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第11章 不等式与不等式组
11.2 一元一次不等式
第2课时 一元一次不等式的应用
【学习目标】
1. 会在实际问题中寻找数量关系，并列出相应的一元一次不等式，加强抽象能力. 养成用数学眼光观察的习惯，进一步渗透模型思想.
2.在利用一元一次不等式解决实际问题的过程中，体会解不等式过程中的化归思想与类比思想，学会分类讨论，培养发散性思维.
【学习重点】一元一次不等式在实际问题中的应用.
【学习难点】在实际问题中建立一元一次不等式的数量关系.
【自主学习】
1. 应用一元一次方程解实际问题的步骤：
那么如何运用一元一次不等式解决实际问题呢？
【合作探究】
探究点一、销售问题
例1 某商品的进价是 120 元，标价为 180 元，但销量较小，为了促销，商场决定打折销售，为了保证利润率不低于20%，那么最多可以打几折出售此商品
分析：本题涉及的数量关系是什么
售价(标价×折扣）－进价≥进价×利润率
【练一练】1. 某童装店按每套 90 元的价格购进 40 套童装，应缴纳的税费为销售额的 10%. 如果售卖这些童装要获得不低于 900 元的纯利润，每套童装的售价至少是多少元？
探究点二、其他问题
例2 七年级举办古诗词知识竞赛，共有 20 道题，每一题答对得 10 分，答错或不答都扣 5 分. 如果规定初赛成绩超过 90 分晋级决赛，那么初赛至少要答对多少道题才能成功晋级？
分析：本问题中涉及的数量关系是：答对的得分－答错或不答的扣分＞90
例 3 某市去年万元地区生产总值能耗为 0.320 t 标准煤，如果计划使今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于 5%，那么这个市今年万元地区生产总值能耗至多为多少？
万元地区生产总值能耗是指每万元地区生产总值所消费的能源总量（折算为标准煤），其下降率是衡量一个地区节能减排成效的重要指标.
分析,本问题中涉及的数量关系是:
________________________________________________.
【练一练】
2. 某次知识竞赛中共有 25 道题，对于每一道题，答对了得 4 分，答错了或者不答扣 2 分，小明同学得分要超过 80 分，他至少要答对几道题
问题：x 可以取 吗 为什么 x应该是多少
探究点二、方案问题
例4 某学校期末需要表彰优秀学生，计划购买一些笔记本和证书，笔记本的单价为 6 元，证书的单价为 0.4 元. 某文具用品商店给出两种优惠方案：
甲：买一个笔记本，赠送一张证书；
乙：一次购买证书200张以上，超过200张的证书按原价打八折，笔记本不打折.
学校准备购买 80 本笔记本，证书若干张(超过200张)，
请你判断哪种方案更合算，并说明理由.
问题1：题中有什么未知量 怎么设未知数
问题 2：怎么用含未知数的代数式表示甲、乙两个方案的费用
问题3：怎么比较两个方案费用的大小
例5 甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过 100 元后，超出 100 元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过 50 元后，超出 50 元的部分按九五折收费.顾客到哪家超市购物花费较少？
分析：
累计购物花费 在甲超市花费 在乙超市花费
0＜x≤50
50＜x≤100
x＞100
(1) 当 0＜x≤50 时，在两家超市购物花费_____，因为_______________.
(2) 当 50＜x≤100 时，在_______超市购物花费少，因为_______________.
(3) 当累计购物超过100元，即 x＞100 时，在甲、乙两超市购物都能享受优惠.
①若到甲超市购物花费较少，则_________________________________________，
解得 ________. 即________时，到甲超市购物花费较少.
②若到乙超市购物花费较少，则_________________________，解得 ________.
即____________时，到乙超市购物花费较少.
③若到两超市购物花费相同，则_________________________，解得 ________.
即____________时，到甲、乙两超市购物花费相同.
【练一练】
3. 为了保护环境，某企业决定购买 10 台污水处理设备，现有 A，B 两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表. 经预算，该企业购买设备的资金不高于 105 万元.
A型 B型
价格(万元/台) 12 10
处理污水量(吨/月) 240 200
(1) 该企业有多少种购买方案
(2) 若该企业每月产生的污水量为 2040 吨，为了节省资金，应该选择哪种购买方案
课堂检测
1. 如图①，一个最大容量为 500 cm3 的杯子中装有200 cm3 的水，将四颗相同的玻璃球放入这个杯中，结果水没有满，如图②.设每颗玻璃球的体积为x cm3，根据题意可列不等式为(　　)
A. 200＋4x＜500 B. 200＋4x≤500
C. 200＋4x＞500 D. 200＋4x≥500
2. 为了举行班级晚会，小明准备去商店购买20个乒乓球作为道具，并买一些乒乓球拍作为奖品.已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元. 如果购买金额不超过 200 元，设购买球拍x个，那么x的最大值为___________.
4. 小宏准备用100元钱买甲、乙两种饮料共18瓶，已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶4元，则小宏最多能买________瓶甲饮料.
5. 某次知识竞赛共20道题，每答对一题得10分，答错或不答都扣5分，娜娜的得分要超过90分，则她至少要答对_________ 道题.
6. 植树节期间，某单位欲购进A，B两种树苗，若购进A种树苗3棵，B种树苗5棵，需2100元；若购进A种树苗4棵，B种树苗10棵，需3800元.
(1)求购进的A，B两种树苗的单价；
(2)若该单位准备用不多于8000元的钱购进这两种树苗共30棵，求A种树苗至少需购进多少棵.
