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2024-2025人教版八年级数学下大单元结构化整合系列
17.1 勾股定理十四大题型解题技巧
知识点一 勾股定理
文字描述：
在直角三角形中， 两直角边的平方的和等于斜边的平方 。
几何语言：
如图。若直角三角形的两直角边分别是，斜边是，则有：
。
变形式： ；
；
。
知识点二 勾股定理的验证
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
　　　 图（1）中，所以．
　　　　　
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
　　　　 　　图（2）中，所以．
　　　　　　
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
　　　　　　
　　　　 ，所以．
题型归纳
题型突破、典例精析
【题型1 勾股定理的证明】
【例1-1】．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第117页的部分内容．
把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点、、在同一条直线上，利用此图的面积表示式证明勾股定理．
(1)请结合图①，写出完整的证明过程；
(2)如图②，等腰直角三角形，，，是射线上一点，以为直角边在边的右侧作，使，．过点，作于点，，求的长．
【变式1-1】．勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，其中一个有趣的证法如下：把两个全等的直角三角形（如图1放置，，点在边上，现设两直角边长分别为、，斜边长为，请用、、分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理，
(1)请根据上述图形的面积关系证明勾股定理；
(2)如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距16千米，为两个村庄（看作直线上的两点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为_____千米．
(3)在（2）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，请在图2中作出点的位置并求出的距离．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
【变式1-2】．阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”这句话的意思是如果直角三角形的两直角边的长分别为3和4，那么斜边的长为5．上述记载表明：在中，如果，，，，那么a，b，c，之间的数量关系是____．对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整：证明：∵，，，且______，∴____________．整理，得，∴．
任务：
(1)补全材料中的填空．
(2)如图3，在中，是边上的高，，，．设，求x的值．
【变式1-3】《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是证明了勾股定理和对勾股算术算法进行了推广．书中的证明方法是将4个三边长分别为，，的全等直角三角形拼成如图1所示的五边形，然后通过添加辅助线，用面积法证明勾股定理．下面是小华给出的相关证明：
如图2，延长交_____①_____于点．用两种不同的方法表示五边形的面积：方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则_____②_____．方法二：将五边形看成是由_____③_____，正方形，，拼成，则．根据面积相等可以得到_____④_____，即． 　
则下列说法错误的是（ ）
A．①代表 B．②代表
C．③代表正方形 D．④代表
【题型2 利用勾股定理的基本计算】
【例2-1】．在中，，若，则等于（ ）
A．4 B．16 C．20 D．25
【变式2-1】．如图，用篱笆围一个直角三角形花田，若，米，米，则边需要的篱笆长为（ ）
A．6米 B．5米 C．4米 D．3米
【变式2-2】．若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三边长为 ．
【变式2-3】．如图是一台手机支架的示意图，，可分别绕点，转动，测得，，若，，垂足为点，，则点到的距离为 ．
【题型3 已知两点坐标求两点距离】
【例3-1】如图，已知和四点在同一条直线上，，且，现将沿直线方向左右平移，则平移过程中的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】．在平面直角坐标系中，有一定点，一动点，当线段最短时，点的坐标为 ．
【变式3-2】．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是．
(1)将向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到，请画出；
(2)请画出关于y轴对称的；
(3)直接写出的长度．
【变式3-3】．在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），请解答下列问题．
(1)画出关于y轴对称的；
(2)在x轴上存在点P，使得最小，在图中画出点P的位置；
(3)在（2）的条件下求出此时的周长．
【题型4 利用勾股定理求线段长度】
【例4-1】．如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位管处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】．定义：如图，点把线段分割成，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点．已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，则的长为 ．
【变式4-2】．“赵爽弦图”中，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，这个风车的外围周长（虚线部分）为76，则 ．
【变式4-3】．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．某校八年级（1）班的小明和小亮为了测得风筝的垂直高，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.65米．
(1)求风筝的垂直高度；
(2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【题型5 利用勾股定理求面积】
【例5-1】．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B．12 C．10 D．8
【变式5-1】．小金同学在学习了课本第78页阅读材料《从勾股定理到图形面积关系的拓展》之后，进一步探索：如图1，以的各边为边分别向外作等边三角形，再把较小的两个等边三角形纸片放置在最大的等边三角形内的和处，如图2所示．若要求的面积，则只需知道（ ）的面积．
A． B．四边形
C．四边形 D．四边形
【变式5-2】．如图，在中，，，以斜边和直角边为直径的半圆面积分别记为、，则 ．（结果保留π）
【变式5-3】．如图，以的三边为斜边，向外作等腰直角三角形，其面积分别是，且，，当 时，．
【题型6 勾股定理与无理数】
【例6-1】．如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是1，于点B，且，以点A为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（　　）
A． B． C． D．
【变式6-1】．如图，已知正方形的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为．现以点A为圆心，以的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】．综合与实践
如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．
(1)图2中A、B两点表示的数分别为______，_____．
(2)请你参照上面的方法：
①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长_____；（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）
②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上用点M表示数．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法．）
【变式6-3】．如图，方格中每个小正方形的边长都为1．
(1)图①中正方形的面积为 ，边长为 ；
(2)在图②的数轴上，用尺规准确地找出表示实数的点P的位置．
【题型7 勾股树】
【例7-1】．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．1
【变式7-1】．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，那么“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　）
A．2024 B．2023 C． D．
