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6.2 课时2 向量的减法运算
【学习目标】
1.理解相反向量的含义、向量减法的意义及向量减法法则.(数学抽象)
2.掌握向量减法的几何意义.(直观想象)
3.能熟练地进行向量的加、减综合运算.(数学运算)
【自主预习】
1.实数a的相反数为-a,向量a与-a的关系应叫作什么
2.向量的减法可否转化为向量的加法
3.向量减法的三角形法则是什么
4.若a,b是不共线向量,|a+b|与|a-b|的几何意义分别是什么
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)相反向量就是方向相反的向量. ( )
(2)向量与是相反向量. ( )
(3)a-b=b-a. ( )
(4)两个相等向量之差等于0. ( )
2.-++=( ).
A. B. C. D.
3.(多选题)下列各向量运算的结果与相等的有( ).
A.+ B.-
C.- D.-
4.如图,已知向量a,b,求作a-b.
【合作探究】
　向量的减法运算
如图所示,已知向量a,b.
问题1:根据向量的加法,如何求作a-b
问题2:不借助向量的加法法则,你能直接作出a-b吗
1.与向量a长度相等,方向相反的向量,叫作a的相反向量,记作-a.
2.求两个向量差的运算叫作向量的减法,向量的减法可以转化为向量的加法进行:减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量,即a-b=a+(-b).
3.向量减法的几何意义
如图所示,已知向量a,b,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a-b,
即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量,这就是向量减法的几何意义.
一、有关向量减法的作图
如图所示,已知向量a,b,c,求作向量a+b-c.
【方法总结】求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行,如作向量a-b,可以先作向量-b,然后作向量a+(-b).
(2)可以直接用向量减法的三角形法则,即把两向量的起点重合,则差向量为连接两个向量的终点并指向被减向量的终点的向量.
如图所示,O为△ABC内一点,=a,=b,=c.求作:b+c-a.
二、向量减法法则的应用
(1)化简:(-)+(-)= .
(2)如图,P,Q是△ABC的边BC上的两点,且=,则化简+--的结果为( ).
A.0 B. C. D.
【方法总结】(1)做向量减法运算的常用方法
(2)向量加减法化简过程中的两种形式
①首尾相连且为和;
②起点相同且为差.
解题时要注意观察是否有这两种形式,同时要注意逆向应用
如图,已知O为平行四边形ABCD内一点,=a,=b,=c,则= .
　向量减法几何意义的应用(知识拓展)
问题1:以向量加法的平行四边形法则为基础,能否构造一个图形将a+b和a-b放在这个图形中
问题2:已知向量a,b,那么|a|-|b|与|a-b|及|a|+|b|三者具有什么样的大小关系
问题3:在什么条件下,|a-b|=|a|+|b|
(1)在四边形ABCD中,=,若|-|=|-|,则四边形ABCD是( ).
A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.不确定
(2)已知||=6,||=9,求|-|的取值范围.
【方法总结】用向量法解决平面几何问题的步骤:(1)将平面几何问题中的量抽象成向量;(2)化为向量问题,进行向量运算;(3)将向量问题还原为平面几何问题.
若平面四边形ABCD满足+=,BD⊥AC,则该四边形一定是( ).
A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
已知任意两个向量a和b,则下列式子恒成立的有 .
①|a+b|≥|a|+|b|;②|a-b|≥|a|-|b|;③|a-b|≤|a|+|b|;④|a-b|≤|a|-|b|.
【合作探究】
1.在平行四边形ABCD中,-=( ).
A. B. C. D.
2.在边长为1的等边△ABC中,|-|的值为( ).
A.1 B.2 C. D.
3.已知=a,=b,若||=12,||=5,且∠AOB=90°,则|a-b|= .
4.化简下列各式:
(1)(-)-(-);
(2)(++)-(--).
参考答案
课时2　向量的减法运算
自主预习·悟新知
预学忆思
1.相反向量.
2.可以.向量的减法可以转化为向量的加法,减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.
3.如
果把两个向量a,b的起点放在一起,那么这两个向量的差a-b是以向量b的终点为起点,向量a的终点为终点的向量.
这种求差向量的方法叫向量减法的三角形法则,简记为“共起点,连终点,指被减”.
4.如
图所示,设=a,=b.根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的三角形法则,有=a+b,=a-b.因为四边形OACB是平行四边形,所以|a+b|,|a-b|分别是以OA,OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长.
自学检测
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.B　【解析】原式=(+)+(+)=+0=.
3.AD　【解析】由题意知,A,D正确.
4.【解析】(1)如图:
(2)如图:
(3)如图:
(4)如图:
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1:先作出-b,再按三角形法则或平行四边形法则作出a+(-b).
问题2:
能.如图,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a-b,即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
新知运用
例1　【解析】(法一:几何意义法)如图1所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=c,则=a+b-c.
(法二:定义法)如图2所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=-c,连接OC,则=a+b-c.
