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2025年九年级数学中考三轮冲刺训练四边形有关的综合问题
一、选择题
1．如图，在正方形ABCD中，以AB为边作等边三角形ABP，连接AC，PD，PC，则下列结论；①∠BCP＝75°；②△ADP≌△BCP；③△ADP和△ABC的面积比为1：2；④．其中结论正确的序号有（　　）
A．①②④ B．②③ C．①③④ D．①②③④
2．如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，且CD＝3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE．延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠GAE＝45°；③BG＝GC；④AG∥CF；⑤△GCF是等边三角形，其中正确结论有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，正方形ABCD的边长为12，E为CD的中点，连接BD，AE交于点F，连接CF，则tan∠FCD的值为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，点E在正方形ABCD的内部，且△ABE是等边三角形，连接BD，DE，则∠BDE＝（　　）
A．37.5° B．35° C．30° D．25°
5．2024年6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器和上升器组合体在鹊桥二号中继星的支持下，成功着陆在月球背面南极一艾特肯盆地预选着陆区．组合体元件中有个展板的平面图如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，AB上的点，DE，CF相交于点M．N是DF的中点，若AF＝1，CE＝BF＝2，则MN的长为（　　）
A． B． C．2 D．
6．如图所示，已知∠KEF＝120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠H+∠G+∠M+∠N＝（　　）
A．540° B．600° C．620° D．720°
7．如图，正方形ABCD的对角线BD上有一点E，满足DE＝2BE，连接CE，过D作DF⊥CE 于F，连接BF．则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，正方形CEDF的顶点D，E，F分别在△ABC的边AB，BC，AC上．AD＝5，DB＝3，则△AFD与△BDE面积之和等于（　　）
A．5.5 B．6 C．7.5 D．8
9．如图，在 ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，AD＞AB，H、G分别是CD、BC上的动点，连接AH、GH，E、F分别为AH、GH的中点，则EF的最小值是（　　）
A．4 B．5 C． D．
10．如图，在一个大长方形中放入了标号为①，②，③，④，⑤五个四边形，其中①，②为两个长方形，③，④，⑤为三个正方形，相邻图形之间互不重叠也无缝隙．若想求得长方形②的周长，甲、乙、丙、丁四位同学提出了自己的想法：
甲说：只需要知道①与③的周长和；乙说：只需要知道①与⑤的周长和；
丙说：只需要知道③与④的周长和；丁说：只需要知道⑤与①的周长差．
下列说法正确的是（　　）
A．只有甲正确 B．甲和乙均正确
C．乙和丙均正确 D．只有丁正确
二、填空题
11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为斜边BC上的一个动点，过P分别作PE⊥AB于点E，作PF⊥AC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为 　 　．
12．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G，连接DG．点E从点C运动到点D的过程中，DG的最小值为　 　．
13．如图，已知菱形ABCD的边长为2°，点G、E、F分别是BD、AB、AD上的点，若GE+GF＝3，则AE+AF的值是 　 　．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝8，点P是对角线AC上一个动点（点P与点A，C不重合），过点P分别作PE⊥AD于点E，PF∥BC交CD于点F，连接EF，则EF的最小值为 　 　．
15．如图，正方形OABC的两边OA，OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D 的坐标是 　 　．
16．如图，在矩形ABCD中，E，F是边BC上两点，且BE＝EF＝FC，连接DE，AF，DE与AF相交于点G，连接BG．若AB＝4，BC＝6，则cos∠GBF的值为　 　．
17．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的两个点，连接AE、AF分别与对角线BD交于点G、H，连接GF，若AG⊥GF，DHBG，下列说法正确的序号是 　 　．
①AG＝FG；②BG2+DH2＝GH2；③∠BGE＝60°；④若CE＝3，BE+DF值为3．
18．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点G，H分别为DE，AF的中点，连接GH，则GH的长为 　 　．
