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20.3　数据的离散程度
课时学习目标 素养目标达成
1.理解并掌握刻画数据离散程度的量:方差,掌握数据波动中方差的求法. 抽象能力、运算能力
2.能应用方差分析数据的离散程度. 推理能力、运算能力、应用意识
基础主干落实　　夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.方差及其应用 2.用方差作决策 1.一组数据的方差一定是( ) A.正数　 B.负数 C.非负数　 D.任意实数 2.已知一组数据-1,2,0,1,-2,那么这组数据的方差是( ) A.10　 B.0　 C.4　 D.2 3.一组数据的方差为s2=[+ +…],那么这组数据的平均数是 . 4.如果甲、乙两组身高数据的方差分别为=0.02,=0.01,那么 组的身高比较整齐.
重点典例研析　　纵横捭阖 挥斥方遒
重点1 方差的计算及其应用(模型意识,运算能力)
【典例1】(教材再开发·P155习题20.3T1拓展)为了考察甲、乙两种小麦的长势,分别从中随机抽取10株麦苗,测得苗高(单位:cm)如表:
甲 12 13 14 15 10 16 13 11 15 11
乙 11 16 17 14 13 19 6 8 10 16
(1)分别计算两种小麦的平均苗高;
(2)哪种小麦的长势比较整齐
【举一反三】
1.某校在读书系列活动中,为了解学生的课外阅读情况,随机选取了某班甲、乙两组学生一周的课外阅读时间(单位:小时)进行统计,数据如表,两组数据的众数分别为M甲、M乙,方差分别为、,则( )
甲组 6 7 8 8 8 9 10
乙组 4 7 8 8 8 9 12
A.M甲>M乙,<
B.M甲=M乙,=
C.M甲=M乙,>
D.M甲=M乙,<
2.已知数据2,4,6,8,a,其中整数a是这组数据的平均数,则该组数据的方差是 .
【技法点拨】
方差的计算步骤
“一均”:求原始数据的平均数;
“二差”:求原始数据中各数与平均数的差;
“三方”:求所得各个差数的平方;
“四均”:求所得各平方数的平均数.
重点2 应用方差进行决策(应用意识、运算能力)
【典例2】(教材溯源·P156习题20.3T2·2023河南中考)蓬勃发展的快递业,为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利.不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势.樱桃种植户小丽经过初步了解,打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作,为此,小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价,并整理、描述、分析如下:
a.配送速度得分(满分10分):
甲:6　6　7　7　7　8　9　9　9　10
乙:6　7　7　8　8　8　8　9　9　10
b.服务质量得分统计图(满分10分):
c.配送速度和服务质量得分统计表:
项目 配送速度 得分 服务质量 得分
快递公司 平均数 中位数 平均数 方差
甲 7.8 m 7
乙 8 8 7
根据以上信息,回答下列问题:
(1)表格中的m= ; (填“>”“<”或“=”);
(2)综合表中的统计量,你认为小丽应选择哪家公司 请说明理由;
(3)为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司,你认为还应收集什么信息(列出一条即可)
【举一反三】
(2023·赤峰中考)某校甲、乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛,从甲班和乙班各随机抽取10名学生,统计这部分学生的竞赛成绩,并对数据(成绩)进行了收集、整理、分析,下面给出了部分信息.
【收集数据】
甲班10名学生竞赛成绩:85,78,86,79,72,91,79,71,70,89.
乙班10名学生竞赛成绩:85,80,77,85,80,73,90,74,75,81.
【整理数据】
班级 70≤x<80 80≤x<90 90≤x<100
甲班 6 3 1
乙班 4 5 1
【分析数据】
班级 平均数 中位数 众数 方差
甲班 80 a b 51.4
乙班 80 80 80,85 c
【解决问题】根据以上信息,回答下列问题:
(1)填空:a= ,b= ,c= ;
(2)请你根据【分析数据】中的信息,判断哪个班成绩比较好,简要说明理由;
(3)甲班共有学生45人,乙班共有学生40人,按竞赛规定,80分及80分以上的学生可以获奖,估计这两个班可以获奖的总人数大约是多少
【技法点拨】
方差的两个实际应用
(1)衡量一组数据的波动情况: 当两组数据的平均数相等或接近时,用方差来考察数据的有关特征,方差小的较稳定.
(2)用样本方差估计总体方差:估计总体方差时,如果所要估计的总体有许多个体,实际中常用样本方差近似地估计总体方差.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(3分·运算能力)已知一组数据-1,2,0,1,-2,那么这组数据的方差是( )
A.10 B.4 C.2 D.0.2
2.(3分·推理能力)(2024·上海中考)科学家同时培育了甲、乙、丙、丁四种花,甲、乙、丙、丁四种花开花时间最短并且最平稳的是( )
种类 甲种花 乙种花 丙种花 丁种花
平均数 2.3 2.3 2.8 3.1
方差 1.05 0.78 1.05 0.78
A.甲种花 B.乙种花 C.丙种花 D.丁种花
3.(3分·推理能力)若一组数据x1,x2,x3,…,xn的平均数为4,方差为2,则x1-1,x2-1, x3-1,…,xn-1的方差为 .