巩固训练　【解析】(法一)以OB,OC为邻边作 OBDC,连接OD,AD,
则=+=b+c,=-=b+c-a.
(法二)作==b,
连接AD,则=-=c-a,
=+=c-a+b=b+c-a.
例2　(1)　(2)A　【解析】(1)原式=++-=+-=.
(2)+--=(-)+(-)=+=-=0.
巩固训练　a+c-b　【解析】由已知得=,
则=+=+=+-=a+c-b.
探究2　情境设置
问题1:能.如
图所示,在平行四边形ABCD中,=a,=b,则a+b=,a-b=.
问题2:它们之间的大小关系为||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.
问题3:a,b至少有一者为0或a,b均为非零向量且方向相反.
新知运用
例3　(1)B　【解析】(1)∵=,∴四边形ABCD为平行四边形,又∵|-|=|-|,∴||=||,即平行四边形ABCD的对角线相等,∴四边形ABCD为矩形.
(2)∵|||-|||≤|-|≤||+||,
且||=9,||=6,∴3≤|-|≤15.
当与同向时,|-|=3;
当与反向时,|-|=15.
∴|-|的取值范围为[3,15].
巩固训练1　B　【解析】因为+=,所以=-=,
即AB=DC,AB∥DC,
所以平面四边形ABCD为平行四边形.
因为BD⊥AC,即平行四边形的对角线互相垂直,
所以平面四边形ABCD为菱形.
故选B.
巩固训练2　②③　【解析】①根据向量加法的三角形法则,得|a+b|≤|a|+|b|,则①不恒成立;
②根据向量减法的三角形法则,得|a-b|≥|a|-|b|,故②恒成立,④不恒成立;
③根据向量减法的三角形法则,得|a-b|≤|a|+|b|,故③恒成立.
随堂检测·精评价
1.A　【解析】-==.
2.D　【解析】如图,作菱形ABCD,则|-|=|-|=||=.
3.13　【解析】∵||=12,||=5,∠AOB=90°,
∴||2+||2=||2,∴||=13.
∵=a,=b,∴a-b=-=,
∴|a-b|=||=13.
4.【解析】(1)(-)-(-)=+-(+)=-=+=.
(2)(++)-(--)=(+)-(++)=-(+)=-=0。6.2 课时3 向量的数乘运算
【学习目标】
1.掌握向量数乘的定义并理解其几何意义.(直观想象)
2.理解向量数乘的运算律.(数学抽象)
3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.(直观想象、逻辑推理)
4.理解并掌握向量共线定理及其判定方法.(逻辑推理)
【自主预习】
1.向量数乘的定义是什么 λa的方向和长度是如何规定的
2.向量的数乘运算满足哪三条运算律
3.向量共线定理是怎样表述的
4.向量的线性运算是指哪三种运算
5.若a=m-n,b=-2m+2n,则a,b有何关系
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)实数λ与向量a的积还是向量. ( )
(2)3a与a的方向相同,-3a与a的方向相反. ( )
(3)若ma=mb,则a=b. ( )
(4)在向量共线定理中,条件a≠0可以去掉. ( )
2.下列运算中,正确的个数是( ).
①(-3)·2a=-6a;②2(a+b)-(2b-a)=3a;③(a+2b)-(2b+a)=0.
A.0 B.1 C.2 D.3
3.如图,已知AM是△ABC的边BC上的中线,若=a,=b,则=( ).
A.(a-b) B.-(a-b)
C.(a+b) D.-(a+b)
4.对平面内任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是( ).
A.a=b　　　B.a=-b　　　C.b=λa　　　D.a=λb
【合作探究】
　向量的数乘运算
一物体做匀速直线运动,前进1秒钟产生的位移对应的向量为a,在同一方向上前进3秒钟产生的位移对应的向量是3a吗 在其反方向上运动3秒钟产生的位移对应的向量又是多少
问题1:请回答情境中的问题.
问题2:从长度和方向上分析,向量3a,-3a与a具有怎样的关系
问题3:λa的几何意义是什么
向量数乘的定义
一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个 ,这种运算叫作向量的数乘,记作 ,λa的长度和方向规定如下:
(1)|λa|= .
(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向 ;当λ<0时,λa的方向与a的方向 .
已知在平行四边形ABCD中,E为边AD的中点,AC与BE相交于点F,若=x+y,则( ).
A.x=,y=- B.x=,y=-
C.x=,y=- D.x=,y=-
【方法总结】利用向量数乘的几何意义,画出图形并结合图形的性质求解.
在平行四边形ABCD中,E为BC的中点,记=a,=b,则=( ).
A.a+b B.a+b
C.a-b D.a-b
　向量数乘的运算律
已知向量a,有以下三个结论:
(1)3(2a)=6a;
(2)(2+3)a=2a+3a;
(3)2(a+b)=2a+2b.
问题:请通过作图判断以上结论是否成立.
1.向量数乘的运算律:设λ,μ为任意实数,则
(1)λ(μa)= ;
(2)(λ+μ)a= ;
(3)λ(a+b)= .