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，动点E从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BC向右运动，同时动点F从点D出发，以每秒4个单位长度的速度沿DA向左运动，当点F到达点A时运动停止，连接EF，过点C作CG⊥EF于点G，则CG的最大值为 　 　．
20．如图，在正方形ABCD中，，点E为边AD上一点，连接BE，点G在BE上，以GE为边作等边△EFG，点F落在CD上，M为GF中点，连接CM，则CM的最小值为 　 　．
三、解答题
21．已知正方形ABCD，点E，F，G分别在边CD，BC，AD上，连接AE、GF，
（1）若AE⊥GF于点H．
①如图1，求证：AE＝GF；
②如图2，将GF向下平移，当点G与D重合时，若E为CD的中点，连接HC，求的值；
（2）如图；若AB＝6，AG＝CF＝1.5，且CE＝2DE，请你求出∠AHG的度数．
22．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“理正四边形”．
（1）①在“平行四边形，矩形，菱形”中，一定是“理正四边形”的有 　 　；②在凸四边形ABCD中，AB＝AD且CB≠CD，则该四边形“理正四边形”．（填“是”或“不是”或“有可能是”）
（2）如图1，四边形ABCD是面积为1的“理正四边形”，且AC﹣BD＝3求AC：BD的值；
（3）如图2，在平面直角坐标系中第一象限内有动点E，且1≤OE≤2，四边形ABCD是“理正四边形”（点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上），在并且EA＝EB＝EC＝ED＝3，求AC：BD的取值范围．
23．如图，四边形ABCO为矩形，A点在x轴上，C点在y轴上，O点坐标是（0，0），B点坐标是（8，12），矩形ABCO沿直线ED折叠，点C落在AB边上的F处，E、F分别在OC、AB上，且E点的坐标是（0，2）．
（1）求F点坐标；
（2）如图2，P点在第二象限，且△PDE≌△CED，求P点的坐标；
（3）点N在x轴上，直线ED上是否存在点M，使以M、N、F、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图，在正方形ABCD中，点E为AB边上的中点，连接DE，作AF⊥DE，垂足为F，连接BF．
（1）求的值；
（2）求∠AFB的度数；
（3）取BD的中点O，连接OF．OF与BF之间有怎样的关系？请说明理由．
25．在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使C点恰好落在AD边上点F处，且AB≠BC．
（1）如图1，若BC＝2BA，求∠CBE的度数；
（2）如图2，当DE＝4，且AF FD＝40时，求BC的长；
（3）如图3，作∠ABF的角平分线交AD于点N，若BC＝5，，求AB的值．
26．如图，四边形ABCD为平行四边形，对角线AC的垂直平分线EF分别交边AD，BC于点E，F，垂足为O．
（1）求证：四边形AFCE为菱形；
（2）在BC的延长线上取一点G，使CG＝OC，连接OG．若F为BC的中点，且∠G＝15°，AB＝8，求△FOG的面积．
27．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为（6，8），点D为对角线OB的中点．点P是OC边上一动点，直线PD交AB边于点E．
（1）求证：四边形OPBE为平行四边形；
（2）若△ODP的面积与四边形OAED的面积之比为1：3，求点P的坐标；
（3）设点Q是x轴上方平面内的一点，以点O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，直接写出点Q的坐标．
28．如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE，连接CF、CE．
（1）求证：CE＝CF；
（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，连接GE．求证：GE＝BE+GD；
（3）根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题：
①如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝6，E是AB的中点，且∠DCE＝45°，求DE的长；
②如图3，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，E、F分别在BC和CD上，且∠EAF＝60°，连接EF．若BE＝2，DF＝4，请直接写出EF的长度　 　．
29．如图1和图2，在 ABCD中，AB＝15，BC＝7，，连接对角线BD．点P是对角线BD上一点，作∠EPD＝∠ABC，射线PE交射线BA于点E，设BP＝x．
（1）如图1，点E在BA的延长线上，当PE＝AD时，求证：△PBE≌△ABD；
（2）如图2，点E与点A重合时，求x的值；
（3）连接AP，当△APE是以AP为底的等腰三角形时，求x的值；
（4）点E在BA延长线上，连接DE，当∠ADE为锐角时，直接写出∠ADE的正切值（用含x的式子表示）．
30．如图1，在矩形ABCD中，BD为对角线，BD的垂直平分线分别交AD，BD，BC于点E，O，F，连接BE，DF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形．
