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7.1 课时1 数系的扩充和复数的概念
【学习目标】
1.了解引进虚数单位i的必要性,了解数系的扩充过程.(数学抽象)
2.理解复数的概念、表示及相关概念.(数学抽象)
3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件.(逻辑推理)
【自主预习】
1.什么叫复数
2.怎样表示一个复数
3.复数m+ni(m,n∈R)的实部是m,虚部是ni,对吗
4.复数z=a+bi(a,b∈R)可以是实数吗 需要满足什么条件
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若a,b为实数,则z=a+bi为虚数. ( )
(2)复数i的实部不存在,虚部为0. ( )
(3)bi是纯虚数. ( )
(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数相等. ( )
2.在2+,i,8+5i,(1-)i,0.618这几个数中,纯虚数的个数为( ).
A.0 B.1 C.2 D.3
3.(多选题)下列说法正确的是( ).
A.复数2+3i的虚部是3i
B.形如a+bi(b∈R)的数一定是虚数
C.若a∈R,a≠-3,则(a+3)i是纯虚数
D.若两个复数能够比较大小,则它们都是实数
4.已知x,y∈R,若x+3i=(y-2)i,则x+y= .
【合作探究】
　复数的概念
问题1:方程x2=1有解吗 解是什么 方程x2+1=0在实数范围内有解吗
问题2:若有一个新数i满足i2=-1,试想方程x2+1=0有解吗
问题3:添加i之后,i与原来的实数之间进行加法、乘法运算,会产生怎样的新数
问题4:复数集由哪些数组成
1.虚数单位i的引入
(1)i2=-1.
(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加法、乘法满足的运算律仍然适用.
2.复数的概念
把形如a+bi(a,b∈R)的数叫作复数,其中i叫作虚数单位.全体复数所构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫作复数集.复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R).
以后不作特殊说明时,复数z=a+bi都有a,b∈R,其中的a与b分别叫作复数z的实部与虚部.
对于复数a+bi(a,b∈R),当且仅当b=0时,它是实数;当且仅当a=b=0时,它是实数0;当b≠0时,它叫作虚数;当a=0且b≠0时,它叫作纯虚数.
下列结论正确的是( ).
A.若a∈R,则(a+1)i是纯虚数
B.若a,b∈R,且a>b,则a+i>b+i
C.若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x=±2
D.实数集是复数集的真子集
已知复数z=m2-m-2+(5m2-20)i(m∈R).
(1)若z为实数,求m的值;
(2)若z为纯虚数,求m的值.
【方法总结】1.复数的代数形式
(1)若z=a+bi,只有当a,b∈R时,才有a是z的实部,b是z的虚部,注意虚部不是bi.
(2)不要混淆复数与虚数的概念,实数也是复数,实数和虚数是复数的两大构成部分.
2.复数的分类
(1)复数a+bi(a,b∈R)
(2)集合表示
当实数m取什么值时,复数z=m+1+(m-1)i是下列数
(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.
　复数相等
问题1:由3>2能否推出3+i>2+i 两个实数能比较大小,那么两个复数能比较大小吗
问题2:若复数z=a+bi>0,则实数a,b满足什么条件
问题3:如何确定两个复数是否相等
复数相等的充要条件
在复数集C中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),规定:当且仅当 时,a+bi与c+di相等.
关于x的方程3x2-x-1=(10-x-2x2)i有实数根,求实数a的值.
【方法总结】复数相等问题的解题技巧
(1)复数必须是代数形式,然后才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方程组求解;
(2)根据复数相等的条件,将复数问题转化为实数问题,为应用方程思想提供了条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现.
若(m2-1)+(m2-2m)i>1,则实数m的值为 .
已知关于x的方程x2+kx+2+(2x+k)i=0有实数根x0,求x0以及实数k的值.
【随堂检测】
1.复数(2+)i的实部是( ).
A.2 B. C.2+ D.0
2.若复数z=ai2-bi(a,b∈R)是纯虚数,则一定有( ).
A.b=0 B.a=0且b≠0
C.a=0或b=0 D.ab≠0
3.(多选题)下列说法正确的是( ).
A.纯虚数的平方不小于0
B.i是一个无理数
C.1-ai(a∈R)是一个复数
D.复数a+i与b+3i(a,b∈R)不可能相等
4.已知x2-y2+2xyi=2i(其中x>0,i为虚数单位),则实数x= ,y= .