特别地,有(-λ)a= = ,
λ(a-b)= .
2.线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a,b以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)= .
(1)若a=2b+c,则3(a+2b)-2(3b+c)-2(a+b)=( ).
A.-a B.-b
C.-c D.以上都不对
(2)若3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,则x= .
【方法总结】(1)向量线性运算的基本方法是类比法:向量的数乘运算类似于代数多项式的运算,例如,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是这里的“同类项”“公因式”是指向量,实数看作向量的系数.
(2)向量也可以通过列方程来求解,把所求向量当作未知数,利用解方程的方法求解,同时在运算过程中注意多观察,恰当地运用运算律,简化运算.
若向量a,b满足(3a-2c)+4c-b+(a+6b)=0,则c= .
　向量共线定理及其应用
问题1:引入向量的数乘运算后,你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗
问题2:对于向量a,b,如果有一个实数λ,使b=λa(a≠0),那么a与b共线吗
问题3:如果向量b与非零向量a共线,b=λa成立吗 此时的λ是否唯一
问题4:为什么要强调a≠0
　　向量a(a≠0)与b共线的充要条件:存在唯一一个实数λ,使b=λa.
设a,b是不共线的两个向量.
(1)若=2a-b,=3a+b,=a-3b,求证:A,B,C三点共线.
(2)若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的值.
【方法总结】(1)一般来说,要判定A,B,C三点是否共线,只需看是否存在实数λ,使得=λ(或=λ).
(2)已知不共线的向量a,b满足λa+μb=0,则必有λ=μ=0.
设向量e1,e2不共线,=e1+2e2,=2e1+8e2,=e1-2e2.
(1)求证:A,B,D三点共线.
(2)试确定实数k,使ke1+4e2和e1+ke2共线.
【合作探究】
1.(a+2b)+2(a-b)=( ).
A.2a B.3a C.-b D.0
2.(改编)(多选题)已知平面向量a,b不共线,=4a+6b,=-a+3b,=a-3b,则( ).
A.A,B,C三点共线 B.A,B,C三点不共线
C.B,C,D三点共线 D.B,C,D三点不共线
3.已知向量a与b不共线,且3a-λb与λa-2b共线,则λ= .
4.设向量a,b不共线.
(1)若=a+2b,=-3(a-b),=-2a-13b,求证:A,B,D三点共线.
(2)若ka+12b与3a+kb共线,求k的值.
参考答案
课时3　向量的数乘运算
自主预习·悟新知
预学忆思
1.规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫作向量的数乘.λa的长度与方向规定如下:(1)|λa|=|λ||a|.(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0.
2.设λ,μ为实数,则(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=λa+μa;(3)λ(a+b)=λa+λb.
3.向量a(a≠0)与b共线的充要条件:存在唯一一个实数λ,使b=λa.
4.向量的加法运算、减法运算和数乘运算.
5.因为b=-2a,所以a与b平行.
自学检测
1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2.C　【解析】根据向量数乘运算和加减运算规律知①②正确;③中,(a+2b)-(2b+a)=a+2b-2b-a=0,所以③错误.所以运算正确的个数为2.
3.C　【解析】因为M是BC的中点,所以=(a+b).
4.D　【解析】对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是a=λb.故选D.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1:类比数的运算,前进3秒钟产生的位移是3a,反向运动3秒钟产生的位移是-3a.
问题2:3a的长度是a的长度的3倍,它的方向与向量a的方向相同.-3a的长度是a的长度的3倍,它的方向与向量a的方向相反.
问题3:λa的几何意义是将表示向量a的有向线段,沿着a的方向或a的反方向伸长至原来的倍或压缩至原来的|λ|.
新知生成
向量　λa　(1)|λ||a|　(2)相同　相反
新知运用
例1　C　【解析】如
图所示,∵AD∥BC,E为边AD的中点,△AEF∽△CBF,∴==,
∴AF=AC,
∴=+=-+,
∴x=,y=-.
巩固训练　C　【解析】=+=+=a,　①
=+=-=b,　②
①-②得=a-b,①+②得2=a+b,
所以=+=a-b+a+b=a-b.
探究2　情境设置
问题:各式均是成立的(如图1、图2).
图1
图2
新知生成
1.(1)(λμ)a　(2)λa+μa　(3)λa+λb　λ(-a)　-(λa)　λa-λb
2.λμ1a±λμ2b
新知运用
例2　(1)C　(2)4b-3a　【解析】(1)原式=3a+6b-6b-2c-2a-2b=a-2b-2c=2b+c-2b-2c=-c.
(2)由已知,得3x+3a+2x-4a-4x+4a-4b=0,
所以x+3a-4b=0,所以x=4b-3a.
巩固训练　-6a-6b　【解析】因为(3a-2c)+4c-b+(a+6b)=a-c+c-4b+a+6b=2a+2b+c=0,所以c=-2a-2b,即c=-6a-6b.
探究3　情境设置
问题1:实数与向量的积与原向量共线.
