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第4章 平面内的两条直线
4. 1 平面内两条直线的位置关系
第2课时 相交直线所成的角
学习目标：
1. 理解对顶角、同位角、内错角、同旁内角的概念；
2. 掌握对顶角的性质，能运用它的性质进行角的运 算并解决一些实际问题.（重点、难点）
一、情境导入
你发现了什么？
要点探究
探究点一：对顶角的概念
活动：握紧把手时，随着两个把手之间的角逐渐变小， 剪刀刃之间的角也相应变小直到剪开布片.如果把剪刀的构造看作两条相交的直线，这就关系到两条相交直线所成的角的问题.
知识要点
对顶角：两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的___________，这样的一对角叫作对顶角. 图中∠1的对顶角是______.
例1 下列各图中，∠1 与∠2 是对顶角的是（ ）
探究点二：对顶角的性质
我们已经知道平角为 180。，因而∠1 与∠2 ， ∠2 与∠3 ， ∠3 与∠4 ， ∠4 与∠1 的和均为 180。.
问题：对顶角∠1 与∠3在数量上又有什么关系呢？
猜想：对顶角相等.
思考：你能利用有关知识来推 导∠1 与∠3 的数量关系吗？
已知：直线 AB 与 CD 相交于 O 点(如图)，试说明： ∠1 =∠3 ， ∠2 =∠4.
应用格式：因为直线 AB 与 CD 相交于 O 点， 所以∠1 =∠3 ， ∠2 =∠4.
想一想：图中是对顶角量角器，你能说出用它测量角的原理吗？
例2 如图，直线 a ，b 相交， ∠1 = 40。，求∠2 ， ∠3，∠4 的度数.
变式训练：
1. 如图，若 ∠1 + ∠3 = 60。，则∠1 ， ∠2 ， ∠3 ， ∠4 各角的度数分别为____、____、____、____.
2. 如图，若∠ 2 是 ∠ 1 的 3 倍，则∠1，∠2 ，∠3 ，∠4 各个角的度数分别为____、____、____、____.
3. 如图，若1 : 2 = 2:7 ，则∠1 ，∠2 ，∠3 ， ∠4各角的度数分别为____、____、____、____ .
例3 如图，直线 AB ，CD ，EF 相交于点 O， ∠1 ＝40°， ∠BOC ＝110°，求∠ 2 的度数.
变式训练：
1. 如图，直线 AB ，CD ，EF 相交，若∠1 + ∠5 = 180°，找出图中与∠1相等的角.
探究点三：同位角、 内错角、 同旁内角
合作探究
如图，若再添加一条直线，即直线 EF 分别与两条 直线 AB 和 CD 相交，构成了几个角？有什么特点？
一、 同位角的概念
活动1 观察∠1 与∠5 的位置关系：
① 在直线 EF 的同旁（右边）
② 在直线AB，CD的同一侧（上方）
图中的同位角还有哪些？
例4 下列图形中， ∠1和∠2 是同位角的有（ ）
A. (1) ，(2) B. (3) ，(4) C. (1) ，(2) ，(3) D. (2) ，(3) ，(4)
变式图形：图中的 ∠1 与∠2 都是同位角.
图形特征：在形如字母“F”的图形中有同位角.
例5 如图，与∠1 是内错角关系的是（ ）
A. ∠2 B. ∠3
C. ∠4 D. ∠5
二、 内错角的概念
活动2 观察∠3与∠5的位置关系：
① 在直线 EF 的两侧
② 在直线 AB ，CD 之间
图中的内错角还有哪些？
变式图形：图中的 ∠1 与∠2 都是内错角.
图形特征：在形如“Z”的图形中有内错角.
三、 同旁内角的概念
活动3 观察∠4 与∠5 的位置关系：
① 在直线 EF 的同旁
② 在直线 AB ，CD 之间
图中还有哪些同旁内角？
例6 下列图形中，∠1和∠2是同旁内角的是（ ）
变式图形：图中的 ∠1 与∠2 都是同旁内角.
图形特征：在形如“U”的图形中有同旁内角.　
归纳总结
例7 如图，直线 DE 截 AB ，AC，构成 8 个角，指出所有的同位角，内错角，同旁内角.
变式： ∠A 与∠8 是哪两条直线被哪条直线所截得的角 它们是什么关系的角 ∠A 与∠5 呢？∠A 与∠4 呢？
练一练
识别哪些角是同位角、内错角、同旁内角
例8 如图，直线 AB ，CD 被直线 MN 所截，同位角 ∠1 与∠2 相等，那么内错角∠2 与∠3相等吗
二、课堂小结
1. 下列各图中， ∠1 ， ∠2 是对顶角吗？
2. 如图， ∠DAB 和∠ABC 的位置关系是（ ）
A. 同位角 B. 同旁内角
C. 内错角 D. 以上结论都不对
3. 如图， ∠1和 ∠2 不能构成同位角的图形是（ ）
4. 如图，直线 AB ，CD ，EF 相交于点 O.