参考答案
7.1　复数的概念
课时1　数系的扩充和复数的概念
自主预习·悟新知
预学忆思
1.形如a+bi(a,b∈R)的数叫作复数.
2.复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),这一表示形式叫作复数的代数形式.
3.不对,虚部是n.
4.可以,当b=0时,z为实数.
自学检测
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.C　【解析】i,(1-)i是纯虚数,2+,0.618是实数,8+5i是虚数.
3.CD　【解析】复数2+3i的虚部是3,故A错误;
形如a+bi(b∈R)的数不一定是虚数,例如,当a∈R,b=0时,a+bi不是虚数,故B错误;
只有当a∈R,a+3≠0,即a≠-3时,(a+3)i才是纯虚数,故C正确;
因为虚数不能比较大小,所以若两个复数能够比较大小,则它们都是实数,故D正确.
故选CD.
4.5　【解析】由题意知x=0,y-2=3,即y=5,∴x+y=5.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1:方程x2=1有解,解是x=±1,方程x2+1=0在实数范围内没有解.
问题2:有解(x=±i),但不在实数范围内.
问题3:若i与实数b相乘再与实数a相加,则可得到形式为a+bi的新数.
问题4:由实数和虚数组成.
新知运用
例1　D　【解析】对于复数a+bi(a,b∈R),当a=0且b≠0时,它为纯虚数.对于A,若a=-1,则(a+1)i不是纯虚数,A错误.两个虚数不能比较大小,B错误.对于C,若x=-2,则x2-4=0,x2+3x+2=0,此时(x2-4)+(x2+3x+2)i=0,不是纯虚数,C错误.显然D正确.
例2　【解析】(1)由题意得5m2-20=0,得m2=4,即m=±2.
(2)由题意得得即m=-1.
巩固训练　【解析】(1)当m-1=0,即m=1时,复数z是实数.
(2)当m-1≠0,即m≠1时,复数z是虚数.
(3)当m+1=0,且m-1≠0,即m=-1时,复数z是纯虚数.
探究2　情境设置
问题1:由3>2不能推出3+i>2+i.当两个复数都是实数时,可以比较大小;当两个复数不全是实数时,不能比较大小.
问题2:若复数z=a+bi>0,则实数a,b满足a>0且b=0.
问题3:根据复数的定义,当且仅当两个复数的实部与虚部分别对应相等时,两个复数相等.
新知生成
a=c且b=d
新知运用
例3　【解析】设方程的实数根为x=m,
则原方程可变为3m2-m-1=(10-m-2m2)i,
所以解得或
所以实数a的值为11或-.
巩固训练1　2　【解析】由题意得解得m=2.
巩固训练2　【解析】将x0代入方程,得+kx0+2+(2x0+k)i=0,
由复数相等的充要条件,得解得或
所以x0=或x0=-,
相应的k的值为-2或2.
随堂检测·精评价
1.D　【解析】复数(2+)i的实部是0.故选D.
2.B　【解析】z=ai2-bi=-a-bi,由纯虚数的定义可得a=0且b≠0.
3.CD　【解析】i2=-1<0,故A错误;∈R,故i是纯虚数,故B错误;根据复数定义可知C正确;D中两个复数的虚部不相等,故两个复数不可能相等,故D正确.故选CD.
4.1　1　【解析】∵x2-y2+2xyi=2i,∴
解得或(舍去).7.1 课时2 复数的几何意义
【学习目标】
1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.(直观想象)
2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念.(数学抽象)
3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.(数学运算)
【自主预习】
1.平面直角坐标系中的点Z与向量有怎样的对应关系
2.复数集与平面直角坐标系中以原点为起点的向量集合一一对应吗
3.实轴上的点都表示实数,那么虚轴上的点都表示纯虚数吗
4.若z1,z2是共轭复数,在复平面内它们所对应的点有怎样的关系
5.我们知道,复数1+2i与复数2+2i是不能比较大小的,这两个复数的模分别是多少 能比较大小吗
6.怎样定义复数z的模 它有什么意义
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)复平面内的点与复数是一一对应的. ( )
(2)复数的模一定是正实数. ( )
(3)若|z1|=|z2|,则z1=z2. ( )
(4)若两个复数互为共轭复数,则它们的模相等. ( )
2.已知i为虚数单位,若(x-2)+yi和3x-i互为共轭复数,则实数x,y的值分别是( ).
A.3,3 B.5,1
C.-1,-1 D.-1,1
3.若复数a+1+(1-a)i在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是( ).