【变式7-2】．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．1012 B．2024 C．2025 D．2026
【变式7-3】．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正方形E的面积是 ，正方形F的面积是 ，正方形G的面积是 ．
【题型8 以弦图为背景的计算】
【例8-1】．如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形（赵爽弦图），连接，交、分别于点，，连接，已知，且，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．5 C． D．10
【变式8-1】．我国是最早了解勾股定理的国家之一，在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两条直角边长分别为m、n，则 ．
【变式8-2】．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．
(1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理；
(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为80，，求该飞镖状图案的面积；
(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求．
【变式8-3】．第十四届国际数学教育大会于2021年在上海举办，其大会标识（如图1）的中心图案是赵爽弦图（如图2），它是我国古代数学家赵爽证明勾股定理而创制的一幅图，其证明思路是用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，请你用等面积法探究下列问题：
(1)如图2是赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，请用它验证勾股定理：；
(2)如图3，在中，，是边上的高，，求的长度．
【题型9 利用勾股定理解三角形】
【例9-1】．如图，中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，、、上，且、之间的距离为1，、之间的距离为3，则的长是（ ）
A． B． C． D．7
【变式9-1】．如图，中，，，．点是线段上的一个动点，则的最小值为 ．
【变式9-2】．如图，解放广场的草坪上有，，CD，DA，AC五条小路，且，，，．
(1)求小路的长度；
(2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点O处，小狗从点O开始以的速度在小路上沿O→C→A的方向奔跑，跑到点A时停止，设奔跑中小狗的位置为点Q，小狗奔跑的时间为．
①若淇淇手中和小狗身上分别有一个信号器，当两个信号器的距离不超过时，可以接收到彼此发出的信号，当小狗在小路上奔跑时，求两个信号器可以接收到彼此发出信号的时长；
②当为以为腰的等腰三角形时，直接写出t的值．
【变式9-3】．如图，，，，垂足分别为，．
(1)求证：；
(2)若，，则________，________．（无需解答过程）
【题型10利用勾股定理证明线段关系】
【例10-1】．如图，在等边三角形中，在边上（不包含A、C）取两点M、N，使，若，则x，m，n满足的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-1】．在学习等腰直角三角形的过程中，小宛同学遇到了一个问题：在等腰直角中，，，点为线段BC上任意一点，试说明，，之间的数量关系．小宛的思路是：首先过点作的垂线，再构造与全等的三角形，从而转化，，使问题得到解决．请根据小宛的思路完成下面的作图与填空：
尺规作图：过点作的垂线，在上方的直线上截取，连接，（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法、结论）．
证明：为等腰直角三角形，，，
，
，
______，
在和中，，
，
，______，
，
，
，
在中，，，
在中，，______，
又，
，
．
【变式10-2】．如图，在中，，，点是斜边上的动点，点在直线上，满足，于点，设．

(1)当时，求的度数（用含有的代数式表示）．
(2)当时，请用一个等式表示线段与之间的数量关系，并说明理由．
(3)当时，请用一个等式直接写出线段，，之间的数量关系．
【变式10-3】．如图，中，．
(1)图1中，若，，则边上的高的长为______；
(2)在图2中尺规作图：在线段上找一点P，使得，画出点P的位置并说明理由．
【题型11 利用勾股定理求最值】
【例11-1】．如图，在中，，．若点P在边上移动，则的最小值是（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．4.8
【变式11-1】．如图，有一个圆柱形油罐，其底面周长是，高为，现在要以点A为起点环绕油罐表面建梯子，终点正好建在位于点A正上方的点B处，则所修梯子的长最少为（ ）
A． B． C． D．
【变式11-2】．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是 ．
【变式11-3】．如图，在中，点D是中点，
(1)求证：是等边三角形．
(2)点分别是上任意一点，连接，若，则的最小值为_______．
【例12-1】．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)找一格点C，使为等腰直角三角形．
(2)找一格点D，使为等腰钝角三角形．
(3)在直线上找一点E，连接，使平分．
【变式12-1】．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位．
(1)在图①中画出一个以为一边，面积为12的三角形；
(2)在图②中画出一个以为腰的等腰三角形．
【变式12-2】．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点，点在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写画法．
(1)在图①中找一格点，连结AB，使线段；
(2)在图②中画出等腰，点、在格点上，使为顶角且；
(3)在图③中画出等腰，点、在格点上，使为顶角且腰长为5，则这个三角形的面积是______．
【变式12-3】．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，和的顶点都在格点上．求证：．

【题型13 利用勾股定理解决折叠问题】
【例13-1】．在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（　　）．
A． B． C．4 D．
【变式13-1】．小明在帮妹妹完成手工作业的时候发现了其中的数学问题，如图，在中，，，，沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，再次折叠，使点与点重合，折痕交于点E，则的长度为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式13-2】．如图，长方形中，，，，把它沿折叠，使得点D与点B重合，点C落在点M的位置上．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积；
(3)若，为等边三角形，直接写出的长．
【变式13-3】．长方形在平面直角坐标系中的位置如图，已知点的坐标为，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处．
(1)点的坐标为______，点的坐标为______；
(2)求和的长；
(3)求四边形的面积．
【题型14 构造勾股定理图形解决问题】
【例14-1】．跨学科一束光线从轴上一点出发，经过轴上点，然后反射经过点，则光线从点到点经过的路线长是 ．
【变式14-1】．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．
(1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，．
①用含m的代数式表示 ，用含n的代数式表示 ；
②据此写出的最小值是 ；
(2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是 ；
(3)【感悟探索】
①已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值；
②若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积是 ．
【变式14-2】．2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．为庆祝这一喜讯，郑州市新湖社区举办了名为“郑好遇见，大美非遗”的创意文化市集，诸多非遗有关文化项目集中亮相．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程：
①先测得放飞点与风筝的水平距离的长为8米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为10米；
③牵线放风筝的手离地面的距离为1.5米．
已知点在同一平面内．
(1)求风筝离地面的垂直高度；
(2)在测高的过程中涵涵提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升9米，长度不变，能否成功呢？请你帮助解决涵涵提出的问题．
【变式14-3】．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范．