问题2:由向量数乘的定义得λa的方向与a的方向相同或者相反,因此λa与a共线,即a与b共线.
问题3:如果向量b与非零向量a共线,那么向量b的长度与非零向量a的长度之间存在μ倍的关系,且μ唯一,即|b|=μ|a|.当a与b同方向时,有b=μa;当a与b反方向时,有b=-μa.因此,存在唯一的λ,使b=λa成立.
问题4:当a=0时,不论λ取何值,λa都为0,此时,如果|b|=0,那么λ有无数个值;如果|b|≠0,那么λ无解.因此当a=0时,无法说明λ存在且唯一这个特点.
新知运用
例3　【解析】(1)∵=-=(3a+b)-(2a-b)=a+2b,
且=-=(a-3b)-(3a+b)=-2(a+2b)=-2,
∴与共线,又直线AB,BC有公共点B,∴A,B,C三点共线.
(2)易知ka+2b≠0,∵8a+kb与ka+2b共线,
∴存在实数λ,使得8a+kb=λ(ka+2b),
即(8-λk)a+(k-2λ)b=0,
∵a与b不共线,∴
解得λ=±2,∴k=2λ=±4.
巩固训练　【解析】(1)因为=e1+2e2,=2e1+8e2,=e1-2e2,
所以=+=3e1+6e2=3(e1+2e2)=3,所以∥,
因为直线AB,BD有公共点B,所以A,B,D三点共线.
(2)易知e1+ke2≠0,因为ke1+4e2和e1+ke2共线,所以存在实数λ,使得ke1+4e2=λ(e1+ke2),
因为向量e1,e2不共线,所以解得k=±2.
随堂检测·精评价
1.B　【解析】原式=a+2b+2a-2b=3a.
2.BC　【解析】因为=4a+6b,=-a+3b,
显然不存在实数t,使得=t,
所以A,B,C三点不共线,故A错误,B正确;
因为=-a+3b,=a-3b,所以=-,即存在实数m,使得=m,
又直线BC与CD有公共点C,
所以B,C,D三点共线,故C正确,D错误.
故选BC.
3.±　【解析】易知λa-2b≠0,因为3a-λb与λa-2b共线,所以存在唯一的实数μ,使3a-λb=μ(λa-2b),即3a-λb=λμa-2μb,
因为向量a与b不共线,所以解得λ=±.
4.【解析】(1)因为=+=-3(a-b)-2a-13b=-5a-10b=-5(a+2b)=-5,
又直线AB与BD有公共点B,所以A,B,D三点共线.
(2)易知3a+kb≠0,因为ka+12b和3a+kb共线,
所以存在实数λ,使得ka+12b=λ(3a+kb),
又向量a,b不共线,
所以解得k=±6.6.2 课时1 向量的加法运算
【学习目标】
1.掌握向量加法的运算法则及运算律.(数学抽象、数学运算)
2.理解向量加法的运算法则、运算律的几何意义.(直观想象)
【自主预习】
1.如何使用向量加法的三角形法则
2.(a+b)+(c+d)=(a+d)+(b+c)成立吗
3.当向量a与b共线时,a+b=b+a仍然成立吗
4.|a+b|与|a|,|b|之间有什么关系
5.向量加法的平行四边形法则和三角形法则有何区别与联系
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)a+0=a. ( )
(2)|a+b|=|a|+|b|. ( )
(3)两个向量的和可能是数量. ( )
(4)=++. ( )
2.++=( ).
A. B.
C. D.
3.在四边形ABCD中,=+,则( ).
A.四边形ABCD一定是矩形
B.四边形ABCD一定是菱形
C.四边形ABCD一定是正方形
D.四边形ABCD一定是平行四边形
4.已知向量a表示“向东航行3 km”,向量b表示“向南航行3 km”,则a+b表示 .
【合作探究】
　向量的加法及几何意义
物理中有共点力平衡,用两个力F1和F2拉的效果和用一个力F拉的效果是一样的.
问题1:F能不能称为F1和F2的合力呢
问题2:它们之间有什么关系
1.向量加法的定义
求两个向量和的运算,叫作向量的加法.
2.向量求和的法则
向量求和的法则 三角形 法则 已知非零向量a,b,在平面内任取一点A,作=a,=b,则向量叫作a与b的和,记作a+b,即a+b=+=. 这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则
平行四边 形法则 如图,有以同一点O为起点的两个已知向量a,b,以OA,OB为邻边作 OACB,则以O为起点的向量就是向量a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫作向量加法的平行四边形法则
位移的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型,力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型.
一、求作向量的和
(1)如图1,利用向量加法的三角形法则作出a+b;
(2)如图2,利用向量加法的平行四边形法则作出a+b.
【方法总结】应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题
(1)三角形法则可以推广到n个向量求和,作图时要求“首尾相连”,即n个首尾相连的向量的和是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量;
(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和,作图时要求两个向量的起点重合;
(3)求作三个或三个以上的向量的和时,用三角形法则更简单.
