D=∠E=90°,且AB=CD=3,BC=DE=8,EF=6,求A,F两点间的距离.
【解析】本题考查构造直角三角形运用勾股定理计算线段的长度.
过点F作FG⊥AB,交AB的延长线于点G,如图所示,
因为∠ABC=∠C=∠D=∠E=90°,且AB=CD=3,EF=6,
所以AG=AB+CD+EF=3+3+6=12,因为BC=DE=8,所以FG=BC+DE=8+8=16,
因为FG⊥AB,所以∠G=90°.在Rt△AGF中,AF2=AG2+FG2=122+162=202,
所以AF=20,所以A,F两点间的距离为20.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(应用意识、推理能力、运算能力)
傍晚,子涵同学去小区遛狗,她观察发现,她站直身体时,牵绳的手离地面高度为AB=1.3米,小狗的高CD=0.3米,小狗与子涵的距离AC=2.4米.(绳子一直是直的)
(1)此时,牵狗绳BD的长为　　　　　　米;
【解析】(1)过点D作DE⊥AB,
由题意可知四边形ACDE是矩形,
∴DE=AC=2.4米,CD=AE=0.3米,
则BE=AB-AE=1米,
在Rt△BDE中,BD==2.6米;
答案:2.6
(2)子涵将手上的小球扔至3.2米远的M处,若她站着不动,将牵狗绳放长至3.5米,则小狗能否将小球捡回来 请说明理由.(假设小狗碰到球就能将球捡回来)
【解析】(2)小狗能将小球捡回来,理由如下:
当小狗跑至M处时,MN=CD=0.3米,过点N作NF⊥AB,
由题意可知四边形AMNF是矩形,
∴NF=AM=3.2米,MN=AF=0.3米,
则BF=AB-AF=1米,
在Rt△BNF中,
BN===(米),
而3.5=
<
小狗能将小球捡回来.

展开更多......

收起↑