（2）如图2，连接CO，若AE＝2，AD＝6，求cos∠BCO的值．
31．在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．
（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）若AB＝2，AD＝4，求EC的长；
（3）若AE﹣DE＝2EC，记∠BAF＝α，∠FAE＝β，求tanα+tanβ的值．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A C B B A C D A
1．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△ABP是等边三角形，
∴AB＝BP＝BC，∠ABC＝90°，∠ABP＝60°，
∴∠DAP＝∠CBP＝30°，
∴∠BCP＝∠BPC＝75°，故①正确；
∵AD＝BC，AP＝BP，∠DAP＝∠CBP＝30°，
∴△DAP≌△CBP（SAS），故②正确；
如图，∵△ABP是等边三角形，过点P作PG⊥AB于点G，PH⊥AD于点H，
∴AG＝GB，
∵∠BAD＝∠AGP＝90°，
∴四边形AGPH是矩形，
∴PH＝AG，
∵S△ABCBC×ABAD×AB，S△ADPAD×PHADABAD×AB，
∴△ADP和△ABC的面积比为1：2，故③正确；
∵∠PCD＝∠BCD﹣∠BCP＝15°，PC＝PD，
∴∠PCD＝∠PDC＝15°，
∴∠CPN＝30°，
∵CN⊥DP，
∴CNPC，
∴S△PDCDP×CNPC2，故④正确，
综上所述：①②③④．
故选：D．
2．【解答】解：由翻折变换可知，AD＝AF，∠DAE＝∠FAE，DE＝FE，∠D＝∠AFE，
∴∠AFG＝180°﹣∠AFE＝90°＝∠B，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），因此①正确；
∴∠BAG＝∠FAG，
又∵∠BAG+∠FAG+∠DAE+∠FAE＝90°，
∴∠GAE＝∠FAG+∠FAE90°＝45°，因此②正确；
由翻折变换可知，DE＝EF，
由全等三角形可知BG＝GF，
设正方形的边长为a，BG＝x，DE＝EFa，则CG＝a﹣x，GE＝xa，EC＝aaa，
在Rt△ECG中，由勾股定理得，
EC2+GC2＝EG2，
即（a）2+（a﹣x）2＝（xa）2，
解得xa，
即BGaBC，
∴BG＝CG，因此③正确；
∴BG＝CG＝FG，
∴∠GCF＝∠GFC，
由三角形全等可得，∠AGB＝∠AGF，
又∵∠AGB+∠AGF+∠FGC＝180°＝∠FGC+∠GCF+∠GFC，
∴∠ABG＝∠FCG，
∴AG∥FC，因此④正确，
∵BG＝CG，
∴BGAB，
∴tan∠AGB＝2，
∴∠AGB≠60°，
∵AG∥CF，
∴∠FCG＝∠AGB≠60°，
∴△GCF不是等边三角形，因此⑤不正确；
故选：C．
3．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为12，
∴AD＝CD＝12，∠ADF＝∠CDF＝45°．
∵DF＝DF，
在△ADF和△CDF中，
，
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴∠DAE＝∠FCD．
∵E为CD的中点，
∴．
∴．
故选：A．
4．【解答】解：∵点E在正方形ABCD内部，且△ABE是等边三角形，BD是正方形的对角线，
∴∠ADB＝45°，∠DAE＝90°﹣60°＝30°，AD＝AE，
∴∠BDE（180°﹣∠DAE）（180°﹣30°）＝75°，
∴∠BDE＝∠ADE﹣∠ADB＝75°﹣45°＝30°，
故选：C．
5．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，
在△CBF和△DCE中，
，
∴△CBF≌△DCE（SAS），
∴∠BCF＝∠CDE，
∵∠BCD＝∠BCF+∠DCF＝90°，
∴∠CDE+∠DCF＝90°，
∴∠DMC＝180°﹣（∠CDE+∠DCF）＝90°，
∴△DMF为直角三角形，
∵点N为DF的中点，
∴MNDF，
∵AF＝1，CE＝BF＝2，
∴AB＝AF+BF＝3，
在Rt△ADF中，AD＝AB＝3，AF＝1，
由勾股定理得：DF，
∴MNDF．
故选：B．
6．【解答】解：连接CB，
根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和可得，∠M+∠N＝∠3，∠H+∠G＝∠4，∠3＝∠1+∠KEF，∠4＝∠2+∠KEF，
∴∠M+∠N+∠H+∠G＝∠3+∠4＝∠1+∠2+2∠KEF＝180°+120°＝300°，
∵∠KEF＝120°，
∴∠FEC＝∠5+∠6＝180°﹣∠KEF＝180°﹣120°＝60°，
∵∠A+∠D+∠7+∠5+∠6+∠8＝360°，
∴∠A+∠D+∠7+∠8＝360°﹣60°＝300°，
∴∠A+∠ABE+∠ECD+∠D+∠H+∠G+∠M+∠N＝600°．
故选：B．
7．【解答】解：延长CE交AB于点H，过点E作EM⊥AB于点M，ME的延长线交CD于点N，过点F作FP⊥BC于点P，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∵AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴△BEH∽△DEC，
