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模型29 “中点四边形”模型
模型展现
1.任意四边形的中点四边形都是平行四边形；
2.对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形；对角线相等且互相垂直的四边形的中点四边形是正方形.
结论3：四边形EFGH是平行四边形
证明:∵ E,F分别是边AB,BC的中点,
∴EF为△ABC的中位线,
同理HG为 的中位线，∴
∴EF∥HG,且EF=HG,∴四边形 EFGH是平行四边形.
结论4
自主证明：
结论
自主证明：
模型解题三步法
例 如图,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,连接AC,BD,EF,FG,GH,HE.
(1)四边形 EFGH的形状为 ，若对角线， ，则四边形EFGH的周长是 ；
(2)当 时，四边形EFGH的形状为 ，若四边形 EFGH的周长为40，则四边形ABCD的对角线AC的长为 ；
(3)当AC与BD互相垂直且相等时，四边形 EFGH的形状为 ，若 ,则四边形 EFGH的面积为 ；
(4)当 时，四边形 EFGH 的形状为 ，若四边形 EFGH的周长为20，则四边形ABCD 面积的最大值为 .
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题以类解
1.如图，顺次连接四边形ABCD 各边中点得到四边形EFGH，使四边形EFGH为正方形，应添加的条件分别是( )
A. AB=CD且AC⊥BD
B. AC=BD且AC⊥BD
C. AB∥CD且AB=CD
D. AB∥CD且AC⊥BD
2.如图,在四边形 ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,若 则AC= ( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
3. 如图,已知菱形A1B1C1D1的面积为2,顺次连 接 菱 形 各 边 的 中 点 得 到 四 边 形A B C D ，记为第1次操作；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点得到四边形A2B2C2D2,记为第 2次操作;…;依次类推,则操作2024次后得到的四边形的面积为( )
4.如图，把矩形A B-CD 沿直线 AC 折叠,点 B 落在 E 处,连接DE.若BC=3,∠BAC=30°,则顺次连接四边形ADEC 各边中点，得到的四边形的形状为 ，面积为 .
5.我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.如图，四边形EFGH为四边形ABCD 的中点四边形.
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)已知点 P 是四边形ABCD 内一点,且 PC=PB,PA=PD,∠APD=∠BPC,请你判断四边形 EFGH的形状，并说明理由.
模型展现
结论4：自主证明：
∵四边形 EFGH 是平行四边形，
∴EF=GH,FG=EH,
∴ 四边形 EFGH 的周长为 EF+GH+FG+EH=2(EF+FG).
∵ EF,FG 分别是△ABC 和△BCD 的中位线，
结论5：自主证明：
∵ EF为△ABC 的中位线,GF 为△BCD 的中位线,HG 为△ACD 的中位线,EH 为△ABD的中位线,
∵S△ABC+S△BCD+S△ACD+S△ABD=2SP四边形ABCD,
S△AHE)
四边形ABCD·
模型解题三步法
例 (1)平行四边形，50 【解析】根据“中点四边形”模型可得：四边形 EFGH 是平行四边形,C四边形EFGH=AC+BD.∵AC=20,BD=30,∴C四边形EFGH=20+30=50;
(2)菱形，20 【解析】根据“中点四边形”模型可得：四边形 EFGH 是平行四边形，C四边形EFGH=AC+BD.∵AC=BD,∴四边形 EF-GH是菱形.∵四边形 EFGH 的周长为40,∴AC=20;
(3)正方形,9 【解析】如解图，根据“中点四边形”模型可得：四边形 EFGH是平行四边形.又∵AC=BD且AC⊥BD,∴EF=EH且EF⊥EH,∴四边形 EF-GH为正方形.若AC=6,则 正方形 EFGH 的面积为9;
(4)矩形，50 【解析】根据”中点四边形“模型可得：四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD,∴四边形 EFGH 是矩形.∵ 四边形 EFGH的周长为20，设EH的长为x，则相邻的边 EF为((10-x),∴S矩形EFGH=EH·EF=x·(10-x),+50,∵-2<0,0题以类解
1. B 【解析】找模型：是否存在相邻四边的中点：点E，F，G，H.中点是否构成四边形：四边形 EFGH.抽离模型:如解图,连接AC,BD.用模型：根据“中点四边形”模型得：四边形EFGH是平行四边形，要使平行四边形 EF-GH为正方形,需满足 EF=EH 且 EF⊥EH,当EF=EH时,AC=BD,当EF⊥EH时,AC⊥BD,∴应添加的条件是AC=BD且AC⊥BD.
2. A 【解析】找模型：是否存在相邻四边的中点：点E，F，G，H.中点是否构成四边形：四边形 EFGH. 构造模型:如解图,连接EF,FG,GH,EH,设点 O 为 EG 与 HF 的交点. 用模
根据“中点四边形”模型得：四边形 EFGH为平行四边形,∵AC=BD,∴ EF=FG,∴平行四边形 EFGH 为菱形,∴ EG⊥FH,EG=20G 2(负值已舍去),∴AC=2HG=4.
3. C 【解析】由中点四边形的面积是原四边形面积的一半可得第1 次操作后所得四边形的面积为1，第2次操作后所得四边形的面积为 ，第3次操作后所得四边形的面积为 第4次操作后所得四边形的面积为 ，由此规律(类比、归纳是初中很重要的数学思想方法)可得第 2024 次操作后所得四边形的面积为
4. 菱形; 【解析】如解图,设点 F,G,H,I分别为AD,AC,CE,ED的中点,过点 D 向AC作垂线，垂足为点 L.∵ 把矩形 ABCD 沿直线AC 折叠,点B落在点 E 处,∴ CD=AB=AE,顺次连接四边形 ADEC 各边中点.∵ F，G分别是AD,AC的中点, 同理FI= 又∵ DC=AE,∴ FI=IH=HG=FG,∴四边形 FGHI是菱形.
∵BC=3,∠BAC=30°,∴AC=2BC=6,AB= 在△ADC 中,AD· 设AE 与CD 交于点 M,在 △DMA 和 △EMC 中,
∴ DM = EM. ∵ ∠EAC = ∠BAC = 30°,
∠EAC+∠BAC=60°,∴ ∠MED =∠MDE =30°,∴ ∠MED =∠EAC,∠MED =∠DAE, (“中点四边形”模型).
5. (1)证明:如解图①,连接AC,
∵四边形 EFGH为四边形ABCD的中点四边形，
∴E,F,G,H分别是边AD,AB,BC,CD的中点,
∴EH∥FG,且EH=FG,
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形(“中点四边形”模型)；
(2)解:四边形 EFGH 是菱形,理由如下:如解图②,连接AC,BD,
即
又∵PA=PD,PC=PB,
∴△APC≌△DPB(SAS),
∴AC=DB.
∵四边形 EFGH 为四边形 ABCD 的中点四边形，
∴E,F,G,H分别是边 AD,AB,BC,CD 的中点，
∴EF,FG,GH,EH 分别是△ABD,△ABC,△BCD,△ACD的中位线 ,
(中位线的性质)，
∴EF=FG=GH=EH,
∴ 四边形 EFGH 为菱形.

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