(1) 写出∠AOC ，∠BOE 的补角；
(2) 写出∠DOA ，∠EOC 的对顶角；
(3) 如果∠AOC= 50°，求∠BOD ，∠COB 的度数.
5. 看图填空：
(1) 如图 1 ，若 ED ，BF 被 AB 所截，则∠1 与 _____ 是同 位角；
(2) 如图 2 ，若 ED ，BC 被 AF 所截，则∠3 与 _____ 是内错角；
(3) 如图 3 ， ∠1 与∠3 是 AB 和 AF 被______所截构成的 _____ 角；
(4) 如图 4 ， ∠2 与∠4 是 _____ 和 _____ 被BC所截构成的_____.
6. 如图，直线 AB，CD相交于点O，∠EOC = 70°， OA平分∠EOC ，求∠BOD的度数.
7. 根据地图显示填空：
学校与游乐场所在的角形成一对（ ）角；
学校与超市所在的角形成一对（ ）角；
学校与飞机场所在的角形 成一对（ ）角.
拓展题：观察下列各图，寻找对顶角 (不含平角) .
(1) 如图 1，图中共有_______对对顶角；
(2) 如图 2，图中共有_______对对顶角；
(3) 如图 3，图中共有_______对对顶角；
(4) 研究(1)~(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有 n 条直线相交于一点，则可形成_______对对顶角；
(5) 若有 10 条直线相交于一点，则可形成_______对对顶角.
参考答案
情境导入
直线与直线相交于一点，并形成了四个角
探究点一：对顶角的概念
知识要点 反向延长线 ∠3
例1 D
探究点二：对顶角的性质
思考 解：因为直线 AB 与 CD 相交于 O 点，所以∠1 + ∠2 = 180。，
∠2 + ∠3 = 180。.所以∠1=∠3(同角的补角相等). 同理可得∠2=∠4.
想一想 对顶角相等
例2 解： 因为直线 a 与 b 相交于一点， ∠1 = 40°，
所以∠3 =∠1 = 40°，∠2 = 180°-∠1 = 140°.所以∠4 =∠2 = 140°.
变式训练 1. 30° 150° 30° 150° 2. 45° 135° 45° 135°
3. 40° 140° 40° 140°
例3 解：因为∠1 ＝40°，∠BOC ＝110°(已知)，所以∠BOF= ∠BOC -∠1
= 110°－40°＝70°. 因为∠BOF= ∠2 (对顶角相等)， 所以∠2 ＝70°(等量代换).
变式训练
解：∠1 =∠3 (对顶角相等). 因为∠5 + ∠8 = 180°，且∠1 + ∠5 = 180°，所以∠8 =∠1.
因为∠8 =∠6 (对顶角相等) ，所以∠6 =∠1.综上可知，与∠1 相等的角有∠3 ，∠8 ，∠6.
探究点三：同位角、 内错角、 同旁内角
例4 A 例5 B 例6 A
例7 解：两条直线 AB，AC 被直线 DE所截，所以8个角中，同位角有：∠1 与∠8 ， ∠2 与∠5 ， ∠3 与∠6， ∠4 与∠7；内错角有： ∠1 与∠6，∠4 与∠5；
同旁内角有：∠1 与∠5， ∠4 与∠6.
变式 解： ∠A 与∠8 是直线 AB，DE 被 直线 AC 所截形成的内错角.
∠A 与∠5 是直线 AB，DE 被直线 AC 所截形成的同旁内角.
∠A 与∠4 是直线 AC，DE 被直线 AB 所截形成的同位角.
练一练 同位角 同位角 同位角 同位角 无
同位角 无 内错角 无 同旁内角
8. 解：因为∠1=∠3(对顶角相等)， ∠1 = ∠2(已知)，所以∠2= ∠3(等量代换).
课堂练习
1. 不是 是 不是 2. C 3. D
4. 解：(1)∠AOC 的补角是∠AOD 和∠COB；∠BOE 的补角是∠EOA 和∠BOF.
(2)∠DOA 的对顶角是∠COB； ∠EOC的对顶角是∠DOF.
(3)∠BOD =∠AOC = 50°，∠COB = 180°-∠AOC = 130°.
5.（1）∠2 （2）∠4 （3）DE 内错 （4）AB AF 同位
6. 解：因为OA平分∠EOC，所以∠AOC= ∠EOC= 35°. 所以∠BOD =∠AOC= 35°.
7. 同位 同旁内 内错
拓展题 （1）2 （2） 6 （3） 12 （4） n(n-1) （5） 90

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