∴，
∵DE＝2BE，
∴，
∴BHCDAB，HECE，
设BH＝a，则AB＝2a，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2a，
在Rt△BCH中，由勾股定理得：CH，
∵HECE，
∴HECH，CECH，
∵MN⊥AB，
∴∠BMN＝∠MNC＝∠ABC＝90°，
∴四边形MNCB是矩形，
∴MN＝BC＝2a，EN⊥CD，
∵AB∥CD，
∴△BEM∽△DEN，
∴，
∴EMEN，
∴EMMN，ENMN，
∵DF⊥CE，
∴由三角形的面积公式得：S△BECCE DFCD EN，
∴CE DF＝CD EN，
∴，
∴DF，
在Rt△DCF中，由勾股定理得：CF，
∵FP⊥CD，DF⊥CE，
∴∠CPF＝∠DFC＝90°，
∴∠PCF+∠CFP＝90°，
∵∠PCF+∠DCF＝∠BCD＝90°，
∴∠CFP＝∠DCF，
∴△CFP∽△DCF，
∴，
∴，
∴FP，PC，
∴BP＝BC﹣PC，
在Rt△BFP中，由勾股定理得：BF，
∴ ．
故选：A．
8．【解答】解：∵四边形DECF是正方形，
∴DE＝DF，DE∥AC，∠DEB＝∠AFD＝90°，
∴∠BDE＝∠A，
∴△BDE∽△DAF，
∴，设DE＝3k，AF＝5k，
在Rt△ADF中，则有25＝9k2+25k2，
∴k2，
∴S△ADF 3k 5k，
∵，
∴S△BDE，
∴S△ADF+S△BDE7.5，
故选：C．
9．【解答】解：连接AG，
∵E、F分别为AH、GH的中点，
∴EFAG，
∴当AG最小时，EF最小，当AG⊥BC时，AG最小，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠C＝120°，
∴∠B＝60°，
∴当AG⊥BC时，∠AGB＝90°，
∴sinB＝sin60°，
∴AG＝4，
∴EF的最小值42．
故选：D．
10．【解答】解：设③的边长为a，④的边长为b，②的宽为x，
∴⑤的边长为a+b，②的长为：a+a+b＝2a+b，①的长为x+a，宽为b﹣a，
∴②的周长为：2（2a+b+x）＝4a+2b+2x，
∵①的周长＝2（x+a+b﹣a）＝2x+2b，③的周长为4a，
∴①与③的周长和为：4a+2b+2x，
∴甲的说法正确；
∵①的周长＝2（x+a+b﹣a）＝2x+2b，⑤的周长为2（a+b）＝2a+2b，
∴①与⑤的周长和为：2a+2b+2x+2b＝2a+4b+2x，
∴乙的说法错误；
∵③的周长＝4a，④的周长＝4b，
∴③与④的周长和为：4a+4b，
∴丙的说法错误；
∵⑤的周长为2（a+b）＝2a+2b，①的周长＝2（x+a+b﹣a）＝2x+2b，
∴⑤与①的周长差为：2a+2b﹣2x﹣2b＝2a﹣2x，
∴丁的说法错误；
综上可知：说法正确的只有甲，
故选：A．
二、填空题
11.【解答】解：连接AP，如图1所示：
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF＝AP，
∵点P为斜边BC上的一个动点，
∴线段EF的最小值为线段AP的最小值，由点P到直线BC的距离中垂线段最短，过A作AP⊥BC，如图2所示：
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，则由勾股定理可得，
∴由等面积法可得，即3×4＝5AP，解得，
故答案为：．
12．【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，
∵CE＝DF，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴∠EBC＝∠FCD，
∵∠FCD+∠BCG＝90°，
∴∠CBE+∠BCG＝90°，
∴∠CGB＝90°，
∴点G的运动轨迹是以BC为直径的⊙O，
当O，G，D共线时，DG的值最小，最小值，
故答案为．
13．【解答】解：连接AC，过A作AM⊥BC于M，在BC上截取BK＝BE，连接GK，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC＝∠CBD，BC＝BA，BC∥AD，
∵BG＝BG，
∴△BGK≌△BGE（SAS），
∴GK＝GE，∠BEG＝∠BKG，
∵GF+GE＝3，
∴GF+GK＝3，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AMAB23，
∴GF+GK＝AM，
∴F、G、K共线，且FK⊥BC，
∴∠BEG＝∠BKG＝90°，
∵AD∥BC，
∴FK⊥AD，
∴∠GFD＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠GBE＝∠GDF∠ABC＝30°，AB＝AD＝2，
∴BEGE，DFGF，
∴BE+DF（GE+GF）＝3，
∴AE+AF＝BA+AD﹣（BE+DF）＝223．
故答案为：．
14．【解答】解：如图，过点D作DP′⊥AC于P′，连接EF，DP，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝15，BC＝8，
∴CD＝AB＝15，AD＝BC＝8，∠ADC＝90°，
∴，
∵PF∥BC，
∴∠PFD+∠ADC＝180°，
∴∠PFD＝90°，
∵PE⊥AD，
∴∠PED＝∠EDF＝∠PFD＝90°，
∴四边形DEPF是矩形，
∴EF＝DP，
要使EF最小，只需DP最小，当DP⊥AC时，DP最小，最小值为DP′的长，
