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第11章 不等式与不等式组
11.1 不等式及其解集
【学习目标】
1. 了解不等式及其解集的概念，能用不等式表示一些不等关系；理解不等式的解集，感受生活中存在大量的不等关系，提升符号感和数学建模能力.
2.通过独立思考，小组交流，探究用数轴表示不等式解集的方法和不等式在实际生活中的应用，体会数形结合的思想.
3.激情投入，善于发现问题和提出问题，感受学习数学的乐趣.
【学习重点】不等式及不等式的解集.
【学习难点】将自然语言转化为符号语言.
【自主学习】
1. 等式、方程的定义是什么
2. 数轴的定义是什么 数轴与实数有什么样的关系
小宏一家有四兄妹小宏、姐姐小新、哥哥小卡和弟弟小宋. 爸爸给四兄妹派发零花钱，小宏得到 5 元，小新得到 x 元，比小宏多；小卡得到 7 元，和小新得到的零花钱不一样；小宋得到 10 元，小新比小宋少，你能用式子表示他们零花钱之间的大小关系吗
这节课我们来学习这些不等的数量关系的表示方法.
【合作探究】
探究点一、不等式的概念
问题 1：怎么用式子表示上面的数量关系
问题 2：像 “ x＞5”，“ x≠7 ”，“ x＜10” 这样子的式子是等式吗
问题 3：什么是不等式 不等式中是否必须有未知数
要点归纳：像这样用符号“＜”或“＞”表示不等关系的式子，叫作不等式. 像 x≠7 这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式.
我们常用不等式表示不等关系.
【练一练】
1. 判断下列式子是不是不等式：
(1) -3＞0； (2) 4x＋3y＜0；
(3) x = 3； (4) x2＋x y＋y2；
(5) x＋2＞y＋5.
【典型例题】
例1 用不等式表示下列不等关系：
(1) a与15的和大于27；
(2) b的一半与3的差是负数；
(3) 某县在乡村振兴项目的援助下，共种植 1 333 hm 猕猴桃，种植面积超过全县原有猕猴桃种植面积的 18 倍.
【练一练】
2.用不等式表示下列数量关系：
(1) x 的 5 倍大于－7；______________
(2) a 与 b 的和的一半小于－1；______________
(3) 长、宽分别为 x cm，y cm 的长方形的面积小于边长为 a cm的正方形的面积. __________
探究点二、不等式的解与解集
问题情境：一辆匀速行驶的汽车在 11∶20 距离 A 地 50 千米，要在 12∶00 以前驶过 A 地，车速应该满足什么条件
问题1：假设车速是 x km/h，你可以列出不等式吗
问题2：判断下列数中哪些是不等式 ＞50 的解.
x 60 73 74.9 75.1 76 79 80 90
是否为 ＞50的解
问题3：你还能找出这个不等式的其他解吗 这个不等式有多少个解
追问1 根据方程的解的概念给不等式的解下定义.
追问2：满足条件的 x 的值有何特点
知识要点：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个_______.求不等式的解集的过程叫作__________.
思考 1. 不等式的解和不等式的解集是一样的吗
2. 不等式的解与解不等式一样吗？
不等式的解与不等式的解集的区别与联系
不等式的解 不等式的解集
区别 定义 使不等式成立的未知数的某个值 使不等式成立的未知数的所有值
特点 个体 全体
形式 如：x＝3 是不等式 2x＜10 的一个解 如：x＜5 是不等式 2x＜10 的解集
联系 某个解一定是解集中的一员 解集一定包含了所有的解
【典型例题】
例2 下列不是不等式 5x－3＜6 的解的是( )
A.1 B.2 C.－1 D.－2
【练一练】
3.判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”.
(1) x = 2是不等式x+3 < 4的解； （ ）
(2) 不等式x+1 < 2的解有无穷多个； （ ）
(3) x = 3是不等式3x < 9的解； （ ）
(4) x = 2是不等式3x < 7的解集. （ ）
探究点二、在数轴上表示不等式的解集
问题 如何在数轴上表示出不等式 x＞2 的解集呢？
例3 在数轴上表示下列不等式.
(1) x ＞-1 ； (2) x ＜
变式：已知关于 x 的不等式的解集在数轴上表示如图，你能写出此解集吗
解集的表示方法
第一种：用式子(如x > 2),即用最简形式的不等式 (如x > a或x < a ) 来表示.
第二种：用数轴
1.画数轴: (数轴三要素)
2.定界点: (＞，＜ 画空心圆圈)
3.定方向: (大于向右，小于向左)
【典型例题】
例4 直接写出 x + 4＜6 的解集，并在数轴上表示出来.
变式：已知关于 x 的不等式的解集用数轴表示如图所示，你能写出此解集吗
课堂检测
1. 下列各式：①－3＜0；②4x＋3y＞0；③x＝3；④x2＋xy＋y2；⑤x≠5；⑥x＋2＞y＋3.其中是不等式的有(　　)
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
2. 用数轴表示不等式x＜2的解集正确的是(　　)
3. 下列说法中，错误的是(　　)
A. 不等式x＜2的正整数解只有一个.
B. －2是不等式2x－1＜0的一个解.
C. 不等式－3x＞9的解集是－3.
D. 不等式x＜10的整数解有无数个.
4. 用适当的不等式表示下列数量关系：
(1) x减去3大于10； (2) x的3倍与5的差是负数；
(3) x的2倍与1的和是正数； (4) y的3倍与9的差比－1小.
参考答案
【自主学习】
1.等式是指用“＝”表示相等关系的式子；
方程是指含有未知数的等式，是表示两个数学式之间相等关系的一种等式.
2.数轴是指规定了原点、正方向和单位长度的直线；一一对应.
【合作探究】
探究点一、不等式的概念
问题1 “x＞5”，“x≠7”，“x＜10” 问题2 不是等式 问题3 用不等符号表示不等关系的式子叫作不等式；不一定有未知数，如 2＜3.
【练一练】1.解 ： (1)、 (2) 、 (5) 是不等式；(3)、(4) 不是不等式.
【典型例题】例1 解：(1) a＋15＞27；(2) b/2－3＜0；(3) 设这个县原有猕猴桃种植面积为 x hm ，那么 1 333＞18 x，也可以表示为 18 x＜1 333.
【练一练】2. （1）5 x＞－7 （2）a+b/2<－1 （3）x y＜a2
探究点二、不等式的解与解集
问题1 2/3x＞50 问题2 不是 不是 不是 是 是 是 是 是
问题3 能，例如 x = 88，这个不等式有无数个解. 追问1 不等式的解是指在含有未知数的不等式中，能够使不等式成立的未知数的值.
追问2 满足条件的 x 的值都在 x＞75 这个范围之内.
知识要点 不等式的解集 解不等式
思考1 不一样，不等式的解集由无数个不等式的解构成
思考2 解不等式的结果就是求不等式的解，解不等式是求不等式的过程.
【典型例题】例2 B 【练一练】(1)× (2)√ (3)× (4)×
探究点三、在数轴上表示不等式的解集
问题
【典型例题】例3
变式
例4 解：x＜2．这个解集在数轴上可以表示为：
变式 解：（1）x＜－3. （2）x＞7．
课堂检测
1.B 2. A 3.C
4. (1) 解：由题意可得x－3＞10. (2) 解：由题意可得3 x－5＜0.
(3) 解：由题意可得2x＋1＞0. (4) 解：由题意可得3 y－9＜－1.

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