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第4章 平面内的两条直线
4. 6 两条平行线之间的距离
学习目标：
1.掌握公垂线段的概念及其性质；
2. 会求平行线间的距离. （重点）
一、情境导入
连接两点的线段的长度叫两点间的距离.
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.
展示三个视频，借助数学知识解释生活中的活动.
某火车站一位铁路护路工人因有事出差，为了保证火车安全行驶，假设由你来顶替他工作你应该怎样确定两条铁轨是平行的呢？
要点探究
探究点一：两条平行线间的距离
活动1：请各位同学用直尺量一量自己的数学课本，它的宽度是多少？
你的直尺与课本的两边成什么角度？量在课本的哪个位置？大家量得的结果是一样的吗？
概念聚焦：
与两条平行直线都垂直的直线，叫作这两条平行直线的公垂线，这时连接两个垂足的线段，叫作这两条平行直线的公垂线段．
练一练
1. 如图 (1)，已知 m∥n，_____为公垂线；
2. 如图 (2)，已知 a∥b，_____为公垂线段.
合作探究
活动2：请任意画两条互相平行的直线a、 b, 在直线 a上, 任意取两点A, B. 然后量出点A、B到直线b的距离, 并加以比较, 你能得到什么结果
活动3：把一把三角尺的一条直角边沿着直线 b 移动，请观察三角尺的另一条直角边与直线 a交点处的刻度，问：刻度有改变吗？
通过上述实验，你发现了什么？
概念学习
两条平行线的所有公垂线段都_____________.
几何语言：
因为 a∥b，AC，BD 是 a，b 的公垂线段，
所以 AC = BD.
定义：两条平行线的公垂线段的长度叫作两条平行线间的距离.
由上述结论可以进一步猜测：
平行线 l1 与 l2 之间的距离等于 l1 上任一点到直线 l2 的距离.
思考：你可以说明这个猜想是正确的吗？
例1 如图，AB∥DC，AB = DC，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为点 E，F，那么线段 AE 与 CF相等吗
例2 如图，已知 AD∥BC，判断S△ABC与S△DBC是否相等，并说明理由.
练一练：
如图，MN∥AB，P，Q 为直线 MN 上的任意两点，△PAB 和△QAB 的面积有什么关系？为什么？
例3 如图，设 a ，b ，c 是三条互相平行的直线. 已知 a 与 b 的距离为 5 ，b 与 c 的距离为 2 ， 求 a 与 c 的距离.
变式：设 a 、b 、c 是三条互相平行的直线，已知 a 与 b的距离为 5 ，b 与 c 的距离为 2 ，求 a 与 c 的距离.
二、课堂小结
1. 两平行线的公垂线段有多少条 （ ）
A. 1 条 B. 2 条 C. 无数条 D. 一条也没有
2. 点 P，M 分别在直线 AB 和直线 CD 上，且 AB∥CD， 点 P 到 CD 的距离为 5 cm ，则点 M 到AB 的距离 ( )
A. 大于 5 cm B. 小于 5 cm C. 等于 5 cm D. 不能确定
3. 如图，a⊥c，b⊥c，c 交 a，b 于A、B 两点，d 交 a，b 于 C、D 两点，且 d 与 c 不平行，则 AB_______CD（填“＞”“=” “＜”）.
4. 如图，长方形 ABCD 的宽 AD 的长度是 2 cm，点 P 到 AB 的距离是 1.6 cm，那么点 P 到CD的距离是________.
第3题图 第4题图
5. 如图，已知直线 MN∥PQ ，BC = 4 cm ，若△ABC的面积为 6 cm , 则平行线 MN，PQ 的距离是______ cm.
第5题图 第7题图
6. 已知 a∥b∥c ，a 与 b 之间的距离为 3 cm ，b 与 c 之间的距离为 4 cm ，则a与c之间的距离为__________ cm.
7.如图是山坡上两棵树,你能量出他们之间的距离吗
拓展提升
1.如图1，MN∥AB，P、Q 为直线 MN 上的任意两点，△PAB 和△QAB 的面积相等吗？为什么？
2. 如图2，MN∥AB，P 是MN上的一动点，S△PAB = a cm2. P 沿 MN 的方向每次移动 1 cm，当它移动10 cm时得到点P1，那么△P1AB 的面积是多少？
参考答案
情境导入 B C A 可以测量不同位置的两条铁轨之间的距离
探究点一：两条平行线间的距离
活动一 测量结果可以自行统计，注意可以把直尺放在课本上任何一个位置，但必须保持直尺与课本的两边互相垂直，量得的结果是一样的.
练一练
1. b 2. CD
活动2 AC = DB
活动3 刻度没有发生改变 概念学习 相等
思考 证明：如图，线段 AB 是两条平行线 l1 与 l2 的公垂线段，从而线段 AB的长度是直线 l1 与 l2 之间的距离.又线段 AB 的长度是点 A 到直线 l 的距离，因此，平行线 l1 与 l2 之间的距离等于直线 l1 上的点 A 到直线 l 的距离.
例1 解：因为 AB∥DC，DE⊥AB，所以 DE⊥DC.又AB∥DC，BF⊥CD，于是 BF⊥AB. 因而DE∥FB.又 DF⊥DE，DF⊥FB，EB⊥DE，EB⊥FB，从而线段 DF，EB 都是平行线 DE 与 FB 的公垂线段.故 DF = EB. 又AB = DC，所以 AB - EB = DC - DF，即 AE = CF.
例2 解：相等. 理由如下： 因为 AD∥BC，所以△ABC 与 △DBC 的高相等.
因为 △ABC 与 △DBC 的底都是 BC，所以 △ABC 与 △DBC 是同底等高三角形. 所以 S△ABC= S△DBC.
练一练 解 △PAB 与△QAB 面积相等. 理由如下： 作 PM⊥AB，QN⊥AB.
因为 MN∥AB，所以 PM = QN. S△PAB = , S△QAB = .
所以 S△PAB = S△QAB.
例3 解：在 a 上任取一点 A，过 A 作 AC⊥a，分别与 b，c 相交于 B，C 两点，
因为 a，b，c 是三条互相平行的直线，所以AB⊥b，AC⊥a.因此，线段AB，BC，AC分别是平行线a 与 b，b 与 c，a 与 c 的公垂线段.又AC = AB + BC = 5 + 2 = 7，因此，a 与 c 的距离是 7.
变式 解：有两种情况：(1) 如图 1，由 AB = 5 ，BC = 2 ，得 AC = 7 .
(2) 如图 2，由 AB = 5 ，BC = 2 ，得 AC = 3 .综上可知，a 与 c 的距离为 7 或 3 .
课堂练习
1. C 2.C 3.＜ 4. 3.6 5. 3 6. 7 或 1
7. 拓展提升 相等 a cm2

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