∵，
∴，
故EF的最小值为，
故答案为：．
15．【解答】解：因为点D（5，3）在边AB上，四边形OABC是正方形，
所以AB＝BC＝5，BD＝5﹣3＝2；
（1）若以C为中心，把△CDB顺时针旋转90°，
则点D′在x轴上，OD′＝2，
所以D′（﹣2，0）；
（2）若以C为中心，把△CDB逆时针旋转90°，
则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，
所以D′（2，10），
综上，旋转后点D的对应点D′的坐标为（﹣2，0）或（2，10）．
故答案为：（﹣2，0）或（2，10）．
16．【解答】解：由题意可得：AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，AD∥BC，
∴，
∴△EFG∽△DAG，
∴，
∴，
过点G作GH⊥BC于点H，
∴GH∥CD，EC＝EF+FC＝4，
∴△EHG∽△ECD，
∴，
∴，，
∴BH＝BE+EH＝2+1＝3，且∠EHG＝90°，
∴，
∴，
故答案为：．
17．【解答】解：①过点G作GP⊥AD于P，GQ⊥CD于Q，如图，
∵正方形ABCD，
∴∠ADC＝90°，DB平分∠ADC，
∵GP⊥AD，GQ⊥CD，
∴GP＝GQ，∠GPD＝∠GQD＝90°，
∴∠PGQ＝90°，即∠FGQ+∠FGP＝90°，
∵AG⊥GF，
∴∠FGP+∠PGA＝∠FGA＝90°，
∴∠FGP＝∠PGA，
∴△FGQ≌△AGP（ASA），
∴AG＝FG，故①正确；
②∵AG＝FG，∠FGA＝90°，
∴∠GAF＝∠GFA＝45°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAG+∠DAF＝45°，
将△ABG绕点A逆时针旋转90度，得到△ADM，
则AM＝AG，DM＝BG，∠DAM＝∠BAG，∠ADM＝∠ABG＝45°，
∴∠HDM＝∠HDA+∠ADM＝45°+45°＝90°，
∴DM2+DH2＝HM2，
∴∠HAM＝∠HAD+∠DAM＝∠HAD+∠BAG＝45°＝∠GAH，
∵AH＝AH，
∴△AMH≌△AGH（SAS），
∴GH＝HM，
∴BG2+DH2＝GH2，故②正确；
③∵，
∴，
∴，
∴，
∴∠DHM＝30°，
∴∠GHM＝180°﹣∠DHM＝150°；
∵△AMH≌△AGH，
∴，
∴∠BGE＝∠AGH＝180°﹣∠GAH﹣∠GHA＝180°﹣45°﹣75°＝60°，故③正确；
④将△ABE绕点A逆时针旋转90度，得到△ADN，连接EF，
则DN＝BE，AN＝AE，
同理可得△AEF≌△ANF，
∴EF＝FN＝FD+DN＝FD+BE，∠AFE＝∠AFN，
由∠AHG＝75°，
∴∠FHD＝75°，
∵∠FDH＝45°，
∴∠AFD＝180°﹣∠FHD﹣∠FDH＝60°，
∴∠AFE＝∠AFN＝60°，
∴∠EFC＝180°﹣∠AFD﹣∠AFE＝60°，
∴∠CEF＝30°，
∴，
由勾股定理，得EF2＝CE2+CF2，
即，
∴，
∴，故④错误；
∴正确有①②③．
故答案为：①②③．
18．【解答】解：连接AG并延长AG交CD于点P，连接PF，如图所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝BC＝AB＝4，∠C＝90°，AB∥CD，
∴∠AEG＝∠GDP，
∵E、F分别为边AB、BC的中点，
∴AEAB＝2，CFBC＝2．
∵G为DE的中点，
∴EG＝DG，
在△EAG和△DPG中，
，
∴△EAG≌△DPG（ASA）．
∴AG＝PG，DP＝AE＝2．
∴G为AP的中点，
∵H为AF的中点，
∴GH是△APF的中位线．
∴GHPF．
在Rt△FCP中，
CP＝DC﹣DP＝4﹣2＝2，
∴PF2．
∴GHPF．
故答案为：．
19．【解答】解：如图，在AD，BC上截取线段AM，BN，使得AM＝BN，连接MN交EF于点K．连接CK，CK的中点为O．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，AD∥BC，∠A＝90°，
∵AM＝BN，
∴四边形ABNM是平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴四边形ABNM是矩形，
∴∠AMN＝∠MNB＝90°，AB＝MN＝3，
∵FM∥EN，
∴△MKF∽△NKE，
∴，
∴KNMN3，
∵∠CNK＝90°，CN＝4，
∴CK，
∵CG⊥EF，
∴∠CGK＝90°，
∵OK＝OC，
∴OG＝OK＝OC＝ON，
∴点G在⊙O上运动，
∴CG的最大值＝CK．
故答案为：．
20．【解答】解：∵正方形ABCD，
∴，
作∠CDN＝30°，
∵以GE为边作等边△EFG，点F落在CD上，M 为GF中点，
∴EM⊥GF，
∴∠EMF＝90°，，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EDF＝90°，
∴点E、D、F、M四点共圆，所以∠MDF＝∠MEF＝30°，
∴当点E在AD上运动时，点M在DN上运动，当CM⊥DN时，CM最小，
∵∠CDN＝30°，
∴CM最小值，
故答案为：．
三、解答题
21．【解答】（1）①证明：过G作GM⊥BC于M，
∵正方形ABCD，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠D＝∠C＝∠GMC＝90°，
∴四边形MGDC是矩形，
∴AD＝DC＝GM，∠ADE＝∠GMF＝∠AGM＝90°，
∵GH⊥AE，
