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7.3 课时2 复数乘、除运算的三角表示及几何意义
【学习目标】
1.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.(直观想象)
2.会进行复数三角形式的乘、除运算.(数学运算)
【自主预习】
1.复数的代数形式的加法和乘法运算的法则是什么
2.复数乘法能表示成三角形式吗
3.复数除法能表示成三角形式吗
4.你能解释i2=-1的几何意义吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个复数相乘,积的模等于两个复数的模的积,积的辐角等于两个复数的辐角的积. ( )
(2)两个复数相除(除数不为0),就是把模相除作为商的模,辐角相减作为商的辐角. ( )
(3)两个非零复数相乘(除),积(商)还是一个复数.( )
(4)若复数z1,z2对应的向量分别为,,辐角分别为θ1,θ2,当θ2>0时,把向量绕点O按顺时针方向旋转角θ2,旋转后向量对应的复数的辐角等于积z1z2的辐角. ( )
2.4(cos 160°+isin 160°)÷[2(cos 10°+isin 10°)]=( ).
A.+i B.-+i
C.2+i D.-2+i
3.若z=cos 30°+isin 30°,则arg z2=( ).
A.30° B.60°
C.90° D.120°
4.复数z=cos +isin 是方程x5-a=0的一个根,那么a的值等于( ).
A.+i B.+i
C.-i D.--i
【合作探究】
　复数三角形式的乘法
设z=1-i在复平面内对应的向量为,将绕原点按逆时针方向旋转30°.
问题1:上述旋转所得向量对应的复数是什么
问题2:上述问题如何求解 将1-i化为三角函数能求解吗
问题3:若复数z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),你能根据复数的乘法运算法则计算z1z2,并将结果表示成三角形式吗
设z1,z2的三角形式分别是z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)],
这就是说,两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复数的辐角的和.
几何意义:两个复数z1,z2相乘,可以在复平面内先分别画出与z1,z2对应的向量,,然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0,就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|),再把它的模变为原来的r2倍,得到向量,表示的复数就是z1z2.
计算下列各式:
(1)16cos+isin×4cos+isin;
(2)3(cos 20°+isin 20°)[2(cos 50°+isin 50°)]×[10(cos 80°+isin 80°)];
(3)(-1+i) .
【方法总结】复数三角形式乘法运算的方法
(1)直接利用复数三角形式的乘法法则:模相乘,辐角相加.
(2)若遇到复数的代数形式与三角形式混合相乘时,需先将复数统一成代数形式或三角形式,然后进行复数的代数形式相乘或三角形式相乘.
将复数1+i在复平面内对应的向量绕原点按逆时针方向旋转,得到的向量为,那么对应的复数是( ).
A.2i　　　 B.i
C.+i　　　 D.+i
(cos 30°+isin 30°)×2(cos 60°+isin 60°)×3(cos 45°+isin 45°)=( ).
A.+i B.-i
C.-+i D.--i
　复数三角形式的除法
我们知道复数除法是乘法的逆运算,除以一个数等于乘这个数的倒数,复数三角形式的除法如何由复数三角形式的乘法运算得到呢
问题:设z1,z2的三角形式分别是z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),且z1≠z2,z2≠0,类比复数三角形式的乘法,能得出吗
　　设z1,z2的三角形式分别是z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),且z1≠z2,z2≠0,则==[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)].
这就是说,两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
几何意义:两个复数z1,z2相除,可以在复平面内先画出z1,z2对应的向量,,将向量按顺时针方向旋转角θ2(若θ2<0,则按逆时针方向旋转角|θ2|),再把模变为原来的,所得向量就表示商.
复数除法的实质是向量的旋转和伸缩.
计算(1+i)÷.
【方法总结】(1)商的模等于被除数的模除以除数的模,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角.
(2)结果一般保留代数形式.
(3)商的辐角的主值不一定等于被除数的辐角的主值减去除数的辐角的主值所得的差.实际上,arg可由arg=arg z1-arg z2+2kπ(k∈Z)求得.
(原创)复数2cos +isin ÷4(cos π+isin π)的三角形式的辐角主值是( ).