(1)如图1，某同学制作了一个“赵爽弦图”纸板，设，，．
①请你利用图1验证：；
②若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求．
(2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
(3)已知在中，，，，求的面积．
2024-2025人教版八年级数学下大单元结构化整合系列
17.1 勾股定理十四大题型解题技巧（解析版）
知识点一 勾股定理
文字描述：
在直角三角形中， 两直角边的平方的和等于斜边的平方 。
几何语言：
如图。若直角三角形的两直角边分别是，斜边是，则有：
。
变形式： ；
；
。
知识点二 勾股定理的验证
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
　　　 图（1）中，所以．
　　　　　
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
　　　　 　　图（2）中，所以．
　　　　　　
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
　　　　　　
　　　　 ，所以．
题型归纳
题型突破、典例精析
【题型1 勾股定理的证明】
【例1-1】．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第117页的部分内容．
把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点、、在同一条直线上，利用此图的面积表示式证明勾股定理．
(1)请结合图①，写出完整的证明过程；
(2)如图②，等腰直角三角形，，，是射线上一点，以为直角边在边的右侧作，使，．过点，作于点，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）先证是等腰直角三角形，由面积和差关系可得，再用三角形边长表示，进而整理变形即可得结论；
（2）由等腰直角三角形的性质可求，由可证，可得，，由勾股定理可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴=，
∴．
（2）解：如图②，过点作于，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式1-1】．勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，其中一个有趣的证法如下：把两个全等的直角三角形（如图1放置，，点在边上，现设两直角边长分别为、，斜边长为，请用、、分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理，
(1)请根据上述图形的面积关系证明勾股定理；
(2)如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距16千米，为两个村庄（看作直线上的两点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为_____千米．
(3)在（2）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站，使得，请在图2中作出点的位置并求出的距离．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)
(3)
【分析】本题主要考查勾股定理的证明，勾股定理与最短路径的计算方法，
（1）根据全等三角形的性质可得，则，分别用含的式子，结合图形表示出梯形、四边形、的面积，根据，代入计算即可求解；
（2）如图所示，连接，作于点，可得，的长，在中，运用勾股定理可得，由此即可求解；
（3）连接作的垂直平分线交于点，设，则，运用勾股定理可得，，再根据，代入计算即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，，
∴，则，
∴，，，
∵，
∴，整理得，；
（2）解：如图所示，连接，作于点，
∵，，
∴，
∴，
∴在中，，
故答案为：；
（3）解：如图所示，设，则，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
两边同时平方得，，
解得，，
∴．
【变式1-2】．阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”这句话的意思是如果直角三角形的两直角边的长分别为3和4，那么斜边的长为5．上述记载表明：在中，如果，，，，那么a，b，c，之间的数量关系是____．对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整：证明：∵，，，且______，∴____________．整理，得，∴．
任务：
(1)补全材料中的填空．
(2)如图3，在中，是边上的高，，，．设，求x的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】此题考查了勾股定理的证明和勾股定理的应用．
（1）根据题意得到，则．整理得，即可得到结论；
（2）利用勾股定理得到，得到，解方程即可．
【详解】（1）证明：∵，，，
且，
∴．
整理，得，
∴．
（2）解：由题意可得，，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴，
即
解得
【变式1-3】《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是证明了勾股定理和对勾股算术算法进行了推广．书中的证明方法是将4个三边长分别为，，的全等直角三角形拼成如图1所示的五边形，然后通过添加辅助线，用面积法证明勾股定理．下面是小华给出的相关证明：
如图2，延长交_____①_____于点．用两种不同的方法表示五边形的面积：方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则_____②_____．方法二：将五边形看成是由_____③_____，正方形，，拼成，则．根据面积相等可以得到_____④_____，即． 　
则下列说法错误的是（ ）
A．①代表 B．②代表
C．③代表正方形 D．④代表
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，根据题意用两种方法表示出S，然后根据两种表示方法表示的相等，即可得到结论．
【详解】解：如图所示，延长交于G，
方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则；
方法二：将五边形看成是由正方形，正方形，，拼成，则 ，
根据面积相等可以得到，即，
故选：C．
【题型2 利用勾股定理的基本计算】
【例2-1】．在中，，若，则等于（ ）
A．4 B．16 C．20 D．25
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．根据勾股定理求得，代入式子即可求解．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【变式2-1】．如图，用篱笆围一个直角三角形花田，若，米，米，则边需要的篱笆长为（ ）
A．6米 B．5米 C．4米 D．3米
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理计算即可．
【详解】解：在中，，
米，米，
（米），
边需要的篱笆长为3米．
故选：D．
【变式2-2】．若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三边长为 ．
【答案】5或
【分析】此题考查勾股定理，由题意这两条边可以为直角边，也可以是一条直角边一条斜边，从而分两种情况利用勾股定理进行解答．
【详解】解：分两种情况：
① 3、4都为直角边，由勾股定理得，斜边为；
② 3为直角边，4为斜边，由勾股定理得，直角边为．
故答案为：5或．
【变式2-3】．如图是一台手机支架的示意图，，可分别绕点，转动，测得，，若，，垂足为点，，则点到的距离为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理应用，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．连接，根据勾股定理得到，根据垂直的定义得到，根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到结论．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点D到的距离为，
故答案为：
【题型3 已知两点坐标求两点距离】
【例3-1】如图，已知和四点在同一条直线上，，且，现将沿直线方向左右平移，则平移过程中的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图所示，过点作于点，过点作于点，设交于点，证明，得出，以直线为轴，为轴建立平面直角坐标系，勾股定理求得的长，进而转化为到和的距离的和，作关于轴的对称点，求得的长，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点，设交于点，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
以直线为轴，为轴建立平面直角坐标系，如图所示，
依题意，，则，
，则，
设，
∵
∴
∴
即到和的距离的和
如图所示，作关于轴的对称点
∴ 的长为的最小值，最小值为．
故选：D ．
【点睛】本题考查了等腰三角的性质，全等三角形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质求线段和的最值问题，坐标与图形，转化线段的长为的长是解题的关键．