如图所示,已知向量a,b,c不共线,作向量a+b+c.
二、向量加法的实际应用
河水自西向东流动的速度大小为10 km/h,小船自南岸沿正北方向航行,小船在静水中的速度大小为10 km/h,求小船的实际航行速度.
【方法总结】应用向量解决实际问题的基本步骤
(1)建模:用向量表示有关量,将所要解答的实际问题转化为向量问题.
(2)运算:应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则,对有关向量进行运算,解答向量问题.
(3)还原:根据向量的运算结果,结合向量共线、相等等概念还原实际问题.
如图,用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上,∠ACW=150°,∠BCW=120°,求A和B处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计)
　向量的模的性质
问题:两个向量相加就是两个向量的模相加吗
1.对于零向量与任意向量a,我们规定a+0=0+a=a.
2.|a+b|,|a|,|b|之间的关系
一般地,|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a,b方向相同时,等号成立.
证明:对于任意给定的向量a,b,均有|a+b|≤|a|+|b|.
【方法总结】本题考查利用图形证明有关结论,证明时需注意:(1)平面中两个向量的位置关系有共线与不共线两种,共线又有同向共线和反向共线两种,各种情况都得考虑;(2)不能忽视等号成立的条件,否则会由于证明过程不全面而出现错误.
已知非零向量a,b,|a|=8,|b|=5,则|a+b|的最大值为 .
　向量的运算律
实数的加法满足交换律,向量的加法是否也满足呢
问题:根据图中的平行四边形ABCD,验证向量加法是否满足交换律.(注:=a,=b)
向量加法的运算律
(1)交换律:a+b=b+a.
(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
注意:由于向量的加法满足交换律与结合律,因此,多个向量的加法运算就可以按照任意的次序与组合来进行.
例如,(a+b)+(c+d)=(a+c)+(b+d)=(a+d)+(b+c).
化简:
(1)(+)+(+);
(2)++++.
【方法总结】向量加法运算律的意义和应用原则
(1)意义:向量加法的运算律为多个向量相加提供了运算依据,让多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
(2)应用原则:运用向量加法的交换律和结合律时,构造向量间的“首尾相接”是基本原则.
如图,E,F,G,H分别是梯形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,化简下列各式:
(1)++;
(2)+++.
【合作探究】
1.下列等式不正确的是( ).
①a+(b+c)=(a+c)+b;
②+=0;
③=++.
A.②③ B.② C.① D.③
2.如图,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,对角线AC与BD相交于点O,则+++=( ).
A. B.
C. D.
3.(多选题)已知a,b为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则( ).
A.a∥b,且a与b的方向相同
B.a,b是共线向量
C.a+b=0
D.a,b无论什么关系均可
4.某小船发动机突然发生故障停止转动,失去动力的小船在水中漂行,此时,风向是北偏东30°,风速大小是30 km/h,水的流向是正东方向,流速大小是30 km/h.若不考虑其他因素,小船在水中漂行的速度的方向是北偏东 ,大小是 km/h.
参考答案
6.2　平面向量的运算
课时1　向量的加法运算
自主预习·悟新知
预学忆思
1.先把两个向量首尾顺次相接,然后连接前一个向量的起点和后一个向量的终点,并指向后一个向量的终点,就得到两个向量的和向量.
2.成立.
3.成立.
4.当a与b同向共线时,a+b与a,b同向,且|a+b|=|a|+|b|.当a与b反向共线时,若|a|>|b|,则a+b与a的方向相同,且|a+b|=|a|-|b|;若|a|<|b|,则a+b与b的方向相同,且|a+b|=|b|-|a|.当a与b不共线时,|a+b|<|a|+|b|.
5.向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别:①三角形法则中强调“首尾相连”,平行四边形法则中强调的是“共起点”;②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和,而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和.联系:当两个向量不共线时,向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的.
自学检测
1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2.C　【解析】根据平面向量加法的交换律,得++=(+)+=+=.
3.D　【解析】由=+知,=,所以A,B,C,D四点构成的四边形一定是平行四边形.
4.向东南方向航行3 km　【解析】根据题意,向量a表示“向东航行3 km”,向量b表示“向南航行3 km”,则a+b表示“向东南方向航行3 km”.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1:F能称为F1和F2的合力.
问题2:F=F1+F2.
新知运用
例1　【解析】(1)如图3,设=a,因为a与b有公共点A,所以过A点作=b,连接OB,则=a+b.
(2)如图4,设=a,过O点作=b,以OA,OB为邻边作 OACB,连接OC,则=+=a+b.
巩固训练　【解析】(法一:三角形法则)如图1,在平面内作=a,=b,则=a+b,再作=c,则=a+b+c.
(法二:平行四边形法则)如图2,在平面内作=a,=b,以OA,OB为邻边作平行四边形OADB,则=a+b,再作=c,以OD,OC为邻边作平行四边形ODEC,则=a+b+c.