∴∠MGF＝90°﹣∠AGF＝∠DAE，
∵
∴△ADE≌△GMF（ASA），
∴AE＝GF．
②过点H作HM⊥DC于点M，
∵E为CD的中点，不妨设DE＝EC＝x
∵正方形ABCD，
∴AD＝DC＝2x，∠ADC＝90°，
∴，
∵DF⊥AE于点H，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）如图，以点D为原点，以DC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
∵AB＝6，AG＝CF＝1.5，且CE＝2DE，
∴CE＝4，DE＝2，
∴A（0，6），E（2，0），，
设直线AE的解析式为y＝kx+b，
根据题意，得，
解得，
∴直线AE的解析式为y＝﹣3x+6；
设直线GF的解析式为y＝px+q，
根据题意，得，
解得，
∴直线GF的解析式为；
由此得，
解得，
故点，
∴，
设直线GF与x轴的交点为P，
∴点P（9，0），
∴PE＝9﹣2＝7，，
∴，
过点E作EQ⊥GF于点Q，
∴，
∴，
∴HQ＝EQ，
∴∠EHQ＝45°，
∴∠AHG＝45°．
22．【解答】解：（1）①∵菱形的对角线互相垂直，
∴菱形是“理正四边形”，
∵平行四边形、矩形的对角线不一定垂直，
∴不一定是“理正四边形”，
故答案为：菱形；
②若四边形ABCD是“理正四边形”，则AC⊥BD，
∵AB＝AD，
∴OB＝OD，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴CB＝CD，
又∵CB≠CD，
∴四边形ABCD不是“理正四边形”．
故答案为：不是；
（2）∵四边形ABCD是面积为1的“理正四边形”，
∴，
∴BD AC＝2，
∵AC﹣BD＝3，
∴（AC+BD）2＝（AC﹣BD）2+4AC BD＝32+4×2＝17，
∴，
联立，
解得，
∴；
（3）如图，过E作EM⊥BD于M，EN⊥AC于N，
∵EM⊥BD，EN⊥AC，
∴∠MON＝∠OME＝∠ONE＝90°，
∴四边形OMEN是矩形，
∴OM＝NE，ME＝ON，
设ME＝ON＝m，OM＝NE＝n，
∵EA＝EB＝EC＝ED＝3，
在Rt△DME中，ME2+MD2＝DE2，
∴，
在Rt△NEC中，NE2+NC2＝CE2，
∴，
∴，
整理得，
解得：，
∴，
在Rt△MEO中，ME2+MO2＝OE2，
∴m2+n2＝OE2，
∵1≤OE≤2，
∴1≤OE2≤4，
∴1≤m2+n2≤4，
∵E是第一象限内的动点，
∴m＞0，n＞0，
∴0＜m2＜4，
∴9﹣m2＞0，
∵1≤m2+n2≤4，
1﹣m2≤n2≤4﹣m2，
∴m2﹣4≤﹣n2≤m2﹣1，
∴m2+5≤9﹣n2≤m2+8，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵0＜m2＜4，
∴当m2＝4时，，
当m2＝0时，，
∴，
∴．
23．【解答】解：（1）如图1，作EG⊥AB于点G，则EG∥x轴，
∵四边形ABCO为矩形，A点在x轴上，C点在y轴上，O（0，0），E（0，2），B（8，12），
∴G（8，2），C（0，12），
由折叠得EF＝CE＝12﹣2＝10，
∵∠EGF＝90°，EG＝8，
∴FG6，
∴AF＝AG+FG＝2+6＝8，
∴F（8，8）．
（2）如图2，作PH⊥y轴于点H，
∵△PDE≌△CED，
∴DP＝EC，∠PDE＝∠CED，
∵EC＝EF，∠CED＝∠FED，
∴DP＝EF，∠PDE＝∠FED，
∴DP∥EF，
∴四边形PDFE是平行四边形，
∵∠DPE＝∠ECD＝90°，
∴四边形PDFE是矩形，
∴∠PEF＝∠EFD＝90°，
∴∠HEP+∠CEF＝90°，∠BFD+∠AFE＝90°，
∵AB∥OC，
∴∠CEF＝∠AFE，
∴∠HEP＝∠BFD，
∵∠PHE＝∠DBF＝90°，PE＝DF，
∴△PHE≌△DBF（AAS），
∵AB＝12，AF＝8，BC＝8，
∴BF＝AB﹣AF＝12﹣8＝4，DF＝DC＝8﹣BD，
∵∠B＝90°，
∴BF2+BD2＝DF2，
∴42+BD2＝（8﹣BD）2，
∴BD＝3，
∴HP＝BD＝3，HE＝BF＝4，DF＝DC＝8﹣3＝5，
∴OH＝2+4＝6，
∴P（﹣3，6）．
（3）存在，设直线DE交x轴于点L，
如图3，四边形FDMN是平行四边形，且点M在线段DE上，
作MQ⊥x轴于点Q，则∠MQN＝∠FBD＝90°，
∵FN∥DM，BC∥OA，
∴∠ANF＝∠ALD＝∠CDE，
∴∠FNM＝∠MDF，
∴180°﹣∠ANF﹣∠FNM＝180°﹣∠CDE﹣∠MDF，
∴∠MNQ＝∠FDB，
∵MN＝FD，
∴△MNQ≌△FDB（AAS），
∴QM＝BF＝4，
设M（x，4），设直线DE的解析式为y＝kx+2，
∵D（5，12），
∴5k+2＝12，
解得k＝2，
∴直线DE的解析式为y＝2x+2，
把M（x，4）代入y＝2x+2得2x+2＝4，
解得x＝1，
∴M（1，4）；
如图4，四边形FDMN是平行四边形，且点M在DE的延长线上，
作MR⊥x轴于点R，则∠MRN＝∠FBD＝90°，作CW∥DF交x轴于点W，
∵MN∥DF，
∴CW∥DF，
∴∠MNR＝∠OWC＝∠WCB＝∠FDB，
∵MN＝FD，
∴△MNR≌△FDB（AAS），
∴RM＝BF＝4，
设M（x，﹣4），
把M（x，﹣4）代入y＝2x+2得2x+2＝﹣4，
解得x＝﹣3，
∴M（﹣3，﹣4）；
如图5，四边形FDMN是平行四边形，且点M在ED的延长线上，
作MT⊥CD交CB的延长线于点T，则∠T＝∠FAN＝90°，
