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第4章 平面内的两条直线
4. 5 垂 线
第1课时 垂线
学习目标：
1. 理解垂线的概念、性质；（重点）
2. 会运用垂线的性质解决问题. （难点）
一、情境导入
观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们 有什么特殊的位置关系？
日常生活中，如图中的两条直线的关系很常见，你能再举出其他例子吗？
要点探究
探究点一：垂线的概念
在相交线的模型中，固定 木条 a ，转动木条b ，当 b 的位置变化时，a 、b 所成 的角 α 也会发生变化.
问题 如图，直线 AB 与 CD 交于点 O ，当∠AOC = 90。
时， ∠BOD 、∠AOD 、∠BOC 等于多少度？为什么？
知识要点
1.垂直的定义：
在同一平面内的两条直线相交所成的四 个角中，若有一个角是直角(此时可知 其余三个角也是直角) ，则称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足.
若两条直线相交所成的四个角中没有直角， 则称其中一条直线为另一条直线的斜线.
如图，直线CD是AB的斜线，同样，直线AB也是CD的斜线.
2.垂直的表示法：
如果直线 AB与直线CD垂直，那么可记作：AB丄CD（或 CD丄AB）.
如果用l 、m 表示这两条直线，那么直线 l 与直线 m 垂直可记作：l 丄m （或 m丄l）.
其中 O 点是这两条互相垂直的直线的垂足.
3.垂直概念的延伸
如图，当直线 AB 与 CD 相交于 O 点， AB丄CD ，垂足为 O.
符号语言：
①判定：因为∠AOD = 90°（已知）， 所以 AB丄CD（垂直的定义）
反之，若直线 AB丄CD ，垂足为 O ，那么∠AOD= 90。.
符号语言：
②性质：因为AB丄CD（已知），
所以∠AOD = 90°(垂直的定义). (∠AOC=∠BOC=∠BOD=90 °).
典例精析
例1 (1) 如图1，若直线 m、n 相交于点 O，∠1 = 90°，则__________；
(2) 若直线 AB 、CD 相交于点 O ，且 AB丄CD ，那么 ∠BOD =_________；
(3) 如图2，BO⊥AO，∠BOC 与∠BOA 的度数之比为 1∶5，则∠COA =_______°，∠BOC 的补角为________°.
活动1：你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？
活动2：如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？
折一折，试一试
你能用纸折出两条互相垂直的直线吗
例2 如图，直线 BC 与 MN 交于点 O，AO⊥BC，∠BOE =∠NOE，若∠EON = 20°，求∠AOM和∠NOC 的度数．
思考：在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线,这两条直线平行吗？为什么？
猜想：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
(1) 在同一平面内，b⊥a，c⊥a，试说明：b∥c.
(2) 如图，在同一平面内，如果直线 a∥b，l⊥a，那么 l⊥b 吗
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
几何语言：
因为 b 丄a ，c丄a (已知)，
所以 b∥c (同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行).
反之，在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线也垂直于另一条直线.
例3 如图的简易屋架中，BD，AE，HF 都垂直于 CG，若∠1＝60°，求∠2的度数．
例4 如图，在△ABC 中，CD⊥AB于点 D，∠1 = ∠2，求∠BEF的度数.
例5 如图，为了说明示意图中的平安大街与长安街是互相平行的，在地图上量得∠1=90。，你能通过度量图中已标出的其他的角来验证这个结论吗？说出你的理由.
二、课堂小结
1. 垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是 直角时，这两条直线互相垂直，
其中一条直线叫另 一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.
2. 垂线的性质
在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行.在同一平面内，如果一直线
垂直于两条平行线中 的一条，那么这条直线也垂直于另一条.
1. 两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能 判定两条直线垂直的是( )
A.有两个角相等 B.有两对角相等
C.有三个角相等 D.有四对补角
2.找出图中互相垂直的线段：
3. 如图，AB丄CD ，垂足为 O ，EF 为过点 O 的一条直线，
则∠1 与∠2 的关系一定成立的是（ ）
A. 相等 B. 互余
C. 互补 D. 互为对顶角
4.如图，已知直线 AB、CD 都经过 O点，OE 为射线，若∠1＝35°，∠2＝55°，则 OE 与 AB 的位置关系是___________.
参考答案
探究点一：垂线的概念
问题 由对顶角和平角的性质 ，可知当 ∠AOC ＝90°时，∠BOD =∠AOD =∠BOC= 90°.
例1 （1） m丄n （2） 90 （3） 72 162
活动1 画图过程见课件展示动画
活动2 答案不唯一，合理即可
例2 解：因为∠BOE = ∠NOE ， ∠EON＝20°，所以∠BON＝2∠EON＝40°. 所以∠NOC ＝180°-∠BON = 180°－40。＝140°. ∠MOC = ∠BON＝40°.因为AO丄BC ，所以∠AOC ＝90°.所以∠AOM = ∠AOC-∠MOC ＝90°－40°＝50°. 综上可知， ∠AOM ＝50°， ∠NOC ＝140°.
思考 b⊥a，c⊥a b∥c
验证猜想 （1） 解法1：如图，因为 b⊥a，c⊥a（已知），所以∠1 = ∠2 = 90°(垂直的定义).所以 b∥c (同位角相等，两直线平行).
解法2：如图，因为 b⊥a，c⊥a (已知)，所以∠1 =∠2 = 90° (垂直的定义).
所以 b∥c (内错角相等，两直线平行).
（2） 解：因为 l⊥a，所以∠1 = 90°.因为 a∥b，所以 ∠2 = ∠1= 90°(两直线平行，同位角相等)，因此 l⊥b.
例3 解：因为 BD，AE 都垂直于 CG，所以 BD∥AE（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）.从而∠2＝∠1＝60°（两直线平行，同位角相等）.
例4 解：因为 CD⊥AB，所以∠BDC = 90°.又因为∠1 = ∠2，所以 DC∥EF (同位角相等，两直线平行).所以∠BEF=∠BDC = 90°(两直线平行，同位角相等).
例5 解：方法1：测出∠3 = 90°，理由是同位角相等，两直线平行.
方法2：测出∠2 = 90°，理由是同旁内角互补，两直线平行.
方法3：测出∠5 = 90°，理由是内错角相等，两直线平行.
方法4：测出∠2，∠3，∠4，∠5 中任意一个角为 90°，理由是同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行.
课堂练习
1. C 2. AO⊥CO BO⊥DO 3. B 4. 垂直

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