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18.2.2　菱形
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解菱形的概念,明确菱形和平行四边形的区别和联系. 抽象能力
2.探索并证明菱形的性质,会用菱形性质解决相关问题. 推理能力、几何直观、模型观念
3.掌握菱形的面积公式,会求菱形的面积. 几何直观、模型观念
基础主干落实　　九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
1.菱形的定义与性质: (1)定义:有一组 的平行四边形. (2)性质:①具有平行四边形所有的性质. ②边: 都相等. ③对角线互相 ,并且每一条对角线 一组对角. ④是轴对称图形,有两条对称轴,它的对角线所在的直线是它的对称轴. 1.如图,在菱形ABCD中, (1)∠A=100°,BD是菱形ABCD的一条对角线,则∠BDC的度数是 . (2)若∠A=120°,AB=3,则BD= ;AC= .
2.菱形面积: S菱形=底×高=两条对角线乘积的一半 2.一个对角线长分别为6 cm和8 cm的菱形,这个菱形的面积为 .
重点典例研析　　循道而行 方能致远
【重点2】菱形的性质(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P56例3·2023嘉兴中考)如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,连接EF.
(1)求证:AE=AF;
(2)若∠B=60°,求∠AEF的度数.
【举一反三】
1.(2024·福州期末)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H,连接OH,若∠BAD=58°,则∠DHO的度数为 .
2.(2024·武汉期中)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,DH⊥AB于点H,交AC于点E.
(1)若∠DAB=70°,求∠HDO的度数;
(2)若AO=6,点E是AO中点,求DH的长.
【技法点拨】
菱形的边和对角线的应用
1.菱形“边”的应用:菱形的四条边相等,可以知一边求菱形的周长,也可以求证线段相等.
2.菱形“对角线”的应用:菱形对角线互相垂直,可求证垂直(直角三角形等),可计算菱形的边长、周长、对角线的长以及面积问题.
【重点2】菱形性质的实际应用(几何直观,推理能力)
【典例2】(教材再开发·P56例3拓展)如图,四边形ABCD是一个菱形绿草地,其周长为40 m,∠ABC=120°,在其内部有一个矩形花坛EFGH,其四个顶点恰好在菱形ABCD各边的中点,现准备在花坛中种植茉莉花,其单价为30元/m2,则需投资资金多少元 (取1.732)
【举一反三】
　如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的,根据实际需要可以调节A,E间的距离.若A,E间的距离调节到90 cm,菱形的边长AB=30 cm,则∠DCB的度数是( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.80° B.100° C.120° D.140°
【技法点拨】
利用菱形的性质解决问题的方法
利用菱形的性质,可解决实际问题中有关菱形边角的计算(或证明线段、角的相等)问题.一
般是根据菱形的性质,将有关的边、角的求解问题,转化到三角形中(或证明三角形的全等),再利用学过的知识进行求解(或证出线段、角的相等),从而解决问题.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(4分·模型观念)下列性质中菱形不一定具有的性质是( )
A.对角线互相平分
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.既是轴对称图形又是中心对称图形
2.(4分·运算能力、几何直观)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,且AC=6,BD=8,过点A作AE⊥BC于点E,则AE长为( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
3.(4分·推理能力)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=80°,点E在对角线BD上,且BE=BA,那么∠AEB的度数是 .
4.(8分·几何直观、推理能力)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC,AE∥BD,OE与AB交于点F.
(1)求证:四边形AEBO为矩形;
(2)若OE=10,AC=16,求菱形ABCD的面积.18.2.2　菱形
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
探索并证明菱形的判定定理,会用判定定理解决相关问题. 推理能力、几何直观、模型观念
基础主干落实　　博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
菱形的判定方法: (1)定义:有一组 的平行四边形. (2)边: 都相等的四边形. (3)对角线互相 的平行四边形. 如图,在四边形ABCD中,AD=BC,AC⊥BD于点O.请添加一个条件: ,使四边形ABCD成为菱形.
重点典例研析　　精钻细研 学深悟透
【重点1】菱形的判定(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P68T12)(2023·怀化中考)如图,在矩形ABCD中,过对角线BD的中点O作BD的垂线EF,分别交AD,BC于点E,F.
(1)证明:△BOF ≌△DOE;
(2)连接BE,DF,证明:四边形EBFD是菱形.
【举一反三】
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D为AB的中点,AE∥CD,CE∥AB,则四边形ADCE的周长为 .