A.-　　　 B.　　　 C.　　　 D.-
8i÷2(cos 45°+isin 45°)= .
【随堂检测】
1.已知复数z1=cos+isin,z2=cos+isin,则z1z2的代数形式是( ).
A.cos+isin
B.cos+isin
C.-i
D.+i
2.在复平面内,把与复数a+bi(a,b∈R)对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转90°后所得向量对应的复数为( ).
A.a-bi B.-a+bi C.b-ai D.-b+ai
3.复数(sin 10°+icos 10°)(sin 10°+icos 10°)的三角形式是( ).
A.sin 30°+icos 30°
B.cos 160°+isin 160°
C.cos 30°+isin 30°
D.sin 160°+icos 160°
4.计算:(cos 40°+isin 40°)÷(cos 10°+isin 10°)= .
参考答案
课时2　复数乘、除运算的三角表示及几何意义
自主预习·悟新知
预学忆思
1.设a,b,c,d∈R,则(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.
2.能.r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].
3.能.=[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)].
4.能.几何意义是将i在复平面内对应的向量绕点O按照逆时针方向旋转,得到-1在复平面内对应的向量.
自学检测
1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2.B　【解析】4(cos 160°+isin 160°)÷[2(cos 10°+isin 10°)]=2(cos 150°+isin 150°)=2-+i=-+i.
3.B　【解析】因为z2=(cos 30°+isin 30°)2=cos 60°+isin 60°,
所以arg z2=60°.故选B.
4.B　【解析】由题意得,a=cos +isin 5=cos +isin =+i.故选B.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1:由题意所得向量对应的复数为(1-i)·(cos 30°+isin 30°).
问题2:把cos 30°+isin 30°化为+i,然后根据复数代数形式的运算法则求解.能.
问题3:能.z1z2=r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2)
=r1r2(cos θ1+isin θ1)·(cos θ2+isin θ2)
=r1r2[(cos θ1cos θ2-sin θ1sin θ2)+i(sin θ1cos θ2+cos θ1sin θ2)]
=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].
新知运用
例1　【解析】(1)原式=16×4cos++isin+
=64cos+isin
=64cos+isin
=64+i=32+32i.
(2)原式=6(cos 70°+isin 70°)[10(cos 80°+isin 80°)]
=60(cos 150°+isin 150°)
=60-+i=-30+30i.
(3)(法一)∵复数-1+i的模r=,cos θ=-,sin θ=,∴θ=.
原式=cos+isin
=
=cos+isin=cos+isin=i.
(法二)cos+isin
=-i=-i,
原式=(-1+i)-i
=-+++i=i.
巩固训练1　B　【解析】复数1+i的三角形式是cos +isin ,向量对应的复数是cos +isin ×cos +isin =cos +isin =i,故选B.
巩固训练2　C　【解析】(cos 30°+isin 30°)×2(cos 60°+isin 60°)×3(cos 45°+isin 45°)
=×2×3[cos(30°+60°+45°)+isin(30°+60°+45°)]
=3(cos 135°+isin 135°)
=3-+i
=-+i.
故选C.
探究2　情境设置
问题:能.=
=(cos θ1+isin θ1)·[cos(-θ2)+isin(-θ2)]
=[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)].
新知运用
例2　【解析】因为1+i=cos+isin,
所以原式=
=
=
=(0-i)
=-i.
巩固训练1　B　【解析】因为2cos +isin ÷4(cos π+isin π)
=cos-π+isin-π
=cos-+isin-
=cos +isin ,
所以2cos +isin ÷4(cos π+isin π)的三角形式的辐角主值为.
巩固训练2　2+2i　【解析】8i÷2(cos 45°+isin 45°)
=8(cos 90°+isin 90°)÷2(cos 45°+isin 45°)
=4[cos(90°-45°)+isin(90°-45°)]
=4(cos 45°+isin 45°)
=2+2i.
随堂检测·精评价
1.D　【解析】z1z2=×
=cos+isin=+i=+i.
2.C　【解析】所求复数为==-(a+bi)i=b-ai.