【变式3-1】．在平面直角坐标系中，有一定点，一动点，当线段最短时，点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查两点间的距离公式和非负数的性质，将的值化简为非负数，进而得到最小值是解题的关键．
先根据两点间距离公式得到，根据非负数的性质可得当的值最小，进而求出点P的坐标．
【详解】解：，
，
整理得：，
∴当时，的值最小，即的值最小，此时，
∴点P的坐标为．
故答案为：．
【变式3-2】．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是．
(1)将向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到，请画出；
(2)请画出关于y轴对称的；
(3)直接写出的长度．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据平移的方式进行作图即可；
（2）根据与关于轴对称作图即可；
（3）根据题意可得，，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所示；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：由题意知，，，
∴，
∴
【点睛】本题考查了平移作图，轴对称作图，勾股定理的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【变式3-3】．在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），请解答下列问题．
(1)画出关于y轴对称的；
(2)在x轴上存在点P，使得最小，在图中画出点P的位置；
(3)在（2）的条件下求出此时的周长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查轴对称作图，轴对称的性质，两点间的距离公式，掌握轴对称作图与性质是解题的关键．
（1）先作出点A、B、C关于y轴的对称点，然后顺次连接即可；
（2）作点B关于x轴的对称点，连接与x轴交点P即为所求，因为，由两点之间线段最短即可求解；
（3）的周长转化为，再根据两点间距离公式求解．
【详解】（1）解：如图，即为所求：
（2）解：如图，点P即为所求；
（3）解：由题意得，周长为，
由题意得，，
∴，，
∴周长为．
【题型4 利用勾股定理求线段长度】
【例4-1】．如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位管处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点作于点，摆绳与地面的垂点为，由勾股定理得到，进而得出，证明，得到，进而求出，即可得到答案．
【详解】解：如图，过点作于点，摆绳与地面的垂点为，
由题意可知，，，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
即小丽在处时距离地面的高度是，
故选：A．
【变式4-1】．定义：如图，点把线段分割成，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点．已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，则的长为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了勾股定理， 根据题意需分类讨论：①当为最长线段时，由勾股定理求出；②当 为最长线段时，由勾股定理求出即可．
【详解】解：，
,
设则，
①当为最长线段时，
可得，可得，
解得；
②当为最长线段时，
可得，可得，
解得；
故答案为：或．
【变式4-2】．“赵爽弦图”中，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，这个风车的外围周长（虚线部分）为76，则 ．
【答案】5
【分析】本题考查勾股定理在实际情况中应用，解题关键是注意运用隐含的已知条件来解答此类题．
根据风车外围的周长可求出“数学风车”的斜边，再通过勾股定理可将“数学风车”的直角边求出．
【详解】解：根据题意，得，
∴，
，
，即，
，
故答案为：5．
【变式4-3】．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．某校八年级（1）班的小明和小亮为了测得风筝的垂直高，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.65米．
(1)求风筝的垂直高度；
(2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【答案】(1)21.6米
(2)8米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，用勾股定理解三角形，准确运用勾股定理是解题的关键．
（1）先根据勾股定理求出来的长，然后加上小明的身高即可；
（2）先根据降低的高度求出的长，然后根据勾股定理求出的长，然后用风筝线长减去的长即可求出结果．
【详解】（1）在中，
由勾股定理得，
由，得
米．
∴风筝的垂直高度为米；
（2）如图，设下降后的点为F，
∵
∴，
在中
由勾股定理得，．
由得．
米，
他应该往回收线8米．
【题型5 利用勾股定理求面积】
【例5-1】．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B．12 C．10 D．8
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理得出，即，再根据可得出的值，即可求解．
【详解】解：由勾股定理得：，即，
，
，
由图形可知，阴影部分的面积为，
故选：A．
【变式5-1】．小金同学在学习了课本第78页阅读材料《从勾股定理到图形面积关系的拓展》之后，进一步探索：如图1，以的各边为边分别向外作等边三角形，再把较小的两个等边三角形纸片放置在最大的等边三角形内的和处，如图2所示．若要求的面积，则只需知道（ ）的面积．
A． B．四边形
C．四边形 D．四边形
【答案】B
【分析】本题考查的是勾股定理，设、、处面积分别为，，，的面积为，由勾股定理可得，由面积和差关系可求解．
【详解】解：设、、处面积分别为，，，的面积为，
，
，
要求的面积，则只需知道四边形的面积．
故选：B．
【变式5-2】．如图，在中，，，以斜边和直角边为直径的半圆面积分别记为、，则 ．（结果保留π）
【答案】
【分析】根据题意，得，，根据勾股定理，得，代入解答即可．
本题考查了圆的面积，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，，
∴
∵，
∴，
故答案为：．
【变式5-3】．如图，以的三边为斜边，向外作等腰直角三角形，其面积分别是，且，，当 时，．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质．根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得、，如果是等腰直角三角形，则有，根据等腰直角三角形的性质可得，根据三角形的面积公式可求．
【详解】解：如下图所示，
若，则有，
是等腰直角三角形，
，，
又，
，
，
，
同理可得：，
，
是等腰直角三角形，
，，
．
故答案为： ．
【题型6 勾股定理与无理数】
【例6-1】．如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是1，于点B，且，以点A为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴；
利用勾股定理求出，可得的长，然后根据数轴可得答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴点D表示的数为，
故选：C．
【变式6-1】．如图，已知正方形的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为．现以点A为圆心，以的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是解题的关键．
根据正方形的边长是面积的算术平方根得，再根据勾股定理可得，再结合A点所表示的数及间距离可得点E所表示的数．
【详解】解：∵正方形的面积为5，
∴，
∴
∵点A表示的数是，且点E在点A的右侧，
∴点E表示的数为．
故选：A．
【变式6-2】．综合与实践
如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．
(1)图2中A、B两点表示的数分别为______，_____．
(2)请你参照上面的方法：
①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长_____；（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙）
②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上用点M表示数．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法．）
【答案】(1)，
(2)①作图见解析，；②作图见解析
【分析】本题主要考查了数轴上的点表示无理数，
对于（1），根据勾股定理求出对角线的长，以原点为圆心，对角线长为半径画弧，即可得出答案；
对于（2）①，将图3分成4个直角三角形和1个小正方形，再图4中拼成正方形，进而得出正方形的边长；
②以数1为圆心，对角线为半径在右侧画弧，与数轴交点即为所求作.