例2　【解析】设
a,b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度,如图,过平面内一点O作=a,=b,以OA,OB为邻边作矩形OACB,连接OC,则a+b=,即表示小船的实际航行速度.
由题意得|a+b|=||====20,
tan∠AOC==,∴∠AOC=60°,
∴小船沿北偏东30°的方向航行,实际航行的速度大小为20 km/h.
巩固训练　【解析】如图所示,设,分别表示A,B处所受的力,物体的重力用表示,则+=.
由题意可得∠ECG=180°-150°=30°,∠FCG=180°-120°=60°,
则||=||cos 30°=10×=5,||=||cos 60°=10×=5.
故A处所受的力为5 N,B处所受的力为5 N.
探究2　情境设置
问题:不是,向量相加的结果是向量,而模相加的结果是数量.
新知运用
例3　【解析】(1)若a,b中有一个为0,则结论显然成立.
(2)若a,b都不是0,设=a,=b,则=a+b.
①当a,b不共线时,由三角形的性质知,
||<||+||,即|a+b|<|a|+|b|,如图1;
②当a,b共线且同向时,||=||+||,即|a+b|=|a|+|b|,如图2;
③当a,b共线且反向时,易知|a+b|<|a|+|b|.
综上,|a+b|≤|a|+|b|.
巩固训练　13　【解析】因为|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a,b方向相同时,等号成立,所以|a+b|的最大值为13.
探究3　情境设置
问题:∵=+,∴=a+b.
∵=+,∴=b+a,∴a+b=b+a.
故向量加法满足交换律.
新知运用
例4　【解析】(1)(法一)(+)+(+)=(+)+(+)=+=.
(法二)(+)+(+)=+(++)=+0=.
(2)++++=(+)+(++)=+=0.
巩固训练　【解析】(1)++=++=++=+=.
(2)+++=+++=++=+=0.
随堂检测·精评价
1.B　【解析】②错误,+=0;①③正确.
2.B　【解析】+++=+++=++=+=.
3.AB　【解析】当两个非零向量a与b不共线时,a+b的方向与a,b的方向都不相同,则|a+b|<|a|+|b|;当向量a与b同向时,a+b的方向与a,b的方向都相同,则|a+b|=|a|+|b|;当向量a与b反向且|a|<|b|时,a+b的方向与b的方向相同(与a的方向相反),则|a+b|=|b|-|a|.故选AB.
4.60°　30　【解析】如图,风速大小是30 km/h,即||=30,
水的流速大小是30 km/h,即||=30,则小船速度的大小为||,
由题可知,四边形OACB为菱形,且∠AOB=60°,
所以∠BOC=30°,
所以小船在水中漂行的速度的方向是北偏东60°,大小为30 km/h.6.2 课时4 向量的数量积
【学习目标】
1.了解向量数量积的物理背景,即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.(数学抽象)
2.掌握向量数量积的定义及投影向量.(数学运算)
3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.(逻辑推理、数学运算)
4.掌握向量数量积的运算律及常用的公式.(数学运算)
【自主预习】
1.什么是向量的夹角
2.数量积的定义是什么
3.对于两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,其数量积a·b何时为正数 何时为负数 何时为零
4.投影向量是如何定义的 a在b上的投影向量与b在a上的投影向量是否相同
5.向量数量积的运算有哪些运算律
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个非零向量的夹角是唯一确定的. ( )
(2)若非零向量a与b共线,则=0°. ( )
(3)(a·b)·c=a·(b·c). ( )
(4)(a·b)2=a2·b2.( )
2.设e1和e2是互相垂直的单位向量,且a=3e1+2e2,b=-3e1+4e2,则a·b=( ).
A.-2 B.-1 C.1 D.2
3.(多选题)已知两个单位向量e1,e2的夹角为θ,则下列结论正确的是( ).
A.e1在e2上的投影向量为cos θ e2
B.=
C.(e1+e2)⊥(e1-e2)
D.e1·e2=1
4.已知向量a,b均为单位向量,a·b=,则a与b的夹角为 .
【合作探究】
　两向量的夹角与向量数量积的定义
如图,在物理学中,一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力F所做的功W=|F||s|cos θ,其中θ是F与s的夹角.
问题1:能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果
问题2:如图,把向量看成力F,看成位移s,向量,的夹角是否为θ 若不是,又是什么
问题3:向量数量积的运算结果与向量线性运算的结果有什么不同
1.两向量的夹角
(1)定义:已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫作向量a与b的夹角.
(2)①当θ=0时,a与b ;
②当θ=π时,a与b ;
③当θ=时,a与b ,记作a⊥b.
2.平面向量数量积的定义
已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,把数量|a||b|·cos θ叫作向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ.特别地,零向量与任何向量的数量积等于 .
注意:
(1)“·”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“×”.
(2)数量积的结果为数量,不是向量.
(3)两个非零向量的数量积的正负由这两个向量的夹角θ的大小决定:当θ是零角或锐角时,数量积为正;当θ是钝角或平角时,数量积为负;当θ是直角时,数量积等于零.