【技法点拨】
菱形的常用判定方法的选择
已有条件 需要条件
平行四边形 邻边相等
对角线互相垂直
每条对角线平分一组对角
一般四边形 四条边都相等
对角线互相垂直平分
对角线互相平分,且每一条对角线平分一组对角
【重点2】菱形性质和判定的综合应用(几何直观、推理能力)
【典例2】(教材溯源·P67T5·2023随州中考)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE∥AC,CE∥BD.
(1)求证:四边形OCED是菱形;
(2)若BC=3,DC=2,求四边形OCED的面积.
【举一反三】
如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D为BC的中点,E为AD的中点.过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F,连接BF.
(1)求证:四边形ADBF为菱形;
(2)若AB=8,菱形ADBF的面积为40,求AC的长.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(4分·模型观念)如图,要使 ABCD成为菱形,需要添加的条件可以是( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.AB=AC B.AC⊥BD
C.∠BAC=90° D.AC=BD
2.(4分·运算能力、几何直观)(2023·西藏中考)如图,两张宽为3的长方形纸条叠放在一起,已知∠ABC=60°,则阴影部分的面积是( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.3 C. D.6
3.(4分·推理能力)如图,在等腰三角形ABC中,CB=CA,将其沿AB折叠使点C与点D重合,延长AB至点F,DB至点E,∠EBF=55°,则∠C的度数是 .
4.(8分·几何直观、推理能力)(2023·湘西中考)如图,四边形ABCD是平行四边形,BM∥DN,且分别交对角线AC于点M,N,连接MD,BN.
(1)求证:∠DMN=∠BNM;
(2)若∠BAC=∠DAC.求证:四边形BMDN是菱形.18.2.2　菱形
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
探索并证明菱形的判定定理,会用判定定理解决相关问题. 推理能力、几何直观、模型观念
基础主干落实　　博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
菱形的判定方法: (1)定义:有一组　邻边相等　的平行四边形. (2)边:　四条边　都相等的四边形. (3)对角线互相　垂直　的平行四边形. 如图,在四边形ABCD中,AD=BC,AC⊥BD于点O.请添加一个条件:　AD∥BC(AB=CD或OB=OD或∠ADB=∠CBD等)　,使四边形ABCD成为菱形.
重点典例研析　　精钻细研 学深悟透
【重点1】菱形的判定(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P68T12)(2023·怀化中考)如图,在矩形ABCD中,过对角线BD的中点O作BD的垂线EF,分别交AD,BC于点E,F.
(1)证明:△BOF ≌△DOE;
(2)连接BE,DF,证明:四边形EBFD是菱形.
【自主解答】(1)如图所示,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∵O是BD的中点,
∴BO=DO,
在△BOF与△DOE中,,
∴△BOF ≌△DOE(AAS);
(2)∵△BOF ≌△DOE,∴ED=BF,
又∵ED∥BF,
∴四边形EBFD是平行四边形,
∵EF⊥BD,
∴四边形EBFD是菱形.
【举一反三】
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D为AB的中点,AE∥CD,CE∥AB,则四边形ADCE的周长为　10　.
【技法点拨】
菱形的常用判定方法的选择
已有条件 需要条件
平行四边形 邻边相等
对角线互相垂直
每条对角线平分一组对角
一般四边形 四条边都相等
对角线互相垂直平分
对角线互相平分,且每一条对角线平分一组对角
【重点2】菱形性质和判定的综合应用(几何直观、推理能力)
【典例2】(教材溯源·P67T5·2023随州中考)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE∥AC,CE∥BD.
(1)求证:四边形OCED是菱形;
(2)若BC=3,DC=2,求四边形OCED的面积.
【自主解答】(1)∵DE∥AC,CE∥BD,
∴四边形OCED是平行四边形,
∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,OC=AC,OD=BD,∴OC=OD,
∴平行四边形OCED是菱形;
(2)矩形ABCD的面积为BC·DC=3×2=6,∴△OCD的面积为×6=,
∴菱形OCED的面积为2×=3.
【举一反三】
如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D为BC的中点,E为AD的中点.过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F,连接BF.
(1)求证:四边形ADBF为菱形;
(2)若AB=8,菱形ADBF的面积为40,求AC的长.