【详解】（1）解：对角线的长为，
所以点A，点B表示的数是；
故答案为：；
（2）解：①如图所示，
正方形的面积为5，所以边长；
故答案为：；
②如图所示，点M即为所求作．
【变式6-3】．如图，方格中每个小正方形的边长都为1．
(1)图①中正方形的面积为 ，边长为 ；
(2)在图②的数轴上，用尺规准确地找出表示实数的点P的位置．
【答案】(1)17，
(2)见解析
【分析】本题考查了勾股定理的应用，实数与数轴以及尺规作图:
（1）由勾股定理可求正方形的边长，即可求正方形的面积；
（2）连接，由勾股定理求出，再以点O为圆心，长为半径画弧，交数轴于点P，即可得解．
【详解】（1）解：由勾股定理得：，
∴正方形的面积为，
故答案为：17，；
（2）解：如图②，连接，
由勾股定理得：，
以点O为圆心，为半径画弧，交数轴于点P，
点P即为所求．
【题型7 勾股树】
【例7-1】．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．1
【答案】A
【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．
【详解】解：如图，
由题意得，正方形的面积为1，
由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积，
“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，
“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，
“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为，
故选：A
【变式7-1】．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，那么“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　）
A．2024 B．2023 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理以及规律型：图形的变化类，根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．
【详解】解：由题意得，正方形A的面积为1，
由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积，
“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，
“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，
以此类推，“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2024，
故选A．
【变式7-2】．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．1012 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】C
【分析】本题考查的是勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．
【详解】解：如图，由题意得，正方形的面积为，由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积为，
“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，
“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，
……
“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025，
故选：C．
【变式7-3】．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正方形E的面积是 ，正方形F的面积是 ，正方形G的面积是 ．
【答案】 8 5 13
【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，解题的关键是熟练应用勾股定理求得正方形的边长．先由正方形A，B，C，D的面积分别为3，5，2，3，得到对应的边长分别为，然后利用勾股定理求得正方形的边长分别为，从而求得正方形和的面积，正方形的边长，即可得到正方形的面积．
【详解】解：正方形A，B，C，D的面积分别为3，5，2，3，
正方形A，B，C，D的边长分别为，
由勾股定理得，正方形的边长为，正方形的边长为，
正方形的面积为8，正方形的面积为5，正方形的边长为，
正方形的面积为13，
故答案为：8，5，13．
【题型8 以弦图为背景的计算】
【例8-1】．如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形（赵爽弦图），连接，交、分别于点，，连接，已知，且，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．5 C． D．10
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的证明．根据正方形的面积可得正方形边长的平方，设，则，根据勾股定理可得的平方的值，再根据题意可得，然后可得阴影部分的面积之和为梯形的面积．
【详解】解：，
，
设，
则，
，
，
根据题意可知：
，，
，
，
，
阴影部分的面积之和为：
．
故选：B．
【变式8-1】．我国是最早了解勾股定理的国家之一，在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两条直角边长分别为m、n，则 ．
【答案】12
【分析】本题考查了勾股定理，以及完全平方式，由题意可得，，，进而可得．
【详解】解：∵大正方形的面积是25，
∴，
∵小正方形的面积是1，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：12．
【变式8-2】．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．
(1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理；
(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为80，，求该飞镖状图案的面积；
(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求．
【答案】(1)见解析
(2)120
(3)9
【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程．
（1）依据图1中的大正方形的面积可以用四个三角形面积和中间小正方形面积之和表示，也可以用直角三角形斜边的边长表示，即可得；
（2）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；
（3）设每个三角形的面积都为y，则，，即可得，根据，即可得．
【详解】（1）解：根据题意得，
，
则；
（2）解：∵四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为80，
∴，
设，则，
由勾股定理可得，，
，
，
解得：，
∴，
∴该飞镖状图案的面积是；
（3）解：设每个三角形的面积都为y，
∴，，
∴，
又∵，
∴．
【变式8-3】．第十四届国际数学教育大会于2021年在上海举办，其大会标识（如图1）的中心图案是赵爽弦图（如图2），它是我国古代数学家赵爽证明勾股定理而创制的一幅图，其证明思路是用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，请你用等面积法探究下列问题：
(1)如图2是赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，请用它验证勾股定理：；
(2)如图3，在中，，是边上的高，，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了勾股定理、以弦图为背景的计算题、等面积法等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先用两种方法表示出图形的面积，然后整理即可；
（2）由勾股定理可得，再运用等面积的方法解答即可．
【详解】（1）解：∵外面大正方形的面积，里面小正方形的面积个直角三角形的面积，
∴，整理，得．
（2）解：在中，，，
由勾股定理，得：，
是边上的高，
，
∴．
【题型9 利用勾股定理解三角形】
【例9-1】．如图，中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，、、上，且、之间的距离为1，、之间的距离为3，则的长是（ ）
A． B． C． D．7
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的全等的判定和性质，证得是解答本题的关键．作于D，作于E，再证明，因此可得，再结合勾股定理求得，然后再根据勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图：作于D，作于E，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
在中，根据勾股定理得：．
故选：A．
【变式9-1】．如图，中，，，．点是线段上的一个动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理，垂线段最短，勾股定理求出的长，根据垂线段最短结合等积法求出的最小值即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵点是线段上的一个动点，
