资源简介

　勾股定理的逆定理
【A层 基础夯实】
知识点1　勾股定理的逆定理
1.满足下列关系的三条线段a,b,c组成的三角形一定是直角三角形的是(D)
A.ab-c
C.a=b=c D.a2=b2-c2
2.以下列各组数为边长的三角形中,是直角三角形的是(B)
A.2,3,4 B.3,4,5
C.5,12,16 D.6,8,12
3.(2024·潍坊期末)下列条件中,不能判断△ABC是直角三角形的是(B)
A.AB2+BC2=AC2
B.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5
C.∠A+∠B=∠C
D.AB=1,BC=,AC=
4.(2024·菏泽质检)如图,△ABC在每个小正方形边长都为1的网格图中,顶点都在格点上,下列结论不正确的是(D)
A.BC=5
B.△ABC的面积为5
C.∠A=90°
D.点A到BC的距离为
知识点2　勾股数
5.(2024·聊城期末)我国是最早了解勾股定理的国家之一,它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中.下列各组数中,是“勾股数”的是(D)
A.2,3,4　 B.4,5,6
C.7,8,9　 D.6,8,10
6.下列几组数中,是勾股数的有(B)
①0.6,0.8,1;　②7,24,25;
③10,24,26;　④,,.
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
知识点3　勾股定理逆定理的应用
7.如图,某小区有一块四边形空地ABCD,为了美化小区环境,现计划在空地上铺上草坪,其中∠B=90°,AB=3 m,BC=4 m,CD=12 m,AD=13 m.
(1)连接AC,则AC=　5　m.
(2)这块草坪的面积为　36　m2.
8.如图,这是某推车的简化结构示意图.现测得BC=2 dm,CD=8 dm,AD=
16 dm,AB=18 dm,其中AD与BD之间由一个固定为90°的零件连接
(即∠ADB=90°),按照设计要求需满足BC⊥CD,请判断该推车是否符合设计要求,并说明理由.
【解析】该推车符合设计要求,理由如下:
∵∠ADB=90°,AD=16 dm,AB=18 dm,
∴BD==
=2(dm),
∵BC=2 dm,CD=8 dm,
∴BC2+CD2=68=BD2,
∴△BCD是直角三角形,且∠BCD=90°,
∴BC⊥CD,
∴该推车符合设计要求.
【B层 能力进阶】
9.(2024·聊城模拟)五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,下列示意图中正确的是(C)
10.如图,小正方形的边长均为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ACB的度数是(B)
A.30° B.45° C.60° D.90°
11.如图,在四边形ABCD中,AB=BC=2,CD=1,AD=3,若∠B=90°,则∠BCD的度数为　135°　.
12.△ABC的三边长为a,b,c满足|a+b-50|++(c-40)2=0.试判断△ABC的形状是　直角三角形　.
13.勾股定理a2+b2=c2本身就是一个关于a,b,c的方程,满足这个方程的正整数解(a,b,c)通常被称为勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式,根据该公式可以构造出如下勾股数组:(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),….分析上面勾股数组可以发现,4=1×(3+1),12=2×(5+1),24=3×(7+1),…分析上面规律,第5个勾股数组为　(11,60,61)　.
14.(2024·潍坊质检)如图,在△ABC中,AB边上的垂直平分线DE与AB,AC分别交于点D,E,且CB2=AE2-CE2.
(1)求证:∠C=90°;
【解析】(1)连接BE,
∵AB边上的垂直平分线为DE,∴AE=BE,
∵CB2=AE2-CE2,
∴CB2=BE2-CE2,
∴CB2+CE2=BE2,∴∠C=90°;
(2)若AC=15,BC=9,求CE的长.
【解析】(2)∵AC=AE+EC=15,AE=BE,
∴CE+BE=15,
设CE=x,则BE=15-x,
∵CE2+CB2=BE2,BC=9,
∴x2+92=(15-x)2,
解得x=,∴CE=.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(运算能力、推理能力、应用意识)(新定义问题)定义:在△ABC中,若BC=a,AC=b,AB=c,a,b,c满足ac+a2=b2,则称这个三角形为“类勾股三角形”.请根据以上定义解决下列问题:
(1)如图1所示,若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”,其中AB=BC,AC>AB,请求
∠A的度数.
【解析】(1)因为AB=BC,AC>AB,
所以a=c,b>c,
因为△ABC是“类勾股三角形”,
所以ac+a2=b2,所以c2+a2=b2,
所以△ABC是等腰直角三角形,
所以∠A=45°.
