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6.1 平面向量的概念
【学习目标】
1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量,掌握向量与数量的区别.(数学抽象)
2.会用有向线段、字母表示向量,了解有向线段与向量的联系与区别.(数学抽象)
3.理解零向量、单位向量、平行向量(共线向量)、相等向量及向量的模等概念,会辨识图形中这些相关的概念.(数学抽象、直观想象)
【自主预习】
1.在日常生活中有很多量,如面积、质量、速度、位移等,这些量有什么区别
2.对既有大小又有方向的量,如何形象、直观地将其表示出来
3.“向量就是有向线段,有向线段就是向量”的说法对吗
4.向量的模可以为0吗 可以为1吗 可以为负数吗
5.(1)平行向量是否一定方向相同 (2)不相等的向量是否一定不平行 (3)与任意向量都平行的向量是什么向量 (4)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)如果||>||,那么>. ( )
(2)若a,b都是单位向量,则a=b. ( )
(3)力、速度和质量都是向量. ( )
(4)零向量的大小为0,方向是任意的. ( )
2.下列说法中,正确的有( )个.
①零向量没有方向;
②向量的模一定是正数;
③与非零向量a共线的单位向量是唯一的.
A.0 B.1 C.2 D.3
3.下列说法错误的是( ).
A.若a=b,则=
B.若a∥b,则a=b
C.若=0,则a=0
D.若e1,e2为单位向量,则=
4.已知A,B,C是不共线的三点,向量m与向量是平行向量,与是共线向量,则m= .
【合作探究】
　向量的概念
问题1:请观察这三个物理量,它们有什么区别
问题2:在数学中,将以上两类物理量进行抽象得到数量和向量,请你试着给出这两个量的定义.
问题3:说一说向量与数量的区别与联系.
向量与数量
(1)向量:在数学中,我们把既有 又有 的量叫作向量.
(2)数量:把只有 没有 的量称为数量,如年龄、长度、面积、体积、质量等都是数量.
给出下列物理量:①密度;②温度;③速度;④身高;⑤功;⑥位移.下列说法正确的是( ).
A.①②③是数量,④⑤⑥是向量
B.②④⑥是数量,①③⑤是向量
C.①④是数量,②③⑤⑥是向量
D.①②④⑤是数量,③⑥是向量
【方法总结】解答与向量的概念有关的问题时,注意向量的大小、方向两个要素即可.
给出下列物理量:①时间;②摩擦力;③角度;④风速;⑤压强;⑥频率.其中可以看成向量的有( )个.
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
　向量的几何表示及应用
问题1:如何表示向量 你是怎么想到的
问题2:线段AB与线段BA是同一条线段,向量与向量是同一个向量吗
问题3:说一说向量和有向线段的关系是什么.
问题4:我们知道向量是一个二元概念,它的大小如何表示呢
1.具有 的线段叫作有向线段.通常在有向线段的终点画上箭头表示它的方向.有向线段包含三个要素: 、 、 .
2.向量的大小称为向量的 (或称模),记作 .长度为0的向量叫作零向量,记作0.长度等于 个单位长度的向量叫作单位向量.向量也可以用字母a,b,c,…表示.
某考察团到校考察,从学校的教学楼出发,向北走了1 500 m到达图书馆,2 h后又从图书馆向南偏东60°方向走了1 000 m到达食堂,又从食堂向西走了2 000 m到达操场.请选择适当的比例尺画图,用向量表示考察团每次的位移.
【方法总结】向量的两种表示方法
(1)几何表示法:先确定向量的起点,再确定向量的方向,最后根据向量的长度确定向量的终点.
(2)字母表示法:为了便于运算,可用小写字母a,b,c表示向量,为了联系平面几何中的图形性质,可用有向线段的起点与终点表示向量,如,,等.
在如图所示的方格纸上,每个小正方形的边长都为1.在图中画一个以A为起点的向量c,使|c|=,并说出向量c的终点的轨迹是什么.
　相等向量与共线向量
　　小明预习了向量的概念,对两个向量之间的关系给出如下猜想:
(1)从大小的角度:类比数量之间有大于、等于、小于的关系,猜想向量间也有类似的关系.
(2)从方向的角度:向量可以用有向线段表示,类比直线之间的位置关系,猜想向量间也有平行、垂直、相交的关系.
问题1:小明的猜想都是正确的吗
问题2:向量平行与线段平行有什么区别和联系
1.平行向量:方向 的非零向量叫作平行向量(也叫作共线向量).
向量a,b平行,记作a∥b.
2.相等向量:长度 且方向 的向量叫作相等向量.
用有向线段表示的向量a与b相等,记作 .
如图所示,△ABC的三边均不相等,E,F,D分别是AC,AB,BC的中点.
(1)写出与共线的向量;
(2)写出模与的模相等的向量;
(3)写出与相等的向量.
【方法总结】相等向量与共线向量的探究方法
(1)寻找共线向量:
①找出与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段;
②以各线段两端点分别为起点、终点,写出所求的共线向量(每条线段对应两个向量).
(2)寻找相等向量:先找与已知向量共线的向量,再找其中方向与已知向量相同、大小与已知向量相等的向量.
如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心.
(1)与的模相等的向量有多少个
(2)是否存在与长度相等、方向相反的向量 若存在,有几个
(3)与共线的向量有几个
【合作探究】
1.(改编)小明骑电动车,在学校门口以15 km/h的速度向西走了1 h,小华骑自行车,以5 km/h的速度向东北方向走了1 h,则下列说法正确的是( ).