∴当时，的值最小，
此时：，
∴，
∴；
故答案为：．
【变式9-2】．如图，解放广场的草坪上有，，CD，DA，AC五条小路，且，，，．
(1)求小路的长度；
(2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点O处，小狗从点O开始以的速度在小路上沿O→C→A的方向奔跑，跑到点A时停止，设奔跑中小狗的位置为点Q，小狗奔跑的时间为．
①若淇淇手中和小狗身上分别有一个信号器，当两个信号器的距离不超过时，可以接收到彼此发出的信号，当小狗在小路上奔跑时，求两个信号器可以接收到彼此发出信号的时长；
②当为以为腰的等腰三角形时，直接写出t的值．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，关键是勾股定理的熟练应用．
（1）先根据勾股定理求出，再由勾股定理求出即可得到答案；
（2）①由点到直线距离垂线段最短，过O作于B，如图所示，利用等面积法即可得到，在中，由勾股定理求出，即可得到小狗奔跑的路程，从而得到小狗奔跑的时间为；
②由①中求解过程，结合为以为腰的等腰三角形，分两种情况：；；分类讨论求解即可得到答案．
【详解】（1）在中，，，，则由勾股定理可得
在中，，，，则由勾股定理可得
∴小路的长度；
（2）①由点到直线距离垂线段最短，过O作于B，如图所示：
∴在中，，
则
解得，
当时，在中，根据勾股定理得，，
当小狗在上时，两个信号器可以接收到信号的路程为，
小狗的速度为，
时长为
答：两个信号器可以接收到彼此发出信号的时长为；
②由①知，当时，，
是以为腰的等腰三角形，
分两种情况：
①当时，如图所示：
由等腰三角形性质可知，
∴小狗跑的路程为，
∵小狗以的速度奔跑，
∴小狗奔跑的时间为；
②当时，如图所示：
∴小狗跑的路程为，
∵小狗以的速度奔跑，
∴小狗奔跑的时间为；
∴当为以为腰的等腰三角形时，t的值为或．
【变式9-3】．如图，，，，垂足分别为，．
(1)求证：；
(2)若，，则________，________．（无需解答过程）
【答案】(1)见解析
(2)10，4
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（1）利用“”可证明；
（2）先利用全等三角形的性质得到，再利用勾股定理计算出，从而得到的长，然后计算即可．
【详解】（1）证明：，，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
在中，，
，
．
【题型10利用勾股定理证明线段关系】
【例10-1】．如图，在等边三角形中，在边上（不包含A、C）取两点M、N，使，若，则x，m，n满足的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理的应用，
将绕点B顺时针旋转得到，连接，根据全等三角形的性质得，进而说明，可得，接下来得出，可得答案．
【详解】如图所示．将绕点B顺时针旋转得到，连接，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
可知，
∴，
即．
故选：C．
【变式10-1】．在学习等腰直角三角形的过程中，小宛同学遇到了一个问题：在等腰直角中，，，点为线段BC上任意一点，试说明，，之间的数量关系．小宛的思路是：首先过点作的垂线，再构造与全等的三角形，从而转化，，使问题得到解决．请根据小宛的思路完成下面的作图与填空：
尺规作图：过点作的垂线，在上方的直线上截取，连接，（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法、结论）．
证明：为等腰直角三角形，，，
，
，
______，
在和中，，
，
，______，
，
，
，
在中，，，
在中，，______，
又，
，
．
【答案】图见解析，；；；．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是利用辅助线构造全等三角形，利用勾股定理得出线段平方关系．
根据题意作出图形，根据等腰直角三角形的性质得到，，进一步证明，得到，，从而证明，利用勾股定理分别表示出，，从证明结论．
【详解】解：如图，
证明：∵为等腰直角三角形，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
在中，，，
又∵，
∴，
∴．
【变式10-2】．如图，在中，，，点是斜边上的动点，点在直线上，满足，于点，设．

(1)当时，求的度数（用含有的代数式表示）．
(2)当时，请用一个等式表示线段与之间的数量关系，并说明理由．
(3)当时，请用一个等式直接写出线段，，之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)当时，；当时，
【分析】（1）根据等边对等角可得，，进而根据三角形的外角的性质得出；
（2）过点作交的延长线于点，交于点，根据平行线的性质以及余角的定义得出，则，等量代换得出，证明得出，进而根据是等腰直角三角形，得出，即可得证；
（3）当时，由（2）可得是等腰直角三角形，，根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可得，，在中，勾股定理得出关系式；当时，先证明，同理可得，，之间的数量关系．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵是的一个外角，
∴；
（2）解：如图所示，过点作交的延长线于点，交于点，

∵，即，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在中，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：当时，
如图所示，

设，，
由（2）可得是等腰直角三角形，，
∴，，
在中，，
∴
当时，如图所示，过点作于点，

∵，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴,
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
设，，
∴，，
在中，，
∴，
当时，，等式仍然成立，
∴当时，，
综上所述，当时，；当时，．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理与三角形的外角的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式10-3】．如图，中，．
(1)图1中，若，，则边上的高的长为______；
(2)在图2中尺规作图：在线段上找一点P，使得，画出点P的位置并说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理．
（1）由勾股定理得，，根据，可得答案；
（2）作线段的垂直平分线，交于点P，连接，由线段垂直平分线的性质可得，在中，由勾股定理得，，即可得，可知点P即为所求．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）解：如图2，作线段的垂直平分线，交于点P，连接，
则点P即为所求，理由如下：
∵直线为线段段的垂直平分线，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
即点P符合题意．
【题型11 利用勾股定理求最值】
【例11-1】．如图，在中，，．若点P在边上移动，则的最小值是（ ）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．4.8
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形的面积等知识，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键．
作于点D，如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求出，根据垂线段最短可知：当时，最小，再利用三角形的面积求解即可．
【详解】解：作于点D，如图，
∵，，
∴，，
根据垂线段最短可知：当时，最小，
则由，
可得，
解得；
即线段的最小值是．
故选：D．
【变式11-1】．如图，有一个圆柱形油罐，其底面周长是，高为，现在要以点A为起点环绕油罐表面建梯子，终点正好建在位于点A正上方的点B处，则所修梯子的长最少为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是平面展开 最短路径问题，根据题意画出图形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．把圆柱沿侧面展开，连接，再根据勾股定理即可得出结论．
【详解】解：如图，
在中，，
，
所修梯子的长最少为，
故选：．
【变式11-2】．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是 ．
【答案】25
【分析】本题主要考查两点之间线段最短，勾股定理，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：
长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5，
，，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：
长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5，
，，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：
长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5，
，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
；
，
蚂蚁爬行的最短距离是25，
故答案为：25.
