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模型32 对角互补模型
基础模型
类型 90°的对角互补模型 60°、120°的对角互补模型
图示
条件 ∠ABC=∠ADC=90°,BD平分∠ABC ∠ABC= 120°,∠ADC = 60°,BD 平分∠ABC
作法 过点 D分别作DE⊥BC于点 E,DF⊥BA交BA的延长线于点 F
结论 1. AD=CD; 2. AB+BC= BD; 3. Sm边形ABCO= BD 1. AD=CD; 2. AB+BC=BD; 3. S= AD
结论分析
结论：
证明:如图,过点D分别作DE⊥BC于点E,DF⊥BA交BA的延长线于点F.
∵BD平分∠ABC,∴DE=DF.
∵∠ABC=∠ADC=90°,∴∠BAD+∠C=180°,
∵∠BAD+∠DAF=180°,∴∠DAF=∠C,
∴AD=CD(结论1),AF=CE,
∴AB+BC=AB+BE+CE=AB+BE+AF=BF+BE.
易证四边形DFBE为正方形，∴ (结论2);
由三角形全等可知(结论3).
结论：
自主证明：
拓展模型
拓展方向：将角度平分的条件去掉
图示
条件 ∠ABC+∠ADC=180°
作辅 助线 方法 作∠BDG=∠ADC 过点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥BC交BC的延长线于点F
结论 △DAB∽△DCG △DAE∽△DCF
模型解题三步法
例1 如图,在等边△ABC中,点D为BC的中点,E,F分别是AB,AC边上的点,且
连接AD，则AD平分 ∠EDF+∠BAC=180°=(
若∠BDE=45°,DF=6,则BE的长为 .
例2 如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=60°,BD⊥AC于点D,以D为顶点作∠EDF=90°,∠EDF+∠EBC=180°分别交AB,BC于点E,F,则 的值为 .
题以类解
1. 如图,正方形ABCD 的对角线AC,BD 交于点O,点E是AB边上一点,连接OE,作OF⊥OE,交BC边于点 F,若AB=2,则四边形EBFO 的面积为 .
2.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=115°,∠BCD=65°,CD=2BC,将线段 CA绕点C逆时针旋转 与AB的延长线交于点E，若△CDA的周长为8,则△CBE的周长为 .
3.(模型迁移) 如图，在平面直角坐标系中，A(-3,0),B为y轴正半轴上一点,C为y轴负半轴上一点,连接AB,AC,过点 C作CD⊥CA,且使 点D 在第一象限，连接BD，若∠ABD=90°,则点B 的坐标为 .
4.如图,已知△ABC是等边三角形,点D,E,F分别是AB,AC,BC边上的点,∠EDF=120°,设 若3,则n的值为 .
5. 如图,△ABC内接于⊙O,AD平分∠BAC,交⊙O 于点 D,交BC于点 E,过点A 作AF⊥BC 于点 F,连接 BD.若∠BAC=60°,则 的值为 .
一题多解综合与实践
老师留了一道课后作业：
如图①，在矩形ABCD中，P为对角线AC的中点,M,N 为边 BC,CD 上两动点,且∠MPN=90°.求证:
小明和小聪经过思考和交流后，得出两种解题思路：
小明:过点P分别作PH⊥BC于点 H,PQ⊥CD 于点Q构造出一对相似三角形，再通过矩形对边分别平行即可得证；
小聪:过点P作PG⊥AC,交BC 于点 G,通过证明两对三角形相似即可得证.
(1)请你思考小明和小聪的思路哪种可行。并完成此题的证明；
(2)如图②，老师在原题的基础上添加条件:“连接MN,若∠MNP=30°,AB=4,且PC平分 小敏提出两个新问题：①CM与CN是否相等；②DN的长度是多少.
请你解答这两个问题，并说明理由.
模型展现
自主证明：
如图,过点 D分别作DE⊥BC于点 E,DF⊥BA 交 BA 的延长线于点 F.
∵BD平分∠ABC,
∴DE=DF.
∵∠ABC=120°,∠ADC=60°,
∴∠DAB+∠DCB=180°.
∵∠DAB+∠FAD=180°,
∴∠DCB=∠FAD.
∵∠F=∠DEC,
∴△DFA≌△DEC(AAS),
∴AD=CD(结论1),AF=CE,
∴AB+BC=AB+BE+CE=AB+BE+AF=BF+BE.
∵ BD平分∠ABC,∠ABC=120°,
∴∠DBE=60°,
∴在 Rt△DBE中, 在Rt△BDF中, (结论2);由三角形全等可知， (结论3).