已知|a|=2,|b|=3.
(1)若向量a,b的夹角为,求a·b;
(2)若a·b=-1,求向量a,b夹角的余弦值.
【方法总结】求向量的数量积时,若已知向量的模及其夹角,则可直接利用公式a·b=|a||b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角,两向量的夹角可以直接确定的条件是两向量的起点必须重合,否则,要先通过平移使两向量起点重合,再利用公式求解.
已知正三角形ABC的边长为2,求:
(1)·;(2)·;(3)·.
　投影向量
如图,线段AB在直线l上的投影如下.
问题1:图中的线段A1B1叫作什么
问题2:设直线AB与直线l的夹角为θ,那么|A1B1|与|AB|,θ之间有怎样的关系
1.如图,设a,b是两个非零向量,=a,=b,过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到,这种变换为向量a向向量b投影,叫作向量a在向量b上的 .
2.如图,在平面内任取一点O,作=a,=b,设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则= .
特别地,当θ=0时,=|a|e;
当θ=π时,=-|a|e;
当θ=时,=0.
(1)已知|a|=,b为单位向量,a与b的夹角为135°,则a在b上的投影向量的模为( ).
A.- B.-1 C.1 D.
(2)已知|a|=6,e为单位向量,a与e的夹角为,则向量a在向量e上的投影向量为 .
【方法总结】关于平面向量数量积的几何意义的两点注意事项
(1)向量a在b所在直线上的投影是一个向量,向量a在b所在直线上的投影向量的模是一个实数;
(2)向量a在向量b上的投影向量的模是|a|·|cos|,向量b在向量a上的投影向量的模是|b|·|cos|,二者不能混为一谈.
如图所示,已知向量a与b,其中|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角θ=150°.
(1)求a·b;
(2)画图说明b在a上的投影向量;
(3)求向量b在a上的投影向量的模.
　向量数量积的性质
已知两个非零向量a,b,θ为a与b的夹角,e为与b方向相同的单位向量.
问题1:根据数量积公式,计算a·e,a·a.
问题2:若a·b=0,则a与b有什么关系
问题3:两个非零向量的数量积是否可为正数、负数和零 其数量积的符号由什么来决定
设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则
(1)a·e=e·a=|a|cos θ.
(2)a⊥b =0.
(3)当a与b同向时,a·b= ;
当a与b反向时,a·b= .
特别地,a·a=|a|2或|a|= .
(4)|a·b| |a||b|.
一、求向量的模
已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= .
二、求向量的夹角
已知|a|=|b|=2,(a+2b)·(a-b)=-2,求a与b的夹角.
三、向量的垂直
已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,m与n夹角的余弦值为,若n⊥(tm+n),则实数t的值为( ).
A.4 B.-4 C. D.-
【方法总结】(1)求解向量模的问题就是要灵活应用a2=|a|2,即|a|=,勿忘记开方.
(2)求向量的夹角,主要是利用公式cos θ=求出夹角的余弦值,从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|,|b|的值,然后代入求解,也可以寻找|a|,|b|,a·b三者之间的关系,然后代入求解.
(3)解决有关垂直向量的问题时,利用a⊥b a·b=0(a,b为非零向量).
(2020年全国Ⅰ卷)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|= .
已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,(a+2b)⊥(3a-b),求向量a与b夹角的大小.
已知非零向量a,b满足|a|=1,且(a-b)·(a+b)=.
(1)求|b|;
(2)当a·b=-时,求向量a与a+2b的夹角θ的值.
【合作探究】
1.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,=,则a·(a+b)=( ).
A.-2 B.-1
C.0 D.2
2.若|a|=4,|b|=2,a和b的夹角为30°,则a与b的数量积为( ).
A.2 B.
C.2 D.4
3.(原创)已知单位向量e1,e2,若(2e1-e2)⊥e2,则e1,e2的夹角为 .
4.已知a·b=16,若向量a在b上的投影向量为4b,求|b|.
参考答案
课时4　向量的数量积
自主预习·悟新知
预学忆思
1.已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫作向量a与b的夹角.
2.已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,把数量|a||b|cos θ叫作向量a与b的数量积(或内积).
3.当0°≤θ<90°时,a·b>0;当90°<θ≤180°时,a·b<0;当θ=90°时,a·b=0.
4.如
图,在平面内任取一点O,作=a,=b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则就是向量a在向量b上的投影向量.由投影向量的定义可知向量a在向量b上的投影向量与向量b在向量a上的投影向量不相同.
5.(1)a·b=b·a(交换律);
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律);
(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
自学检测
1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2.B　【解析】因为|e1|=|e2|=1,e1·e2=0,
所以a·b=(3e1+2e2)·(-3e1+4e2)=-9|e1|2+8|e2|2+6e1·e2=-9×12+8×12+6×0=-1.