【解析】(1)∵AF∥BC,
∴∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠CDE,
∵E为AD的中点,
∴AE=DE,
∴△AFE ≌△DCE(AAS),
∴EF=EC,
∵D为BC的中点,
∴AD∥FB,
∵AF∥BC,
∴四边形AFBD是平行四边形,
∵∠BAC=90°,D是BC的中点,
∴AD=BD=BC,
∴四边形ADBF是菱形;
(2)∵四边形ADBF是菱形,
∴S菱形ADBF=2S△ABD,
∵点D是BC的中点,
∴S△ABC=2S△ABD,
∴S菱形ADBF=S△ABC=40,
∴AB·AC=40,
∴×8·AC=40,
∴AC=10,
∴AC的长为10.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(4分·模型观念)如图,要使 ABCD成为菱形,需要添加的条件可以是(B)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.AB=AC B.AC⊥BD
C.∠BAC=90° D.AC=BD
2.(4分·运算能力、几何直观)(2023·西藏中考)如图,两张宽为3的长方形纸条叠放在一起,已知∠ABC=60°,则阴影部分的面积是(D)
　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.3 C. D.6
3.(4分·推理能力)如图,在等腰三角形ABC中,CB=CA,将其沿AB折叠使点C与点D重合,延长AB至点F,DB至点E,∠EBF=55°,则∠C的度数是　70°　.
4.(8分·几何直观、推理能力)(2023·湘西中考)如图,四边形ABCD是平行四边形,BM∥DN,且分别交对角线AC于点M,N,连接MD,BN.
(1)求证:∠DMN=∠BNM;
(2)若∠BAC=∠DAC.求证:四边形BMDN是菱形.
【解析】(1)连接BD,交AC于点O,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD,
∵BM∥DN,
∴∠MBO=∠NDO,
又∠BOM=∠DON,
∴△BOM ≌△DON,
∴BM=DN,
∴四边形BMDN为平行四边形,
∴BN∥DM,
∴∠DMN=∠BNM;
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC∥AD,
∴∠BCA=∠DAC,
∵∠BAC=∠DAC,
∴∠BAC=∠BCA,
∴AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∴MN⊥BD,
∴平行四边形BMDN是菱形.
训练升级,请使用　“课时过程性评价 十八”18.2.2　菱形
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解菱形的概念,明确菱形和平行四边形的区别和联系. 抽象能力
2.探索并证明菱形的性质,会用菱形性质解决相关问题. 推理能力、几何直观、模型观念
3.掌握菱形的面积公式,会求菱形的面积. 几何直观、模型观念
基础主干落实　　九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
1.菱形的定义与性质: (1)定义:有一组　邻边相等　的平行四边形. (2)性质:①具有平行四边形所有的性质. ②边:　四条边　都相等. ③对角线互相　垂直　,并且每一条对角线　平分　一组对角. ④是轴对称图形,有两条对称轴,它的对角线所在的直线是它的对称轴. 1.如图,在菱形ABCD中, (1)∠A=100°,BD是菱形ABCD的一条对角线,则∠BDC的度数是　40°　. (2)若∠A=120°,AB=3,则BD=　3　;AC=　3　.
2.菱形面积: S菱形=底×高=两条对角线乘积的一半 2.一个对角线长分别为6 cm和8 cm的菱形,这个菱形的面积为　24 cm2　.
重点典例研析　　循道而行 方能致远
【重点2】菱形的性质(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P56例3·2023嘉兴中考)如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,连接EF.
(1)求证:AE=AF;
(2)若∠B=60°,求∠AEF的度数.
【自主解答】(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,∠B=∠D,
又∵AE⊥BC,AF⊥CD,
∴∠AEB=∠AFD=90°.
在△AEB和△AFD中,
,
∴△ABE ≌△ADF(AAS),
∴AE=AF.
(2)∵四边形ABCD是菱形,
∴∠B+∠BAD=180°,
∵∠B=60°,
∴∠BAD=120°.
又∵∠AEB=90°,∠B=60°,
∴∠BAE=30°.
由(1)知△ABE ≌△ADF,
∴∠BAE=∠DAF=30°,
∴∠EAF=120°-30°-30°=60°.
∵AE=AF,
∴△AEF是等边三角形,
∴∠AEF=60°.
【举一反三】
1.(2024·福州期末)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H,连接OH,若∠BAD=58°,则∠DHO的度数为　29°　.
2.(2024·武汉期中)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,DH⊥AB于点H,交AC于点E.