4.(3分·推理能力、运算能力)一组数据的方差计算公式为s2=[(5-)2+(8-)2+ (8-)2+(11-)2],则这组数据的方差是 .
5.(8分·推理能力、运算能力)某学校要从甲、乙两名射击运动员中挑选一人参加全市比赛,在选拔赛中,每人进行了5次射击,甲的成绩(环)为:9.7,10,9.6,9.8,9.9.
乙的成绩的平均数为9.8,方差为0.032.
(1)甲的射击成绩的平均数和方差分别是多少
(2)如果成绩的平均数达到9.8环就可能夺得金牌,为了夺得金牌,应选谁参加比赛 20.3　数据的离散程度
课时学习目标 素养目标达成
1.理解并掌握刻画数据离散程度的量:方差,掌握数据波动中方差的求法. 抽象能力、运算能力
2.能应用方差分析数据的离散程度. 推理能力、运算能力、应用意识
基础主干落实　　夯基筑本 积厚成势
新知要点 对点小练
1.方差及其应用 2.用方差作决策 1.一组数据的方差一定是(C) A.正数　 B.负数 C.非负数　 D.任意实数 2.已知一组数据-1,2,0,1,-2,那么这组数据的方差是(D) A.10　 B.0　 C.4　 D.2 3.一组数据的方差为s2=[+ +…],那么这组数据的平均数是　4　. 4.如果甲、乙两组身高数据的方差分别为=0.02,=0.01,那么　乙　组的身高比较整齐.
重点典例研析　　纵横捭阖 挥斥方遒
重点1 方差的计算及其应用(模型意识,运算能力)
【典例1】(教材再开发·P155习题20.3T1拓展)为了考察甲、乙两种小麦的长势,分别从中随机抽取10株麦苗,测得苗高(单位:cm)如表:
甲 12 13 14 15 10 16 13 11 15 11
乙 11 16 17 14 13 19 6 8 10 16
(1)分别计算两种小麦的平均苗高;
(2)哪种小麦的长势比较整齐
【自主解答】(1)甲种小麦的平均苗高是:
(12+13+14+15+10+16+13+11+15+11)=13(cm);
乙种小麦的平均苗高是:(11+16+17+14+13+19+6+8+10+16)=13(cm);
(2)∵=[(12-13)2+(13-13)2+(14-13)2+…+(15-13)2+(11-13)2]=3.6,
=[(11-13)2+(16-13)2+(17-13)2+…+(10-13)2+(16-13)2]=15.8,
∴<,∴甲种小麦长势比较整齐.
【举一反三】
1.某校在读书系列活动中,为了解学生的课外阅读情况,随机选取了某班甲、乙两组学生一周的课外阅读时间(单位:小时)进行统计,数据如表,两组数据的众数分别为M甲、M乙,方差分别为、,则(D)
甲组 6 7 8 8 8 9 10
乙组 4 7 8 8 8 9 12
A.M甲>M乙,<
B.M甲=M乙,=
C.M甲=M乙,>
D.M甲=M乙,<
2.已知数据2,4,6,8,a,其中整数a是这组数据的平均数,则该组数据的方差是　4　.
【技法点拨】
方差的计算步骤
“一均”:求原始数据的平均数;
“二差”:求原始数据中各数与平均数的差;
“三方”:求所得各个差数的平方;
“四均”:求所得各平方数的平均数.
重点2 应用方差进行决策(应用意识、运算能力)
【典例2】(教材溯源·P156习题20.3T2·2023河南中考)蓬勃发展的快递业,为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利.不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势.樱桃种植户小丽经过初步了解,打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作,为此,小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价,并整理、描述、分析如下:
a.配送速度得分(满分10分):
甲:6　6　7　7　7　8　9　9　9　10
乙:6　7　7　8　8　8　8　9　9　10
b.服务质量得分统计图(满分10分):
c.配送速度和服务质量得分统计表:
项目 配送速度 得分 服务质量 得分
快递公司 平均数 中位数 平均数 方差
甲 7.8 m 7
乙 8 8 7
根据以上信息,回答下列问题:
(1)表格中的m=　　　;　　 (填“>”“<”或“=”);
(2)综合表中的统计量,你认为小丽应选择哪家公司 请说明理由;
(3)为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司,你认为还应收集什么信息(列出一条即可)
【解析】(1)甲公司配送速度得分从小到大排列为:6　6　7　7　7　8　9　9　9　10,一共10个数据,其中第5个与第6个数据分别为7,8,所以中位数m==7.5.
