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模型39 三角形外接圆
基础模型
如图，已知直角三角形的外接圆，则△ABC 的外心为斜边的中点.
模型解题三步法
例1 如图， 内接于⊙O， 则⊙O 的半径为 ( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
例2 如图，在4×4的正方形网格中，A，B，C是三个格点，其中每个小正方形的边长为1，则△ABC 的外心可能是( )
A. 点M B. 点N C. 点 P D. 点Q
题以类解
1.如图，在平面直角坐标系中，A(0,-3),B(2,-1),C(2,3),则△ABC 的外心坐标为( )
A. (2,-1) B. (-2,1)
C. (1,-2) D. (1,2)
2. 如图,等边△ABC是⊙O 的内接三角形,⊙O的半径为6，分别沿AB和AC 折叠⊙O纸片， 和 都经过圆心O，则图中阴影部分的面积为 ( )
A. 9 B. 8 D. 12
3. 如图，O是△ABC的外心，连接AO并延长交BC于点 D,过点 D 作DE⊥AB于点 E,若∠ADC=2∠C,DE=2,则AC的长为 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4. 如图,△ABC 为⊙O 的内接三角形,AD⊥BC,垂足为D.
(1)尺规作图:①作∠BAD 的平分线交⊙O于点E；
②作△ABE的外接圆圆心 P(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下,若AE为⊙P的直径,AE与 BC交于点 F.
①求证:∠AEB=∠AFD;
②若AB=10,BF=5,求DF的长.
模型39 三角形外接圆
模型解题三步法
例1 B 【解析】找模型：是否存在三角形：△ABC，三角形三顶点是否共圆：是，是否存在圆心，点O，抽离模型：如解图，用模型：连接AO 并延长交⊙O 于点 D,连接BD,∵AB=AB,∴∠C=∠D(同弧所对的圆周角相等), ∵AD 为⊙O 的直径,∴∠ABD=90°(直径所对的圆周角为 根据“三角形外接圆”模型得 OA=OD=6,∴⊙O 的半径为6.
例2 D 【解析】找模型：是否存在三角形：△ABC，缺少：三角形三个顶点共圆，构造模型：如解图，用模型：根据“三角形外接圆”模型得外心为三角形三边垂直平分线的交点，在网格中分别作AB，BC 的垂直平分线交于点 Q,∴点 Q 是△ABC 的外心.
题以类解
1. B 【解析】找模型：是否存在三角形：△ABC，缺少：三角形三个顶点共圆，构造模型：如解图.用模型：分别作 AB，BC 的垂直平分线 MN，EF，根据“三角形外接圆”模型得△ABC 的外心即三角形三边垂直平分线的交点,∴EF与MN的交点 O'即为所求的△ABC的外心,∴ △ABC 的外心坐标是(-2,1).
2. A 【解析】找模型：是否存在三角形：△ABC，三角形三顶点是否共圆：是，是否存在圆心：点O，抽离模型：如解图，用模型：连接AO,BO,CO,延长AO 交 BC 于点 D,根据“三角形外接圆”模型可得OA=OB=OC=6,AD 为 BC 的垂直平分线,∴BD=CD,AD⊥BC,在 Rt△OBD 中, 3,∴BC=2BD=6 ,∵AB和. 都经过圆心，∴阴影部分面积即为△OBC 的面积，
3. B 【解析】如解图,连接OB,作△ABC 的外接圆,∵ O 是△ABC 的外心,∴ ∠AOB =2∠ACB,AO=BO,又∵ ∠ADC =2∠ACB,∴∠AOB=∠ADC,∴ ∠BOD=∠BDA,∴ BO=BD,∴AO=BD.连接CO,过点 O 作 OF⊥AC于点 F,可得 AF=CF,∠AOF=∠COF,∵∠AOC=2∠ABD,∴∠AOF=∠ABD.∵ DE⊥AB,∴ ∠BED=∠OFA=90°,∴ △BED≌△OFA(AAS),∴DE=AF=2,∴AC=2AF=4.
4. (1)解:作图如解图①:
(2)①证明:∵AE为⊙P 的直径,
∴∠ABE=90°(直径所对的圆周角是90°),
∴∠BAE+∠AEB=90°,
∵AD⊥BC,
∴∠ADF=90°,
∴∠AFD+∠FAD=90°,
∵AE 平分∠BAD,
∴ ∠BAE=∠FAD,
∴∠AEB=∠AFD(等角代换);
②解:如解图②,过点 F 作 FM⊥AB 于点 M,则∠AMF=90°,
∵∠AFD=∠BFE,∠AFD=∠AEB,
∴∠BFE=∠AEB(等角代换),
∴BE=BF=5,
∵∠ABE=∠AMF=90°,∠BAE=∠MAF,
∴△AMF∽△ABE(两角分别对应相等的两三角形相似)，
即
设MF=x,
则AM=2x,
∴ BM=10-2x,
在Rt△BMF中,
解得x=3或x=5(舍去),
即MF=3,
∵AE 平分∠BAD,AD⊥BC,
∴DF=MF=3(角平分线上的点到角两边的距离相等).

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