(1)若∠DAB=70°,求∠HDO的度数;
(2)若AO=6,点E是AO中点,求DH的长.
【解析】(1)∵四边形ABCD为菱形,
∴AC⊥BD,∠DAC=∠BAC=∠DAB,
∵∠DAB=70°,∴∠BAO=∠BAD=35°,
又∵DH⊥AB,∠DHA=∠DOA=90°,
∴∠HDO+∠DOA=∠EAH+∠EHA,
∴∠HDO=∠HAO=35°;
(2)∵四边形ABCD为菱形,
∴OA=OC,AC⊥BD,AB∥CD,
∵AO=6,点E是AO中点,
∴AE=OE=3,CE=9,
∵DH⊥AB,
∴∠DHA=∠HDC=90°=∠DOA,
在Rt△EDC中,由勾股定理得:DE2+CD2=EC2,
设DO=x,则:x2+9+x2+36=81,
∴x2=18,
∵x>0,
∴x=3,
∴BD=2DO=6,
在Rt△AOB中,由勾股定理得:AB2=OA2+OB2=36+18=54,
∵AB>0,
∴AB=3,
又∵S菱形ABCD=AC×BD=AB×DH,
∴×12×6=3×DH,
∴DH=4.
【技法点拨】
菱形的边和对角线的应用
1.菱形“边”的应用:菱形的四条边相等,可以知一边求菱形的周长,也可以求证线段相等.
2.菱形“对角线”的应用:菱形对角线互相垂直,可求证垂直(直角三角形等),可计算菱形的边长、周长、对角线的长以及面积问题.
【重点2】菱形性质的实际应用(几何直观,推理能力)
【典例2】(教材再开发·P56例3拓展)如图,四边形ABCD是一个菱形绿草地,其周长为40 m,∠ABC=120°,在其内部有一个矩形花坛EFGH,其四个顶点恰好在菱形ABCD各边的中点,现准备在花坛中种植茉莉花,其单价为30元/m2,则需投资资金多少元 (取1.732)
【自主解答】连接BD,AC相交于点O,如图,
∵四边形ABCD是一个菱形,
∴AC⊥BD,
∵∠ABC=120°,
∴∠BAD=60°,
∴△ABD为等边三角形,
∵菱形的周长为40 m,
∴菱形的边长为10 m,
∴BD=10 m,BO=5 m,
∴在Rt△AOB中,OA===5 m,
∴AC=2OA=10 m.
∵E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,∴EH=BD=5 m,EF=AC=5 m,∴S矩形=5×5=50(m2),
则需投资资金50×30≈1 500×1.732=2 598元.
【举一反三】
　如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的,根据实际需要可以调节A,E间的距离.若A,E间的距离调节到90 cm,菱形的边长AB=30 cm,则∠DCB的度数是(C)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.80° B.100° C.120° D.140°
【技法点拨】
利用菱形的性质解决问题的方法
利用菱形的性质,可解决实际问题中有关菱形边角的计算(或证明线段、角的相等)问题.一
般是根据菱形的性质,将有关的边、角的求解问题,转化到三角形中(或证明三角形的全等),再利用学过的知识进行求解(或证出线段、角的相等),从而解决问题.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(4分·模型观念)下列性质中菱形不一定具有的性质是(C)
A.对角线互相平分
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.既是轴对称图形又是中心对称图形
2.(4分·运算能力、几何直观)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,且AC=6,BD=8,过点A作AE⊥BC于点E,则AE长为(B)
　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
3.(4分·推理能力)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=80°,点E在对角线BD上,且BE=BA,那么∠AEB的度数是　70°　.
4.(8分·几何直观、推理能力)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC,AE∥BD,OE与AB交于点F.
(1)求证:四边形AEBO为矩形;
(2)若OE=10,AC=16,求菱形ABCD的面积.
【解析】(1)∵BE∥AC,AE∥BD,
∴四边形AEBO是平行四边形.
又∵菱形ABCD对角线交于点O,
∴AC⊥BD,即∠AOB=90°,
∴四边形AEBO是矩形.
(2)∵四边形ABCD是菱形,
∴OA=AC=8,
∵OE=10,∠OAE=90°,
∴AE==6,
∴OB=6,
∴S△ABC=AC·OB=×16×6=48,
∴菱形ABCD的面积为2S△ABC=2×48=96.
训练升级,请使用　“课时过程性评价 十七”

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