A.小明的速度大于小华的速度
B.小明的位移大于小华的位移
C.小明骑行的路程大于小华骑行的路程
D.以上都不对
2.设O是正方形ABCD的中心,则向量,,,是( ).
A.相等向量 B.平行向量
C.有相同起点的向量 D.模相等的向量
3.(改编)下列关于向量的命题中,是真命题的是( ).
A.若|a|=|b|,则a=b
B.若|a|=|b|,则a∥b
C.若a=b,b=c,则a=c
D.若a∥b,b∥c,则a∥c
4.如图所示,小正方形的边长为1,则||= ,||= ,||= .
参考答案
6.1　平面向量的概念
自主预习·悟新知
预学忆思
1.面积、质量只有大小,没有方向;而速度和位移既有大小又有方向.
2.利用有向线段来表示.
3.错误.理由:①向量只有长度和方向两个要素,与起点无关,只要长度和方向相同,两个向量就是相同的向量;②有向线段有起点、长度和方向三个要素,两条有向线段的起点不同,尽管长度和方向相同,也是不同的有向线段.
4.向量的模可以为0,也可以为1,但不可以为负数.
5.(1)不一定;(2)不一定;(3)零向量;(4)平行(共线)向量.
自学检测
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.A　【解析】①错误,零向量有方向,它的方向是任意的;②错误,|0|=0;③错误,与非零向量a共线的单位向量有两个,一个与a同向,一个与a反向.故选A.
3.B　【解析】对于A,若a=b,则一定有=,故A正确;对于B,若a∥b,则只能说明向量a,b共线,故B错误;对于C,=0,由零向量的定义,可得a=0,故C正确;对于D,由单位向量的定义可知,单位向量的模长都是1,故D正确.故选B.
4.0　【解析】因为A,B,C三点不共线,所以与不共线,又因为m∥且m∥,所以m=0.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1:质量是标量,只有大小没有方向;重力、力是矢量,既有大小又有方向.
问题2:数量:只有大小没有方向的量叫作数量.向量:既有大小又有方向的量叫作向量.
问题3:向量有两个要素:大小、方向.数量有一个要素:大小.
向量的大小是数量.
新知生成
(1)大小　方向　(2)大小　方向
新知运用
例1　D　【解析】密度、温度、身高、功只有大小没有方向,是数量;速度、位移既有大小又有方向,是向量.故选D.
巩固训练　B　【解析】①③⑤⑥不是向量,②④是向量.故选B.
探究2　情境设置
问题1:向量可以用一条带着箭头的线段表示,这种表示方法是从物理中位移的表示里面抽象出来的.
问题2:不是同一个向量,因为起点不同,方向不同.
问题3:它们都是既有大小又有方向的量,有向线段不等同于向量.有向线段的基本要素是起点、方向和长度;向量的基本要素是大小和方向.我们用有向线段表示向量,用有向线段的方向表示向量的方向,用有向线段的长度表示向量的大小,向量与有向线段起点的具体位置无关.
问题4:可以用有向线段的长度表示.
新知生成
1.方向　起点　方向　长度
2.长度　||　1
新知运用
例2　【解析】设比例尺为1∶50 000,如图,考察团的位移表示如下:
向量表示从教学楼到图书馆的位移;
向量表示从图书馆到食堂的位移;
向量表示从食堂到操场的位移.
巩固训练　【解析】向量c如图所示,由平面几何知识可知,向量c的终点的轨迹是以A为圆心,为半径的圆.
探究3　情境设置
问题1:不全是正确的,向量没有大小关系.数量有大小而没有方向,其有正数、负数和0之分,既可以进行运算,又可以比较大小;向量的模是正数或0,如图1、图2所示,向量a和b不能比较大小,|a|>|b|有意义,而a>b没有意义,所以不能说a>b.
问题2:任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上,而线段不能.若线段共线,则它们一定在同一条直线上;若线段平行,则它们不能在同一条直线上.
新知生成
1.相同或相反
2.相等　相同　a=b
新知运用
例3　【解析】(1)因为E,F分别是AC,AB的中点,
所以EF∥BC,EF=BC.
又因为D是BC的中点,
所以与共线的向量有,,,,,,.
(2)模与的模相等的向量有,,,,.
(3)与相等的向量有,.
巩固训练　【解析】(1)与的模相等的向量共有23个.
(2)存在.由正六边形的性质可知,BC∥OA∥EF,所以与的长度相等、方向相反的向量有,,,,共4个.
(3)由(2)知,BC∥OA∥EF,又线段OD,AD与OA在同一条直线上,所以与共线的向量有,,,,,,,,,共9个.
随堂检测·精评价
1.C　【解析】速度、位移是向量,既有大小又有方向,不能比较大小,路程可以比较大小,小明骑行的路程大于小华骑行的路程.
2.D　【解析】
如图,,,,既不全是相等向量,也不全是平行向量,起点也不全相同,故A,B,C错误;
而||=||=||=||,故D正确.
故选D.
3.C　【解析】对于A,若|a|=|b|,则a,b不一定相等,因为向量既有大小,又有方向,|a|=|b|只能说明向量的大小相等,不能说明方向相同,故A为假命题;
对于B,若|a|=|b|,则a,b不一定平行,故B为假命题;
对于C,若a=b,b=c,则a=c,故C为真命题;
对于D,b=0,a,c都是非零向量显然满足a∥b,b∥c,但是不一定满足a∥c,故D为假命题.故选C.
4.3　　2　【解析】由题意可知,||==3,
||==,
||==2.

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