【变式11-3】．如图，在中，点D是中点，
(1)求证：是等边三角形．
(2)点分别是上任意一点，连接，若，则的最小值为_______．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查等边三角形判定，全等三角形判定及性质，勾股定理．
（1）证明，再利用全等性质即可得到本题答案；
（2）过作于，交于，此时有最小值，且等于，再证明，再利用勾股定理求出，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵点D是中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：过作于，交于，此时有最小值，且等于，
∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【题型12 利用勾股定理解决网格问题】
【例12-1】．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)找一格点C，使为等腰直角三角形．
(2)找一格点D，使为等腰钝角三角形．
(3)在直线上找一点E，连接，使平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图-应用设计作图，勾股定理，勾股定理逆定理等，熟记等腰三角形性质是解题的关键．
（1）根据等腰直角三角形定义结合网格特点作图即可；
（2）根据等腰三角形及钝角三角形结合网格作图即可；
（3）根据等腰三角形三线合一性质作图即可．
【详解】（1）解：根据网格对角线可得，
∴找到格点，如下图所示：
，
此时，，
∵，
∴，即为等腰直角三角形；
（2）解：如下图所示，格点如下：
；
（3）解：连接，即正方形对角线，即平分，如下图所示：
．
【变式12-1】．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位．
(1)在图①中画出一个以为一边，面积为12的三角形；
(2)在图②中画出一个以为腰的等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要几何图形的变换，理解题意，根据图形的面积公式及等腰三角形的定义即可求解，解题的关键就是对图形性质的理解．
（1）根据三角形的面积为，由，可先构造高为4的三角形，即可；
（2）直接取格点，使或即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形；（答案不唯一）
（2）解：如图，即为所求作的三角形．（答案不唯一）
【变式12-2】．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点，点在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写画法．
(1)在图①中找一格点，连结AB，使线段；
(2)在图②中画出等腰，点、在格点上，使为顶角且；
(3)在图③中画出等腰，点、在格点上，使为顶角且腰长为5，则这个三角形的面积是______．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)10或．
【分析】（1）利用网格结合勾股定理画图即可；
（2）结合等腰三角形的判定，画以为顶角且底边为2，高为2的等腰三角形或者画底边为，高为的等腰三角形即可；
（3）结合勾股定理画出等腰，使即可；利用三角形面积公式或者割补法算出三角形面积．
【详解】（1）解：如图所示，点即为所求．
（2）解：如图所示， 即为所求．
（3）解：如图所示，即为求．
三角形面积：或．
故答案为：10或
【点睛】本题主要考查了作图——应用与设计作图、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定、勾股定理是解答本题的关键．
【变式12-3】．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，和的顶点都在格点上．求证：．

【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理的运用，验证两个三角形的对应边相等是解题的关键．利用勾股定理可分别求出两个三角形的各个边长，再验证对应边相等即可证明．
【详解】证明：由网格特点得，，，，，，
∴，，，
∴，
∴．
【题型13 利用勾股定理解决折叠问题】
【例13-1】．在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（　　）．
A． B． C．4 D．
【答案】B
【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，角平分线的性质，过点作，可得，设，勾股定理求出的长，表示出的长，等积法列出方程求出的值即可．
【详解】解：过点作，
∵长方形，
∴，
∵平分，
∴，
由翻折可得，
由勾股定理，得：，
设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
故选：B．
【变式13-1】．小明在帮妹妹完成手工作业的时候发现了其中的数学问题，如图，在中，，，，沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，再次折叠，使点与点重合，折痕交于点E，则的长度为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．
根据题意可得，，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处，，
∴，，
∵折叠纸片，使点C与点D重合，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，，
则，
∴，
解得，
即，
故选：B．
【变式13-2】．如图，长方形中，，，，把它沿折叠，使得点D与点B重合，点C落在点M的位置上．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积；
(3)若，为等边三角形，直接写出的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查翻折变换的性质、等腰三角形的判定及勾股定理，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．
（1）已知，，根据折叠的性质得到，，，求得，根据全等三角形的判定定理得到结论；
（2）设，根据折叠的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论∶
（3）根据折叠的性质得到，为等边三角形，可得．则可求出、的长，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：长方形沿折叠，
，，，．
，
．
，
．
．
．
在和中
．
（2）解：，
长方形沿折叠，
，
在中，
，即．
解得：，即．
则
，
．
．
．
．
（3）解：长方形沿折叠，
．
为等边三角形，
．
，
．
，
．
，
，．
【变式13-3】．长方形在平面直角坐标系中的位置如图，已知点的坐标为，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处．
(1)点的坐标为______，点的坐标为______；
(2)求和的长；
(3)求四边形的面积．
【答案】(1)；
(2)，
(3)