(2)如图2所示,在△ABC中,∠B=2∠A,且∠C>∠A.请证明△ABC为“类勾股三角形”.
【解析】(2)如图,在AB边上取点D,连接CD,使∠ACD=∠A,作CG⊥AB于点G,
因为∠CDB+∠CBD+∠BCD=180°,∠A+∠ACD+∠CBD+∠BCD=180°,
所以∠CDB=∠ACD+∠A=2∠A,
因为∠B=2∠A,所以∠CDB=∠B,
所以CD=CB=a,
因为∠ACD=∠A,所以AD=CD=a,
所以DB=AB-AD=c-a,
因为CG⊥AB,所以DG=BG=(c-a),
所以AG=AD+DG=a+(c-a)=(a+c),
在Rt△ACG中,CG2=AC2-AG2
=b2-[(a+c) ]2,
在Rt△BCG中,CG2=BC2-BG2
=a2-[(c-a) ]2,
所以b2-[(a+c) ]2=a2-[(c-a) ]2,
所以b2=ac+a2,
所以△ABC是“类勾股三角形”.　勾股定理的逆定理
【A层 基础夯实】
知识点1　勾股定理的逆定理
1.满足下列关系的三条线段a,b,c组成的三角形一定是直角三角形的是( )
A.ab-c
C.a=b=c D.a2=b2-c2
2.以下列各组数为边长的三角形中,是直角三角形的是( )
A.2,3,4 B.3,4,5
C.5,12,16 D.6,8,12
3.(2024·潍坊期末)下列条件中,不能判断△ABC是直角三角形的是( )
A.AB2+BC2=AC2
B.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5
C.∠A+∠B=∠C
D.AB=1,BC=,AC=
4.(2024·菏泽质检)如图,△ABC在每个小正方形边长都为1的网格图中,顶点都在格点上,下列结论不正确的是( )
A.BC=5
B.△ABC的面积为5
C.∠A=90°
D.点A到BC的距离为
知识点2　勾股数
5.(2024·聊城期末)我国是最早了解勾股定理的国家之一,它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中.下列各组数中,是“勾股数”的是( )
A.2,3,4　 B.4,5,6
C.7,8,9　 D.6,8,10
6.下列几组数中,是勾股数的有( )
①0.6,0.8,1;　②7,24,25;
③10,24,26;　④,,.
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
知识点3　勾股定理逆定理的应用
7.如图,某小区有一块四边形空地ABCD,为了美化小区环境,现计划在空地上铺上草坪,其中∠B=90°,AB=3 m,BC=4 m,CD=12 m,AD=13 m.
(1)连接AC,则AC= m.
(2)这块草坪的面积为 m2.
8.如图,这是某推车的简化结构示意图.现测得BC=2 dm,CD=8 dm,AD=
16 dm,AB=18 dm,其中AD与BD之间由一个固定为90°的零件连接
(即∠ADB=90°),按照设计要求需满足BC⊥CD,请判断该推车是否符合设计要求,并说明理由.
【B层 能力进阶】
9.(2024·聊城模拟)五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,下列示意图中正确的是( )
10.如图,小正方形的边长均为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ACB的度数是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
11.如图,在四边形ABCD中,AB=BC=2,CD=1,AD=3,若∠B=90°,则∠BCD的度数为 .
12.△ABC的三边长为a,b,c满足|a+b-50|++(c-40)2=0.试判断△ABC的形状是 .
13.勾股定理a2+b2=c2本身就是一个关于a,b,c的方程,满足这个方程的正整数解(a,b,c)通常被称为勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式,根据该公式可以构造出如下勾股数组:(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),….分析上面勾股数组可以发现,4=1×(3+1),12=2×(5+1),24=3×(7+1),…分析上面规律,第5个勾股数组为 .
14.(2024·潍坊质检)如图,在△ABC中,AB边上的垂直平分线DE与AB,AC分别交于点D,E,且CB2=AE2-CE2.
(1)求证:∠C=90°;
(2)若AC=15,BC=9,求CE的长.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(运算能力、推理能力、应用意识)(新定义问题)定义:在△ABC中,若BC=a,AC=b,AB=c,a,b,c满足ac+a2=b2,则称这个三角形为“类勾股三角形”.请根据以上定义解决下列问题:
(1)如图1所示,若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”,其中AB=BC,AC>AB,请求
∠A的度数.
(2)如图2所示,在△ABC中,∠B=2∠A,且∠C>∠A.请证明△ABC为“类勾股三角形”.

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