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第4章 平面内的两条直线
4. 3 平行线的性质
学习目标：
1. 掌握平行线的性质，会运用两条直线的平行关系判 定角相等或互补；（重点）
2. 能够根据平行线的性质进行简单的推理.
一、情境导入
问题1 平面内两条直线的位置关系有哪几种？
问题2 两直线平行的定义是什么？
问题3 上节课你学了平行线的哪些内容？
要点探究
探究点一：平行线的性质
一、 平行线的性质 1
活动 画两条平行线 a∥b ，然后画一条截线 c 与 a 、b相交，标出如图所示的角. 度量所形成的 8 个角的度数，
把结果填入下表：
角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4
度数
角 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8
度数
观察 ∠1~∠8 中，哪些是同位角？它们的大小之间有什么关系？说出你的猜想.
猜想 两条平行线被第三条直线所截，同位角________ .
再任意画一条截线d，同样度量各个角的度数，你的猜想还成立吗？
几何画板展示：平行线的性质
如果两直线不平行，上述结论还成立吗？
一般地，平行线具有如下性质：
性质1 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.
应用格式:
因为 a∥b（已知）， 所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）
例1 如图，直线 AB ，CD 被直线 EF 所截，AB∥CD， ∠1 ＝100°，试求∠3 的度数.
二、 平行线的性质 2
思考：已知两直线平行，同位角相等， 那么能否得到内错角之间的数量关系？
如图，已知 a∥b ，那么∠2 与∠3 相等吗？为什么
性质2 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.
简单说成：两直线平行，内错角相等.
应用格式：
因为 a∥b（已知），
所以 ∠2=∠3 （两直线平行，内错角相等）.
三、 平行线的性质 3
思考：类似地，已知两直线平行，能否得到同旁内角 之间的数量关系？如图，已知 a∥b ，那么 2与 4有什么关系呢？为什么
性质3 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简单说成：两直线平行，同旁内角互补.
应用格式：
因为 a∥b (已知)， 所以∠2 + ∠4 = 180°(两直线平行，同旁内角互补).
例2 如图，AD∥BC ，∠B = ∠D ，试问∠A与∠C 相等吗？为什么？
例3 小明在纸上画了一个∠A ，准备用量角器测量它的度数时，因不小心将纸片撕破，只剩下如图的一部 分．如果不能延长 DC、FE 的话，你能帮他设计出多少种方法测出∠A 的度数吗？
例4 如图，若 AB∥CD ，你能确定∠B 、∠D 与∠BED 之间的等量关系吗？说说你的看法.
变式1
如图，AB∥CD ，探索∠B 、 ∠D 与∠DEB 之间的等量关系
变式2 如图所示，AB∥CD，则
若有 n 个拐点，你能找到规律吗？
变式3 如图，若 AB∥CD， 则
若左边有 n 个角，右边有 m 个角，你能找到规律吗？
二、课堂小结
1. 如图，已知平行线 AB、CD 被直线 AE 所截.
(1) 从∠1 = 110° 可以知道∠2 是多少度吗？为什么？
(2) 从∠1 = 110° 可以知道∠3 是多少度吗？为什么？
(3) 从∠1 = 110° 可以知道∠4 是多少度吗？为什么？
2. 如图，一条公路两次拐弯的前后两条路互相平行.若第一次拐弯时∠B 是 142°，则第二次拐弯时∠C是多少度？为什么？
3. 如果有两条直线被第三条直线所截，那么（ ）
A. 内错角相等 B. 同位角相等
C. 同旁内角互补 D. 以上都不对
4. (1) 如图1，若 AB∥DE，AC∥DF，试说明∠A =∠D. 请补全下面的解答过程，括号内填写依据.
解：因为 AB∥DE ( )，
所以∠A =_______ ( ).
因为 AC∥DF ( ) ，
所以∠D =______ ( ).
所以∠A =∠D ( ).
(2) 如图 2，若 AB∥DE，AC∥DF，试说明∠A +∠D = 180°. 请补全下面的解答过程，括号内填写依据.
解：因为 AB∥DE ( )，
所以∠A = ______ ( ).
因为 AC∥DF ( ) ，
所以∠D + _______= 180° ( ).
所以∠A +∠D = 180° ( ).
参考答案
复习导入 问题1 相交，重合，平行三种. 问题2 在同一平面内，没有公共点的两条直线平行. 问题3 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 平行于同一条直线的两条直线平行.
探究点一：平行线的性质
活动1 测量角度略（学生自主测量即可） 猜想 相等
例1 解：因为 AB∥CD，
所以∠1＝∠2＝100° (两直线平行，同位角相等).
又因为∠2 +∠3＝180°，所以∠3＝180°－∠2＝180°－100°＝80°.
平行线的性质2 思考 解：∠2 =∠3. 理由如下：因为 a∥b(已知)，所以∠1 =∠2(两直线平行，同位角相等).又因为∠1 =∠3(对顶角相等)，所以∠2 =∠3(等量代换).
平行线的性质3 解： 2 + 4 = 180°. 理由如下： 因为 a∥b (已知)，
所以∠1 =∠ 2 (两直线平行，同位角相等).
因为∠1 + ∠4 = 180°(平角的定义)， 所以∠2 + ∠ 4 = 180°(等量代换).
例2 解：因为 AD∥BC，所以根据平行线的性质3 可得：∠A +∠B = 180°，∠D +∠C = 180°.
又因为∠B =∠D(已知)，所以∠A =∠C.
例3 言之有理即可（可以从同位角，内错角同旁内角等方面去思考）
例4 解：过点 E 向右作 EF∥AB．则∠B =∠BEF．因为 AB∥CD，所以 EF∥CD．
所以∠D =∠DEF．所以∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF＝∠BED，即∠B＋∠D＝∠BED．
变式1 解：过点 E 向左作 EF∥AB．则∠B＋∠BEF＝180°．因为 AB∥CD，所以 EF∥CD．所以∠D＋∠DEF＝180°． 所以∠B＋∠D＋∠DEB＝∠B＋∠D＋∠BEF＋∠DEF＝360°．
变式2 当有一个拐点时：∠A +∠E +∠C = 360°
当有两个拐点时：∠A +∠E1 +∠E2 +∠C = 540°
当有三个拐点时：∠A +∠E1 +∠E2 +∠E3 +∠C = 720°
当有 n 个拐点时：∠A + ∠ E1 + ∠ E2 +…+ ∠ En + ∠C = 180°(n + 1)
变式3 当左边两个角，右边一个角时：∠A +∠C =∠E
当左边两个角，右边两个角时：∠A +∠F =∠E +∠D
当左边三个角，右边两个角时：∠A +∠F1 +∠C =∠E1 +∠E2
当左边有n个角，右边有m个角时：∠A +∠F1 +∠F2 + … +∠Fn-1=∠E1 +∠E2 + … +∠Em-1 +∠D.
课堂练习
1.解：(1)∠2 = 110°.两直线平行，内错角相等.
（2）∠3 = 110°. 两直线平行，同位角相等.
（3）∠4 = 70°. 两直线平行，同旁内角互补.
2. 解：∠C = 142°.两直线平行，内错角相等.
3. D
4.（1） 已知 ∠CPE 两直线平行，同位角相等 已知 ∠CPE 两直线平行，同位角相等
等量代换
（2）已知 ∠CPD 两直线平行，同位角相等 已知 ∠CPD 两直线平行，同旁内角互补
等量代换

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