【分析】本题考查了平面直角坐标系、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）结合长方形的性质和点的坐标，即可解答；
（2）由折叠的性质得，，在利用勾股定理求出的长，得到的长，设，在中利用勾股定理建立方程解出的值，得到的长，即可解答；
（3）利用四边形的面积即可求解．
【详解】（1）解：长方形，点的坐标为，
，，
点的坐标为，点的坐标为．
故答案为：；．
（2）解：由折叠的性质得，，，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，即，
综上所述，，．
（3）解：由（2）得，，
，
由折叠的性质得，，
四边形的面积
，
四边形的面积为．
【题型14 构造勾股定理图形解决问题】
【例14-1】．跨学科一束光线从轴上一点出发，经过轴上点，然后反射经过点，则光线从点到点经过的路线长是 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理，轴对称的知识．根据题意，作点关于的对称点交轴于点，则，，过点作轴，根据点，可得，，根据勾股定理，求出，即可．
【详解】解：作点关于的对称点交轴于点，
∴，，
过点作轴，
∵点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴光线从点到点经过的路线长是．
故答案为：．
【变式14-1】．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．
(1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，．
①用含m的代数式表示 ，用含n的代数式表示 ；
②据此写出的最小值是 ；
(2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是 ；
(3)【感悟探索】
①已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值；
②若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积是 ．
【答案】(1)①，；②5
(2)20
(3)①见解析，；②
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，也考查了勾股定理和类比的方法．
（1）①利用勾股定理可得和的长；
②利用三角形三边的关系得到（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出，从而得到结论；
（2）利用（1）中的方法画出图形，设，，，，则，利用勾股定理得到，，；根据三角形三边的关系得到而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出即可得到代数式的最小值；
（3）①利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长为1的正方形，再利用两点之间线段最短即可得出结论；
②利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长，的长方形，利用勾股定理构图解答即可．
【详解】（1）解：①在中，，
在中，，
故答案为：，；
②连接，
由①得，
而（当且仅当C、E、D共线时取等号），
作交的延长线于H，如图1，易得四边形为长方形，
∴，，
在中，，
∴的最小值为5，
即的最小值是5；
故答案为：5；
（2）解：如图，
设，，，，则，
在中，，
在中，；
∴，
而（当且仅当C、E、D共线时取等号），
作交的延长线于H，易得四边形为长方形，
∴，，
∴，
在中，，
∴的最小值为20，
即的最小值为20．
故答案为：20；
（3）解：画出边长为1的正方形，在边上截取出长为a，b，c的线段，作图如下：
则，，，，
∴，
利用两点之间线段最短可知：（当且仅当A、B、C、D共线时取等号），
∵，
∴的最小值为，
∴的最小值为；
②分别以，为边长作出长方形，则，，上取一点E，使，则，取的中点为F，连接，，，如图，
∴，，，，，
∴，
，
，
∴以，，为边的三角形的面积，
∵
，
∴以，，为边的三角形的面积为，
故答案为：．
【变式14-2】．2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．为庆祝这一喜讯，郑州市新湖社区举办了名为“郑好遇见，大美非遗”的创意文化市集，诸多非遗有关文化项目集中亮相．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程：
①先测得放飞点与风筝的水平距离的长为8米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为10米；
③牵线放风筝的手离地面的距离为1.5米．
已知点在同一平面内．
(1)求风筝离地面的垂直高度；
(2)在测高的过程中涵涵提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升9米，长度不变，能否成功呢？请你帮助解决涵涵提出的问题．
【答案】(1)7.5米
(2)能成功，见解析
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题．
（1）过点作于点，在中，根据勾股定理即可求解；
（2）假设能上升9米，作图，根据勾股定理可得米，再根据题意，即可求解．
【详解】（1）解：如图1所示，过点作于点，
则米，米，，
∴（米），
∴（米）；
（2）能成功，理由如下：
假设能上升9米，如图所示，延长至点，连接，
则米，
∴（米），
∴（米），
∵米，余线仅剩7.5米，
∴，
∴能上升9米，即能成功．
【变式14-3】．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范．
(1)如图1，某同学制作了一个“赵爽弦图”纸板，设，，．
①请你利用图1验证：；
②若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求．
(2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
(3)已知在中，，，，求的面积．
【答案】(1)①见解析，②
(2)新路比原路少千米；
(3)
【分析】本题主要考查了勾股定理的弦图、勾股定理的应用等知识点，灵活运用勾股定理成为解题的关键．
（1）①用两种不同的方法去求正方形的面积，然后整理即可解答．②利用①中发现的结论求解即可；
（2）设千米，则千米，然后运用勾股定理列方程可得，即千米，然后根据线段的和差即可解答；
（3）如图：作，垂足为H，设，，然后运用勾股定理列方程求得，即；再运用勾股定理求得，然后根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1）①证明：中间小正方形的边长为，
四个直角三角形的面积为：，
，
．
②解：由①可知，，
，
，
，
．
（2）解：设千米，
千米，
在中，根据勾股定理得：，
，解得，即千米，
（千米）．
答：新路CH比原路CA少0.2千米．
（3）解：如图：作，垂足为H，
设，
，
，，，，
∴在中，，在中，，
，即，解得：，
，
，
．
知识要点归纳
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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