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第5章 轴对称与旋转
5.2 旋转
学习目标：
1. 掌握旋转的有关概念及基本性质；（重点）
2. 能够根据旋转的基本性质解决实际问题；
3. 掌握旋转作图的方法与步骤.
一、情境导入
这些运动有什么共同的特点？
要点探究
探究点一：旋转的概念
问题 观察下面的现象，它有什么特点？
思考:怎样来定义这种图形变换？
钟表的指针在不停地转动，从 12 时到 4 时，时针转动了______度.
把时针当成一个图形，那么它可以绕着中心固定点转动一定角度.
风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置.
把叶片当成一个平面图形，那么它可以绕着平面内中心固定点转动一定角度.
知识要点
把图形 (Ⅰ) 上的每一个点与定点的连线绕点O按同一个方向旋转角α，得到图形 (Ⅱ) .图形的这种变换叫作旋转.这个定点 O 叫作旋转中心.角 α 叫作旋转角.
原位置的图形 (Ⅰ) 叫作原像，新位置的图形 (Ⅱ) 叫作图形 (Ⅰ) 在旋转下的像.图形 (Ⅰ) 上的每一个点 P 与它在旋转下的像点 P′ 叫作在这个旋转下的对应点.
转动的方向分为顺时针与逆时针.
例1 △ABD 经过旋转60°后到△ACE 的位置.
(1) 旋转中心是哪一点
(2) 旋转了多少度 顺时针还是逆时针
(3) 如果M是AB的中点，经过上述旋转后，点M转到什么位置
填一填：
若叶片 A 绕 O 顺时针旋转到叶片 B，则旋转中心是______，旋转角是_________，
旋转角等于____°，其中的对应点有_______、_______、_______、_______、_______、_______.
描述图形的旋转运动时，
旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度.
温馨提示：
① 旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心，旋转方向，旋转角度”被称为旋转的三要素；② 旋转变换不改变图形形状和大小.
例2 如图，点 A、B、C、D 都在方格纸的格点上，若△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转到△COD 的位置，则旋转的角度为 (　 　)
A. 30° B. 45° C. 90° D. 135°
探究点二：旋转的性质
观察△ABC 如何运动到△A′B′C 的位置？
展示动画：
根据上图填空：
旋转中心是点_____；图中对应点有______________________________________________；
图中对应线段有_______________________________；每对对应线段的长度关系是_____；
图中旋转角等于 ____°.
观察下图，你能找到相等的角和线段吗？
知识要点
旋转的性质
1. 对应点到旋转中心的距离相等；
2. 两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角；
3. 旋转中心是唯一不动的点；
4. 旋转保持任意两点间距离不变，保持角的大小不变.
例3 如图，将△ABC 按逆时针方向旋转 45°，得到△AB′C′ .
（1）图中哪一点是旋转中心？
（2）∠B′AB 和∠C′AC 有什么关系？它们的度数是多少？
（3）AB 与 AB′ ，AC 与 AC′ 有什么关系？
（4）BC 与 B′C′ 有什么关系？
（5）∠BAC 和∠B′AC′ 有什么关系？
探究点二 简单的旋转作图
画一画：如图，画出线段 AB 绕点 A 按顺时针方向旋转 60°后的线段．
画一画 画出如图所示的四边形ABCD以 O为中心，旋转角为 60°的旋转图形．
方法归纳
旋转作图的基本步骤：
（1）明确旋转三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度；
（2）找出关键点；
（3）作出关键点的对应点；
（4）作出新图形；
（5）写出结论.
平移和旋转的异同：
① 相同：都是一种位置变换，变换后不改变形状和大小.
② 不同：
图形变换 运动方向 运动量的衡量
平移 直线 移动一定距离
旋转 顺时针或逆时针 转动一定的角度
二、课堂小结
1. 下列现象中属于旋转的有 ( )
① 地下水位逐年下降；② 传送带的移动；③ 方向盘的转动； ④ 水龙头开关的转动；
⑤ 钟摆的运动； ⑥ 荡秋千运动.
A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
2. 下列说法正确的是 ( )
A. 旋转改变图形的形状和大小 B. 平移改变的是图形的位置
C. 图形可以向某方向旋转一定距离 D. 由平移得到的图形也一定可由旋转得到
3. △A′OB′ 是△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转得到的. 已知∠AOB = 20°，∠A′OB = 24°，AB = 3，OA = 5，则 A′B′ =______，OA′ =______，旋转角等于______°.
第3题图 第4题图
4. 如图所示，AB 是长为 4 的线段，且 CD⊥AB 于 O.你能借助旋转的方法求出图中阴影部分的面积吗？说说你的做法.
拓展训练
将一个直角三角板绕 30° 角的顶点顺时针旋转，使一直角边与原斜边在同一条直线上(如图所示). 你知道旋转角是多少吗？连接 BB′，△ABB′ 有什么特征吗？
参考答案
情境导入 都是一个绕点的旋转运动
探究点一：旋转的概念
思考 120
例1 解：(1)旋转中心是点 A.(2)旋转了 60°，逆时针.(3)点 M 转到了 AC 的中点上.
填一填 O ∠AOB 60 A与B B与C C与D D与E E与F F与A
例2 C
探究点二：旋转的性质
C 点 A 与点 A′，点 B 与点 B′，点 M 与点 M′，点 N 与点 N′
CA 与 CA′、CB 与 CB′、AB 与 A′B′ 相等 45
∠AOA' =∠BOB' =∠COC' AO = A'O，BO = B'O，CO = C'O
例3 （1）点 A 是旋转中心. （2） B 与 B′， C 与 C′ 是对应点. 因为两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等，且等于旋转角，所以∠B′AB =∠C′AC = 45°.
（3）因为对应点到旋转中心的距离相等，所以AB = AB′，AC = AC′.
（4）因为旋转保持任意两点间距离不变，所以 BC = B′C′.
（5）因为保持对应角的大小不变，所以∠BAC =∠B′AC′.
探究点三：简单的旋转作图
画一画 作法：(1) 如图，以 AB 为一边按顺时针方向画∠BAX，使得∠BAX = 60°；
(2) 在射线 AX 上取点 C，使得 AC = AB. 则线段 AC 即为所求．
画一画
课堂练习
1. C 2. B 3. 3 5 44
4. 将阴影部分绕着圆心旋转到同一个区域，构成四分之一个圆.
5. 150° △ABB′中的两条边AB与 AB′相等

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