7. 某商品的进价是100元，标价为160元，但销量较小.为了促销，商场决定打折销售，为了保证利润率不低于20％，那么最多可以打几折出售此商品？
参考答案
【合作探究】
探究点一、销售问题
【典型例题】例1 解：设最多可以打 x 折出售此商品，由题意得
180×0.1x－120≥120×20%，解得 x≥8.答：最多可以打 8 折出售此商品.
【练一练】1.解：设每套童装的售价是 x 元.则 40x－90×40－40x · 10％≥900.解得 x≥125.答：每套童装的售价至少是 125 元.
探究点二、其他问题
【典型例题】例2 解：设初赛答对了 x 道题.根据“初赛成绩超过 90 分”晋级决赛，列得不等式10x－5(20－x)＞90.去括号，得10x－100＋5x＞90.移项，合并同类项，得15x＞190.系数化为 1，得x ＞12 2/3 .由 x 为正整数，可得 x 至少为 13.答：初赛至少要答对 13 道题才能成功晋级.
例3 解：设这个市今年万元地区生产总值能耗为 x t 标准煤.根据题意，列得不等式
去分母，得0.320－x≥0.320×5%.移项，合并同类项，得－x≥－0.304.系数化为 1，得x≤0.304.答：这个市今年万元地区生产总值能耗至多为 0.304 t 标准煤.
【练一练】2.解：设小明答对 x 道题，则他答错或不答的题数为 (25－x) 道.
由题意得 4x－2(25－x)＞80，解得 x＞21 .
问题 不能，因为 x 应为整数而且不能超过 25，所以小明至少要答对 22 道题.
探究点三 、方案问题
例4 问题1 购买证书的数量，设购买证书 m (m＞200) 张.
问题2 选择方案甲所需费用 y甲为80×6＋0.4×(m－80)＝(0.4m＋448) (元)；
选择方案乙所需费用y乙为80×6＋0.4×200＋0.4×0.8×(m－200)＝(0.32m＋496) (元).
问题3 ① 当 y甲＝y乙 时，即 0.4m＋448＝0.32m＋496.移项，得 0.4m－0.32m＝496－448.合并同类项，0.08m＝48.解得m＝600.
② 当 y甲＞y乙 时，0.4m＋448＞0.32m＋496.移项：0.4m－0.32m＞496－448.合并同类项：0.08m＞48.解得m＞600.
③当 y甲＜y乙 时，0.4m＋448＜0.32m＋496.移项：0.4m－0.32m＜496－448.
合并同类项：0.08m＜48. 解得m＜600.
综上，当购买证书 600 张时，甲、乙两种方案费用一样；当购买证书的数量大于 600 张时，方案乙更合算；当购买证书的数量大于 200 张且小于 600 张时，方案甲更合算.
例5 表格填空 x x x 50+0.95(x-50) 100+0.9(x-100) 50+0.95(x-50)
（1） 一样 都不享受优惠 （2）乙超市有优惠，甲超市没有
（3）① 100＋0.9(x－100)＜50＋0.95(x－50) x＞150 x＞150
②100＋0.9(x－100)＞50＋0.95(x－50) x＜150 100＜x＜150
③ 100＋0.9(x－100)＝50＋0.95(x－50) x＝150 x＝150
答：综上所述，当累计购物花费不超过 50 元或等于 150 元时，到两家超市购物花费相同；当累计购物超过 50 元而不到 150 元时，到乙超市购物花费较少；当累计购物超过150元时，到甲超市购物花费较少.
【练一练】
3.（1）解：设购买 A 型污水处理设备 x 台，则购买 B 型污水处理设备 (10－x) 台.由题意，得 12x＋10(10－x)≤105，解这个不等式，得 x≤2.5.因为 x 为设备的台数，所以 x 为非负整数，即0≤x≤2.5 且 x 为整数，那么 x 的值可以为 0，1，2.当x=0时，10-x=10-0=10，即购买A型 0 台，B型10 台.
当x=1时，10-x=10-1=9，即购买A型 1 台，B型 9 台.
当x=2时，10-x=10-2=8，即购买A型 2 台，B型 8 台.
所以该企业有 3 种购买方案.
（2）解：由题意得 240x＋200(10－x)≥2040， 解得 x≥1.
结合(1) 中 x≤2.5且 x 为整数，可得 x 的值为 1 或 2.
分别计算两种情况下的购买资金：
当 x＝1 时，购买A 型 1 台，B 型 9 台，
购买资金为12×1＋10×9＝12＋90＝102 (万元).
当 x＝2 时，购买 A 型 2 台，B 型 8 台，购买资金为
12×2＋10×8＝24＋80＝104 (万元).
因为 102<104，所以为了节省资金，应该选择购买A型1 台，B型 9 台的方案.
课堂检测
1.A 2.A 3. 2×5＋(10－2)x≥72 4. 9 5. 13
6.(1)解：设A种树苗的单价为x元，B种树苗的单价为y元，
解得
答：A种树苗的单价为200元，B种树苗的单价为300元.
（2）解：设购进A种树苗a棵，则购进B种树苗为(30－a)棵，可得200a＋300(30－a)≤8000，解得a≥10.答：A种树苗至少需购进10棵.
7. 解：设可以打x折出售此商品.由题意得160×x/10 －100≥100×20％，解得x≥7.5.答：最多可以打七五折出售此商品.

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