=×[3×(7-7)2+4×(8-7)2+2×(6-7)2+(5-7)2]=1,=×[(4-7)2+(8-7)2+2×(10-7)2+2×(6-7)2+(9-7)2+2×(5-7)2+(7-7)2]=4.2,∴<,
答案:7.5　<
(2)小丽应选择甲公司.理由如下:
∵配送速度得分甲和乙的得分相差不大,服务质量得分甲和乙的平均数相同,但是甲的方差明显小于乙的方差,
∴甲更稳定,
∴小丽应选择甲公司;
(3)还应收集甲、乙两家公司的收费情况.(答案不唯一,言之有理即可)
【举一反三】
(2023·赤峰中考)某校甲、乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛,从甲班和乙班各随机抽取10名学生,统计这部分学生的竞赛成绩,并对数据(成绩)进行了收集、整理、分析,下面给出了部分信息.
【收集数据】
甲班10名学生竞赛成绩:85,78,86,79,72,91,79,71,70,89.
乙班10名学生竞赛成绩:85,80,77,85,80,73,90,74,75,81.
【整理数据】
班级 70≤x<80 80≤x<90 90≤x<100
甲班 6 3 1
乙班 4 5 1
【分析数据】
班级 平均数 中位数 众数 方差
甲班 80 a b 51.4
乙班 80 80 80,85 c
【解决问题】根据以上信息,回答下列问题:
(1)填空:a=　　　,b=　　　,c=　　　;
(2)请你根据【分析数据】中的信息,判断哪个班成绩比较好,简要说明理由;
(3)甲班共有学生45人,乙班共有学生40人,按竞赛规定,80分及80分以上的学生可以获奖,估计这两个班可以获奖的总人数大约是多少
【解析】(1)甲班成绩从低到高排列为:70,71,72,78,79,79,85,86,89,91,故中位数a=79;众数b=79,
乙班的方差为:×[2×(85-80)2+2×(80-80)2+(81-80)2+(77-80)2+(73-80)2+(74-80)2
+(90-80)2+(75-80)2]=27;
答案:79　79　27
(2)乙班成绩比较好.理由如下:
两个班的平均数相同,乙班成绩中位数、众数高于甲班成绩,方差小于甲班成绩,代表乙班成绩比甲班稳定,所以乙班成绩比较好;
(3)45×+40×=42(人),
答:估计这两个班可以获奖的总人数大约是42人.
【技法点拨】
方差的两个实际应用
(1)衡量一组数据的波动情况: 当两组数据的平均数相等或接近时,用方差来考察数据的有关特征,方差小的较稳定.
(2)用样本方差估计总体方差:估计总体方差时,如果所要估计的总体有许多个体,实际中常用样本方差近似地估计总体方差.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(3分·运算能力)已知一组数据-1,2,0,1,-2,那么这组数据的方差是(C)
A.10 B.4 C.2 D.0.2
2.(3分·推理能力)(2024·上海中考)科学家同时培育了甲、乙、丙、丁四种花,甲、乙、丙、丁四种花开花时间最短并且最平稳的是(B)
种类 甲种花 乙种花 丙种花 丁种花
平均数 2.3 2.3 2.8 3.1
方差 1.05 0.78 1.05 0.78
A.甲种花 B.乙种花 C.丙种花 D.丁种花
3.(3分·推理能力)若一组数据x1,x2,x3,…,xn的平均数为4,方差为2,则x1-1,x2-1, x3-1,…,xn-1的方差为　2　.
4.(3分·推理能力、运算能力)一组数据的方差计算公式为s2=[(5-)2+(8-)2+ (8-)2+(11-)2],则这组数据的方差是　4.5　.
5.(8分·推理能力、运算能力)某学校要从甲、乙两名射击运动员中挑选一人参加全市比赛,在选拔赛中,每人进行了5次射击,甲的成绩(环)为:9.7,10,9.6,9.8,9.9.
乙的成绩的平均数为9.8,方差为0.032.
(1)甲的射击成绩的平均数和方差分别是多少
(2)如果成绩的平均数达到9.8环就可能夺得金牌,为了夺得金牌,应选谁参加比赛
【解析】(1)=×(9.7+10+9.6+9.8+9.9)=9.8(环),
=×[(9.7-9.8)2+(10-9.8)2+(9.6-9.8)2+(9.8-9.8)2+(9.9-9.8)2]=0.02,所以甲射击成绩的平均数为9.8环,方差为0.02;
(2)∵甲、乙的平均成绩均为9.8环,而=0.02<=0.032,
所以甲的成绩更加稳定一些,
则为了夺得金牌,应选甲参加比赛.

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