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第11章 不等式与不等式组
11.2 一元一次不等式
第1课时 一元一次不等式的解法
【学习目标】
1. 通过解决实际问题，理解一元一次不等式的概念,培养抽象概括能力，发展数学模型思想.
2. 通过类比一元一次方程的解法，掌握一元一次不等式的解法，培养知识迁移能力，发展类比推理能力.
3. 会利用数轴解一元一次不等式，并在数轴表示一元一次不等式解集，继续渗透数形结合思想，发展几何直观.
【学习重点】解一元一次不等式的步骤，把解集表示在数轴上.
【学习难点】正确运用不等式的性质解一元一次不等式.
【自主学习】
什么叫作一元一次方程 结合一元一次方程和不等式的定义思考并探究什么叫一元一次不等式.
【合作探究】
探究点一、一元一次不等式的概念
某次知识竞赛中共有 10 道题，对于每一道题，答对了得 10 分，答错了或者不答扣 5 分，已知某同学答对了 x 道题，得了 70 分.
问题1：请写出情境中 x 所满足的关系式.
问题 2：这个关系式我们称之为什么 什么是一元一次方程
追问：如果把某同学得了 70 分改成至少得 70 分，其他条件不变. 你又能得出什么关系式 这个关系式叫什么
活动：请同学们观察下列不等式：
① x－2＜3； ② x+1/2＜3； ③1一3(x＋1)＞5； ④ x＋1≤2x.
问题1：上述不等式中各含有几个未知数 未知数的次数都是几次 不等号两边的式子有什么特点
问题2：你能依据一元一次方程的概念说出什么叫一元一次不等式吗
一元一次不等式的概念：
只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是１的不等式，叫作一元一次不等式.
特点： ① 不等式两边都是整式；
② 每个不等式都只含有一个未知数；
③ 未知数的次数都是 1.
思考：它与一元一次方程的定义有什么共同点和不同点？
例1 已知是关于 x 的一元一次不等式，则 a 的值是_______．
例2 下列不等式是一元一次不等式吗 为什么？
(1) 3x + 2 > x - 1； (2) 5x + 3 < 0；
(3) (4) x(x - 1) < 2x.
探究点二、解一元一次不等式
活动：你能否仿照解方程的步骤去解不等式
解方程： 解不等式：
4x - 1 = 5x + 15. 4x - 1 < 5x + 15.
问题1：解不等式移项是根据什么性质 不等号变不变
问题 2：解不等式系数化为 1 是根据什么性质 不等号变不变
追问：你觉得解不等式在哪些地方容易出错 和同学讨论归纳一下.
思考：解方程和解不等式有何异同点
解方程和解不等式异同点
一元一次不等式 一元一次方程
相同点 解法 步骤 ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1 (解不等式时，去分母、系数化为1时，若两边都乘 (或除以) 同一个负数，不等号的方向改变)
不同点 依据 不等式的性质 等式的性质
解的个数 有无数个解 只有一个解
解(集)的形式 xa(x≥a) x=a
【典型例题】
例3 解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1) 3(x－1)＜x－2； (2)
想一想: 对比例1中第 (1) 小题和第 (2) 小题的解题过程，系数化为 1 时应注意些什么？
例4 当 y 为何值时，式子 的值不大于式子 的值？并求出满足条件的 y 的最大整数值.
课堂检测
1. 下列不等式中，是一元一次不等式的是(　　)
A. x＜y B. a2＋b2＞0 C. 1/x ＞1 D. 3/4 x－4/3 ＜0
2. 不等式2x＋1≤5的解集，在数轴上表示正确的是(　　)
3. 不等式1－2x＜5－x的负整数解有(　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 若(m－2)x2m＋1－1＞5是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为_____.
5. 解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
(1)3x－1＜2x＋1； (2)－3(x－1)≥2x－3； (3)2x 1/3 ≤3x 1/2 .
6. 已知关于x，y的方程组 的解满足不等式x＋y＜3，求实数a的取值范围.
参考答案
【自主学习】
一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为 1 且两边都为整式的等式
【合作探究】
探究点一、一元一次不等式的概念
问题1 10x－5(10－x)＝70
问题2 一元一次方程；只含有一个未知数，未知数的次数为 1 且两边都为整式的等式叫作一元一次方程.
追问 10x－5(10－x)≥70.一元一次不等式
活动 问题1 含有一个未知数，且未知数次数是 1 的不等式，不等号两边的式子都是整式.
问题2 只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是１的不等式，叫作一元一次不等式.
思考 想同点：都是对未知数的次数和个数来进行定义的，不同点：一个为等式，另一个为不等式。（言之有理即可）
【典型例题】例1 1 例2 （1）是（2）是（3）不是（4）不是
探究点二、解一元一次不等式
解方程 解：移项，得4x - 5x = 15 + 1.合并同类项，得-x = 16.系数化为 1，得x = -16.
解不等式：解：移项，得4x - 5x < 15 + 1.合并同类项，得-x < 16.系数化为 1，得x > -16.
问题1 性质1. 不变 问题2 不等式的性质 2、3. 是否变号视情况而定.
追问 符号问题、变号问题等
【典型例题】例3
(1) 解：去括号，得 3x－3＜x－2.移项，得 3x－x＜－2+3.合并同类项，得2x＜1.系数化为 1，得 x＜1/2 .这个不等式的解集在数轴上的表示如图.
（2）解：去分母，得 3(x－5)＋2×12≥2(5x＋1).去括号，得 3x－15＋24≥10x＋2.移项，得 3x－10x≥2＋15－24.合并同类项，得 －7x≥－7.系数化为 1，得 x≤1.
想一想 要看未知数系数的符号：若未知数的系数是正数，则不等号的方向不变；若未知数的系数是负数，则不等号的方向改变；
例4 解：依题意，得 5y+4/6≤7/8 1 y/3，去分母，得4(5y＋4)≤21－8(1－y)，
去括号，得20y＋16≤21－8＋8y，移项得 20y－8y≤21－8－16，合并同类项得12y≤－3，把 y 的系数化为1，y≤－1/4，∴ 满足条件的y最大整数值是－1.
课堂检测
1.D 2.C 3.C 4. x＜－3
5.(1) x＜2 (2) x≤6/5 (3) x≥1/5
6. 解：解方程组得
∵x＋y＜3，∴2a＋1＋2a－2＜3.∴4a＜4.∴a＜1.