3.B　【解析】(sin 10°+icos 10°)(sin 10°+icos 10°)=(cos 80°+isin 80°)(cos 80°+isin 80°)=cos 160°+isin 160°.
4.+i　【解析】(cos 40°+isin 40°)÷(cos 10°+isin 10°)=cos 30°+isin 30°=+i.7.3 课时1 复数的三角表示式
【学习目标】
1.通过复数的几何意义,了解复数的三角表示式.(数学抽象)
2.了解复数的辐角及辐角的主值的含义.(数学抽象)
3.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系.(逻辑推理)
【自主预习】
1.复数的辐角有怎样的特征
2.你能根据复数的三角形式解释i2=-1的几何意义吗
3.任何一个不为零的复数的辐角有多少个值
4.复数的辐角的主值有多少个值
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)复数的辐角是唯一的. ( )
(2)z=cos θ-isin θ是复数的三角形式. ( )
(3)z=-2(cos θ+isin θ)是复数的三角形式. ( )
(4)复数z=cos π+isin π的模是1,辐角的主值是π. ( )
2.复数sin 40°-icos 40°的辐角的主值是( ).
A.-40° B.310° C.50° D.130°
3.复数z=-+i的三角形式为( ).
A.2cos +isin B.2cos -isin
C.2cos +isin D.2cos +isin
4.复数z=cos-+isin-的代数形式为 .
【合作探究】
　复数的三角表示式
我们知道asin x+bcos x=sin(x+φ)tan φ=,而复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R),由此联想z的三角表示式.
问题1:你能类比上述三角变换,推出复数的三角形式吗
问题2:若角θ的顶点在坐标原点,始边为x轴的非负半轴,已知终边上一点P(x,y),如何表示角θ的三角函数
　　定义:一般地,任何一个复数z=a+bi(a,b∈R)都可以表示成r(cos θ+isin θ)的形式.其中,r=;θ是以x轴的非负半轴为始边,向量所在射线(射线OZ)为终边的角,叫作复数z=a+bi的辐角.r(cos θ+isin θ)叫作复数z=a+bi的三角表示式,简称三角形式.为了与三角形式区分开来,a+bi叫作复数的代数表示式,简称代数形式.
复数三角形式的特点口诀:
“模非负,角相同,余弦前,加号连”.
一、将复数的代数形式化为三角形式
将复数+i化成三角形式.
【方法总结】将复数的代数形式转化为三角形式的步骤
(1)求复数的模;
(2)确定辐角所在的象限;
(3)根据象限求出辐角;
(4)写出复数的三角形式.
下列式子是复数三角形式的是( ).
A.cos -isin
B.-cos +isin
C.sin +icos
D.cos +isin
复数z=-i的三角形式为( ).
A.2cos +isin
B.2cos -isin
C.2cos -isin
D.2cos +isin
二、将复数的三角形式化为代数形式
复数z=cos +isin 的代数形式为( ).
A.+i B.-+i
C.--i D.-i
【方法总结】将复数的三角形式化为代数形式的方法:复数的三角形式为z=r(cos A+isin A),代数形式为z=x+yi(x,y∈R),对应的实部等于实部,虚部等于虚部,故x=rcos A,y=rsin A.
复数cos +isin 的代数形式为 .
　辐角的主值
问题1:我们知道复数z的辐角是θ+2kπ(k∈Z),而三角函数是周期函数,且正弦函数、余弦函数的最小正周期都是2π,那么如何确定辐角的主值的取值范围呢
问题2:一个复数的辐角的主值是唯一的吗
问题3:一个复数的三角形式是唯一的吗
1.定义及表示:在[0,2π)范围内的辐角θ的值为辐角的主值,通常记作arg z,即0≤arg z<2π.
2.唯一性:复数z的辐角的主值是确定唯一的.
特别注意:(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值,且这些值相差2π的整数倍;
(2)复数0的辐角是任意的;
(3)当且仅当两个非零复数的模与辐角的主值分别相等时,两复数相等.
(1)求复数z=cos -isin 的辐角的主值;
(2)求复数z=(1-i)的辐角的主值.