∵FN∥DM，
∴∠MDT＝∠MLA＝∠FNA，
∵MD＝FN，
∴△MDT≌△FNA（AAS），
∴TM＝AF＝8，
∴yM＝12+8＝20，
设M（x，20），
把M（x，20）代入y＝2x+2得2x+2＝20，
解得x＝9，
∴M（9，20），
综上所述，点M的坐标为（1，4）或（﹣3，﹣4）或（9，20）．
24．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠BAD＝∠EAF+∠DAF＝90°，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝∠AFE＝90°，
∴∠ADF+∠DAF＝90°
∴∠EAF＝∠ADE，
∵E是AB的中点，
∴，
∴，
在Rt△AEF中，，
∴，
在Rt△ADE中，；
（2）∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴
由（1）得∠AFE＝90°，
∴，
同理，得，
∴，
又∵AE＝BE，
∴，
又∵∠BEF＝∠DEB，
∴△BEF∽△DEB，
∴∠BFE＝∠DBE＝45°．
∴∠AFB＝90°+45°＝135°；
（3）OF⊥FB且 FB＝2OF，
理由如下：
由（2）得△BEF∽△DEB，
∴，
∵O是BD的中点，
∴，
∵，∠AFE＝90°，
∴，
∴，
即，
在△ABF中，∠BAF＝180°﹣∠AFB﹣∠ABF＝45°﹣∠ABF，
而∠DBF＝45°﹣∠ABF，
∴∠EAF＝∠OBF，
∴△BFO～△AFE，
∴，∠BFO＝∠AFE＝90°，
∴BF＝2OF，BF⊥OF．
25．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，
∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．
∴BC＝BF，∠FBE＝∠EBC，∠C＝∠BFE＝90°，
∵BC＝2BA，
∴BF＝2BA，
∴∠AFB＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF＝30°，
∴∠CBE∠CBF＝15°；
（2）∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．
∴∠BFE＝∠C＝90°，CE＝EF，
在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，
∴∠AFB+∠DFE＝90°，∠DEF+∠DFE＝90°，
∴∠AFB＝∠DEF，
∴△FAB∽△EDF，
∴，
∴AF DF＝AB DE，
∵DE＝4，AF FD＝40，
∴AB＝10＝CD，
∴CE＝CD﹣DE＝10﹣4＝6，
∴EF＝6，
∴DF2，
∴AF4，
∴BC＝AD＝AF+DF＝6；
（3）如图3，过点N作NG⊥BF于点G，
∵∠NFG＝∠AFB，∠NGF＝∠BAF＝90°，
∴△NFG∽△BFA，
∴，
∵BC＝BF＝5，NF，
∴，
∴NGAB，
∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，
∴AN＝NG，
又∵BN＝BN，
∴Rt△ABN≌Rt△GBN（HL），
∴AB＝BG，
∴FG＝BF﹣BG＝5﹣AB，
在Rt△NGF中，NG2+FG2＝NF2，
∴（AB）2+（5﹣AB）2＝（）2，
∴AB＝4或AB＝5（舍去），
∴AB的值为4．
26．【解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC，
∴EF⊥AC，AO＝CO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠OCF＝∠OAE，
在△AOE 与△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴FO＝EO，
又∵CO＝AO，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴平行四边形AFCE为菱形；
（2）解：∵OC＝CG，
∴∠COG＝∠G＝15°，
∴∠ACB＝∠COG+∠G＝30°，
∵四边形AFCE为菱形，
∴O为AC的中点，
∵F为线段BC的中点，
∴OF是三角形ABC的中位线，
∴，
∵EF⊥AC，
∴，，
∴，，
如图，作 OH⊥BC，垂足为H，则∠OHG＝90°，
∴，
则．
27．【解答】（1）证明：∵四边形形OABC是矩形，
∴OC∥AB，
∴∠COB＝∠OBA，∠OPE＝∠PEB，
∵D为OB中点，
∴OD＝BD，
∴△OPD≌△BED（AAS），
∴OP＝BE，
又∵OC∥AB，即OP∥BE，
∴四边形OPBE为平行四边形；
（2）解：∵O（0，0），B（6，8），
∴OB中点D坐标为（3，4），
设P（0，t），则OP＝t，
∴S△OPDt 3，
设PD的直线表达式为y＝kx+t，
∵D在PD上，
∴4＝3k+t，
∴k，
∴PD：y．
令x＝6，则y＝﹣t+8，
∴E（6，8﹣t）．
∴S四边形OAED＝S△AED+S△ODA（8﹣t）+1224．
∵S△OPD：S四边形OAED＝1：3，
∴24＝3，
解得：t＝4，
∴P（0，4）．
（3）解：Q的坐标为（3，9）或（﹣3，4）或（3，）．
如图，以OD为边，四边形ODQP为菱形，
∵D（3，4），
∴OD5，
∴Q（3，9）；
如图，以OD为边，四边形ODPQ为菱形，
∴点D与点Q关于y轴对称，