模型解题三步法
例1 2 【解析】如解图，连接AD，过点 D 分别作 DH⊥AC 于点 H,DG⊥AB 于点 G,∵△ABC 为等边三角形,∴ ∠BAC=60°,∵ ∠EDF=120°,∴ ∠EAF+∠EDF=180°,∴ ∠AED+∠AFD=180°,根据 60°、120°的对角互补模 型 可得: △DEG ≌ △DFH(AAS),∴DE=DF=6,过点 E 作 EP⊥BC于点 P,
例2 【解析】如解图，过点D 分别作 DH⊥BC于点H,DG⊥AB 于点 G.∵在 Rt△ABC中,∠C = 60°,BD ⊥AC,∴ ∠DBC = 30°, ∴ 四边形 GBHD为矩形，. ∠EBF=90°,根据 90°的对角互补模型得:
题以类解
1.1 【解析】找模型：是否存在含一组对角互补的四边形:四边形 EBFO 中, ∠ABC +∠EOF=180°,是否存在角度平分:BO 平分∠ABC.抽离模型：如解图，用模型：根据90°的对角互补模型可得： 在正方形 ABCD 中,∠AOB=90°,OA=OB,∴
2.4 【解析】找模型：是否存在含一组对角互补的四边形:四边形 ABCD 中, ∠DAB +∠BCD=180°.是否存在角度平分:不存在.抽离模型：如解图，用模型：∵线段 CA 绕点C逆时针旋转65°,∴∠DCB=∠ACE,根据对角互补模型可得:△CDA∽△CBE,∵CD=2B
3. (0,3) 【解析】如解图,过点 C 分别作 CE⊥AB 于点 E,CF⊥BD交BD 的延长线于点 F,∵∠ABD=∠ACD=90°,∴∠BAC+∠BDC=180°,∵ ∠BDC+∠CDF=180°,∴ ∠CAE =∠CDF,∵∠AEC=∠DFC,AC=DC,∴△CAE≌△CDF(90°的对角互补模型),∴CE=CF,∴ BC 平分∠ABD,∴ ∠ABO=45°,∴△ABO为等腰直角三角形,∴OB=OA=3,∴点B的坐标为(0,3).
或 【解析】如解图，过点 D作DG∥BC交AC 于点 G,∵△ABC 是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°,∵ DG∥BC,∴∠B=∠ADG=∠C=∠AGD=60°,∠BDG=120°,∴△ADG是等边三角形,∴AD=DG,∵∠BDG=120°, ∠EDF = 120°,∴ ∠BDF +∠GDF =∠EDG+∠GDF=120°,∴ ∠BDF=∠GDE,∵∠B=∠AGD =60°,∴ △DGE∽△DBF(60°、120°的对角互补模型) 化简得，n -3n+1=0,解得 ∴n的值为 或
5. 【解析】如解图,过点 D 分别作 DQ⊥AB于点 Q,DP⊥AC交AC 的延长线于点 P,连接CD,∵AD平分∠BAC,∴ DQ=PD,∵∠BAC=60°,∴∠BAD=∠CAD=30°,∴BD=CD,∴BD=CD,∴ Rt△DQB≌Rt△DPC(HL)(60°×120°的对角互补模型),∴BQ=CP,∵AQ=AP,∴AB+AC=AQ+BQ+AC=2AQ,
6.解：(1)小明和小聪的思路都可行.
选择小明的思路：
证明:如解图①,过点 P 分别作 PH⊥BC 于点H,PQ⊥CD于点 Q,
∵四边形ABCD 是矩形,
∴∠DCB=90°,∴∠QPH=90°,
∴∠MPQ+∠MPH=90°,
··∠MPN=90°,∴ ∠NPQ+∠MPQ=90°,
..∠NPQ=∠MPH,
∵∠PHM=∠PQN=90°,
∴△PHM∽△PQN,
∵PH∥AB,PQ∥AD,
或选择小聪的思路：
证明:如解图②,过点 P作PG⊥AC,交BC于点G,则∠GPM=∠CPN,
∵ ∠PNC+∠PMC=180°,∠PMG+∠PMC=180°,
∴∠PMG=∠PNC,∴△GPM∽△CPN,
∵PG⊥AC,∴∠GPC=90°,
∵∠B=90°,∠ACB=∠GCP,
(2)解:①CM=CN.
一题多解
解法一：理由：如解图③，过点 C 分别作 CK⊥PN于点 K,CL⊥PM,交 PM 的延长线于点L,
∵PC平分∠KPM,∴CK=CL,
又∵ ∠NCK+∠KCM=90°,∠MCL+∠KCM=90°,
∴∠NCK=∠MCL,
又∵∠CKN=∠CLM,
∴△CML≌△CNK(ASA),
∴CM=CN;
解法二：理由：如解图④，延长PM至点 W，使PW=PN,连接CW,易证CW=CN,
∴∠W=∠CNP,
∵∠PMC+∠CMW=180°,∠PNC+∠PMC=180°,∴∠CNP=∠CMW,
∴∠W=∠CMW,
∴CM=CW,∴CM=CN;
理由:如解图④,设 PC 交 MN 于点 O,连接PB,
∵∠NPM=90°,∠MCN=90°,PC平分∠MPN,
∴∠NPC=∠MPC=45°,
由(2)①得CM=CN,
∴∠NMC=∠MNC=45°,
∴∠NPC=∠NMC=45°,
又∵∠PON=∠MOC,
∴△PON∽△MOC,
∴∠ACB=∠MNP=30°,
∴∠BAC=60°,
在Rt△ABC中,AB=4,∴AC=2AB=8,
∵P为AC的中点,
∴△PAB 是等边三角形,
∵ ∠PMB=∠MPC+∠ACB,∠MPB=180°-∠BPA-∠MPC,∠MPC=45°,
∴∠PMB=∠MPB,
∴△BMP 是等腰三角形,
∴PB=BM=4,∴CM=CB-BM=4 -4,
又∵CM=CW=CN,∴CN=4 -4,

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