3.ABC　【解析】因为两个单位向量e1,e2的夹角为θ,
所以|e1|=|e2|=1,e1在e2上的投影向量为|e1|cos θ e2=cos θ e2,故A正确;
==1,故B正确;
(e1+e2)·(e1-e2)=-=0,
故(e1+e2)⊥(e1-e2),故C正确;
e1·e2=|e1||e2|cos θ=cos θ,故D错误.
4.　【解析】设a与b的夹角为θ,由题意知|a|=|b|=1,则cos θ==,又∵0≤θ≤π,∴θ=.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1:能.
问题2:不是.向量,的夹角为π-θ.
问题3:数量积的运算结果是一个实数,向量线性运算的结果是一个向量.
新知生成
1.(2)①同向　②反向　③垂直
2.0
新知运用
例1　【解析】(1)因为|a|=2,|b|=3,向量a,b的夹角为,
所以a·b=2×3×cos =3.
(2)设向量a,b的夹角为θ,由向量数量积的定义,得cos θ===-,
故向量a,b夹角的余弦值为-.
巩固训练　【解析】(1)∵与的夹角为60°,
∴·=||||cos 60°=2×2×=2.
(2)∵与的夹角为120°,
∴·=||||cos 120°=2×2×-=-2.
(3)∵与的夹角为60°,
∴·=||||cos 60°=2×2×=2.
探究2　情境设置
问题1:线段A1B1叫作线段AB在直线l上的投影线段.
问题2:|A1B1|=|AB|cos θ.
新知生成
1.投影向量
2.|a|cos θ e
新知运用
例2　(1)C　(2)-3e　【解析】(1)因为|a|=,b为单位向量,a与b的夹角为135°,
所以a在b上的投影向量的模为|a||cos|=·|cos 135°|=×-=1.故选C.
(2)因为|a|=6,=,
所以向量a在向量e上的投影向量为|a|cos·e=6×-·e=-3e.
巩固训练　【解析】(1)a·b=|a||b|cos θ=3×4×cos 150°=12×=-6.
(2)如图所示,作=a,=b,过点B作直线OA的垂线,垂足为B1,即b在a上的投影向量.
(3)因为|b|cos θ=4×-=-2,所以向量b在a上的投影向量的模为2.
探究3　情境设置
问题1:a·e=|a||e|cos θ=|a|cos θ,
a·a=|a||a|cos 0°=|a|2.
问题2:∵a·b=0,a≠0,b≠0,∴cos θ=0,即θ=90°,故a⊥b.
问题3:可以为正数、负数和零,其符号由两个非零向量的夹角的大小决定.
当0°≤θ<90°时,两个非零向量的数量积为正数;
当θ=90°时,两个非零向量的数量积为零;
当90°<θ≤180°时,两个非零向量的数量积为负数.
新知生成
(2)a·b　(3)|a||b|　-|a||b|　　(4)≤
新知运用
例3　2　【解析】　(法一)|a+2b|=====2.
(法二:数形结合法)由|a|=|2b|=2知,以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB,如图,则|a+2b|=||.又∠AOB=60°,所以|a+2b|=2.
例4　【解析】∵(a+2b)·(a-b)=|a|2-2|b|2+a·b=-2,|a|=|b|=2,∴a·b=2.
设a与b的夹角为θ,则cos θ==,
又∵θ∈[0,π],∴θ=.
例5　B　【解析】由题意知,cos===,
所以m·n=|n|2=n2.
易知n·(tm+n)=0,
所以tm·n+n2=0,即tn2+n2=0,所以t=-4.
巩固训练1　　【解析】因为a,b为单位向量,所以|a|=|b|=1,
所以|a+b|====1,
解得2a·b=-1,
所以|a-b|===.
巩固训练2　【解析】设a与b的夹角为θ,
由已知得(a+2b)·(3a-b)=3a2+5a·b-2b2=3+10cos θ-8=0,
所以cos θ=,又0°≤θ≤180°,
所以θ=60°,即a与b的夹角为60°.
巩固训练3　【解析】(1)因为(a-b)·(a+b)=,所以a2-b2=,
即|a|2-|b|2=,
所以|b|2=|a|2-=1-=,故|b|=.
(2)因为|a+2b|2=|a|2+4a·b+|2b|2=1-1+1=1,所以|a+2b|=1.
又因为a·(a+2b)=|a|2+2a·b=1-=,
所以cos θ==,
又θ∈[0,π],所以θ=.
随堂检测·精评价
1.C　【解析】a·(a+b)=a2+a·b=1+1×2×-=0.
2.D　【解析】a与b的数量积为|a||b|cos 30°=4.故选D.
3.　【解析】设e1,e2的夹角为θ,因为(2e1-e2)⊥e2,且==1,
所以(2e1-e2)·e2=2e1·e2-=2cos θ-=2×1×1×cos θ-12=0,所以cos θ=.因为θ∈[0,π],所以e1与e2的夹角为.
4.【解析】设a,b的夹角为θ,则a·b=|a||b|cos θ=16.因为向量a在b上的投影向量为|a|cos θ=4b,所以|a|cos θ=4|b|,即4|b|2=16,所以|b|=2.

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