A.(-∞,1)
B.(-∞,-1)
C.(1,+∞)
D.(-1,+∞)
4.已知复数z=4+2i(i是虚数单位),则|z|= .
【合作探究】
　复数的几何意义
伟大的德国数学家高斯是近代数学的奠基人之一,他在前人研究的基础上给出复数的几何表示,在1799年,1815年,1816年对代数基本定理作出的三个证明中,都假定了复数和平面直角坐标系内的点一一对应,但直到1831年他才对复平面作出详细的说明.此后,人们才接受了复平面的思想,有些人还把复平面称为高斯平面.
问题1:高斯认为复数z=a+bi(a,b∈R)与有序实数对(a,b)之间有什么对应关系
问题2:有序实数对(a,b)与平面直角坐标系内的点有怎样的对应关系
问题3:实轴上的点表示实数,虚轴上的点表示虚数,这句话对吗
1.复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫作 ,x轴叫作 ,y轴叫作 .显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.
2.复数的两种几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)复平面内的点Z(a,b).
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)平面向量.
特别提醒:①复平面内的点Z的坐标是(a,b),而不是(a,bi).也就是说,复平面内的虚轴上的单位长度是1,而不是i.
②当a=0,b≠0时,a+bi=0+bi=bi是纯虚数,所以虚轴上的点(0,b)(b≠0)都表示纯虚数.
③复数z=a+bi(a,b∈R)中的z,书写时应小写;复平面内的点Z(a,b)中的Z,书写时应大写.
一、复平面内的点与复数的对应关系
当实数m取什么值时,复平面内表示复数z=2m+(4-m2)i的点P分别满足下列条件
(1)位于虚轴上(不含原点);(2)位于第三象限.
【方法总结】利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤
(1)找对应关系:复数的几何表示法,即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示,这是解决此类问题的依据.
(2)列方程:寻求复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解.
当实数a分别取何值时,复数z=a2-a-6+(a2-2a-3)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件
(1)在复平面的第二象限内;
(2)在复平面内的x轴下方.
二、复数与复平面内向量的对应关系
在平面直角坐标系中,O是原点,向量,对应的复数分别为2-3i,-3+2i,那么向量对应的复数是( ).
A.-5+5i　　　B.5-5i
C.5+5i　　　D.-5-5i
【方法总结】(1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点为原点时,向量的终点对应的复数即向量对应的复数.反之,复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即复数对应的向量.
(2)解答复数与平面向量一一对应的题目时,一般以复数与复平面内的点的一一对应关系为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.
复数4+3i与-2-5i分别表示向量与,则向量表示的复数是 .
　复数的模
我们知道向量的长度叫向量的模,z=a+bi(a,b∈R)与向量一一对应,下面我们探讨|z|如何表示.
问题1:|z|与向量的模之间也是一一对应的吗
问题2:两个虚数是不能比较大小的,两个虚数的模能比较大小吗
1.复数z=a+bi(a,b∈R)对应的向量为,则的模叫作复数z的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|= .
2.如果b=0,那么z=a+bi是一个实数a,它的模等于|a|(a的绝对值).
求复数z1=6+8i及z2=-9+i的模,并比较它们模的大小.
【方法总结】计算复数的模时,应先确定复数的实部和虚部,再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小,但它们的模可以比较大小.
已知实数a满足0A.(1,)　　　B.(1,)
C.(1,3)　　　　D.(1,10)
　共轭复数
小明在复平面内作出复数z1=2+3i和复数z2=2-3i,如图所示.
问题1:小明画得正确吗 和之间有什么关系
问题2:||与|z|之间有什么关系
　　一般地,当两个复数的实部 ,虚部 时,这两个复数互为共轭复数.
记法:复数z的共轭复数用表示,即如果z=a+bi,那么=a-bi.
复数z=a+bi在复平面内对应的点为(a,b),复数=a-bi在复平面内对应的点为(a,-b),所以两个互为共轭复数的复数,它们在复平面内所对应的点关于x轴对称.
已知复数z的虚部大于0,且|z|=|+2|=.求.
【方法总结】设出复数z,由题意建立方程,解方程即可得结论.方程思想是解决本题的关键,此外要熟记模的概念.
已知复数z=(m-1)(m+2)+(m-1)i(m∈R,i为虚数单位),若z是纯虚数,求.
【随堂检测】
1.若向量与对应的复数分别是3+2i,-1+4i,则向量对应的复数为( ).