【方法总结】求复数辐角主值的步骤:
1.先把所给复数化成三角形式;
2.确定所给复数在复平面内对应的点所在的象限;
3.利用复数辐角的定义、三角变换等求出复数辐角的主值.
求复数z=3sin-icos的辐角的主值.
【随堂检测】
1.-6的辐角的主值为( ).
A.0 B. C.π D.-
2.下列复数中,是用三角形式表示的是( ).
A.2(cos α-isin α)
B.2(sin α+icos α)
C.-2(cos α+isin α)
D.2[cos(-α)+isin(-α)]
3.复数1+i的三角形式为 .
4.复数z=,θ∈0,,求,arg z.
参考答案
7.3*　复数的三角形式
课时1　复数的三角表示式
自主预习·悟新知
预学忆思
1.任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值,且这些值相差2π的整数倍.对于复数0,因为它对应着零向量,而零向量的方向是任意的,所以复数0的辐角也是任意的.
2.能.i本身可以用复平面内y轴上的点(0,1)表示.而i2=i·i表示把y轴上的点(0,1)绕原点逆时针旋转90°,此时点(0,1)就变为x轴上的点(-1,0).
3.辐角有无限多个值,这些值相差2π的整数倍.
4.辐角的主值只有一个值,在[0,2π)范围内.
自学检测
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.B　【解析】因为复数sin 40°-icos 40°=cos 310°+isin 310°,所以该复数的辐角的主值是310°.故选B.
3.C　【解析】复数z=-+i在复平面内所对应的点的坐标为(-,1),该点位于第二象限,
则r==2,所以cos θ=-,所以θ=,即arg(-+i)=,
所以z=-+i=2cos +isin .故选C.
4.1-i　【解析】z=cos-+isin-=cos -isin =-i=1-i.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1:能.a+bi=+i,
令=cos θ,=sin θ,r=,则a+bi=r(cos θ+isin θ).
问题2:设r=|OP|=,则cos θ=,sin θ=,tan θ=.
新知运用
例1　【解析】因为r==2,所以cos θ=.
又该复数在复平面内对应的点在第一象限,所以复数+i的辐角可以为,
故+i=2cos +isin .
巩固训练1　D　【解析】选项A中,cos与isin之间用“-”连接,不是用“+”连接;选项B中,-<0不符合r≥0的要求;选项C中,sin 与icos 用“+”连接,但不是cos +isin 的形式.故A,B,C均不是复数的三角形式.故选D.
巩固训练2　D　【解析】因为r=2,所以cos θ=,又复数z=-i在复平面内对应的点位于第四象限,所以-i的辐角可以为,故z=-i=2cos +isin .
例2　B　【解析】z=cos +isin =cos +isin =×-+i×=-+i.
巩固训练　1-i　【解析】cos +isin
=cos π++isinπ+
=-cos -isin
=-i=1-i.
探究2　情境设置
问题1:辐角的主值的取值范围为[0,2π).
问题2:是.
问题3:不是,一般情况下,复数的三角形式的辐角常取它的主值,这使表达式简便,且便于运算,但三角形式的辐角不一定取其主值.
新知运用
例3　【解析】(1)z=cos -isin =-i
=cos +isin ,
所以arg-i=.
(2)z=(1-i)=-i=cos +isin ,
所以arg-i=.
巩固训练　【解析】∵z=3-i=3cos+isin,
∴arg z=.
随堂检测·精评价
1.C　【解析】-6=6(-1+0·i)=6(cos π+isin π),其辐角的主值为π.故选C.
2.D　【解析】复数的三角形式为z=r(cos α+isin α),其满足的条件为①r≥0;②加号连接;③cos α在前,sin α在后;④α前后一致,可取任意值.故选D.
3.cos+isin　【解析】r=,cos θ==,
又因为1+i在复平面内对应的点位于第一象限,
所以arg(1+i)=.
所以1+i=cos+isin.
4.【解析】z=
=
=-sin θ+icos θ,
于是得==1,而z=cos +θ+isin +θ,且θ∈0,,则arg z=+θ.
故=1,arg z=+θ.

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