∴Q（﹣3，4）；
如图，以OD为对角线，四边形OQDP为菱形，延长DQ交x轴于点H，则QH⊥x轴，
设OQ＝DQ＝m，则QH＝4﹣m，
∴32+（4﹣m）2＝m2，
∴m，
∴DQ，
∴QH＝4，
∴Q（3，）．
综上所述，Q的坐标为（3，9）或（﹣3，4）或（3，）．
28．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中 CB＝CD，∠B＝∠CDA＝90°，
∴∠CDF＝∠B＝90°．
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS）．
∴CE＝CF；
（2）证明：GE＝BE+GD成立．理由如下：
∵∠BCD＝90°，∠GCE＝45°，
∴∠BCE+∠GCD＝45°．
∵△BCE≌△DCF（已证），
∴∠BCE＝∠DCF．
∴∠GCF＝∠GCD+∠DCF＝∠GCD+∠BCE＝45°．
∴∠ECG＝∠FCG＝45°．
在△ECG和△FCG中，
，
∴△ECG≌△FCG（SAS）．
∴GE＝FG．
∵FG＝GD+DF，
∴GE＝BE+GD；
（3）①如图2，过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G，
由（2）和题设知：DE＝DG+BE，
设DG＝x，则AD＝6﹣x，DE＝x+3，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2＝DE2，
∴（6﹣x）2+32＝（x+3）2，
解得x＝2．
∴DE＝2+3＝5；
②把△ABE旋转120°得到△ADE′，则DE′＝BE＝2，DF＝4，EF＝E′F，∠ADE′＝∠B＝60°，
∴∠E′DF＝120°，
过E′作E′H⊥FD于H，∠E′DH＝60°，
∴DHDE′＝1，HE′DE′，
∴EF2．
故答案为：2．
29．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵∠EPD＝∠ABC，∠EBP+∠BEP＝∠EPD，∠EBP+∠DBC＝∠ABC，
∴∠BEP＝∠DBC，
∴∠BEP＝∠ADB，
在△PBE和△ABD中，
∴△PBE≌△ABD（AAS）；
（2）解：过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，如图，
∵AB∥CD，
∴∠DCF＝∠ABC，，
∴DF＝CD sin∠DCF＝12，
∴，
∴BF＝BC+CF＝16，
∴，
由（1）得∠BEP＝∠ADB，∠PBE＝∠ABD，
∴△PBE△ABD，
∴，
∵AB＝BE，
∴；
（3）解：△APE是以AP为底的等腰三角形，即AE＝PE，
①当点E在线段AB上时，如图，
∵△PBE∽△ABD，
∴，
∵BE＝AB﹣AE＝AB﹣PE，
∴，
解得，
∴；
②当点E在BA延长线上时，如图，
∵△PBE∽△ABD，
∴，
∵BE＝AB+AE＝AB+PE，
∴，
解得，
∴．
综上所述，x的值为或；
（4）解：∠ADE的正切值为．
过E作EF⊥AD于点F，
由（2）知△PBE△ABD，
∴，
∴，
∴BE，
∴AE＝BE﹣AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ABC＝∠DAE，
∴sin∠ABC＝sin∠DAE，
∴EF＝AE sin∠DAE＝（），
∴AF，
∴DF＝7﹣（）＝16，
∴tan∠ADE．
30．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠EDO＝∠FBO，DE∥BF，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，BE＝DE，
∴∠BDF＝∠DBF，
在△DOE和△BOF中，
，
∴△DOE≌△BOF（ASA），
∴DE＝BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴BE＝DE＝AD﹣AE＝6﹣2＝4，
∴AB2，
∴BD4
∵OB＝OD，∠BCD＝90°，
∴OB＝OC，
∴∠BCO＝∠CBD＝∠ADB，
∴cos∠BCO＝cos∠ADB．
31．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
由翻折可知，∠D＝∠AFE＝90°，
∴∠AFB+∠EFC＝90°，∠EFC+∠CEF＝90°，
∴∠AFB＝∠FEC，
∴△ABF∽△FCE．
（2）设EC＝x，
由翻折可知，AD＝AF＝4，
∴BF2，
∴CF＝BC﹣BF＝2，
∵△ABF∽△FCE，
∴，
∴，
∴x，
∴EC．
（3）∵△ABF∽△FCE，
∴，
∴tanα+tanβ，
设AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，DE＝x，
∴AE＝DE+2CE＝x+2（a﹣x）＝2a﹣x，
∵AD＝AF＝b，DE＝EF＝x，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴BF，CF，
∵AD2+DE2＝AE2，
∴b2+x2＝（2a﹣x）2，
∴a2﹣axb2，
∵△ABF∽△FCE，
∴，
∴，
∴a2﹣ax ，
∴b2 ，
整理得，16a4﹣24a2b2+9b4＝0，
∴（4a2﹣3b2）2＝0，
∴，
∴tanα+tanβ．
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