A.-1 B.4-2i C.-4+2i D.-3
2.(多选题)在复平面内,复数z对应的点是(1,1),则( ).
A.z=1+i B.=-1+i
C.|z|=2 D.||=
3.已知复数z=m-1+(m+2)i在复平面内对应的点在第二象限,则实数m的取值范围是( ).
A.(-1,2) B.(-2,1)
C.(1,+∞) D.(-∞,-2)
4.已知复数z=(a2+7a-8)+(4a+2)i,a∈R.
(1)若z在复平面内对应的点在第二象限,求a的取值范围;
(2)若z在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上,求a的值.
参考答案
课时2　复数的几何意义
自主预习·悟新知
预学忆思
1.一一对应.
2.一一对应.
3.虚轴上除了坐标原点以外的点才表示纯虚数.
4.它们所对应的点关于实轴对称.
5.∵|1+2i|=,|2+2i|=2,∴|1+2i|<|2+2i|,即两个复数的模能比较大小.
6.向量的模r叫作复数z=a+bi的模,记作|z|或|a+bi|,且r=(r≥0,且r∈R),它表示点Z(a,b)到原点的距离.
自学检测
1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2.D　【解析】∵(x-2)+yi和3x-i互为共轭复数,
∴解得
3.B　【解析】因为z=a+1+(1-a)i,所以它在复平面内对应的点为(a+1,1-a),
又因为此点在第二象限,所以解得a<-1.故选B.
4.2　【解析】∵z=4+2i,∴|z|==2.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1:一一对应关系.
问题2:一一对应关系.
问题3:不对.实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数;原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0,表示的是实数.
新知生成
1.复平面　实轴　虚轴
新知运用
例1　【解析】复数z=2m+(4-m2)i在复平面内对应的点P的坐标为(2m,4-m2).
(1)若点P在虚轴上(不含原点),则即m=0,
∴当m=0时,点P位于虚轴上(不含原点).
(2)若点P在第三象限,则解得m<-2,
∴当实数m的取值范围是(-∞,-2)时,点P位于第三象限.
巩固训练　【解析】(1)点Z在复平面的第二象限内,
则即解得-2(2)点Z在x轴下方,则a2-2a-3<0,
即(a+1)(a-3)<0,解得-1例2　B　【解析】向量,对应的复数分别为2-3i,-3+2i,则根据复数与复平面内的点一一对应关系,可得向量=(2,-3),=(-3,2).由向量减法的坐标运算可得向量=-=(2+3,-3-2)=(5,-5),根据复数与复平面内的点的一一对应关系,可得向量对应的复数是5-5i.
巩固训练　-6-8i　【解析】因为复数4+3i与-2-5i分别表示向量与,所以=(4,3),=(-2,-5),又=-=(-2,-5)-(4,3)=(-6,-8),所以向量表示的复数是-6-8i.
探究2　情境设置
问题1:是.
问题2:复数的模就是复数的长度,它是一个实数,所以两个虚数的模是能够比较大小的.
新知生成
1.
新知运用
例3　【解析】因为z1=6+8i,z2=-9+i,
所以|z1|==10,|z2|==.
因为10>,所以|z1|>|z2|.
巩固训练　A　【解析】∵0探究3　情境设置
问题1:正确,关于x轴对称.
问题2:||=|z|.
新知生成
相等　互为相反数
新知运用
例4　【解析】设z=a+bi(a,b∈R,b>0),则+2=a+2-bi,
所以=,
整理得4a+4=0,解得a=-1,
又==,所以b=±2.因为复数z的虚部大于0,所以b=2,z=-1+2i,所以=-1-2i.
巩固训练　【解析】因为z是纯虚数,所以
解得m=-2,所以z=-3i,故=3i.
随堂检测·精评价
1.B　【解析】因为向量与对应的复数分别是3+2i,-1+4i,所以=(3,2),=(-1,4),所以=-=(4,-2),则向量对应的复数为4-2i.
2.AD　【解析】因为在复平面内,复数z对应的点是(1,1),所以z=1+i,故A正确;
=1-i,故B错误;
|z|==,故C错误;
||==,故D正确.故选AD.
3.B　【解析】∵z=m-1+(m+2)i在复平面内对应的点在第二象限,
∴解得-24.【解析】(1)由题意可得
解得-(2)由题意可得a2+7a-8=4a+2,解得a=2或a=-5,所以a的值为2或-5.

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